Para estes métodos, o decision maker deve especificar as suas preferências e os valores antes de iniciar o processo de solução.
4.6.1-Método da Função Valor/Utilidade
As escolhas efetuadas pelo decision maker são frequentemente baseadas em uma função implícita, cujo comportamento depende da sua formação social, permitindo avaliar os objetivos por meio de uma escala cardinal4. Portanto, Keeney e Raiffa [52] classificaram a
referida função da seguinte forma:
A função utilidade , em que { } representa o comportamento do decision maker sobre os critérios em avaliação, considerando a probabilidade do valor do desempenho de cada critério;
A função valor , em que { } representa o comportamento do
decision maker sobre os critérios em avaliação, não considerando a probabilidade do
valor de desempenho de cada critério.
Desse modo, para dois critérios diferentes, e :
se ou , o decision maker prefere a ; se ou , o decision maker é indiferente a e ; se ou , o decision maker prefere a .
Neste método, o decision maker deve explicitar matematicamente a forma da função implícita. O problema da função valor é representado em (4.20):
minimizar restrição
( )
(4.20)
Para a função utilidade, tem-se (4.21): maximizar
restrição
( )
(4.21)
4A preferência ordinal implica o ordenamento das alternativas (acções/performance) e não considera a intensidade das preferências. Essa abordagem permite, por exemplo, afirmar que a primeira escolha do
decision maker é preferível à segunda escolha, mas não especifica quão preferível é a primeira opção.
41 Ambas podem ser resolvidas por métodos de otimização, desde que não apresentem intransitividades5 e incomparabilidades6 [52]. Contudo, segundo Keeney e Raiffa, o método é
restrito a problemas multiobjetivo de apoio à decisão com a região viável composta por alternativas de solução discretas.
Neste sentido, o conjunto de soluções Eficientes de Pareto é formado por alternativas discretas, sendo que cada alternativa possui um valor associado ao desempenho de cada critério , o qual, por sua vez, tem a sua importância ponderada pelo coeficiente . Desse modo, uma alternativa com critérios pode ser avaliada, segundo Belton e Stewart [52], sob uma formulação (4.22) de agregação aditiva:
∑
(
)
(4.22)
ou sob uma formulação de agregação produtiva (4.23):
∏[
(
)]
(4.23)
ou, sob a utilidade esperada (4.24):
{
} ∫
(
)
(4.24)
em que é a função densidade de probabilidade do critério para a alternativa ,
e ( ) é a utilidade do desempenho do critério da alternativa .
A função utilidade de um critério que compõe o vetor da alternativa pode ser determinada, de entre outras, por uma função quadrática (4.25):
(
)
(
)
(4.25)
ou por uma função exponencial (4.26):
(4.26)
em que , e são parâmetros de sensibilidade ajustados pelo decision maker, e
é a utilidade do critério para a alternativa .
5A transitividade é a propriedade que relaciona, por exemplo, três alternativas de solução , , e , em que a relação de e de com acarreta a relação de com [48].
42 A questão de como escolher ou formular a função utilidade é abordada amplamente por Keeney e Raiffa [52].
4.6.2-Método do Ordenamento Lexicográfico
Neste método, o decision maker deve ordenar as funções de desempenho de acordo com a ordem de prioridade absoluta do critério avaliado antes de iniciar o processo de solução. Após o ordenamento, a função de maior importância é otimizada com as suas restrições originais, tendo a sua solução utilizada na otimização da segunda função, a fim de garantir a solução da função de maior prioridade, e assim sucessivamente até à última função de desempenho.
Um problema de ordenamento lexicográfico é escrito em (4.27): lex minimizar
restrição
(4.27)
onde a função
é ordenada de maneira decrescente quanto à prioridade do critério a ela associado.
Há uma correspondência entre os métodos de ordenamento lexicográfico e de pesos; veja-se que se o segundo método possuir uma discrepância de magnitude elevada entre os coeficientes, terá um comportamento equivalente ao primeiro [50]. O uso do ordenamento lexicográfico é justificado em virtude da maneira sucessiva e fracionada como o decision
maker toma decisões. Contudo, atribuem-se várias críticas ao método, entre as quais
ressaltam:
O decision maker, geralmente, encontra dificuldades em obter de maneira direta uma ordem de prioridade absoluta às funções de desempenho;
A solução da função de desempenho de maior prioridade, caso seja única, sobrepõe-se às soluções das demais funções.
4.6.3-Método de Programação por Metas
Este método tenta encontrar soluções que possam atingir uma meta pré-determinada para uma ou mais funções objetivo. Caso não exista uma solução exequível que alcance as metas para todos os objetivos, esta minimiza os desvios em relação às metas. Considerando uma função para ser minimizada dentro do espaço de busca para cada objetivo é
escolhido pelo usuário um valor/meta . Matematicamente pode traduzir-se por (4.28):
43 Para se resolver um problema de programação por metas, cada meta é convertida em uma restrição de igualdade. Procura-se, então, minimizar todos os desvios em relação às metas. Existem várias formas de trabalhar com esses problemas, as quais serão descritas a seguir:
Programação de metas com pesos: para um problema com objetivos, formula-se
uma função somando os vários desvios para cada um dos objetivos. A formulação
geral desse problema pode ser descrita conforme (4.29):
minimizar restrições
∑
,
(4.29)
onde e são os pesos dos desvios positivos e negativos ( e , respectivamente) para o j-ésimo objetivo, é a meta para a função e é o
espaço de decisão exequível. As soluções obtidas por este método dependem consideravelmente da escolha dos valores para e . Ainda, segundo [50], este método possui dificuldades similares ao método do somatório dos pesos;
Programação de metas lexicográficas: aqui as metas são organizadas em vários níveis de prioridade. Resolvem-se sequencialmente vários problemas de programação por metas. Inicialmente, as metas de primeira ordem de prioridade são consideradas na formulação do problema. Caso existam múltiplas soluções, as metas de segunda ordem de prioridade são consideradas formulando outro problema para minimizar apenas os desvios para as metas de segunda ordem. As metas de primeira ordem de prioridade são usadas como restrições. O processo continua com os demais níveis de prioridade até que seja encontrada uma única solução. Utilizando esse método, é encontrada frequentemente uma solução Pareto-Ótima. A Figura 4.4 apresenta um espaço de objetivos para as funções
44 Se é mais importante, minimiza-se primeiro e obtêm-se as soluções das regiões
AB e CD nas quais é mínima. Dado que existem múltiplas soluções, minimiza-se somente nas regiões AB e CD encontradas na iteração anterior. A solução é o ponto D, que corresponde ao mínimo para Então, D é a solução para todo o problema de programação de metas lexicográficas.
Programação de matas mix-max: neste método é minimizado o máximo desvio em relação às metas. A formulação adotada está em (4.30):
minimizar restrições
,
,
(4.30)
onde é o desvio máximo para qualquer meta, e são os desvios positivos e negativos para cada objetivo, e e representam os pesos para cada desvio. Este método requer também a escolha dos pesos e
4.6.4-Método de Alcançar a Meta
Em muitas situações, o decision maker deseja especificar uma solução (meta) e direcionar a procura no espaço de objetivos o mais próximo possível da meta. Esse método requer que o
decision maker especifique a meta, , e os “pesos” para cada meta que direcionarão o caminho da procura do conjunto de Pareto-Ótimo. A Figura 4.5 apresenta a direção de preferência do decision maker pelo vetor ⃗ , em que { }.
É formulado um problema pelo método de alcançar a meta (4.31), de acordo com [44], da seguinte forma:
minimizar
restrições
(4.31)
em que é uma variável auxiliar irrestrita e é o “peso” normalizado, ∑ .
O menor valor de ocorre quando o vetor ⃗ alcança a borda do espaço de objetivos (Figura 4.5), portanto a melhor solução é afectada tanto pelo peso quanto pela meta .
Esse método pode ser ampliado para a forma iterativa, segundo Haimes e Hall [47], em que o gestor da rede pode alterar os pesos conforme as taxas de intercâmbio – trade-offs – entre as metas.
45
Figura 4.5 - Caminho para o método de alcançar a meta (adaptado de [44]).