Métodos de elementos finitos

Um método de elementos finitos é um procedimento computacional que pode ser utilizado para obter soluções aproximadas para problemas matemáticos que surgem nas mais diversas áreas da engenharia. A característica essencial do método é que as equações matemáticas (geralmente contínuas) são aproximadas por uma série de equações algébricas que relacionam

Capítulo 5

101 as propriedades dos elementos (deslocamentos, tensões, etc.) em diversos pontos discretos dentro da região em estudo. As equações de elementos finitos são formuladas e resolvidas de modo a minimizar o erro na solução aproximada [Burd (2006)].

Contudo, a realização de uma modelação com métodos de elementos finitos de uma estrutura geotécnica é condicionada por diversos fatores. Estes devem ser estudados de forma a não condicionarem os resultados que a modelação vai permitir obter. Os fatores em causa são: o tipo e a dimensão da malha de elementos finitos, as condições fronteira do problema, a sequência construtiva da estrutura, os modelos constitutivos dos materiais (no caso de estruturas em solo reforçado, solos e reforços) e os modelos que caracterizam os mecanismos de funcionamento da estrutura.

Uma malha tipicamente utilizada nos MEF a duas dimensões é mostrada na Figura 5.1, para um problema de fundações superficiais. Esta é constituída por elementos (neste caso triangulares) ligados por nós e definidos por pontos de Gauss [Burd (2006)]. A malha utilizada pode condicionar os resultados obtidos consoante a dimensão da sua abertura e a sua profundidade e extensão lateral [Potts e Zdravkovic (2001)]. Por exemplo, Lai et al. (2003) e Potts e Zdravkovic (2001) apresentam estudos sobre a influência destes fatores.

Figura 5.1. Malha normalmente utilizada nos programas de elementos finitos [adaptado de Burd (2006)]

As condições fronteira que devem ser aplicadas nos limites da malha de elementos finitos devem aproximar-se ao máximo das condições reais a que a zona considerada na modelação está a ser sujeita, ou seja, prever se existe continuidade ou não de deslocamentos, fronteiras

Ponto de Gauss

Nó Fundação

Metodologias para a modelação numérica de estruturas de solo reforçado com geossintéticos

rígidas, fronteiras permeáveis, etc. Potts e Zdravkovic (2001) apresentam resultados de um estudo realizado para prever a influência das condições fronteira nos resultados de uma modelação numérica.

Relativamente à sequência construtiva da estrutura, é necessário estudar o efeito que a sua consideração tem nos resultados da modelação. Se muitas vezes a consideração da sequência construtiva só acarreta um aumento do tempo despendido na realização de cálculos, existem outras situações em que a sua consideração é crucial, sob pena de os resultados obtidos não condizerem com a realidade. No entanto, quando se considera a sequência construtiva é necessário tomar precauções, ou seja, por vezes é preciso considerar a introdução de mecanismos que permitam a estabilidade da estrutura tal como se faz na sequência real de construção. Um exemplo é a introdução de um suporte temporário para permitir manter a posição da face de cada camada de uma estrutura de solo reforçado com geossintéticos até que a subsequente seja construída. Mais uma vez, Potts e Zdravkovic (2001) disponibilizam resultados de um estudo sobre o impacto deste fator nos resultados de uma modelação numérica.

Um dos componentes essenciais para realizar uma modelação numérica com elementos finitos de um problema geotécnico bem sucedida é o modelo constitutivo do solo. Atualmente existem diversos modelos constitutivos capazes de reproduzir os aspetos do comportamento de um solo real. Por isso, é necessário decidir quais destas características do solo regem o comportamento num determinado problema geotécnico (por exemplo, rigidez, deformação, dilatação, anisotropia, etc.) e escolher um modelo constitutivo que possa captar essas características da melhor forma. Outro fator que rege a escolha do modelo constitutivo do solo é a quantidade e a qualidade das características do solo conhecidas a partir das quais derivam os parâmetros do modelo. Muitas vezes isto limita o uso de modelos do solo sofisticados pois, na prática, os parâmetros de entrada do modelo não podem ser obtidos facilmente a partir dos ensaios de laboratório ou de campo [Potts e Zdravkovic (2001)]. Exemplos de estudos em que o efeito da consideração de diferentes modelos constitutivos do solo é verificado podem ser consultados em Karstunen et al. (2006), Ling e Liu (2009) e Lai et al. (2003).

O que foi supracitado para os modelos constitutivos dos solos também pode ser admitido no caso dos modelos constitutivos dos reforços e nos modelos que caracterizam os mecanismos de funcionamento da estrutura. Nestes casos também é necessário salientar que a utilização de diferentes modelos constitutivos pode acarretar a obtenção de resultados diferentes.

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103 Quanto à utilização dos MEF para a modelação numérica de estruturas de solo reforçado, Potts e Zdravkovic (2001) referem que as camadas de reforço são simuladas usando elementos do tipo membrana com a capacidade de resistir apenas a forças de tração, os elementos da face da estrutura (caso existam) são modelados com elementos do tipo discrete Mindlin beam, enquanto as interfaces entre estes e o solo e entre os elementos de membrana e o solo são modelados com elementos de interface.

Algumas grandezas que estas modelações numéricas permitem obter são: o estado de tensões nos vários elementos da estrutura, os deslocamentos, as superfícies de rotura, os fatores de segurança, a percolação da água (direção, sentido e grandeza) e os parâmetros de consolidação dos solos.

Por fim importa mencionar algumas referências bibliográficas que podem ser consultadas quando se pretende aprofundar o conhecimento sobre os MEF utilizados em modelações numéricas. Estes documentos fornecem informação sobre os fundamentos teóricos e matemáticos que modelam o comportamento em vários problemas geotécnicos. Deste modo, para diferentes tipos de modelações podem ser referidos os seguintes documentos:

 modelações lineares - Zienkiewicz e Taylor (2005) e Cook (1974);  modelações elastoplásticas - Zienkiewicz et al. (1969);

 modelações do processo de consolidação - Zienkiewicz et al. (1980);  modelações de percolação confinada e não confinada - Desai (1977);

 retroanálises - Cividini e Gioda (2003), Gioda e Sakurai (1987), Cividini e Gioda (2007) e Gioda e Locatelli (1999).