Martingais locais

Reiteramos aqui que estamos trabalhando no espa¸co filtrado de probabilidade (Ω,F,{Ft}_t≥0,P) satisfazendo as condi¸c˜oes usuais. Come¸caremos com uma defini¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 2.43. Dizemos que um tempo de parada τ reduz um processo estoc´astico X quando X^τ1[τ >0] for um martingal adaptado a{Ft∧τ}_t≥0.

Antes de come¸car a estudar os martingais locais, ser´a ´util estabelecer dois resultados.

Proposi¸c˜ao 2.44. SejamX um processo estoc´astico adaptado e cont´ınuo `a direita eτ um tempo de parada. Defina Y .

=X^τ ou Y .

=X^τ1[τ >0]. Ent˜aoY ´e um martingal com respeito a{Ft∧τ}_t≥0 se, e somente se, Y for um martingal com respeito a {Ft}t≥0.

Demonstra¸c˜ao. Suponha que Y seja um martingal com respeito `a {Ft}_t≥0. Note que {Ft∧τ}_t≥0 ´e tal que Ft∧τ ⊆ Ft, para todo t ≥ 0. Afirmamos que Y martingal com respeito a qualquer outra filtra¸c˜ao {Gt}_t≥0 que satisfa¸ca Gt ⊆Ft, para todo t ≥ 0 e tal que Y seja adaptado a {Gt}_t≥0. De fato, fixe 0≤s < tarbitr´arios. Temos queE(Y_t||Fs) =Y_s´eGs-mensur´avel e integr´avel. Ent˜ao, pela defini¸c˜ao de esperan¸ca condicional, E(Y_t||Gs) =E(Y_t||Fs) =Y_s. Como quer´ıamos.

∗ Veja o teorema2.27na p´agina18.

Reciprocamente, suponha queY seja um martingal com respeito a{Ft∧τ}t≥0. Fixado 0≤s≤t, sabemos^∗ que mostrar queE(Y_t||Fs) =Y_s´e equivalente a mostrar queE Y_s1[A]

=E Y_t1[A]

para todo A∈Fs. Note que por hip´otese, para todo A∈Fs∧τ, vale que E Ys1[A]

=E Yt1[A]

. Agora sejaA∈Fs arbitr´ario. Considere a decomposi¸c˜ao A= (A∩[τ ≤s])∪(A∩[τ > s]) Como

E Y_s1[A]

=E Y_s1[A∩[τ≤s]]

+E Y_s1[A∩[τ >s]]

e

E Y_t1[A]

=E Y_t1[A∩[τ≤s]]

+E Y_t1[A∩[τ >s]]

basta mostrar que

E Y_s1[A∩[τ≤s]]

=E Y_t1[A∩[τ≤s]]

(2.5)

e

E Ys1[A∩[τ >s]]

=E Yt1[A∩[τ >s]]

. (2.6)

Para mostrar (2.5), note que se ω ∈A∩[τ ≤s], temos queXt∧τ =X_τ =Xs∧τ e portanto Y_t =Y_s, donde segue (2.5). Para mostrar (2.5), basta mostrar que A∩[τ > s]∈Fs∧τ e com isso provamos a proposi¸c˜ao. Para mostrar que A∩[τ > s]∈Fs∧τ, temos, pela defini¸c˜ao deFs∧τ que mostrar que para cada r≥0,

N .

=A∩[τ > s]∩[s∧τ ≤r]∈Fr.

De fato, temos que N = A ∩ [τ > s]∩ [s ≤ r]. Caso s > r, ent˜ao N = ∅ ∈ Fr. Caso s ≤ r, ent˜ao [s ≤ r] = Ω e N = A ∩ [s < τ]. Agora, seja h ≥ 0, arbitr´ario. Temos que [s < τ]∩[s∧τ < h] = [s < τ]∩[s < h]. Mas

[s < τ]∩[s < h] = [

q∈Q∩[0,h]

[s < q < τ]∈Fh

e portanto [s < τ]∈Fs∧τ ⊆Fs. Assim,N =A∩[s < τ]∈Fse comos≤r, resulta queN ∈Fr. Proposi¸c˜ao 2.45. Sejaτ um tempo de parada. Se X^τ ´e um martingal ent˜ao τ reduzX. Reciproca-mente, se X₀ ´e integr´avel e τ reduz X, ent˜ao X^τ ´e um martingal.

Demonstra¸c˜ao. SejaX^τ ´e um martingal. Devemos provar queX^τ1[τ >0]tamb´em ´e. De fato,X^τ1[τ >0]

´

e integr´avel (pois X^τ ´e). Agora, fixe 0 ≤ s < t. Como 1[τ >0] ´e limitado e Fs-mensur´avel,

∗ Veja o teoremaC.8na p´agina159.

E X_t^τ1[τ >0]||Fs

=1[τ >0]E(X_t^τ||Fs) =X_s^τ1[τ >0] como quer´ıamos.

Reciprocamente, temos queX_t^τ =X_t^τ1[τ >0]+X₀1[τ=0].Como, por hip´otese,X^τ1[τ >0]´e martingal e X01[τ=0]´e integr´avel, segue queX^τ ´e martingal.

Defini¸c˜ao 2.46. Seja X um processo estoc´astico adaptado e cont´ınuo `a direita. Dizemos que X ´e um martingal local quando existir uma sequˆencia{τ_n}_n≥1 de tempos de parada, tal que

i) τn↑ ∞, P-q.s.

ii) Para cadan≥1, τn reduz X, isto ´e, X^τn1[τn>0] ´e um martingal com respeito a {Ft∧τ}_t≥0. Nessas condi¸c˜oes, dizemos que {τ_n}_n≥1 ´e uma sequˆencia redutorapara X.

Observa¸c˜oes: Em vista da proposi¸c˜ao 2.44, a condi¸c˜ao ii) da defini¸c˜ao anterior ´e equivalente a X^τn1[τn>0] ser um martingal com respeito a {Ft}t≥0 e em vista da proposi¸c˜ao 2.45, se X0 for integr´avel, ent˜aoτ reduz Xse e somente seX^τ for um martingal. Assim, temos a seguinte defini¸c˜ao alternativa de martingal local.

Defini¸c˜ao 2.47. Seja X um processo estoc´astico adaptado e cont´ınuo `a direita tal que X0 seja integr´avel. Dizemos queX ´e um martingal local quando existir uma sequˆencia {τ_n}_n≥1 de tempos de parada, tal que

i) τ_n↑ ∞, P-q.s.

ii) X^τn ´e um martingal com respeito a {Ft}t≥0 para cada n≥1.

Observamos que todo martingal ´e um martingal local. Trataremos da rec´ıproca dessa afirma¸c˜ao adiante.

O pr´oximo resultado ser´a ´util na demonstra¸c˜ao de algumas propriedades dos martingais locais que vamos apresentar.

Lema 2.48. Sejam X um processo estoc´astico adaptado e cont´ınuo `a direita e σ ≤ τ tempos de parada. Ent˜ao, se τ reduzX,σ tamb´em reduz X.

Demonstra¸c˜ao. SejaMt .

=Xt∧τ1[τ >0]. Temos queM ´e um martingal e al´em disso, como [σ >0]⊆ [τ >0] podemos escrever 1[σ>0]=1[σ>0]1[τ >0]. Agora,

Xt∧σ1[σ>0]=Xt∧σ1[τ >0]1[σ>0]

=X_t∧σ^τ 1[τ >0]1[σ>0]

=M_t^σ1[σ>0].

Pelo corol´ario 2.38,M^σ ´e martingal e portanto, como a demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao 2.45, segue que M_t^σ1[σ>0] tamb´em ´e martingal e resulta que σ reduz X.

Proposi¸c˜ao 2.49. Sejam X um processo estoc´astico adaptado e cont´ınuo `a direita, σ ≤ τ tempos de parada e ξ uma vari´avel aleat´oria F0-mensur´avel. Ent˜ao

i) Soma de dois martingais locais ´e martingal local.

ii) ξX ´e martingal local.

iii) Um martingal local parado ´e um martingal local.

Demonstra¸c˜ao. i) Sejam {σ_n}_n≥1 e {τ_n}_n≥1 sequˆencias redutoras para M e N, respectivamente.

Agora, defina ρ_n=σ_n∧n. Temos pela proposi¸c˜ao2.16 queρ_n´e um tempo de parada. Obviamente {ρ_n}_n≥1 ´e crescente e limn→∞ρn = ∞ q.s. Al´em disso, (M+N)^ρn = M^ρn +N^ρn. Pelo lema anterior, temos queρ_n reduz Me N, ou seja,M^ρn1[ρn>0] e N^ρn1[ρn>0] s˜ao martingais e portanto a soma tamb´em ´e^∗.

ii) Seja{τ_n}_n≥1 uma sequˆencia redutora paraX e defina, para cadan≥1,

αn=







+∞ se|ξ| ≤n, 0 se|ξ|> n.

Note queα_n´e um tempo de parada. De fato, sejat≥0 arbitr´ario. Comoτ ´eF0-mensur´avel, resulta que {ω ∈Ω :αn(ω)≤t} ={ω∈Ω :|ξ(ω)|> n} ∈ F0 ⊆ Ft. Pela proposi¸c˜ao 2.16, ρn = τn∧αn ´e um tempo de parada, e obviamenteρ_n% ∞q.s.Agora,

(ξX)^ρn1[ρn>0]=1[|ξ|≤n]ξX^ρn1[ρn>0].

∗ Veja a proposi¸c˜aoB.9na p´agina156.

Pelo lema anterior,X^ρn1[ρn>0]´e um martingal e como1[|ξ|≤n]ξ´e uma vari´avel aleat´oriaF0-mensur´avel e limitada, pelo teorema C.10na p´agina160, segue que para 0< s≤t,

E (ξX)^ρn1[ρn>0](t)||Fs

=1[|ξ|≤n]ξE X^ρn1[ρn>0](t)||Fs

=1[|ξ|≤n]ξX^ρn1[ρ>0](s), ou seja, {ρ_n}_n≥1 ´e uma sequˆencia redutora paraξX.

iii) Seja{τ_n}_n≥1 uma sequˆencia redutora paraX. Ent˜ao (X^τ)^τn1[τn>0]= X^τn1[τn>0]

τ

.

Mas, pelo corol´ario 2.38, resulta que (X^τ)^τn1[τn>0] ´e um martingal.

Proposi¸c˜ao 2.50. Seja X um martingal local. Ent˜ao existe uma sequˆencia redutora {τ_n}_n≥1 para X tal queτ_n↑ ∞ para cada ω∈Ω eX^τn1[τn>0] ´e um martingal uniformemente integr´avel para cada n≥1.

Demonstra¸c˜ao. Seja{ρ_n}_n≥1 uma sequˆencia redutora para Xe sejaN ⊆Ω um conjunto de medida nula tal que ρ_n(ω) ↑ ∞ para ω ∈N^c. Defina σ_n .

=n1[N]+ρ_n1[N^c]. Temos que σ_n ↑ ∞ para todo ω ∈ Ω e σ_n = ρ_n, P-q.s. Como a filtra¸c˜ao {Ft} ´e aumentada, temos que σ_n tamb´em ´e tempo de parada. Assim, paran≥1,X_t^ρn1[ρn>0] =X_t^σn1[σn>0], P-q.s.para cadat≥0. Segue queX^σn1[σn>0]

´

e um martingal, ou seja, {σ_n}_n≥1 reduz X. Agora, defina τ_n .

= σ_n∧n. Temos que τ_n ↑ ∞ para todo ω ∈ Ω. Pelo lema 2.48 temos que {τ_n}_n≥1 ´e redutora para X. Agora fixe n ≥ 1 e defina Y .

=X^σn1[σn>0]. Note que Y ´e martingal. Como martingal parado tamb´em ´e maringal,{Y_t∧n}_t≥0

´

e um martingal e temos que Yt∧n = E(Y_n||Ft) para todo t ≥ 0. Pelo teorema de convergˆencia de Doob, segue que {Y_t∧n}_t≥0 ´e um martingal uniformemente integr´avel e portanto observando que

X_t^τn1[τn>0]=X_t∧n^σn 1[τn>0]

=X_t∧n^σn 1[σn>0]1[τn>0]

=Yt∧n1[τn>0]

conclu´ımos que

X_t^τn1[τn>0] t≥0 ´e martingal uniformemente integr´avel, como quer´ıamos.

Defini¸c˜ao 2.51. Dizemos que um martingal M ´e uniformemente limitado quando existir uma

con-stante positiva K tal que |M_t| ≤K, P-q.s. para todot≥0 .

O pr´oximo resultado mostra que para martingais locais cont´ınuos ´e possivel selecionar uma sequˆencia redutora de forma que o processo truncado seja um martingal uniformemente limitado.

Proposi¸c˜ao 2.52. Sejam X um martingal local cont´ınuo, {ρ_n}_n≥1 uma sequˆencia redutora para X e defina τ_n = inf{t. ≥ 0 :|X_t| ≥ n}. Ent˜ao {σ_n}_n≥1, definida para cada n ≥1 por σ_n .

= ρ_n∧τ_n ´e uma sequˆencia redutora para X e satisfaz

X^σn(t)1[σn>0]



≤n, (2.7)

ou seja,

X^σn1[σn>0] t ´e uniformemente limitado e em particular uniformemente integr´avel.

Demonstra¸c˜ao. Pela proposi¸c˜ao 2.15, τn ´e um tempo de parada para todo n≥1. Assim {σ_n}_n≥1 ´e uma sequˆencia de tempos de parada tal que σn% ∞, q.s.A continuidade `a esquerda deX garante que|X^σn(t)| ≤nem [τ_n>0] e portanto em [σ_n>0]⊆[τ_n>0]. Assim (2.7) vale e o resultado segue pelo lema2.48.

Nem todo martingal local ´e um martingal. Explicitaremos essa afirma¸c˜ao atrav´es de um exemplo.

Exemplo 2.53. Seja (Ω,F,P) = [0,1],B[0,1], λ

ondeλ´e a medida de Lebesgue restrita ao intervalo [0,1] e considere a filtra¸c˜ao Ft =F para todo t ≥0. Considere tamb´em ξ uma vari´avel aleat´oria n˜ao integravel. Ent˜ao X(t) =ξ obviamente n˜ao ´e martingal, mas ´e um martingal local. De fato,

τn=







+∞ se|X(0)| ≤n, 0 se|X(0)|> n.

´

e uma sequˆencia localizadora paraX.

O pr´oximo objetivo ´e achar uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que um martingal local seja um martingal.

Defini¸c˜ao 2.54. Para cada a > 0, seja T_a a classe de todos os tempos de parada τ : Ω → [0, a].

Dizemos que um processo adaptado e cont´ınuo `a direita ´e da classeDL(Dirichlet - Doob) se a fam´ılia de vari´aveis aleat´orias {X_τ}_τ∈T

a for uniformemente integr´avel para cada a >0.

Proposi¸c˜ao 2.55. Um martingal local ´e um martingal se, e somente se, for da classe DL.

Demonstra¸c˜ao. SejaX um martingal (cont´ınuo `a direita) e τ ∈ T_a um tempo de parada arbitr´ario.

Comoτ ≤a, ent˜ao pelo teorema 2.36

X(τ) =E(X(a)||Fτ),

e pelo lema 2.33, segue que a fam´ılia {X(τ) :τ ∈ T_a}´e uniformemente integr´avel.

Reciprocamente, seja X um martingal local da classe DL e{τ_n}_n≥1 uma sequˆencia localizadora paraX. Para cadan≥1, definaYn(t) .

=X^τn(t)1[τn>0]. Como para cadan≥1,Yn´e um martingal, temos, para 0≤s < t,

Yn(s) =E(Yn(t)||Fs).

Agora,Y_n(t)−→^q.s X(t) eY_n(s)−→^q.s X(s) para quase todoω ∈Ω. Al´em disso,{Y_n(t)}_n e{Y_n(s)}_n s˜ao fam´ılias uniformemente integr´aveis e portanto^∗ vale tamb´em que Yn(t) ^L

1

−→ X(t) e Yn(s) ^L

1

−→ X(s).

Resulta pelo teoremaC.15que X(s) = lim

n→∞Yn(s) = lim

n→∞E(Yn(t)||Fs) =E(X(t)||Fs), ou seja, X´e um martingal.

Corol´ario 2.56. Seja X um martingal local. Se E sup_t≤a|X_t|

< ∞, para todo a > 0 ou X for uniformemente limitado, ent˜ao X ´e um martingal.

Demonstra¸c˜ao. De fato, como

0≤ |X(τ)| ≤sup

t≤a

|X(t)| ∀τ ∈ T_a

e como sup_t≤a|X(t)|´e integr´avel, resulta^† que X∈DL.

Provaremos um resultado agora que ser´a ´util no apˆendiceE.

Proposi¸c˜ao 2.57. Seja X um martingal local n˜ao negativo. Ent˜ao X ´e um supermartingal. Al´em disso, X ´e um martingal se, e somente se, tiver esperan¸ca constante.

∗ Veja o corol´arioB.7na p´agina155. ^† Veja a proposi¸c˜aoB.9na p´agina156, itemiv.

Demonstra¸c˜ao. Como o processo ´e n˜ao negativo, E X_t⁻

= 0 e portanto, pela defini¸c˜ao 2.25, basta provar que para 0≤s≤t, E(X_t||Fs) ≤X_s. Para isso, considere {τ_n}_n≥1, uma sequˆencia redutora de tempos de parada paraX. Temos queτn↑ ∞, P-q.s.e para cadan≥1,X^τ1[τ >0]´e um martingal.

Agora, fixe n≥1. Temos que

E Xt∧τn1[τn>0]||Fs

=Xs∧τn1[τn>0]

Fazendo n↑ ∞ e usando o lema de Fatou para esperan¸ca condicional^∗ temos que E(X_t||Fs) =E

lim inf

n Xt∧τn1[τn>0]||Fs

≤lim inf

n E Xt∧τn1[τn>0]||Fs

= lim inf

n Xs∧τn1[τn>0]

=Xs.

Isso mostra que X´e um supermartingal. Agora, seX for um martingal, segue que tem m´edia con-stante. Recipocramente, suponha queE(Xt) ´e constante para t≥0. Pela propriedade supermartin-gal de X, temos que E(Xt||Fs)≤Xs, P-q.s.para 0≤s≤t. Suponha por contradi¸c˜ao que X n˜ao fosse um martingal, ent˜ao para algum 0≤s≤tter´ıamos que P (E(X_t||Fs)< X_s)>0. Assim, vamos

definir A .

= {ω∈Ω :E(Xt||Fs)< Xs}, B .

= {ω∈Ω :E(Xt||Fs) =Xs} e C .

={ω∈Ω :E(Xt||Fs)> Xs} (note que pelo fato de X ser supermartingal C tem medida nula).

Temos que

E(Xt) =E(E(Xt||Fs))

= Z

A

E(X_t||Fs) dP + Z

B

E(X_t||Fs) dP + Z

C

E(X_t||Fs) dP

<

Z

Ω

X_sdP

=E(X_s).

Mas isso ´e absurdo pois por hip´oteseX tinha esperan¸ca constante.

∗ Veja o teoremaC.16na p´agina164.

Varia¸ c˜ ao quadr´ atica

[Upon proving that the best betting strategy for

“Gambler’s Ruin” was to bet all on the first trial.]

It is true that a man who does this is a fool. I have only proved that a man who does anything else is an even bigger fool.

Julian Lowell Coolidge

No que se segue, consideraremos que estamos sob as condi¸c˜oes usuais^∗. Seja Mum martingal. A menos queMseja constante, M² n˜ao ser´a um martingal. Um dos objetivos deste cap´ıtulo ´e mostrar que de modo geral M² difere de um martingal por ´unico processo crescente, cont´ınuo e nulo na origem. Este processo ser´a chamado devaria¸c˜ao quadr´aticade M.

3.1 Resultados preliminares

Defini¸c˜ao 3.1. Dizemos que um martingal M´e dequadrado integr´avelquandoE M²(t)

<∞, isto

´

e,M(t)∈L², para todo t≥0.

Observamos que M² ´e um submartingal. De fato, em primeiro lugar, como M ´e adaptado e x 7→ x² ´e cont´ınua (e portanto, Borel mensur´avel) segue que M² tamb´em ´e. Agora, seja s ≤ t.

Temos pela desigualdade de Jensen^† que

M²(s) = (E(M(t)||Fs))² ≤E M²(t)||Fs

.

∗ Veja a defini¸c˜ao2.24na p´agina17. ^† Veja o teoremaC.13na p´agina162.

33

Exemplo 3.2. O movimento Browniano padr˜ao ´e um martingal de quadrado integr´avel. De fato, sabemos^∗ que o processo ´e um martingal. Agora, comoB_t∼N(0, t),E |B_t|²

=tpara todot≥0.

A maioria dos resultados a seguir dependem da pr´oxima proposi¸c˜ao que ´e v´alida para martingais de quadrado integr´avel.

Proposi¸c˜ao 3.3. Seja M um martingal de quadrado integr´avel. Ent˜ao E

(Mt−Ms)²||Fa

=E M_t²−M_s²||Fa

, 0≤a≤s≤t Demonstra¸c˜ao. Temos que

E M_t²−2MtMs+M_s²||Fa

=E M_t²−M_s²−2MtMs+ 2M_s²||Fa

=E M_t²−M_s²||Fa

−2E MtMs−M_s²||Fa

=E M_t²−M_s²||Fa

−2E(Ms(Mt−Ms)||Fa)

=E M_t²−M_s²||Fa

−2E(E(M_s(M_t−M_s)||Fs)||Fa).

(3.1)

Na ´ultima igualdade usamos a propriedade da torre^†da esperan¸ca condicional. Agora, comoM_s∈Fs, Mt−Ms ∈ L¹ e pela desigualdade de H¨older, Ms(Mt −Ms) ∈ L¹, estamos sob as hip´oteses do teorema C.11e portanto, comoM´e martingal,

E(Ms(Mt−Ms)||Fs) =MsE(Mt−Ms||Fs) = 0.

Desta ´ultima igualdade e de (3.1), provamos o que quer´ıamos.

Lembremos agora do conceito de fun¸c˜oes de varia¸c˜ao limitada.

Defini¸c˜ao 3.4. Seja P: 0 =t0 < t1 < . . . < tn=t uma parti¸c˜ao do intervalo [0, t]. Definimos |P|, o m´odulo da parti¸c˜aoP como o sup_i|t_i+1−t_i|. Agora, sejaA:R+→R, definimos

S_t^(P,A) .

=X

i

|A(t_i+1)−A(ti)|.

∗ Veja o exemplo2.26na p´agina18. ^† Veja o teoremaC.11na p´agina161.

Dizemos que A´e de varia¸c˜ao finita quando para cada t≥0, S_t^(A) .

= sup

P

S_t^(P,A)<∞.

Chamamos a fun¸c˜ao t 7→S^(A)_t de varia¸c˜ao total de A em [0, t]. Quando limt→∞S_t^(A) <∞, dizemos queA´e devaria¸c˜ao limitada. Usaremos as nota¸c˜oes mais curtasS_t^(P) eSt quandoAestiver impl´ıcito no contexto.

Observamos que a varia¸c˜ao total ´e positiva, crescente e nula em t = 0, fun¸c˜oes mon´otonas s˜ao de varia¸c˜ao finita (em particular, a fun¸c˜ao varia¸c˜ao total ´e de varia¸c˜ao finita) e qualquer fun¸c˜ao de varia¸c˜ao finita pode ser escrita como a diferen¸ca entre duas fun¸c˜oes crescentes. Al´em disso, a fun¸c˜ao varia¸c˜ao total de A´e cont´ınua se e somente seA for cont´ınua. As demonstra¸c˜oes destas observa¸c˜oes podem ser encontradas em livros de an´alise real, por exemplo [28]. Na pr´oxima defini¸c˜ao, ligamos o conceito de varia¸c˜ao finita com processos estoc´asticos.

Defini¸c˜ao 3.5. Dizemos que um processoA´e devaria¸c˜ao finitaquando for adaptado e as traj´etorias t7→A(t, ω) forem finitas, cont´ınuas `a direita e de varia¸c˜ao finita para quase todo ω∈Ω.

O pr´oximo teorema mostra que martingais locais cont´ınuos n˜ao triviais n˜ao s˜ao de varia¸c˜ao finita.

Mais do que apenas uma propriedade interessante desses processos, veremos que este resultado ter´a consequˆencias profundas no desenvolvimento da teoria.

Teorema 3.6 (Teorema de Fisk). Seja Mum martingal local cont´ınuo de varia¸c˜ao finita. Ent˜aoM

´

e constante no tempo, isto ´e,M_t=M₀, P-q.s.para cada t≥0.

Demonstra¸c˜ao. Inicialmente, note que {M_t−M0}_t≥0 ´e um martingal local. De fato, seja {τ_n}_n≥1 uma sequˆencia localizadora para M. Fixe n ≥ 1, temos que M^τn1[τn>0] ´e um martingal. Em particular, M01[τn>0] = M₀^τn1[τn>0] ∈ L¹. Portanto

M_t^τn1[τn>0]−M01[τn>0] t≥0 ´e um martingal.

Temos que{τ_n}_n≥1´e sequˆencia redutora paraM−M(0), o que prova que{M_t−M₀}_t≥0´e martingal local. Tendo em vista esse fato, podemos, sem perda de generalidade, supor que o martingal local se anula emt= 0 e assim basta provar queMt= 0, P-q.s.para cadat≥0. SejaSt(ω) a varia¸c˜ao total das traj´etorias s 7→ M_s(ω) no intervalo [0, t]. Sabemos tamb´em que a fun¸c˜ao crescente t 7→ S_t(ω)

´

e cont´ınua e de varia¸c˜ao finita para todo ω ∈ Ω tal que a trajet´oria t 7→ M_t(ω) for cont´ınua e de varia¸c˜ao finita.

Suponha que M ´e um martingal tal que exista K > 0 satisfazendo |S_t| ≤ K, P-q.s. para todo t ≥ 0. Isso implica que M ´e, para quase todo ω ∈ Ω, uniformemente limitada, de fato, |M_t| =

|M_t−M0| ≤St≤K, P-q.s.para todo t≥0. Agora, fixet > 0 e sejaP: 0 =t0 < t1 < . . . < tn=t uma parti¸c˜ao arbitr´aria do intervalo [0, t]. Usando a proposi¸c˜ao 3.3(com Fa={∅,Ω}) temos

E M_t²

=E M_t²−M₀²

=E





n

X

j=1

M_t²_j−M_t²_j−1





=E





n

X

j=1

M_tj −M_tj−12





≤E S_t· sup

1≤j≤n

|M_tj −M_tj−1|

! .

Agora, fazendo |P| → 0, temos que St·sup_1≤j≤n|M_tj −Mtj−1| −→ 0 para todo ω ∈ Ω tal que S_t(ω)<∞ e s∈[0, t]7→ M_t(ω) ´e cont´ınuo. Assim, por hip´otese, S_t·sup_1≤j≤n|M_tj −M_tj−1| −→0, P-q.s. Al´em disso, como 

St·sup_1≤j≤n|M_tj −Mtj−1|

≤ 2K² , P-q.s., o teorema da convergˆencia dominada garante que

E St· sup

1≤j≤n

|M_tj−Mtj−1|

!

−→0.

Assim,E M_t²

= 0 e portantoMt= 0, P-q.s.

De maneira geral, seja M_t um martingal local cont´ınuo. Para cada n ≥ 1, defina τ_n(ω) .

= inf{t≥0 :St(ω)> n}(usamos a conven¸c˜ao de que inf∅=∞). Pela proposi¸c˜ao 2.13, para cadan≥ 1,τ_n´e tempo de parada. Como o processo ´e de varia¸c˜ao finita, τ_n% ∞, P-q.s.Pela proposi¸c˜ao2.49 itemiii,M^τn ´e martingal local eM₀^τn = 0. Assim, sejaS_t⁽ⁿ⁾o processo varia¸c˜ao total deM^τn. Temos que|M_t^τn−M₀^τn|=|M_t^τn| ≤ |S_t⁽ⁿ⁾| ≤ne assim, vemos queM^τn ´e um martingal local uniformemente limitado e portanto, pelo corol´ario 2.56, ´e um martingal. Logo, como no caso anterior, M_t^τn = 0, P-q.s. para cada t ≥ 0. Fazendo n ↑ ∞, resulta que M_t = 0, P-q.s. para cada t ≥ 0. Como quer´ıamos.

Uma importante consequˆencia do teorema de Fisk ´e o seguinte

Corol´ario 3.7. SejaXum processo estoc´astico. Ent˜ao existe no m´aximo um ´unico (m´odulo indistin-guibilidade) processo cont´ınuo de varia¸c˜ao finitaA tal queA(0) = 0e {X_t−At}_t≥0 ´e um martingal

local.

Demonstra¸c˜ao. Suponha que existissemAeBprocessos de varia¸c˜ao finita tais queA(0) =B(0) = 0 e X−A=M eX−B=Ncom MeNmartingais locais. Ent˜ao,B−A=M−N. ComoM−N

´

e martingal local, e B−A´e de varia¸c˜ao finita, temos que B−A ´e um martingal local cont´ınuo de varia¸c˜ao finita e portanto, pelo teorema anterior, B(t)−A(t) = B(0)−A(0) = 0, P-q.s. para cada t≥0 e portantoA e B s˜ao indistingu´ıveis^∗.

Defini¸c˜ao 3.8. Sejam X um processo estoc´astico, 0≤a < b eP:a=t₀ < t₁ < . . . < t_n=b uma parti¸c˜ao de [a, b]. Definimos a vari´avel aleat´oriaQ^(P,X) por

Q^(P,X)(ω) .

=

n

X

j=1

(X(tj, ω)−X(tj−1, ω))².

De maneira geral, se P: 0 =t₀ < t₁< . . . < t_n< . . .´e uma parti¸c˜ao de [0,∞) com n´umero finito de pontos em cada intervalo finito, definimos o processo Q^(P,X) como

Q^(P,X)(t, ω) .

=

k(t)

X

j=1

(X(tj, ω)−X(tj−1, ω))²+ (X(t, ω)−X(t_k, ω))² (3.2)

onde k(t) = max{k≥0 :t_k≤t}. Se a parti¸c˜ao P cont´em o ponto t, ent˜ao podemos escrever Q^(P,X)(t, ω) .

=

n

X

j=1

(X(t_j, ω)−X(tj−1, ω))²

onde n ´e tal que t_n = t. Em particular, se P ´e uma parti¸c˜ao de [0, t], podemos pensar em P como uma parti¸c˜ao de [0,∞) que cont´em t. Nesse caso, Q^(P,X) =Q^(P,X)(t).

Lema 3.9. Sejam M um martingal cont´ınuo e uniformemente limitado e P: 0 = t₀ < t₁ < . . . <

tn < . . . uma parti¸c˜ao de [0,∞) com n´umero finito de pontos em cada intervalo finito. Ent˜ao o processo M²−Q^(P,M) ´e um martingal cont´ınuo.

Demonstra¸c˜ao. A continuidade do processo segue imediatamente da continuidade deM. Da limita¸c˜ao uniforme deM, segue que para cadat≥0,M_t²−Q^(P,M)_t ∈L¹. Resta provar que o processo satisfaz

∗ Veja a proposi¸c˜ao2.3na p´agina6.

a equa¸c˜ao de martingal, isto ´e, para 0 ≤s < t, E

M_t²−Q^(P,M)_t ||Fs

=M_s²−Q^(P,M)s ou, equiva-lentemente, E M_t²−M_s²||Fs

=E

Q^(P,M)_t −Q^(P,M)s ||Fs

. De fato, sejam 0≤s < t arbitr´ario e definam= max{k:tk ≤s}e n= max{k:tk≤t}. Temos que m≤n e

Q^(P,M)_t −Q^(P,M)_s =−(M_s−M_tm)²+

n

X

j=m+1

M_tj−M_tj−12

+ (M_t−M_tn)².

O resultado segue desta ´ultima rela¸c˜ao e da proposi¸c˜ao 3.3, pois

E

Q^(P,M)_t −Q^(P,M)_s ||Fs

=E



 M_t²_m−M_s² +

n

X

j=m+1

M_t²_j−M_t²_j−1

+ M_t²−M_s²

||Fs





=E M_t²−M_t²_n||Fs

.

3.2 Varia¸c˜ao quadr´atica para martingais cont´ınuos uniformemente limitados

No documento Integral estoc´astica e aplica¸c˜oes (páginas 37-50)