O teorema da convergˆ encia dominada estoc´ astica

pelo lema4.27 temos

JY•XK_t=

Y²(s, ω)JXK(ds, ω)

= 0

poisY²(·, ω) = 0, P-q.s.Segue queJY•XK= 0 e portanto, pela proposi¸cão3.13na página47, item iii), segue queY•Xé constante e como (Y•X)₀ = 0, segue que (Y•X)_t= 0, P-q.s.O caso geral, isto é,X um semi-martingal cont´ınuo, resulta da decomposi¸cão semi-martingal de X.

A propriedade associativa para este caso geral ´e um simples corol´ario dos teoremas4.28 e4.7.

Teorema 4.33. Seja X um semi-martingal cont´ınuo. Se K∈ L(X) e H∈ L(K•X) ent˜ao HK∈ L(X) e vale a propriedade associativa H•(K•X) = (HK)•X.

Observamos também que se todas as trajetórias de um processo adaptado H forem cont´ınuas, então Hé localmente limitado. De fato, tome τ_n= inf{t. ≥0 :|H_t|> n}. Temos que {τ_n}_n≥1 é uma sequência de tempos de parada, τn↑ ∞ e|H^τⁿ| ≤n, para todon >|H₀|.

O próximo resultado justifica que de fato, Λb é um espa¸co de integrandos que não dependem do integrador X.

Proposi¸c˜ao 4.35. Seja X um semi-martingal cont´ınuo. Ent˜aoΛ_b ⊆ L(X).

Demonstra¸cão. ConsidereX=M+Ae sejamH∈Λb e{τ_n}_n≥1 sequência de tempos de parada tal queτ_n↑ ∞e |H^τⁿ| ≤C_n<∞, para todo n≥1, onde cadaC_né uma constante. Fixet≥0 eω∈Ω tal que as trajetóriass7→A(s, ω) sejam de varia¸cão finita nos intervalos finitos e denote porV(t, ω) a varia¸cão total dessa trajétoria no intervalo [0, t]. Temos que para todon≥1,

t∧τn(ω)

|H(s, ω)|VA(ds, ω)≤CnV(t, ω)<∞.

Escolhendo nsuficientemente grande, temosτn(ω)> t e assim, temos P-q.s.

|H(s, ω)|VA(ds, ω)<∞

logo,H∈ L¹_loc(A). Da mesma maneira, temos, para todo n≥1,

t∧τ_n(ω)

H²(s, ω) JMK(ds, ω)≤C_n²JMK(t, ω)<∞

e como antes, isso mostra que, para quase todoω ∈Ω,

H²(s, ω) JMK(ds, ω)<∞.

Pela proposi¸c˜ao 4.23, segue queH∈ L²_loc(M), e portantoH∈ L(X), como quer´ıamos.

O próximo resultado, mostra que a integral estocástica está de acordo com a intui¸cão apresentada

no in´ıcio do cap´ıtulo.

Proposi¸cão 4.36. Sejam Xum semi-martingal cont´ınuo, σ≤τ tempos de parada e ξ uma variável aleatória Fσ-mensurável. Então,H=ξ1[]σ,τ]] ∈ L(X) e H•X=ξ(X^τ −X^σ).

Demonstra¸cão. Seja X = M+A a decomposi¸cão de X. O plano será provar separadamente que H∈ L¹_loc(A) e H•A =ξ(A^τ −A^σ) e que H∈ L²_loc(M) e H•M =ξ(M^τ−M^σ). Assim, estará provado o resultado pois

H•X=H•M+H•A

=ξ(M^τ −M^σ) +ξ(A^τ −A^σ)

=ξ((M+A)^τ −(M+A)^σ)

=ξ(X^τ−X^σ).

Para a primeira parte do plano, sejat≥0 arbitr´ario. Temos que

|H(s, ω)|V_A(ds, ω) =|ξ(ω)|

1[]σ,τ]](s, ω) V_A(ds, ω)

=|ξ(ω)|





1[[0,τ]](s, ω) V_A(ds, ω)−

1[[0,σ]](s, ω) V_A(ds, ω)





=|ξ(ω)|[V_A(t∧τ, ω)−V_A(t∧σ, ω)]<∞

e portanto H ∈ L¹_loc(A). Afirmamos que para terminar a demonstra¸c˜ao desta primeira parte, ´e suficiente mostrar que

A^τ =A₀+A•1[[0,τ]]. (4.16)

De fato, se isto valer, ent˜ao

ξ1[]σ,τ]]•A=ξ

1[[0,τ]]−1[[0,σ]]

•A

=ξ

A•1[[0,τ]]−A•1[[0,σ]]

=ξ[A^τ−A0−(A^σ−A0)]

=ξ(A^τ −A^σ).

Vamos provar portanto que (4.16) vale. De fato, seja t≥0,

A0+A•1[[0,τ]]

(t, ω) =A0+

1[[0,τ(ω)]](s)A(ds, ω)

=A₀+

t∧τ(ω)

1(s, ω)A(ds, ω)

=A0+ (A(t∧τ(ω), ω)−A0)

=A^τ(t, ω).

Vamos agora tratar da segunda parte. Come¸caremos provando que H ∈ L²_loc(M). Para isto, vamos verificar que H´e progressivamente mensur´avel. Sejat≥0 fixo. Temos que

H|_[0,t]×Ω =ξ1[[σ∧t,τ∧t]] =ξ1[σ<t]1[]σ∧t,τ∧t]].

Agora, como ξ é Fσ-mensurável, afirmamos que ξ1[σ<t] é Ft-mensurável. Vamos provar esta afirma¸cão. Suponha inicialmente que ξ = 1[F] onde F ∈ Fσ e seja t ≥ 0 arbitrário. Então, pela defini¸cão de Fσ, temos que F ∩[τ < t] ∈ Ft, de forma equivalente, ξ1[σ<t] = 1[F∩[σ<t]] é Ft -mensurável. Quando ξ for uma fun¸cão simples, segue por linearidade queξ1[σ<t] é Ft-mensurável.

Agora, suponha ξ não negativa, Fσ-mensurável e t ≥0 e tome uma sequência {ξ_n}_n≥1 de fun¸cões simples não negativas eFσ-mensuráveis tal queξn↑ξ. Entãoξn1[σ<t]↑ξ1[σ<t]. Temos queξn1[σ<t]

e Ft-mensurável para cada n ≥ 1 e portanto ξ1[σ<t] é Ft-mensurável. Finalmente, quando ξ for arbitrário e Fσ-mensurável, basta considerar a decomposi¸cão ξ =ξ⁺−ξ⁻.

Voltando, temos então queξ1[σ<t]éFt-mensurável. Como os tempos de paradaσ∧t, τ∧t: Ω→ [0, t] são Ft-mensuráveis, o intervalo estocástico ]σ∧t, τ ∧t] éσ B[0,t]×Ft

-mensur´avel. De fato, ]σ∧t, τ∧t] .

={(s, ω)∈[0, t]×Ω : σ(ω)∧t < s≤τ(ω)∧t}

={(s, ω)∈[0, t]×Ω :τ(ω)−t−s≥0} ∩ {(s, ω)∈[0, t]×Ω :s−τ(ω)∧t >0}. Disso segue que H|_[0,t]×Ω ´e σ B[0,t]×Ft

-mensurável, ou seja, H é progressivamente mensurável.

Agora,

H²(s, ω) JMK(ds, ω) =ξ²(ω)

1[]σ,τ]] JMK(ds, ω)

=ξ²(ω) (JMK(t∧τ(ω), ω)−JMK(t∧σ(ω), ω))

<∞ P−q.s.

e portanto, pela proposi¸c˜ao 4.23 temos que H ∈ L²_loc(M). Resta agora provar que H •M = ξ(M^τ−M^σ). Para isto, defina Y .

= ξ(M^τ−M^σ). Temos que Y0 = 0. Vamos mostrar que Y

e um martingal local cont´ınuo. Note que podemos escrever Y_t = ξ1[σ<t](Mt∧τ −Mt∧σ). Como ξ1[σ<t] é Ft-mensurável, temos que Y é adaptado e evidentemente cont´ınua. Pela proposi¸cão 2.52 na página30, podemos tomar uma sequência de tempos de parada{ρ_n}_n≥1 tal queM^τ∧ρⁿ eM^σ∧ρⁿ sejam uniformemente limitados. Dessa formaY é uniformemente limitado (por ser diferen¸ca de pro-cessos uniformemente limitados) e os propro-cessos M^τ∧ρⁿ e M^σ∧ρⁿ são, para cadan, martingais (pelo corolário 2.56 na página 31). Agora, basta mostrar que para cada n ≥ 1, Y^ρⁿ é um martingal, pois isso implica que {ρ_n}_né uma sequência redutora o que por sua vez implica que satisfizemos as condi¸cões de martingal local pela defini¸cão. Para isto, seja λ um tempo de parada limitado. Pelo teorema 2.37na página 21, basta verificar que

E(Y^ρⁿ(λ)) =E(Y^ρⁿ(0)) =E(Y(0)) = 0.

De fato,

E(Y^ρⁿ(λ)) =E(E(Y^ρⁿ(λ)||Fσ))

=E(E(ξ(ρ_n(ω)) (Mτ∧λ−Mσ∧λ)^ρⁿ||Fσ))

=E ξ(ρ_n(ω))E M_τ∧λ^ρⁿ −M_σ∧λ^ρⁿ ||Fσ

=E ξ(ρn(ω)) E M_τ∧λ^ρⁿ ||Fσ

−E M_σ∧λ^ρⁿ ||Fσ

=E ξ(ρn(ω)) M_λ∧σ^ρⁿ −M_λ∧σ^ρⁿ

= 0.

Agora, falta provar que Jξ(M^τ −M^σ),NK = H•JM,NK para todo martingal cont´ınuo N. Pela

proposi¸c˜ao 3.29na p´agina58, temos

Jξ(M^τ−M^σ),NK=ξJM^τ −M^σ,NK

=ξ(JM,NK

τ −JM,NK

σ)

=ξ JM,NK0+1[[0,τ]]•JM,NK−JM,NK0−1[[0,σ]]•JM,NK

=ξ 1[[0,τ]]•JM,NK−1[[0,σ]]•JM,NK

=ξ 1[[0,τ]]−1[[0,σ]]

•JM,NK

=ξ1[]σ,τ]]•JM,NK

=H•JM,NK.

Agora vamos apresentar o análogo do teorema da convergência dominada para o caso estocástico.

Teorema 4.37. SejamXum semi-martingal cont´ınuo e{H_n}_n≥1 uma sequˆencia de processos emΛb

satisfazendo H_n−→0, para todo (t, ω)∈R+×Ω. Se existir um processo K∈Λ_b tal que|H_n| ≤K, para todo n≥1, ent˜ao(H_n•X)−→^P 0, quando n↑ ∞, para todo t≥0.

Demonstra¸c˜ao. Observamos que o resultado continuaria valendo se a desigualdade|H_n| ≤Kvalesse apenas para ω no complementar de um conjunto de medida P-nuloE. De fato, bastaria trocar Hn

por H⁰_n=H_n1[]0,∞]×E], poisHe H⁰ s˜ao indistingu´ıveis e o resultado segue pela proposi¸c˜ao 4.32.

Vamos separar a demonstra¸cão primeiro tratandoXcomo um processo de varia¸cão finita e depois como martingal local cont´ınuo. Por hipótese, para cada ω ∈Ω e todo n ≥ 1, Hn(·, ω) é integrável em todo intervalo [0, t]. Pelo teorema da convergência dominada clássico, temos que para s ≤ t e n→ ∞,



H_ndX−0



≤

|H_n|dV_X−→0.

Assim, pontualmente temos, para qualquert≥0, sup

s≤t

|(H_n•X) (s)| −→0.

Como em espa¸cos de medida finita, convergência pontual implica na convergência em medida, isto é,

em probabilidade, provamos o caso quando o integrador ´e de varia¸c˜ao finita.

Agora, sejaXum martingal local cont´ınuo. Pela defini¸cão do espa¸co Λ_b e pela proposi¸cão2.52na página 30, podemos tomar uma sequência de tempos de parada {τ_m}_m≥1 tal que τm ↑ ∞, |K^τ^m| ≤ Cm<∞ e X^τ^m ∈cH², onde{C_m}_m≥1 são constantes.

Fixe m≥1 e sejat≥0, arbitrário. Vamos provar que (H_n•X) (t,·)−→0 em probabilidade no conjunto [τm≥t]. Da arbitráriedade de me como∪_m[τm ≥t] = Ω, resultará pela proposi¸cão B.3na página 154, que (H_n•X) (t,·)−→ 0 em probabilidade em todo Ω. Para isto, note inicialmente que K^τ^m ∈ L²(X^τ^m) .

=L²(R+×Ω,P_g, α_X^τm). De fato,

kK^τ^mk_Xτm =E





∞

(K^τ^m(s, ω))² JX^τmK(ds, ω)





≤C_m²E





∞

JX^τ^mK(ds, ω)





=C_m²E



lim

t→∞

JX^τ^mK(ds, ω)





=C_m²E

t→∞lim JX^τ^mK(t,·)−JX^τ^mK(0,·)

=C_m²E

t→∞lim JX^τ^mK(t,·) .

Como X^τ^m ∈ cH², pela proposi¸cão 3.21 na página 53, temos que E(limt→∞JX^τ^mK(t,·)) < ∞ e portanto kK^τ^mk_X_τm <∞. Agora, por hipótese, |H^τ_n^m| ≤ |K^τ^m|e limn→∞H^τ_n^m(t, ω) = 0 , ∀(t, ω)∈ R+×Ω. Segue pelo teorema da convergência dominada clássico que

n→∞lim Z

R+×Ω

(H_n^τ^m(s, ω))² dα_X^τm = Z

R+×Ω

n→∞lim H_n^τ^m(s, ω)2

dα_X^τm

= 0,

ou seja, limn→∞kH^τ_n^mk²_Xτm = 0. Agora, como |H_n^τ^m| ≤ |K^τ^m| e K^τ^m ∈ L²(X^τ^m), temos queH^τ_n^m ∈ L²(X^τ^m). Além disso, lembre-se queX^τ^m ∈cH² e portanto estamos sob as hipóteses do teorema4.17, logo H^τ_n^m •X^τ^m ∈ cH²₀ e pela isometria de Itô, kH^τ_n^mk²_Xτm = kH^τ_n^m•X^τ^mk²_H2 para todo n ≥ 1, e

portanto, pela proposi¸c˜ao4.21

n→∞lim kH^τ_n^m•X^τ^mk²_H2 = lim

n→∞k(H_n•X)^τ^mk²_H2

= lim.

n→∞

sup

t≥0

k(H_n•X) (τ_m(·)∧t,·)k²₂

= 0.

Agora em [τm≥t],

0 = lim

n→∞

sup

t≥0

k(H_n•X) (t,·)k²₂

= lim

n→∞kH_n•Xk²₂ (4.17)

e pela desigualdade de Doob^∗, ficamos com w

w w w

sup

t≥0

|(H_n•X) (t,·)|

w w w w

≤4 sup

t≥0

k(H_n•X) (t,·)k²₂

= 4. kH_n•Xk²_H2. Dessa ´ultima igualdade e de (4.17), ficamos com

n→∞lim w w w w

sup

t≥0

|(H_n•X) (t,·)|

w w w w

= 0.

Pela proposi¸cãoB.2na página154, a convergência em L² implica na convergência em probabilidade e portanto sup_t≥0|(H_n•X) (t,·)| −→0, em probabilidade em [τ_m ≥t], e portanto pela proposi¸cãoB.3 na página154, resulta o que quer´ıamos.

Uma das principais consequências do teorema da convergência dominada estocástica é que pode-mos deixar precisa uma rela¸cão entre a integral estocástica e o conceito intuitivo de somas de Rie-mann. Para ver isto, considereXum semi-martingal cont´ınuo eHum processo estocástico adaptado e cont´ınuo quase-sempre. Fixe t ≥ 0 e seja P: 0 = t0 < t1 < . . . < tn = t uma parti¸cão de [0, t].

Defina a vari´avel aleat´oria S^(P,H,X) : Ω7→Rpor S^(P,H,X)(ω) .

j=1

H(tj−1, ω) [X(t_j, ω)−X(tj−1, ω)].

∗ Veja o teorema2.27na p´agina18.

Defina tamb´em o processo estoc´astico R^(P,H)(·,·) .

=H(0,·)1[{0}](·,·) +

j=1

H(tj−1,·)1[]tj−1,tj]](·,·).

Como para cada j ∈ {1,2, . . . , n+ 1}, H(tj−1,·), é uma variável aleatória Ftj−1-mensurável, temos pela proposi¸cão 4.36queH(tj−1,·)1[]tj−1,tj]](·,·)∈ L(X) e

H(tj−1,·)1[]tj−1,tj]](·,·)•X(·,·) =H(tj−1,·) [X(t_j ∧t,·)−X(tj−1∧t,·)]

=H(tj−1,·) [X(t_j,·)−X(tj−1,·)]. Assim,R^(P,H)∈ L(X) e R^(P,H)

(t,·) =S^(P,H,X)(·), ou seja,

R^(P,H)(s,·)X(ds,·) =

j=1

H(tj−1,·) [X(t_j,·)−X(tj−1,·)].

Com essas defini¸c˜oes em mente, temos o seguinte resultado:

Proposi¸c˜ao 4.38. Sejam X um semi-martingal cont´ınuo, H um processo quase sempre cont´ınuo e adaptado e t≥0. Ent˜ao

H(s,·)X(ds,·) = lim

n→∞S^(Pⁿ^,H,X)(·) em probabilidade

para toda sequˆencia {P_n}_n≥1 de parti¸c˜oes do intervalo [0, t] tal que|P_n| −→0 quandon↑ ∞.

Demonstra¸cão. Podemos supor sem perda de generalidade queHtem todas as trajetórias cont´ınuas (de fato, podemos tomarH⁰indistingu´ıvel deHe a integral estocástica é a mesma, veja a proposi¸cão4.32).

Dessa forma, temos que H∈Λ_b e portantoH∈ L(X).

Suponha inicialmente que |H| ≤C <∞, para alguma constanteC ≥0. Temos que R^(Pⁿ^,H)(·,·) .

=H(0,·)1[{0}](·,·) +

j=1

H(tj−1,·)1[]tj−1,tj]](·,·)−→H(·,·),

pontualmente, para todo (t, ω) ∈ R+×Ω e R^(Pⁿ^,H) ≤ C, para cada n ≥ 1. Temos ent˜ao que

R^(Pⁿ^,H)−H−→0, pontualmente, para todo (t, ω) ∈R+×Ω e 

R^(Pⁿ^,H)−H

≤2C. Temos pelo teorema da convergˆencia dominada estoc´astica que R^(Pⁿ^,H)−H

•X

t −→ 0, em probabilidade, ou seja

R^(Pⁿ^,H)•X

t= (H•X)_t= lim

n→∞S^(Pⁿ^,H,X)(·).

Agora, mais geralmente, temos que existe uma sequˆencia {τ_m}_m≥1 de tempos de parada tal que τm ↑ ∞e |H^τ^m| ≤Cm, para todom >|H₀|^∗. Para este m, temos pelo caso anterior que

S^(Pⁿ^,H^τm^,X) −→(H^τ^m•X)_t,

em probabilidade, paran↑ ∞. Assim, para ω∈[τm ≥t], temos que S^(Pⁿ^,H^τm^,X)=S^(Pⁿ^,H,X) e pelo teorema 4.31, temos que (H^τ^m•X)_t = (H•X)^τ_t^m = (H•X)_t. Logo, S^(Pⁿ^,H,X) −→ (H•X)_t, em probabilidade, em cada [τ_m ≥t]. Como ∪_m≥|H₀_|[τ_m ≥t] = Ω, o resultado segue da proposi¸caoB.3.

Corolário 4.39. Sejam Xum semi-martingal cont´ınuo,Hum processo estocástico adaptado e quase sempre cont´ınuo, 0 ≤ a < b e ξ uma variável aleatória Fa-mensurável. Então, Rb

aξH(s,·)X(ds,·) =ξRb

aH(s,·)X(ds,·).

Demonstra¸cão. Podemos assumir que a= 0. Note que ξHé q.s.-cont´ınuo e adaptado e para cada parti¸cãoP de [a, b] vale a identidadeS^(P,ξH,X)=ξS^(P,H,X). O resultado segue da proposi¸cão anterior fazendo |P| →0.

O próximo resultado pode ser pensado como a versão estocástica da fórmula de integra¸cão por partes.

Proposi¸c˜ao 4.40. Sejam X eY semi-martingais cont´ınuos. Ent˜ao para todo t≥0,

X_tY_t=X₀Y₀+

X_sdY_s+

Y_sdX_s+JX,YKt.

Demonstra¸cão. SejaP: 0 =t0 < t1 < . . . < tn=tuma parti¸cão arbitrária do intervalo [0, t]. Note a

∗ Lembre-se queH0é constante. Veja as observa¸cões após a defini¸cão4.34.

igualdade

X_t_jY_t_j−X_t_j−1Y_t_j−1 = X_t_j −X_t_j−1

Y_t_j−Y_t_j−1

+X_t_j−1 Y_t_j−Y_t_j−1 +Y_t_j−1 X_t_j−X_t_j−1

e some sobre j= 1,2, . . . , n. Obtemos^∗

X_tY_t−X₀Y₀ =Q^(P,X,Y)+S^(P,X,Y)+S^(P,Y,X).

Fa¸ca |P| → 0 e obtemos o resultado pelo teorema da convergência dominada estocástico e pela proposi¸cão 3.28na página57.

Agora, vamos obter alguns resultados para integrais estocásticas com respeito ao processo de covaria¸cão quadrática JX,YK. Novamente, seja P: 0 = t₀ < t₁ < . . . < t_n = t uma parti¸cão do intervalo [0, t]. Defina a variável aleatória SQ^(P,H,X,Y): Ω7→R por

SQ^(P,H,X,Y)(ω) .

j=1

H(tj−1, ω) [(X(tj, ω)−X(tj−1, ω)) (Y(tj, ω)−Y(tj−1, ω))]

e vamos definirSQ^(P,H,X) .

=SQ^(P,H,X,X). Observe tamb´em que da rela¸c˜ao 4 X_t_j−X_t_j−1

Y_t_j−Y_t_j−1

= X_t_j+Y_t_j

− X_t_j−1 +Y_t_j−12

− Xtj−Ytj

− Xtj−1 −Ytj−1

segue que

SQ^(P,H,X,Y)= 1 4

SQ^(P,X+Y)−SQ^(P,X−Y)i

. (4.18)

Proposi¸cão 4.41. Sejam X um semi-martingal cont´ınuo e H um processo estocástico adaptado, q.s.-cont´ınuo et≥0. EntãoSQ^(Pⁿ^,H,X) −→Rt

0H_sdJXKs em probabilidade, para qualquer sequˆencia de parti¸c˜oes{P_n}_n≥1 do intervalo [0, t]tal que|P_n| →0.

Demonstra¸cão. Por um argumento semelhante feito na demonstra¸cão da proposi¸cão 4.38, podemos assumir que as trajetórias de H e X são cont´ınuas para todo ω ∈ Ω e que X e H são limitados.

∗ Lembre-se da nota¸cãoQ^(P,X,Y) na proposi¸cão3.18na página51.

Agora, pela proposi¸c˜ao 4.40com X=Y, temos

X_t²−X₀² = 2

XsdXs+JXK_t.

Assim, se P: 0 =t0 < t1< . . . < tn=t´e uma parti¸c˜ao de [0, t], temos para 1≤j≤n,

X_t²_j −X_t²_j−1 = 2

tj−1

XsdXs+

JXK_t_j−JXK_t_j−1

e disso, temos que

X_t_j−X_t_j−12

X_t²_j−X_t²_j−1

−2X_t_j−1 X_t_j −X_t_j−1

= 2

tj−1

XsdXs+

JXK_t_j −JXK_t_j−1

−2Xtj−1 Xtj−Xtj−1

(4.19)

Agora, pelo corol´ario 4.39,

H_t_j−1

tj−1

X_sdX_s=

tj−1

H_t_j−1X_sdX_s=

H_t_j−11[]tj−1,tj]](s)X_sdX_s. (4.20)

Assim, multiplicando (4.19) porH_t_j−1, usando (4.20) e somando paraj = 1,2, . . . , nobtemos

SQ^(P,H,X)= 2

R^(P,H)_s X_sdX_s+S^(P,H,^J^X^K⁾−2S^(P,HX,X). (4.21)

Agora fa¸ca |P| →0. Por continuidade,R^(P,H)X−→HX, pontualmente emR+×Ω e o teorema da convergˆencia dominada estoc´astica garante que

R^(P,H)_s X_sdX_s−→^P

H_sX_sdX_s. (4.22)

Al´em disso, pela proposi¸c˜ao4.38 temos que

S^{(P,HX,X) P}−→

HsXsdXs e S^(P,H,^J^X^K^{) P}−→

HsdJXK_s. (4.23)

Logo, de (4.22) e (4.23), temos por (4.21)

SQ^{(P,H,X) P}−→

HsdJXK_s,

como quer´ıamos.

Corolário 4.42. Sejam Y um semi-martingal cont´ınuo eX,Hcomo na proposi¸cão anterior. Então SQ^(Pⁿ^,H,X,Y) −→ Rt

0 H_sdJX,YKs em probabilidade, para qualquer sequˆencia de parti¸c˜oes {P_n}_n≥1 do intervalo [0, t]tal que |P_n| →0.

Demonstra¸cão. Pela rela¸cão (4.18) e pela proposi¸cão anterior, temos que

SQ^(Pⁿ^{,H,X,Y) P}−→4





H_sdJX+YKs−

H_sdJX−YKs



. (4.24)

Agora, pela bilinearidade da integral estoc´astica^∗ vem que





H_sdJX+YKs−

H_sdJX−YKs



= 4 ((H•JX+YK)−(H•JX−YK))

= 4 (H•(JX+YK−JX−YK))

=H•(4 (JX+YK−JX−YK))

=H•JX,YK.

(4.25)

Para obter a última igualdade usamos simplesmente a defini¸cão de co-varia¸cão quadrática^†. Substi-tuindo (4.25) em (4.24), provamos o que quer´ıamos.

∗ Veja o teorema4.31. ^† Veja a defini¸c˜ao3.15na p´agina50.

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