Métodos para avaliação da estabilidade de taludes

2.2 ESTABILIDADE DE TALUDES

2.2.2 Métodos para avaliação da estabilidade de taludes

Existem diversos métodos para análise da estabilidade de taludes. Na análise é relevante a realização de uma avaliação quantitativa que leve em consideração a expressão entre as forças que resistem tendendo a manter os taludes imóveis e as forças cisalhantes que geram tensões forçando o solo a causar ruptura e movimentando o talude para baixo. Com isso, resulta a razão entre a resistência cisalhante média e a tensão cisalhante ao longo da superfície crítica de ruptura.

O fator de segurança (FS) é calculado a partir de metodologias e teorias de dimensionamento, no qual o seu valor deverá estar de acordo com o que é determinado em projeto, servindo de base para que se adquira um melhor comportamento de talude, tendo suas características de estabilidade totalmente seguras em relação à ruptura.

Desse modo, o fator de segurança é definido pelo mínimo da resistência ao cisalhamento considerada para que o talude continue estável. Para um fator de segurança igual a 1,0 indicam-se condições limites de estabilidade, pois as forças de instabilidade são iguais às forças de resistência ao escorregamento, estando no limite do seu equilíbrio. Já para fatores maiores que 1,0 o talude apresenta-se estável e fatores menores que 1,0 o mesmo apresenta-se instável.

Assim sendo, o fator de segurança é o fator pelo qual os parâmetros de resistência podem ser reduzidos de tal forma a tornar o talude em estado de equilíbrio limite ao longo de uma superfície (GERSCOVICH, 2008).

A fórmula do fator de segurança pode ser dada pela equação a seguir: FS: τf

τd

Onde:

FS: Fator de segurança;

𝜏

𝑓: Resistência ao cisalhamento;

𝜏

𝑑: Tensões cisalhantes desenvolvidas ao longo da superfície de ruptura;

Na figura 18 abaixo é possível visualizar uma superfície de ruptura, bem como as tensões de resistências de um talude.

Figura 18: Tensões e resistências mobilizadas na superfície de ruptura

Fonte: Gerscovich 2008, p.45.

Nos próximos tópicos serão abordados alguns métodos para a avaliação de estabilidades de taludes e que serão usados como base na avaliação deste trabalho.

2.2.2.1 Método de Fellenius

O método de fatias, criado por Fellenius em 1936, é utilizado para análises de estabilidades em solos saturados e ampliou-se para outros tipos de solos em condições de análise em tensões efetivas. Silva (2013, p. 11) destaca que:

Como as fatias não precisam possuir a mesma espessura, a análise de estabilidade através desse método pode ser realizada em taludes de superfície irregular, taludes

homogêneos e heterogêneos, permitindo que as fatias sejam divididas de forma que a base de cada uma permaneça em um determinado tipo de solo, atribuindo-se assim, apenas um só conjunto de parâmetros de resistência do solo para cada fatia, para o caso de solos heterogêneos. Este método também inclui a distribuição de poro- pressões.

Borgatto (2006, p. 54) menciona que:

Este método baseia-se na análise estática do volume de material situado acima de uma superfície potencial de escorregamento de seção circular onde este volume é dividido em fatias verticais. Assim, determinam-se as forças normais às bases das lamelas (N) e aplica-se o equilíbrio de forças na direção da normal à base (direção do raio do círculo de ruptura).

Na figura 19 abaixo se apresenta um esboço desse método. Figura 19 - Divisão da superfície potencial de ruptura em fatias

Fonte: Silva 2013, p. 11.

Desse modo, o método de fatias é calculado dividindo-se a superfície de ruptura em fatias, obtendo-se o volume de cada fatia e assim determinando-se os parâmetros de resistência do solo através das forças normais. Segue abaixo (figura 20) uma fatia e as forças atuantes que atuam sobre ela.

Figura 20 - Forças atuantes em uma fatia

Fonte: Silva (2013, p.11).

Os símbolos apresentados acima correspondem as seguintes designações:

Wi: Peso da fatia;

Xi: Resultante das tensões cisalhantes na face esquerda da fatia; Ēi: Resultante das tensões normais efetivas na face esquerda da fatia; Xi +1: Resultante das tensões cisalhantes na face direita da fatia; Ēi +1: Resultante das tensões normais efetivas na face direita da fatia;

Ti: Resultante da resistência ao cisalhamento mobilizada ao longo da base da fatia;

Ni : Resultante das tensões normais efetivas atuantes na base da fatia; U1: Resultante das poro-pressões atuantes na face esquerda da fatia; Ur: Resultante das poro-pressões atuantes na face direita da fatia; ui: Poro-pressão atuante na base da fatia;

Ui: Resultante das poro-pressões atuantes na base da fatia; θi: Inclinação da base;

Δli: Comprimento da base; Δxi: Largura da fatia;

ai: Distância da face esquerda da fatia até o ponto de aplicação de Ni; bi: Distância da base da fatia até o ponto de aplicação de Ēi.

A base de cada fatia é representada por uma reta que simplifica o cálculo do peso próprio, pois quanto menor a largura das fatias ou quanto mais fatias, menor o erro no resultado do fator de segurança que está representado depois das deduções na fórmula final a seguir:

=

∑(c

′_{∗ Δli + Ni ∗ tang θ}′₎ ∑Wi ∗ senθi

2.2.2.2 Método de Bishop

O método de Bishop, criado em 1955, é baseado no método das fatias. Conforme Bishop e Morgenstern (1960) é possível omitir os termos de esforços horizontais entre fatias, (Xn – Xn+1), com uma perda de precisão de menos de 1%. Tem-se então, o método chamado Bishop Simplificado. Conforme citado por Godoi (2010, p. 41) esse método apresenta algumas vantagens:

O método de Bishop apresenta algumas vantagens em relação ao método de

Fellenius. A principal é que ele considera o empuxo das fatias vizinhas atuando sobre a fatia analisada. Bishop considera a componente horizontal dos empuxos das fatias vizinhas uma vez que conseguiu provar que a não consideração da componente vertical apenas faz variar o fator de segurança em torno de 1%.

O fato de Bishop considerar as fatias vizinhas faz com que o resultado do fator de segurança seja aproximadamente 15% maior quando comparado ao método de Fellenius. Para um estudo mais detalhado do método de Bishop e o respectivo cálculo para o fator de segurança, recomenda-se verificar na bibliografia (DAS, 2007).

No método de Bishop, o equilíbrio de forças em cada fatia é feito nas direções vertical e horizontal. Com isso, obtém-se o valor da força normal: (GERSCOVICH, 2012, p.126).

N′ =

W+Xn−Xn+1−ub−

c′l Fssenα

m_α (1.0)

Ao se designar de mαo denominador da Eq. (1.0) e substituir a expressão da tensão

normal efetiva (N’), chega-se à expressão para o cálculo do FS:

Fs = 1 ∑ Wisenα∑ (c ′_{b + [(W − ub) + (X} n− X_n+1)] tgϕ′ mα) (1.2)

Seguindo este método, indica-se, para desconsiderar os esforços horizontais entre as fatias, a seguinte fórmula:

∑ [(X_n− X_n+1)tgϕ′_m

α]= 0(1.3)

Assumindo a expressão para FS do cálculo: Fs =_{∑ W}1

isenα∑ ([c

′_{b(W − ub)tgϕ}′_] 1

mα) (1.3)

2.2.2.3 Método de Spencer

O método de Spencer foi desenvolvido inicialmente para análises de rupturas que possuíam formato circular e, com o passar do tempo, foi adaptado para superfícies de deslizamentos com formas irregulares. O método Spencer apresenta dois fatores de segurança, um baseado no equilíbrio de momentos em relação a um ponto e outro baseado no equilíbrio de forças paralelas à direção das forças entre fatias (HORST, 2007, p. 39).

Desse modo, o método de Spencer é considerado uma análise rigorosa, tendo em vista que satisfaz todas as condições de equilíbrio: tanto as de força quanto as de momento. Silva (2013, p.18) menciona que:

SPENCER (1967) assume que as forças de interação entre as fatias são paralelas entre si, ou seja, todas elas possuem o mesmo ângulo de inclinação o qual também será calculado como parte da solução de equilíbrio, ao invés de ser adotado. Este método considera uma força Qi, que equivale a resultante das forças Xi, Xi+1, Ei e Ei+1. Também assume que Qi e Ni atuam no ponto médio da base da fatia.

A figura 21 mostra uma fatia de análise de ruptura em que foi aplicada as forças atuantes sobre a mesma.

Figura 21 - Forças atuantes em uma fatia

Fonte: Silva, 2013, p. 18.

Os símbolos apresentados acima correspondem às seguintes designações: Wi: Peso da fatia;

Ti: Resultante da resistência ao cisalhamento mobilizada ao longo da base da fatia;

Ni: Resultante das tensões normais efetivas atuantes na base da fatia; Ui: Resultante das poro-pressões atuantes na base da fatia;

Qi: Resultante das forças atuantes nas laterais da fatia; δ: Ângulo de inclinação da resultante Qi;

θi: Inclinação da base; Δli: Comprimento da base; Δxi: Largura da fatia.

A combinações feitas resultaram-se nas equações abaixo:

- Equação 1:

Q_i =

c′∆i+[Wi ×cos θ−ui × ∆li]×tan ∅′

FS − Wi× sin θ

cos(θ − δ) × [1 +tan(θ−δ)×tan ∅′

Supõe-se que o talude esteja em equilíbrio, ou seja, não existem forças externas atuando. Dessa maneira, as componentes verticais e horizontais de Qi serão nulas. Caso existisse alguma força externa, como por exemplo a presença de ancoragens, a resultante Qi apresentaria valor igual ao dessa força (SILVA, 2013).

- Equações 2 e 3: ∑ 𝑄𝑖 × cos 𝛿 = 0

∑ 𝑄_𝑖 × sin 𝛿 = 0

Considera-se 𝛿 uma constante para todas as fatias, então as equações 2 e 3 se reduzem a:

∑ Q_i = 0

Dessa forma, sendo a soma dos momentos provocada pelas forças externas em relação ao centro (O) nulo, a soma dos momentos das forças entre as fatias também será igual a zero, como assim leciona Silva (SILVA, 2013, p.20).

- Equação 4:

∑ Qi × R × cos(θi – δ) = 0

Como R = Constante

∑ Q

× cos(θ

− δ) =

Através disso Silva (2013, p.20) menciona:

Para este método existem duas incógnitas para o cálculo do fator de segurança, Qie . Portanto, a solução também envolve um processo iterativo, onde se adota valores para o fator de segurança (FS) e para a inclinação  da resultante das forças de interação entre as fatias, até que se alcance o equilíbrio de forças e momento para cada fatia.

A solução final é obtida através dos seguintes passos (SILVA, 2013, p.20): - Arbitrar ;

- Substituir a eq. 1 na eq. (2 e 3) e determinar FS1; - Substituir a eq. 1 na eq. (4) e determinar FS2;

- Repetir o procedimento até obter as curvas FS1 *  e FS2 * ;

- O fator de segurança será o valor para o qual as curvas se interceptam, conforme gráfico.

Na figura 22 o gráfico traz a determinação do fator de segurança.

Figura 22 - Determinação do Fator de Segurança

Fonte: Silva, 2013, p.20.

Em função da complexidade dos cálculos e também em razão da verificação analítica dos resultados, este método acaba tornando inviável o cálculo manual, o que requer utilização de programas computacionais para execução dos cálculos. Segundo Silva (2013, p.21):

Atualmente, as análises de estabilidade de taludes são realizadas com o auxílio de programas de estabilidade. Tais programas possuem, além de maior velocidade de cálculos, capacidade de dividir a massa de solos em diversas fatias, gerando uma maior precisão nos resultados obtidos. É fornecido o valor de segurança mínimo para o talude analisado e a superfície potencial de ruptura correspondente, a partir do requerido processo iterativo.

2.2.2.4 Métodos probabilísticos

Em análises de avaliações de estabilidades de taludes também serão apresentados métodos que são utilizados e que permitem uma análise probabilística de estabilidade do solo em relação às rupturas. Este método também permite a avaliação da distribuição de probabilidade de uma variável dependente em função do conhecimento das distribuições estatísticas das variáveis independentes que geram a dependente (REZENDE, 2013, p. 49).

Os métodos do Segundo Momento de Primeira Ordem, SM e o das Estimativas Pontuais, EP são ditos indiretos ou aproximados pelo segundo momento, pois assumem uma distribuição, normal ou log normal, para o fator de segurança e seu desvio padrão é obtido a partir das médias e desvios padrão das variáveis e parâmetros geotécnicos. Desta forma só são considerados os dois primeiros momentos probabilísticos das funções de distribuição que são a média e a variância, respectivamente. A Simulação de Monte Carlo é um método direto, pois através dele se chega a um conjunto de valores de fator de segurança, que é tratado como uma amostra e, a partir daí, estima-se diretamente sua distribuição probabilística.

A seguir serão apresentados detalhadamente os métodos mais usuais em geotécnica para a determinação do Fator de Segurança.

2.2.2.4.1 Método da primeira ordem e segundo momento

Tem como princípio expressar a função de performance (FS) como uma função de diferentes variáveis aleatórias consideradas na análise estatística (MIRANDA, 2005, p.49). Para o cálculo do Fator de Segurança utilizam-se dois métodos diferentes.

O método utilizado por Sandroni e Sayão (1992) é descrito por Miranda (2005, p.50):

Utilizam o método das diferenças divididas para uma aproximação matemática do problema analisado, que consiste no cálculo do FS médio (com parâmetros médios), após isso varia-se de 𝑜̅, separadamente cada variável xi e verifica-se o comportamento do FS, após essa variação. A variação do FS dividida pelo 𝑜̅ de cada variável xi , é uma aproximação da derivada parcial.

A equação é expressa por: ∂FS

∂xi =

FS(xi̅ ± δxi) − FS(x ̅i) δxi

Para garantir a validade da equação, o valor de 𝑂̅xi deve ser suficientemente pequeno, com ∂FS/ ∂xi podendo ser considerado constante ao longo do intervalo 𝑂̅xi, podendo, ainda, ter uma variação de ±10% do valor médio do parâmetro xi (MIRANDA, 2005, p.50).

O método utilizado por Mostyn e Li (1993) sugere que a aproximação de ∂FS/ ∂xi seja realizada por diferenças finitas centrais, nas quais a variação de cada parâmetro xi é igual ao respectivo desvio padrão σ (MIRANDA, 2005, p.51).

∂FS ∂xi =

FS(xi̅ + 0,5 σi) − FS(x ̅i − σi) δxi

Devido ao número pequeno de análises determinísticas, sendo n o número de parâmetros envolvidos, caso a aproximação das derivadas parciais seja pelo método de Sandroni e Sayão, o número de análises é n+1 e pelo método de Mostyn e Li, são necessárias 2n+1 análises (MIRANDA, 2005, p.51).

2.2.2.4.2 Método das estimativas pontuais

O método das estimativas pontuais foi criado por Rosenblueth em 1975 e tem como resultado uma aproximação numérica de técnicas de integração. Rezende (2013, p. 52) cita como é feita a execução deste método mais detalhadamente:

Neste método, é feita uma estimativa dos dois primeiros momentos probabilísticos (média e variância) a partir de uma função geradora de momentos. Esta função vem das análises determinísticas da permutação dos valores médios dos parâmetros envolvidos no cálculo do FS, acrescidos e diminuídos do desvio padrão. Esta técnica cria a necessidade de 2n análises determinísticas, onde n é o número de variáveis atuantes. O cálculo do desvio padrão e da variância parte do princípio de que os n parâmetros possuem distribuições simétricas.

Calcula-se a média e a variância do FS através das seguintes equações abaixo:

E(FS) = FS̅̅̅ = 1 2n∑ FSi 2n i=1 E(FS2) = FS̅̅̅ = 1 2n∑ FSi 2 2n i=1 σ2FS= V (FS) = E (FS2) − [E(FS)]2

2.2.2.4.3 Simulação de Monte Carlo

Monte Carlo é conhecido como um método direto e exato para solução de estabilidades de taludes, uma vez que apresenta boa adaptabilidade trabalhando com a possibilidade de variação dos dados de entrada, sendo necessário escolher o método determinístico que servirá como base.

Conforme Torres Filho e Andrade (2015, p. 37), em cada análise que normalmente é feita por cálculo computacional através de programas específicos, o método

atribui um valor a cada variável aleatória desde sua distribuição de probabilidade, e obtém um resultado da função de desempenho que é armazenado.

Após um grande número de análises é construído um histograma com os dados obtidos em cada análise. Ao final, obtém-se como resultado uma função de probabilidade do fator de segurança para o cálculo da probabilidade de ruptura. Uma desvantagem apresentada é a necessidade de um grande número de análises para diminuir os erros e ter determinação confiável dos momentos probabilísticos (𝜇 e 𝜎).

Entretanto, Torres Filho e Andrade (2015, p. 37) observam esse método como uma ferramenta positiva:

Este método se destaca entre os outros por não exigir uma compreensão matemática e estatística tão aprofundada quanto os outros métodos, pois fornece uma função de distribuição de probabilidades sem que seja necessário assumir uma forma para a mesma e pelo fato de que o aumento do número de variáveis consideradas não aumenta a complexidade da análise. Por outro lado, é raro que se use este método para estudo da variabilidade espacial das propriedades do solo e para variáveis aleatórias correlacionadas.

Na aplicação de avaliação de estabilidade de taludes visando encontrar o fator de segurança, Rezende (2013, p. 53) menciona que:

O método consiste na geração aleatória de N valores para os n parâmetros de incertezas que fazem parte do cálculo do fator de segurança. Esta geração pode ser realizada através de programas estatísticos que utilizam como dados de entrada: média, desvio padrão e a forma da distribuição da variável estudada.

Para realização de N análises determinísticas Costa (2005, p 113-114) aponta que:

Uma análise de estabilidade de taludes sempre terá um certo grau de incerteza associado aos parâmetros de entrada. Nas simulações de Monte Carlo, os parâmetros de entrada são especificados pela sua média (𝜇) e desvio padrão (𝜎), obtendo-se a distribuição de probabilidades do fator de segurança, o índice de confiabilidade (𝛽) e a probabilidade de ruptura (Pr).

Rezende (2013, p. 53) apresenta o número de análises necessárias (N):

N = [ (ha 2 )2 4ε2 ] n Onde:

hα/2 - função de confiabilidade (1- α), exposta por Harr (1987); ε - precisão em %;

n - número de variáveis.

No documento Avaliação comparativa entre métodos de contenção de taludes: muro de gabião e logblock estudo de caso em Caçador/SC (páginas 33-45)