Métricas de Centralidade

As diferentes maneiras de avaliar a importância relativa de um nó na rede, conceito refletido na palavra centralidade, é um tema estudado há bastante tempo [59,63] e um dos conceitos mais estudados no contexto da análise de redes sociais (Social network analysis – SNA) [25]. O conceito de centralidade reflete a importância relativa de um nó em uma rede, onde a partir de uma característica analisada, o nó é classificado segundo a sua importância. Existem diversas métricas de centralidade que se baseiam em diferentes características da rede. As métricas de centralidade baseadas em topologia para a análise de redes vão desde as tradicionais – centralidade de grau, centralidade de intermediação (betweenness) e proximidade (cloneseness) [51] – até as métricas mais recentes – PageRank [29], centralidade de autovetor (Eigenvector Centrality – EVC) [23], medidas de conectividade baseadas em cortes de vértices [35] e centralidade localizada de ponte (Localized Bridging Centrality – LBC) [76].

Utilizamos uma divisão didática semelhante à utilizada em [8] para dividir as métricas de centralidade em quatro grupos, sendo eles, distância e vizinhança, caminhos mínimos e métricas em 2_vizinhança. Pela importância para esta dissertação das métricas: centralidade de ponte (Bridging Centrality – BC), LBC e centralidade localizada de ponte com carga informada (Localized Load-aware Bridging Centrality – LLBC), essas métricas são descritas no Capítulo4.

Distância e Vizinhança

Nesta seção, serão apresentados índices que classificam a centralidade do nó de acordo com o conceito de vizinhança e distância dentro de um grafo.

Centralidade de grau – É uma das métricas de centralidades mais simples. A centrali- dade de grau de um nó a, CD(a), é definida como o número de arestas que incidem em um nó a, ou seja, o grau do nó a, CD(a) = δ(a). Para uma rede direcionada, a centralidade de grau de um nó a é dividida em grau de entrada, CDi(a), e grau de saída, CDo(a). O grau de entrada é definido como o número de arestas que inci- dem no nó. Já o número de arestas que saem do nó é definido como grau de saída.

2.3 Caracterização de Redes Complexas 29

Para se ter uma estimativa do quão distante está o nó das centralidades mínimas e máximas, adota-se a versão normalizada da centralidade de grau. A normalização é calculada como CDn(a) = δ(a)/(n − 1), em que δ(a) é o grau do nó a e n é o número de nós da rede. Por exemplo, para a rede da Figura2.9, temos CD(5) = 4 e CDn(5) = 4/6 = 0.67.

Figura 2.9: Exemplo da centralidade de nó.

Excentricidade – A métrica é definida como a distância máxima entre um vértice u ∈ V e qualquer outro vértice v ∈ V da rede:

Ecc(u) = max

v∈V dG(u, v). (2-5)

O raio da rede é definido como o valor da excentricidade mínima, enquanto o diâmetro é o valor da excentricidade máxima. Na rede da Figura 2.9, o raio é 2 e o diâmetro é 3.

Volume – A métrica é definida como a soma dos graus de cada elemento da topologia. Se, por exemplo, a topologia for definida como sendo o nó v e seus vizinhos, o volume será o somatório do grau de v e seus vizinhos. Na Figura2.9, se a topologia for definida como o nó 5 e seus vizinhos, o volume será δ(5) + δ(3) + δ(4) + δ(6) + δ(7) = 12.

Centralidade de autovetor – A centralidade de autovetor (Eigenvector Centrality – EVC) é um conceito bastante utilizado na SNA e foi inicialmente proposto por Bonacich [21,22]. A centralidade de autovetor é definida de maneira circular, onde a centralidade de um nó é calculada como a soma da centralidade de seus nós vizi- nhos. No contexto de redes sociais, a importância (influência) de um nó (pessoa) é proporcional a importância (influência) de seus vizinhos (amigos). Brin e Page [29], cofundadores do Google, criaram uma técnica similar chamada PageRank para clas-

2.3 Caracterização de Redes Complexas 30

sificar a relevância de páginas Web, que posteriormente foi implementada na má- quina de busca do Google.

Caminhos Mínimos

Nesta seção, serão apresentadas métricas que calculam a importância dos nós a partir dos caminhos mínimos que passam por eles. Os caminhos mínimos geralmente são definidos para os nós da rede, havendo variações cuja importância é também definida para as arestas.

Centralidade de tensão – A centralidade de tensão (Stress centrality) é uma das métri- cas mais simples que faz uso da enumeração dos caminhos proposta em [95]. Como o nome sugere, a métrica calcula o trabalho que um nó precisa suportar na rede, uma vez que enumera todos os caminhos mínimos que passam pelo nó. A centralidade de tensão de um vértice u é representada como CS(u),

CS(u) =

∑

v6=u∈Vw6=u∈V

∑

ρvw(u), (2-6)

onde ρvw(u) é a quantidade de caminhos mínimos que começam em v e terminam em w e contém o vértice u. Caso CS(u) = n − 1, para uma rede com n vértices, então a rede possui uma topologia em estrela, sendo u seu centro.

Centralidade de intermediação – A centralidade de intermediação (Betweeness centra- lity), que pode ser vista como uma variação da centralidade de tensão, mensura a importância global do nó, tomando como critério a proporção de caminhos mínimos entre todos os pares de nós que passam por ele. A centralidade de intermediação de um nó u é definida por:

CB(u) =

∑

ρvw(u)

ρvw , (2-7)

em que u, v, w ∈ V , um conjunto de vértices de um grafo conexo. ρvwé o número de caminhos mínimos do nó v até o nó w e ρvw(u) é o número de caminhos mínimos do nó v até o nó w que passam pelo nó u. A centralidade de intermediação pressupõe que todos os caminhos entre todos os pares de nós são utilizados igualmente. Essa suposição não é adequada para alguns tipos de redes, como por exemplo, redes em malha sem fio [77].

Métricas em 2_vizinhança

Uma versão semelhante à rede egocêntrica (Seção 2.3.2) é a rede baseada em 2_vizinhança. A 2_vizinhança de um nó v, 2_vizinhança(v), é definida como a vizinhança

2.3 Caracterização de Redes Complexas 31

de v de dois saltos, ou seja, a sub-rede formada pelo nó v, seus vizinhos diretos e os vizinhos dos seus vizinhos. Por exemplo, a rede da Figura2.10(a) tem a 2_vizinhança(1) sendo a própria rede. Já a 2_vizinhança(5) da Figura2.10(a) encontra-se na Figura2.10 (b).

(a) Topologia de uma rede. (b) A 2_vizinhança do nó 5.

Figura 2.10: Aplicação do conceito de 2_vizinhança.

O Distributed Assessment of Network CEntrality – DANCE [105] é um algoritmo distribuído para avaliar a centralidade dos nós de uma rede baseado no conceito de 2_vizinhança. Além do valor da centralidade, eles proporcionam um meio de localizar os nós mais centrais da rede. O princípio básico do algoritmo é que cada nó da rede considera apenas sua 2_vizinhança. A métrica de centralidade pode variar, gerando medidas de centralidade diferentes, no entanto, a operação geral do DANCE independente de métrica específica. A métrica utilizada em [105] é o volume da 2_vizinhança.