Optimiza¸c˜ao N˜ao Linear - Programação não Linear no Ensino Secundário

Tendo em conta a forma geral apresentada em 3.1, se alguma das fun¸cões envolvidas no problema for não linear nas variáveis, então estaremos perante um problema conhecido por

problema de optimiza¸c˜ao n˜ao linear.

Restri¸cões em parâmetros ou nas variáveis independentes, podem fazer com que estas assumam apenas um número finito de valores, como por exemplo em problemas de optimiza¸cão discreta. Outras caracter´ısticas e propriedades dos problemas de optimiza¸cão, como por exemplo a sua dimensão, vão influenciar a respectiva resolu¸cão do problema Neste último caso as dificuldades surgem quando a dimensão do problema ultrapassa a capacidade do sistema de cálculo, ou seja, a quantidade de dados e parâmetros é tão extensa que a memória de funcionamento do sistema de cálculo poderá ser insuficiente.

De um modo geral, um aumento do número de variáveis em problemas semelhantes, poderá aumentar significativamente a complexidade e dificuldade.

Outro aspecto a ter em conta é a forma das restri¸cões, forma esta que terá uma enorme influência na complexidade do problema de optimiza¸cão. Normalmente existe um aumento muito pequeno, na dificuldade de obten¸cão de solu¸cão, quando se passa de um problema sem restri¸cões para outro com restri¸cões do tipo limites simples nas variáveis. Da mesma forma, a generalidade dos problemas com restri¸cões lineares nas variáveis são mais dif´ıceis de resolver do que aqueles que só possuem restri¸cões do tipo limites simples, e a presen¸ca de restri¸cões não lineares aumenta a dificuldade de obten¸cão da solu¸cão.

A diferenciabilidade é, provavelmente, a propriedade mais importante de um problema no que diz respeito à facilidade de optimiza¸cão, importância que se revela na aplica¸cão de algoritmos baseados na informa¸cão relativa ao valor da fun¸cão e das suas derivadas,

3. Problemas de Optimiza¸cão Não Lineares 21 permitindo deduzir o comportamento da mesma. Se as fun¸cões do problema são duas vezes continuamente diferenciáveis (o que admitiremos salvo excep¸cões devidamente indicadas), aumenta a eficiência de um algoritmo para localizar a solu¸cão, quando comparada com os casos em que as fun¸cões de problemas são não diferenciáveis.

A maioria do software de optimiza¸cão é, desta forma, concebido para resolver problemas cujas fun¸cões sejam continuamente diferenciáveis, podendo ser seleccionados diferentes algoritmos, dependendo da informa¸cão dispon´ıvel relativa às derivadas ou do custo relativo de cálculo de certas quantidade, por exemplo. Os algoritmos tendem a ficar mais eficiente e robustos, quanto mais informa¸cão lhes é fornecida.

As condi¸cões de optimalidade são outra razão pelo interesse na diferenciabilidade de um problema de optimiza¸cão. Para se poder verificar se um determinado ponto é óptimo, as defini¸cões 3.2 e 3.3 de minimizantes locais forte e fracos não são satisfatórias, pois seria ne- cessário avaliar a fun¸cão objectivo num número infinito de poss´ıveis pontos, numa vizinhan¸ca de qualquer solu¸cão proposta. Ainda que esse processo fosse levado a cabo por poderosas máquinas digitais, apenas uma finita quantidade de pontos seria considerada e com esfor¸co computacional totalmente inaceitável. Todavia, se a fun¸cão objectivo e as restri¸cões do problema tiverem algumas propriedades de suavidade, é poss´ıvel utilizar outro critério, mais prático, de condi¸cões que caracterizam um m´ınimo, nomeadamente utilizando as condi¸cões (3.6) e (3.7) ou (3.15) e (3.16) ou equivalentes.

Rematando o que se tem vindo a descrever, os problemas de optimiza¸cão caracterizam-se pelo tipo de fun¸cão objectivo e pelas caracter´ısticas das restri¸cões que lhe estão associadas, podendo estas ser do tipo linear ou não linear e, cada uma delas ainda ser subdividida em restri¸cões de igualdade e restri¸cões de desigualdade. Uma vez que este trabalho está a ser desenvolvido com vista a apresentar um projecto de introdu¸cão da programa¸cão não linear no ensino secundário, serão apenas abordados com mais profundidade os problemas de optimiza¸cão não linear sem restri¸cões, recorrendo a métodos de pesquisa directa, atendendo ao grau de ensino a que se destina e aos conhecimentos cient´ıficos já adquiridos pelos estudantes.

Cap´ıtulo 4

M´etodos de Pesquisa Directa

Neste cap´ıtulo são apresentados alguns Métodos de Pesquisa Directa e feita a sua caracteriza¸cão, descri¸cão e condi¸cões de aplica¸cão a determinadas situa¸cões. Para o caso de fun¸cões unidimensionais são distinguidos o método da Seçcão Dourada e o método de Davies, Swann e Campey (DSC). Para o caso de fun¸cões multidimensionais distinguem-se, neste trabalho os métodos de Nelder-Mead, de Powell e de Pesquisa em Padrão. Como meio de facilitar a compreensão do funcionamento dos diferentes métodos, serão apresentados os algoritmos bem como a sua representa¸cão por meio de fluxogramas.

4.1 Introdu¸c˜ao

Para muitas fun¸cões que resultam de aplica¸cões da optimiza¸cão, industriais, económicas, cient´ıficas e outras, é muito dif´ıcil, senão mesmo imposs´ıvel calcular analiticamente as derivadas. Em muitas situa¸cões da via real surgem problemas cujo processo de optimiza¸cão, já de si complicado, possui limita¸cões, nomeadamente, a sua formula¸cão matemática demasiado complexa, ou a falta dela. São exemplos desta última situa¸cão, os casos em que os dados do problema são fornecidos por uma tabela de valores ou estão relacionados com a medi¸cão de alguma grandeza f´ısica, não havendo nenhum modelo matemático. Ainda que a fun¸cão que se pretende optimizar seja definida por uma fórmula matemática, as suas derivadas podem ser desconhecidas, ou mesmo inexistentes, em todo o dom´ınio de interesse ou em pontos chave desse dom´ınio, situa¸cões estas que ocorrem muito mais frequentemente em problemas práticos de optimiza¸cão do que se possa pensar. Torna-se, desta forma, essencial utilizar métodos de optimiza¸cão em que o cálculo das derivadas ou mesmo a verifica¸cão da sua existência não seja necessário.

Para problemas de minimiza¸cão não lineares, existem duas grandes classes de métodos: os métodos dos gradientes e os métodos de pesquisa directa. Normalmente aplicáveis a fun¸cões

4. Métodos de Pesquisa Directa 23 cont´ınuas, os primeiros aproximam a fun¸cão f por outra fun¸cão mais simples, que será pos- teriormente analisada para se determinar o seu m´ınimo. As fun¸cões de aproxima¸cão são, em geral, polinomiais de grau baixo. Os métodos de procura directa partem de um intervalo que contém o m´ınimo ou de uma aproxima¸cão inicial e têm como objectivo a sua determina¸cão, calculando e comparando os valores de f em diversos pontos. A principal particularidade que distingue estes métodos dos restantes, reside no facto de estes poderem ser aplicados à resolu¸cão de qualquer problema, desde que a fun¸cão objectivo seja unimodal num intervalo que contém o m´ınimo. Esta diferen¸ca básica pode parecer pouco importante mas por vezes é limitativa. Imagine-se o caso em que o problema possui uma fun¸cão objectivo descont´ınua, com derivadas descont´ınuas, ou mesmo inexistentes, ou ainda, o caso em que a expressão da fun¸cão é demasiado complexa e o cálculo das derivadas parciais está fora de questão. O caso extremo é aquele em que a expressão da fun¸cão objectivo não é conhecida, sendo os seus valores obtidos pela medi¸cão de alguma grandeza f´ısica. Por exemplo o comprimento de uma pe¸ca produzida por uma máquina, que vê o seu produto influenciado por diversos factores variáveis, é uma quantidade que não é poss´ıvel derivar pela inexistência do modelo matemático.

As técnicas mais utilizadas na optimiza¸cão de fun¸cões sem restri¸cões nas variáveis, tendo em conta apenas os valores da fun¸cão objectivo, sem estimar nem utilizar os valores das suas derivadas, podem ser, de uma maneira geral, agrupadas em três principais classes:

- aquelas que pesquisam ao longo de direçcões e deslocamentos pré-definidos;

- aquelas que utilizam uma pesquisa unidimensional ao longo de direçcões pré-definidas; - aquelas que utilizam um conjunto determinado de pontos, em cada itera¸cão.

Em geral nos métodos de pesquisa directa, os iterandos são gerados, tendo como base apenas valores da fun¸cão objectivo. Nestes métodos não se usam os valores da fun¸cão para construir aproxima¸cões ao vector dos gradientes nem sequer se usa o gradiente como direçcão de pesquisa dos iterandos. Existem dois grandes grupos nos métodos de pesquisa directa: os que modificam as direçcões de pesquisa no final de cada itera¸cão e os que usam direçcões fixas ao longo do processo iterativo. São exemplos dos primeiros o método de Nelder-Mead [18] e o de Powell [20] e da segunda classe, os mais conhecidos são o método de Hooke e Jeeves[10] e o de pesquisa em padrão.

4. M´etodos de Pesquisa Directa 24 Comecemos por analisar o problema com a seguinte forma

minimizar

x∈IRn f (x) (4.1)

com f uma fun¸c˜ao gen´erica, da qual apenas se assume a continuidade numa vizinhan¸ca do minimizante, x∗_.

No documento Programação não Linear no Ensino Secundário (páginas 32-36)