4.1 – A técnica Full Waveform Inversion (FWI)
O objetivo da sismologia de exploração é construir um modelo da Terra coletando e processando dados de pesquisas sísmicas. A energia para a propagação sísmica é fornecida por uma fonte sísmica artificial posicionada perto da superfície, conforme mostrado na Fig. 19 (a). As ondas sísmicas viajam através da subsuperfície e são refletidas pelas interfaces entre as camadas geológicas. Posteriormente, elas são gravadas por um conjunto de receptores próximo à superfície. Este processo é repetido reposicionando as fontes e os receptores, compondo assim o chamado conjunto de sismogramas. A imagem de subsuperfície é essencialmente um problema inverso, no qual o objetivo é construir um modelo das propriedades físicas do meio, como velocidade de propagação e densidade, a partir dos dados esparsos fornecidos pelos receptores.
Um problema inverso que vem ganhando considerável atenção em geofísica nas últimas décadas é a inversão da forma de onda completa (FWI) (J. VIRIEUX & S. OPERTO, 2009), que é uma técnica que pode ser usada para realizar imagens de alta resolução das complexas estruturas geológicas de subsuperfície. O problema avançado da técnica FWI consiste em gerar imagens da propagação da onda sísmica usando os parâmetros do modelo, que, neste caso, são as velocidades de onda abaixo da superfície. Por outro lado, o problema inverso consiste em encontrar os parâmetros do modelo, ajustando-se aos dados sísmicos observados. Tarantola (1984) introduziu esse método pela primeira vez no domínio do tempo, e a metodologia foi posteriormente estendida ao domínio da frequência de Fourier (GERHARD et. al., 1998).
Empregou-se a equação das ondas acústicas para representar a propagação das ondas. Para o caso mais simples de um meio homogêneo e isotrópico com velocidade v( x ), a equação de onda é dada por:
(∇2− 1 𝑣(𝑥,𝑧)2
𝜕2
𝜕𝑡2) 𝑢⃗ (𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑓 (𝑥, 𝑧, 𝑡) (4.1) onde: x é a posição, ∇ 2 é o operador do Laplaciano, u é o campo de pressão, t é o tempo , e o
termo denotado por 𝑓 (𝑥, 𝑧, 𝑡) representa a fonte explosiva.
62
de onda. Além disso, o modelo do parâmetro físico consiste em , onde tem-se uma distribuição espacial das velocidades de ondas acústicas ao longo dos meios de propagação. A onda propagada refletida numa camada geológica está indicada na figura 19 por raios que refletem na interface entre diferentes meios. Em (a) apresenta-se um esquema convencional com sensores idênticos, representado por triângulo branco, enquanto em (b), mostram a concepção de aquisição que consiste em conjuntos alternados de sensores com passa-baixo, triângulo na cor amarelo, e passa-alto, representado por triângulo na cor azul, que é técnica central de nosso trabalho.
Figura 19 – Esboço típico de uma exploração geofísica, com uma fonte explosiva e uma matriz
de hidrofones.
Fonte: Do autor, 2019
63
pode-se naturalmente adaptar os conceitos da linha lateral do peixe à linguagem da técnica FWI. Para se produzir a representação no domínio da frequência aplicou-se a transformação de Fourier, no tempo da equação (4.1). Esta representação de frequência também é conhecida como a equação de Helmholtz (A.J. DEVANEY, 2012). A equação de onda acústica no domínio da frequência é escrita como:
(∇2 + 𝜔2
𝑣2(𝑥)) 𝑢̂(𝑥, 𝜔) = −𝑠̂(𝑥, 𝜔) (4.2) Onde, temos:
• 𝑢̂ é o campo de pressão no domínio da frequência; • 𝜔 é a frequência angular;
• 𝑠̂ é a transformada de Fourier da fonte; • O operador (∇2+ 𝜔2
𝑣2(𝑥)) é a matriz de impedância (KURT J, 1984) ou operador de Helmholtz, o qual depende da frequência e da velocidade média.
4.2 – O processo de otimização
A FWI é uma técnica formulada como um problema de otimização não linear que utiliza os dados sísmicos observados (𝒅𝒐𝒃𝒔) para encontrar os parâmetros do modelo (𝒎), que neste caso, a velocidade do meio 𝒗(𝒙), (ANDREAS, 2012). A relação entre os dados sísmicos modelados (𝒅𝒎𝒐𝒅) e os parâmetros do modelo (𝒎) não é linear e pode ser genericamente
escrita com um operador 𝐺, definido como:
𝒅𝑚𝑜𝑑= 𝐺(𝒎) (4.3) O processo de otimização é convencionalmente implementado para minimizar a diferença entre os dados sísmicos observados (𝒅𝒐𝒃𝒔) e os dados sísmicos modelados no
problema (𝒅𝒄𝒂𝒍(𝒎)) para cada par fonte-receptor. Esta diferença é referida como a função objetivo, ou função misfit, e é representado matematicamente por:
∅(𝑚) = ∑ 𝑠 ∑ 1
2‖𝑑𝑜𝑏𝑠− 𝐺(𝑚)‖
𝑟 (4.4)
64
• 𝑠 e 𝑟 representa fontes e receptores, respectivamente. • Norma representado por ‖𝑑𝑜𝑏𝑠− 𝐺(𝑚)‖
A equação (4.4) deve ser calculada para cada frequência no conjunto de dados.
Para calcular o valor mínimo da função misfit se começa a partir de um modelo inicial escolhido. O processo de otimização se constrói de forma iterativa atualizando os parâmetros do modelo e os comparando esta solução modelada com os dados observados. Este processo iterativo é iniciado a partir dos dados com a frequência mínima na equação (4.4) e utiliza o resultado como o modelo de entrada para a próxima inversão de frequência, em uma sequência a partir da menor para as frequências mais altas.
4.3 – A técnica da Aquisição de Frequência Alternada (AFA)
A sísmica consiste na utilização de sensores sísmicos para gravar a energia da onda, a qual é gerada por uma fonte sísmica e refletida pelas interfaces geológicas no subsolo. Neste trabalho, focou-se nas configurações de frequência de aquisição. A maneira convencional para realizar a aquisição é, com um conjunto de sensores idênticos. Inspirado pelo sistema da linha lateral do peixe foi planejado um modo diferente do cálculo da função objetivo na equação (4.4) alterando a frequência da operação por banda de sensores. Chamou-se esta técnica de Aquisição de Frequência Alternada ou técnica (AFA).
A técnica AFA é realizada por um operador matemático 𝐺 na equação (4.4). Nesta equação (4.4) estão explícitos s e r que variam na aquisição alternada, durante o processo de amostragem. Pode-se dividir o conjunto de sensores em dois conjuntos, para frequências inferiores a frequência limite, apenas o primeiro conjunto de receptores é usada enquanto acima do limiar, o outro conjunto é empregado. Por exemplo, suponha que tem-se 12 receptores igualmente espaçados em 𝑟1, 𝑟2, 𝑟3, ..., 𝑟11, 𝑟12. Numa aquisição convencional, todos os receptores gravam todas as frequências (dentro dos seus limites operacionais), ou seja, a operação na equação (4.4) é realizada com todos os receptores e a função objetivo é avaliada para todos os receptores. Na técnica da AFA, só uma parte dos dados é realizada no método de inversão. Por exemplo, no caso de 3x3 pela técnica AFA, dividiu-se o grupo de 12 receptores em duas partes, tal como indicado: 𝑟1, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4, 𝑟5, 𝑟6, 𝑟7, 𝑟8, 𝑟9, 𝑟10, 𝑟11, 𝑟12, Figura 20. Ainda pode-se simular no caso no caso de 4x4 pelo método AFA, dividindo grupo de 16 receptores
65
em duas partes, passa-baixo e passa-alto, tal como indicado: 𝑟1, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4 , 𝑟5, 𝑟6, 𝑟7, 𝑟8, 𝑟9,
𝑟10, 𝑟11, 𝑟12, ,𝑟13, 𝑟14, 𝑟15, 𝑟16, figura 21, ou seja, escolhe primeiro um conjunto com freqüências passa-baixo, e outro conjunto com o mesmo número de elementos com freqüências passa-alto. Neste caso se escolhe primeiramente o conjunto de freqüências passa- alto para fazer a inversão por freqüências e, depois, o conjunto de freqüências passa alto. Nos nossos estudos numéricos, o conjunto passa baixo inverte de 3 Hz até 7 Hz enquanto que o passa-alto inverte de 10,5 Hz até 13 Hz.
Figura 20 – Esboço típico de uma exploração geofísica com um grupo de 12 receptores, com
uma fonte explosiva e uma matriz de hidrofones.
66
Figura 21 – Esboço típico de uma exploração geofísica com um grupo de 16 receptores, com
uma fonte explosiva e uma matriz de hidrofones.
Fonte: Do autor, 2020
Os receptores de dados sublinhados apenas gravam com frequências de menores do que uma frequência limite, estes são os sensores de baixa frequência. Além disso, os receptores não- sublinhados são os sensores passa-alta (high-pass) que respondem a frequências mais elevadas do que a frequência limite. Uma disposição semelhante está ilustrada na Figura 19 (b) com 24 receptores. Deste modo, a técnica AFA, a operação numérica indicada pela equação (4.3) é realizada com menos receptores que diminui substancialmente o custo computacional. Como será visto na próxima seção, a função objetivo é avaliada de uma forma muito eficiente.
67
4.4 – Implementação numérica
Para as experiências numéricas foi empregado o modelo de velocidade Marmousi (GARY et. al., 2006) que é largamente usado na literatura para testar imagem sísmica, este modelo está ilustrado na figura 22. O modelo de velocidade Marmousi trabalha com dados sísmicos complexos que requer técnicas avançadas de processamento para que se possa fazer uma boa reconstrução da subsuperfície terrestre. Ele apresenta uma geometria com muitos refletores e variações fortes de velocidade de 1,5 km/s até 4,7 km/s. O modelo inicial usado para iniciar o problema de otimização é uma aproximação com gradiente de velocidades que variam de 1,5 até 3,4 km/s.
Figura 22 – Modelo de Velocidade Marmousi
Fonte: Chris Stolk, 2014
O operador de Helmholtz foi discretizado (R. GERHARD, 1990) com uma malha de 20 m de espaçamento, usando 5 pontos de diferença finita. Além disso, utilizam-se condições de contorno (J P. BERENGER. et. al, 1994) para eliminar reflexões indesejáveis na borda. Os dados foram gerados utilizando 55 fontes e 68 receptores igualmente espaçados, na figura 23, posicionados a 40 m de profundidade. Durante a inversão de frequência foram empregados 26 frequências discretas a partir de 0,5 Hz a 13 Hz, foi usado um passo de 0,5.
68
Figura 23 – Esboço típico de uma exploração geofísica com um grupo de 55 fontes e 68
receptores igualmente espaçados
Fonte: Do autor, 2020
A frequência limite utilizada em todas as experiências foi igual a 8 Hz. Para testar a metodologia implementou-se onze AFA-configurações de 1x1(um receptor com passa-baixo, e o próximo com passa-alto, até chegar alternadamente ao receptor 68) para 11x11(onze receptores com passa-baixo, e os próximos onze com passa-alto, até chegar alternadamente nos últimos receptores). Além disso, para resolver o problema de otimização, utilizou-se 780 iterações (30 iterações para cada uma das 26 frequências utilizadas). Por fim foi comparado o desempenho da imagem invertida pela técnica FWI-convencional. Para a integração numérica da evolução da onda foi adotado o método LBGGF (JORGE NOCEDAL & STEPHEN J. WRIGHT, 2006), um algoritmo da família método quasi-Newton por causa de sua rápida convergência.
69
Capítulo 5
70