M´etodo de Pesquisa em Padr˜ao - Pesquisa Multidimensional

4.3 Pesquisa Multidimensional

4.3.4 M´etodo de Pesquisa em Padr˜ao

Desde a sua introdu¸cão em 1961 [10], os métodos de pesquisa em padrão (do inglês

pattern search) formam um grupo autónomo de métodos de pesquisa directa, que mantêm a

sua popularidade devido `a sua simplicidade e ao facto de funcionarem bem com uma grande variedade de problemas ([15], [26]).

Torczon [27] produziu resultados relativos à convergência de métodos de pesquisa em padrão, apenas aplicáveis a certas classes em que os vértices do poliedro se mantêm sobre uma rede de pontos. Os resultados vão no sentido da convergência para um ponto de estacionaridade quando aplicado a problemas suaves de dimensão n. Lewis e Torczon em [14], utilizam o método de pesquisa em padrão para a resolu¸cão de problemas com restri¸cões com fun¸cões de penalidade e variáveis de folga.

O que distingue os métodos de pesquisa em padrão dos outros de pesquisa directa é que fazem a pesquisa ao longo de um padrão de pontos que é independente do problema a tratar. De uma maneira geral os métodos de pesquisa em padrão progridem, efectuando uma sequência de movimentos exploratórios em cada itera¸cão, antes de aceitar o novo ponto do processo iterativo. Estes movimentos podem ser vistos como uma tentativa de encontrar um novo ponto, xk+1 = xk+ sk, que origina uma redu¸cão no valor da fun¸cão objectivo. A

diferen¸ca básica entre métodos deste tipo, reside no padrão adoptado para os movimentos exploratórios, caracterizadas pelas direçcões de procura ξk utilizadas.

O outro aspecto que caracteriza este m´etodo ´e o comprimento do passo, δk, que influencia

directamente o deslocamento, sk (sk = δkξk), assim como a forma da sua actualiza¸c˜ao.

Genericamente, após a inicia¸cão com um valor predefinido, este mantém-se sempre que se verificar uma redu¸cão do valor da fun¸cão. Caso contrário, δk é reduzido, utilizando-se um

factor positivo, menor que a unidade. O valor de δk pode ser diferente para cada elemento

do vector se a ordem de grandeza entre os elementos de x assim o justificar.

O algoritmo genérico de pesquisa em padrão é então baseado nos passos a seguir descritos. Dada uma aproxima¸cão inicial à solu¸cão, x0, um conjunto inicial de direçcões de pesquisa

linearmente independentes, ξ1, ξ2, . . . , ξn, denotado por D0 (normalmente utilizam-se os vec-

4. M´etodos de Pesquisa Directa 40 Para k = 0, 1, 2, . . .

1. Determinar o passo sk = δkξk fazendo um movimento explorat´orio que depende de

(δk, Dk);

2. Se f (xk+ δkξk) < f (xk) ent˜ao xk+1 = xk+ δkξk;

Sen˜ao xk+1 = xk;

3. Actualizar os elementos δk e Dk.

O passo sk deve verificar as seguintes condi¸c˜oes:

i) ser um elemento do tipo δkDk;

ii) originar f (xk+ sk) < f (xk) ou ent˜ao sk = 0.

Na actualiza¸c˜ao de δk e Dk existe alguma flexibilidade. H´a casos em que D = Dk, para

todo o k e outros em que as altera¸c˜oes dependem do passo sk [27]. De qualquer forma as

condi¸cões impostas devem manter a estrutura da rede definida pelo padrão. A actualiza¸cão de δk deve manter a estrutura algébrica dos poss´ıveis iterandos. A estratégia mais comum

consiste em reduzir para metade quando o passo não é aceite e manter ou duplicar o valor quando o passo é bem sucedido. Para uma explica¸cão mais detalhada aconselham-se as referências [15] e [27].

Para estabelecer a convergência, Torczon [27] impõe restri¸cões adicionais no conjunto das direçcões de pesquisa, nos procedimentos para o cálculo dos movimento exploratório e para a actualiza¸cão do comprimento do passo, fora já do contexto deste trabalho.

Algoritmo do M´etodo de Pesquisa em Padr˜ao

O algoritmo de pesquisa em padrão utilizado neste trabalho é uma adapta¸cão de algu- mas das suas variantes, nomeadamente nas direçcões de procura escolhidas, ξk, tendo sido

adoptadas as dos eixos coordenados.

Nestas condi¸c˜oes, partindo de um ponto dado ou previamente calculado, xa, determina-

se um novo ponto, ao longo da primeira direçcão de pesquisa, no sentido positivo, a uma distância proporcional à componente de xa e ao comprimento do passo δk. Se se verificar

4. Métodos de Pesquisa Directa 41 uma redu¸cão no valor da fun¸cão, o novo ponto é aceite e determina-se um novo ponto a uma distância de xa dupla da anterior no mesmo sentido. Se não existir uma melhoria (redu¸cão)

do valor da fun¸cão, neste último ponto, aceita-se o anterior. Se porventura nem mesmo esse originar uma melhor aproxima¸cão ao m´ınimo, repete-se a pesquisa no sentido oposto. O último ponto aceite, que deverá ter o menor valor da fun¸cão objectivo, será o ponto de partida para a pesquisa ao longo da próxima direçcão, repetindo-se o processo anteriormente descrito, até explorar as n direçcões.

Antes de se descrever este algoritmo pormenorizadamente falta mencionar um outro pro- cedimento também implementado, utilizado originalmente no método de pesquisa de Hooke e Jeeves, descrito por exemplo em [27], e que procura explorar a informa¸cão obtida durante as itera¸cões anteriores. Se na itera¸cão anterior existiu uma redu¸cão no valor da fun¸cão objectivo, então a itera¸cão actual deve iniciar a sua pesquisa direccional não imediatamente pelo padrão adoptado, como antes foi descrito, mas pela direçcão ξa= xk− xk−1 que é consi-

derada uma direçcão promissora. Assim, novos pontos serão calculados e o respectivo valor da fun¸cão objectivo analisado, podendo assim ser obtido algum progresso logo à partida. É claro que esta implementa¸cão só faz sentido depois de já ter sido realizada alguma itera¸cão com sucesso, isto é, uma itera¸cão onde se verifique uma redu¸cão na fun¸cão objectivo, com

xk 6= xk−1.

Para melhor compreensão do método de Pesquisa em Padrão é apresentado o respectivo algoritmo em A.5. Na Figura 4.10 é representado a evolu¸cão do referido algoritmo, utilizando- se o problema já ilustrado na Figura 4.8.

4. Métodos de Pesquisa Directa 42 O processo terminará, tal como os métodos anteriores, quando se atingir um número máximo de itera¸cões ou outro critério de paragem a adoptar.

Cap´ıtulo 5

Sugest˜ao de Apresenta¸c˜ao do Tema

”Programa¸c˜ao N˜ao Linear No Ensino

Secund´ario”

Neste cap´ıtulo é feita uma sugestão de apresenta¸cão do tema da

Programa¸c˜ao N˜ao Linear para um poss´ıvel manual escolar para

alunos do Ensino Secundário. Come¸ca-se por introduzir o tema e os conceitos com ele relacionados, passando depois para a explica¸cão dos métodos da Seçcão Dourada, de DSC e de Nelder- Mead. É também realizada a exemplifica¸cão da sua aplica¸cão a diferentes fun¸cões e apresentada uma ficha de trabalho para teste de conhecimentos adquiridos.

5.1 Introdu¸cão à Programa¸cão Não Linear

A programa¸cão linear tem por objectivo principal, determinar os máximos ou os m´ınimos de um problema linear. No seguimento do mesmo objectivo, a Programa¸cão Não Linear é um ramo da Matemática que estuda formas de resolver problemas de optimiza¸cão cujas expressões matemáticas envolvidas são não lineares.

A programa¸cão linear e não linear fazem parte de um campo vasto da Matemática cuja importância tem crescido nos últimos anos e que se pode classificar com o nome abrangente de ”optimiza¸cão”.

Tal como a programa¸cão linear, também a Programa¸cão Não Linear é um ”instru- mento”matemático que permite encontrar a melhor solu¸cão para um certo tipo de problemas. Do ponto de vista da sua utiliza¸cão, podemos dizer que se refere a um conjunto de métodos e algoritmos cuja aplica¸cão é tão vasta e diversificada, como por exemplo, de sistemas económicos, industriais, militares, etc., cuja estrutura possa ser definida matema- ticamente. A palavra programa¸cão, pressupõe o planeamento de actividades ou tarefas e o

5. Sugestão de Apresenta¸cão do Tema ”Programa¸cão Não Linear No Ensino

Secund´ario” 44

adjectivo linear, associado à palavra não, refere-se à legitimidade da tradu¸cão das condi¸cões ou rela¸cões entre as variáveis do problema em equa¸cões, inequa¸cões e outras expressões não lineares.

Ao conceber um modelo matem´atico n˜ao linear para um problema devemos considerar as seguintes fases:

- Verifica¸cão, no contexto do problema, da legitimidade do uso de inequa¸cões ou equa¸cões não lineares.

- Identifica¸cão das variáveis de decisão. - Identifica¸cão da fun¸cão objectivo. - Identifica¸cão das restri¸cões.

- Formula¸c˜ao matem´atica do problema.

Depois de se ter obtido a formula¸cão matemática, é então poss´ıvel resolver o problema de optimiza¸cão. A diversidade de variáveis que na maioria das vezes envolvem associados a uma grande quantidade de cálculos envolvidos, fazem com que o computador seja um recurso fundamental para a maioria dos problemas.

Face ao n´ıvel de ensino onde se pretende inserir o tema, vamos limitar o campo de estudo a problemas n˜ao lineares sem restri¸c˜oes.

No documento Programação não Linear no Ensino Secundário (páginas 51-56)