A seguir tem-se a base teórica da técnica FWI e os processos de filtragem, destacando a acústica do campo de ondas completo. Além disso, será apontado o problema sísmico direto e inverso. Ainda nesse capítulo, destaca-se a importância de usar a filtragem em processos dessa natureza.
3.1 – Inversão Sísmica Acústica do Campo de Ondas Completo
O objeto central neste capítulo é apresentar os fundamentos teóricos da inversão sísmica do campo de ondas completo, também conhecido no meio científico, como a FWI (Full Waveform Inversion). Reiterando-se sobre a formulação do desenvolvimento no domínio do tempo e da frequência.
3.1.1 – O Problema Sísmico Direto e Inverso
Acerca dos dados sísmicos, com auxílio de uma fonte explosiva gera-se um campo de ondas que se propaga através das diversas camadas geológicas em subsuperfície, da qual os efeitos de propagação são reflexões, refrações, difrações, interferência, espalhamento, entre outros. Nos receptores posicionados na superfície da Terra (onshore), ou na superfície do mar (offshore), são registradas as informações do campo de ondas refletido. Os dados contém informações de amplitude, fase e tempo de trânsito destes campos que necessitam ser processados e interpretados com objetivo de se diferenciar e configurar os elementos estruturais da sub-superfície propícios a acumulação de hidrocarbonetos e outras estruturas geológicas (MARTINS, 2015).
Durante a etapa do processamento dos dados ocorrem os processos de migração e inversão sísmica, que se utilizam dos efeitos de propagação do campo de ondas em sub- superfície, dado um conjunto inicial de parâmetros para caracterizar o meio geológico.
A seguir vamos discutir o problema direto, o problema inverso, a inversão da forma de onda completa (FWI) e o método de Newton, o cálculo do vetor gradiente e uma breve discussão sobre a filtragem.
41
3.1.2 – O problema direto
O problema direto consiste em propagar uma onda por meio da solução da equação de onda (SILVA, 2018). O caso mais simples da equação acústica aplicada para um meio homogêneo e isotrópico em duas dimensões (x-z), especificamente no domínio do tempo (t) é dado por: (∇2− 1 𝑣(𝑥,𝑧)2 𝜕2 𝜕𝑡2) 𝑢⃗ (𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑓 (𝑥, 𝑧, 𝑡) (1) Onde temos:
• 𝑝 representa o campo de pressão no plano – (x,z) , sendo x medido na superfície e z a profundidade (coordenadas espaciais);
• 𝑣 é a velocidade da onda acústica do campo de onda; • 𝑓 é a função fonte;
• O operador laplaciano é representado por (∇2).
Ao mesmo tempo em que se resolve a equação da onda, é necessário definir os parâmetros da fonte. Utilizou-se uma função de onda da segunda derivada negativa de uma função Gaussiana, conhecida como Ricker-Wavelet ou pulso de Ricker.
Segundo Ricker (1945), o pulso Ricker é simétrico e definido pela seguinte função: Ψ(𝑡) = {1 − (4𝑡 𝑡) 2 } 𝑒𝑥𝑝 {−1 2( 4𝑡 𝑇) 2 } (1.1) O 𝑡 representa o tempo, 𝑇o intervalo de tempo entre os dois picos negativos.
Essa escolha foi feita devido à Ricker-Wavelet ser bem representada e comportada, além disto, o seu espectro de frequências é limitado (SILVA, 2018). Nas aplicações reais, o perfil de tempos destas fontes é estimado como um problema inverso independente (AMUNDSEN, 1993; SILVA et. al, 2017). Em muitos casos, a assinatura da fonte é registrada no momento da aquisição sísmica (SILVA, 2018).
Nesse projeto, escolheu-se trabalhar no domínio da frequência devido ao custo computacional ser menor por inverter apenas algumas frequências (ou faixas/bandas de frequências) (SILVA, 2018). Para isto, aplica-se a transformada temporal de Fourier na Equação (1) para obter a equação da onda no domínio da frequência Equação (2) conhecida como Equação de Helmholtz, (DEVANEY, 2012).
42 (∇2− 𝜔2 𝑣(𝑥,𝑧)2 𝜕2 𝜕𝑡2) 𝑢⃗ (𝑥, 𝑧, 𝜔) =𝑠 (𝑥, 𝑧, 𝜔) (2) Onde temos: • 𝜔2 é a frequência angular;
• 𝑢⃗ 𝑒 𝑠 são as transformadas de Fourier.
A definição, propriedades, e as condições necessárias de existência da transformada temporal de Fourier podem ser consultadas nas obras de vários teóricos da área (KREYSZIG, 2009;OPPENHEIM & WILLSKY,2010).
A equação (2) pode ser reescrita em forma de uma equação matricial do tipo 𝐴𝑢⃗ =𝑠 , onde A é denominada matriz impedância dada por:
𝐴 =𝜔2
𝑣2 + ∇
2 (3)
Este sistema de equações lineares pode ser resolvido por métodos iterativos ou diretos. Na posse dos parâmetros da fonte sísmica, discretiza-se a equação (2) pelo método das diferenças finitas para a modelagem direta, resolvendo assim o sistema linear proposto (SILVA, 2018).
O problema direto consiste em simular uma ou mais grandeza física observável de um sistema, mas para isso se levam em consideração os dados dos parâmetros e as condições que o caracterize. De modo geral, as leis físicas proporcionam diferentes formas de calcular as grandezas observáveis de qualquer sistema, sendo dados os parâmetros que o definem (MARTINS, 2015).
Segundo (AKI e RICHARDS (2002); CHAPMAN (2006)), o problema sísmico acústico direto se constrói para uma densidade do meio constante, dada a distribuição bidimensional (2D) de velocidades compressionais de propagação do campo de ondas vp(x;
z). Assim, a resposta sísmica é simulada gerando uma distribuição de velocidades v(x, z, t), onde x e z são as coordenadas espaciais e t a coordenada temporal. O processo direto e simulado através da equação acústica da onda:
∂2 u ∂x2 + ∂2 u ∂z2 - 1 vu2 ∂2 u ∂t2 = f(t)δ(x-xf)δ(z-zf) (6) Na equação (6), tem-se f(t) representando uma fonte sísmica, δ representa a função delta de Dirac e a expressão u(x; z; t) simboliza o campo de ondas compressionais, as quais se
43
propagam através do meio. Consequentemente, os parâmetros do modelo caracterizam o meio de propagação, sendo simulados os efeitos experimentados pelo campo de ondas ao percorrer este meio, e através do modelo matemático, é possível relacionar os parâmetros aos dados observados. Assim, relacionando os parâmetros do modelo aos dados observados conseguiu- se obter uma representação da sub-superfície terrestre.
A Figura (10) mostra uma representação esquemática do problema direto acústico.
Figura 10 – Esquema do problema direto acústico
Fonte: Do autor, 2020
Destaca-se que o modelo matemático acústico é simplificado, considera exclusivamente a propagação de ondas compressionais. Esse modelo apresenta limitações em relação a representação completa do fenômeno de propagação do campo de ondas em sub-superfície, pois na realidade, estes campos sofrem efeitos de absorção, conversão de ondas PP-PS, ondas de superfície, entre outras. A melhor aproximação para o fenômeno da propagação de ondas sísmicas seria considerar os meios de propagação como sendo elásticos ou viscos-elásticos (MARTINS, 2015).
Todavia, segundo (BULCAO, 2004), apesar das limitações e simplicidade, a utilização da equação acústica da onda fornece resultados satisfatórios nas aplicações realizadas para a indústria petrolífera. Em meios geologicamente complexos, a solução do problema sísmico direto, propõe uma discretização do problema, utilizando outros métodos numéricos, a fim de ter uma solução adequada (MARTINS, 2015).
Desta forma, podemos apresentar um problema real que segundo Martins (2015) explica que a resposta sísmica registrada nos receptores igualmente espaçados ao longo da superfície de observação para uma propagação acústica no modelo BP-2004 (MARTINS apud BILLETE e BRANDSBERG-DAHL (2005), pode ser vista na figura 11 onde é mostrado o
44
modelo de velocidades BP-2004 (à esquerda) e o campo de ondas observado por receptores na superfície do modelo para uma fonte sísmica na posição x = 4060m (à direita).
Figura 11 – Esquema de um modelo de velocidades com o campo de ondas observado por
receptores
Fonte: Martins com adaptação, 2015
O modelo de velocidade BP-2004 é complicado, pois contém camadas do pré-sal e contrastes acentuados de velocidades e densidades nessa camada. O tamanho da grade horizontal e o tamanho da grade vertical, no modelo de velocidades BP-2004 à esquerda correspondem respectivamente à distância (Km) e a profundidade (Km). Para o campo de ondas à direita, o tamanho da grade horizontal e o tamanho da grade vertical correspondem respectivamente ao offset (Km) e ao tempo (s).
A solução do problema sísmico direto, através da equação (6) requer que o problema seja discreteado e que se utilize métodos numéricos de solução, por exemplo, o Método de Diferenças Finitas – MDF.
3.1.3 – O problema inverso
Aqui são explorados os conceitos do problema inverso ressaltando as características associadas ao imageamento sísmico.
45
Para resolver o problema inverso, tem-se que determinar as propriedades físicas de um determinado sistema, a partir do registro de efeitos observáveis (medidos), por meio de modelo matemático que relacione bem com o termo das fontes e as propriedades do meio e as grandezas observáveis. As propriedades do sistema são as condições iniciais e de contorno, termo de fontes e propriedades físicas do meio (MARTINS, 2015).
O principal objetivo da exploração sísmica é fazer inferências, a partir de modelos matemáticos associados a ferramentas tecnológicas e de ferramentas computacionais, a respeito do interior da Terra. Os dados sísmicos observados na superfície ajudam a enfrentar esse problema, podendo ser considerado um problema inverso, o qual tem por objetivo determinar as características do meio de propagação que expliquem os dados sísmicos observado na superfície da Terra (MARTINS, 2015).
A Figura 12 mostra uma representação esquemática da inversão sísmica acústica.
Figura 12 – Esquema do problema inverso acústico
Fonte: Do autor, 2020
Segundo VIRIEUX e OPERTO (2009), há vários métodos de solução de problemas inversos, que possuem suas aplicabilidades, características e limitações. Estes métodos de solução estão vinculados a técnicas de otimização global ou local. Tradicionalmente, no caso da inversão FWI de dados sísmicos, a solução do problema é ajustada como um processo de otimização local para minimizar a diferença entre os dados observados 𝑢𝑜𝑏𝑠(𝑥; 𝑧; 𝑡) e os dados calculados a partir de um modelo inicial de velocidades 𝑢𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙(𝑥; 𝑧; 𝑡; 𝑣𝑢0) a partir do
46
minimizando a diferença entre a solução que represente a distribuição de velocidades da sub- superfície (PRATT, 1998; VIRIEUX OPERTO, 2009).
No entanto, temos de estimar parâmetros do meio a partir de dados observados sendo que estes dados não estão completamente disponíveis, apresentam imprecisão de medida e presença de ruídos. À vista disso, a maioria dos problemas inversos reais, os dados observados por si só não possuem informações suficientes para caracterizar completamente o meio, e dado um modelo matemático a ser utilizado na inversão, existe limitação quanto às informações que a solução do problema inverso pode fornecer (MARTINS, 2015), caracterizando-se como um problema indeterminado mal-posto. A maior parte dos problemas inversos e a inversão FWI, são problemas dessa natureza. Um problema mal-colocado é quando sua solução não existe, ou não é única ou não é estável (HADAMARD, 1902).
Sabe-se que a não unicidade de soluções, e a não linearidade do modelo matemático acústico com relação às velocidades de propagação do meio 𝑢𝑜𝑏𝑠(𝑥; 𝑧; 𝑡), são problemas para o processo de inversão FWI de dados sísmicos, pois geram funções objetivos com muitos mínimos locais e o processo de otimização local pode convergir para um desses mínimos. Consequentemente, o processo de otimização de inversão FWI pode fornecer soluções que não correspondem a solução real e que não representam o modelo geológico adequado (MARTINS, 2015).
Nos ajustes para reduzir a convergência para um mínimo local, usa-se informações a priori e métodos de regularização que auxiliam o processo de inversão FWI, e quanto mais informações forem utilizadas no processo, menores serão os riscos de se cair em um mínimo local (MARTINS, 2015). BUNKS et al. (1995), explica que outra estratégia utilizada com a função objetivo é a multi-escala em frequências, a qual propõe que o processo de inversão FWI seja dividido em faixas ou bandas de freqüências ( filtragem dos dados) e a inversão seja realizada recursivamente partindo das frequências mais baixas para as mais altas (MARTINS, 2015).
Analisando a função objetivo em frequências mais baixas (maiores escalas), apresentam ser mais suave e contem menos mínimos locais que para frequências mais altas. Assim sendo, técnica de multi-escala em frequências aumenta a probabilidade de convergência para o mínimo global da função objetivo (BUNKS et al. (1995)).
A configuração mais trivial de determinar o problema da FWI consiste em minimizar a norma euclidiana (norma L2) da diferença entre os dados observados (𝑑 𝑜𝑏𝑠) e os
previstos/modelados no problema direto (𝑑 𝑚𝑜𝑑 = 𝐴𝑢⃗ ). Tal objeto matemático é chamado de
47
∅ = ‖𝐴𝑢⃗ − 𝑑 𝑜𝑏𝑠‖ (4)
A inversão mais simples do tipo FWI utiliza a norma Euclidiana (norma L2) do resíduo
como função objetivo, ainda assim outras normas podem ser manipuladas no processo de inversão (BROSSIER et al. (2010)). Os trabalhos de BUBE e LANGAN (1997), GUITTON e SYMES (2003), BROSSIER et al. (2009), descrevem detalhadamente os tipos e características de algumas funções objetivos.
3.1.4 – A inversão da forma de onda completa (FWI) e o método de Newton
A técnica de inversão acústica do campo de ondas completo é um método iterativo de ajuste de dados que fornece informações quantitativas, de alta resolução, do campo de velocidades da sub-superfície (MARTINS, 2015). Segundo Tarantola (1984), o método se baseia na modelagem do campo de ondas completas, que objetiva minimizar a diferença entre os dados observados 𝑑𝑜𝑏𝑠 e os dados calculados em um modelo inicial de parâmetros, no caso
a distribuição de velocidades do meio 𝑑𝑐𝑎𝑙(𝑚𝑜𝑑). Esta diferença é denominada por resíduo 𝛿𝑑.
A partir do modelo inicial de velocidades, os métodos de otimização local objetivam estimar as derivadas de função objetivo nas vizinhanças do modelo dado. O modelo inicial de velocidades apresenta-se próximo ao mínimo global da função objetivo, quando isto não ocorrer o algoritmo poderá convergir para um mínimo local (MARTINS, 2015).
O processo de otimização é iterativo, onde em cada iteração calcula-se uma direção de busca ℎ e um passo 𝛼 (MARTINS, 2015), de modo que a atualização do modelo de velocidades seja realizada pela equação:
𝑣 = 𝑣0+ 𝛼ℎ (7)
Considerando a equação (4), a função objetivo é dada pela expressão (8) a seguir:
𝐸(𝑣) =1 2∑ (𝑑𝑖 (𝑗)(𝑡) − 𝑢 𝑖 (𝑗) (𝑡; 𝑣))2𝑑𝑡 𝑁𝑓 𝑗=1 (8) Onde:
• O tempo total de registro é dado por T;
• O número de Famílias de Tiro Comum (FTC) é expresso por Nf
48
O meio de propagação do campo de ondas discretizado está representado na Figura 13 sendo composto por 𝑁 = 𝑁𝑋. 𝑁𝑍 incógnitas (componentes do vetor velocidades 𝑣 ), ou seja:
𝑣 = (𝑣11, 𝑣12,… , 𝑣1𝑁2, 𝑣21, 𝑣22,… , 𝑣2𝑁2, … , 𝑣𝑁𝑥1, 𝑣𝑁𝑥2, … , 𝑣𝑁𝑥𝑁𝑧) (9)
Figura 13 – Representação do meio de discretizado
𝑁 = 𝑁𝑋. 𝑁𝑍
Fonte: Martins com adaptação, 2015
Realizando-se a expansão em série de Taylor da função objetivo em torno de um campo de velocidades 𝑣0, denominado modelo de fundo, onde se chega a expressão:
𝐸(𝑣) = 𝐸(𝑣0) + ∑ 𝜕𝐸 𝜕𝑣𝑘(𝑣0)∆𝑣𝑘+ 𝑁 𝑘=1 1 2∑ 𝑁 𝑘=1 ∑ 𝜕2𝐸 𝜕𝑣𝑘𝜕𝑣𝑙 𝑁 𝑙=1 (𝑣0)∆𝑣𝑘∆𝑣𝑙+ ⋯ (10) Ou 𝐸(𝑣) = 𝐸(𝑣0) + ∇𝐸(𝑣0). ∆𝑣 + 1 2∑ 𝑁 𝑘=1 ∑𝑁𝑙=1𝐻𝑘𝑙(𝑣0)∆𝑣𝑘∆𝑣𝑙+ ⋯ (11) Onde:
• ∇𝐸(𝑣0) - Representa o vetor Gradiente;
• H(𝑣0) - Representa a matriz Hessiana da função objetivo 𝐸 calculados em 𝑣0,
49 ∇𝐸(𝑣0) = (𝜕𝑣𝜕𝐸 1(𝑣0) 𝜕𝐸 𝜕𝑣2(𝑣0) … 𝜕𝐸 𝜕𝑣𝑁(𝑣0)) 𝑇 (12) e 𝐻(𝑣0) = ( 𝜕2𝐸 𝜕𝑣1𝜕𝑣1(𝑣0) ⋯ 𝜕2𝐸 𝜕𝑣1𝜕𝑣𝑁(𝑣0) ⋮ ⋱ ⋮ 𝜕2𝐸 𝜕𝑣𝑁𝜕𝑣1(𝑣0) ⋯ 𝜕2𝐸 𝜕𝑣𝑁𝜕𝑣𝑁(𝑣0)) (13)
Para usarmos o método de Newton, empregamos a equação (11) com truncamento até a segunda ordem e a cada interação se busca o campo de velocidades que minimiza o parabolóide N dimensional dado pela equação (14):
𝐸′(𝑣) = 𝐸(𝑣0) + ∇𝐸(𝑣0). (𝑣 − 𝑣0) + 1 2∑
𝑁
𝑘=1 ∑𝑁𝑙=1𝐻𝑘𝑙(𝑣0)(𝑣𝑘− 𝑣0𝑘)(𝑣𝑙− 𝑣0𝑙) (14)
supondo que a matriz 𝐻(𝑣0) seja positiva.
A figura 14 apresenta esquematicamente o método de Newton que utiliza a aproximação quadrática no processo de otimização.
50
Fonte: Martins (2015) adaptado de TARANTOLA (1987).
Diante do gráfico, percebe-se que a velocidade que minimiza a função erro corresponde necessariamente a um ponto estacionário, isto é
𝜕𝐸′ 𝜕𝑣𝑚(𝑣) = 0 (15) Sucede-se 𝜕𝐸′ 𝜕𝑣𝑚(𝑣) = 𝜕𝐸 𝜕𝑣𝑚(𝑣0) + 1 2∑ 𝐻𝑚𝑙(𝑣0) 𝑁 𝑙=1 (𝑣𝑙− 𝑣0𝑙) + 1 2∑ 𝐻𝑘𝑚(𝑣0)(𝑣𝑘− 𝑣0𝑘) = 0 𝑁 𝑘=1 (16)
Uma vez que a matriz H é simétrica, obtem-se as equações (17) e (18):
𝜕𝐸 𝜕𝑣𝑚(𝑣0) + 1 2∑ 𝐻𝑚𝑙(𝑣0) 𝑁 𝑙=1 (𝑣𝑙− 𝑣0𝑙) + 1 2∑ 𝐻𝑘𝑚(𝑣0)(𝑣𝑘− 𝑣0𝑘) = 0 𝑁 𝑘=1 (17) E 𝜕𝐸 𝜕𝑣𝑚(𝑣0) + 1 2∑ 𝐻𝑚𝑙(𝑣0) 𝑁 𝑙=1 (𝑣𝑙− 𝑣0𝑙) = 0 (18)
À vista disso, matricialmente pode-se escrever a equação (19) da seguinte forma:
𝐻(𝑣0)∆𝑣 = −∇𝐸(𝑣0) (19)
Quando a matriz Hessiana H é inversível, chega-se a fórmula de Newton, para o cálculo do campo de velocidades que minimiza a função objetivo 𝐸′em cada iteração.
Desta forma se produz a seguinte aproximação quadrática:
𝑣 = 𝑣0− 𝐻−1(𝑣0)∇𝐸(𝑣0) (9)
Onde a direção de atualização é dada por ℎ = 𝐻−1(𝑣
0)∇𝐸(𝑣0).
No quadro 01, é mostrado resumidamente o “Algoritmo do Método de Newton”, com Nf Famílias de Tiro Comum (CSP - Common Shot Point) e um modelo inicial v0.
51
Quadro 01 – Algoritmo Geral do Método de Newton
Algoritmo 1 – Algoritmo Geral do Método de Newton
Entrada: Família de Tiro Comum e modelo inicial de velocidades V0.
1) Para cada fonte j=1 até Nf , resolva o problema direto (MDF):
∇2𝑢𝑗− 1 𝑣02(𝑟 )
𝜕2𝑢(𝑗)
𝜕𝑡2 = 𝑓(𝑡)𝛿(𝑟 − 𝑟 (𝑗))
2) Calcule a Função Objetivo 𝐸(𝑣0) = 1 2∑ (𝑑𝑖 (𝑗)(𝑡) − 𝑢 𝑖 (𝑗) (𝑡; 𝑣))2𝑑𝑡 𝑁𝑓 𝑗=1 3) Se 𝐸(𝑣0) ≤ 𝜖 → 𝑣 = 𝑣0 → 𝐹𝑖𝑚 Se 𝐸(𝑣0) > 𝜖 → 𝑃𝑟𝑜𝑠𝑠𝑖𝑔𝑎
4) Calcule o gradiente e a Hessiana (inversa)
5) Atualize o modelo de velocidades: 𝑣 = 𝑣0− 𝐻−1(𝑣
0)∇𝐸(𝑣0)
6) Calcule a Função Objetivo para o modelo atualizado v
𝐸(𝑣) =1 2∑ (𝑑𝑖 (𝑗)(𝑡) − 𝑢 𝑖 (𝑗) (𝑡; 𝑣))2𝑑𝑡 𝑁𝑓 𝑗=1 7) Se 𝐸(𝑣0) ≤ 𝜖 𝑜𝑢 𝑣 ≈ 𝑣0 → 𝐹𝑖𝑚 // 𝜖 é a tolerância Se 𝐸(𝑣0) > 𝜖 → 𝑣0 = 𝑣 e retorne ao passo 4. FimAlgoritmo Fonte: Do autor adaptado de Martins, 2015.
Martins (2015) explica que este algoritmo representa o Método de Newton para otimização local, mas em sua utilização em problemas reais com grande número de parâmetros ele não pode se tornar negativo, visto que é um problema numérico que pode acontecer, pois a matriz Hessiana possui uma demanda computacional muito grande, principalmente para problemas tridimensionais. Entretanto, na prática existem métodos que aproximam a matriz Hessiana, dentre eles o método dos Gradientes Descendentes (PRATT et al. (1998)).
52
3.1.4 – Cálculo do Gradiente
O vetor Gradiente, dado por:
∇𝐸(𝑣0) = (𝜕𝐸 𝜕𝑣1(𝑣0) 𝜕𝐸 𝜕𝑣2(𝑣0) … 𝜕𝐸 𝜕𝑣𝑁(𝑣0)) 𝑇 (10)
Este vetor de 𝑁 dimensões, número de parâmetros do modelo, é formado pelas derivadas da função objetivo 𝐸(𝑣) com relação aos parâmetros do meio, ou seja, as velocidades acústicas de propagação (MARTINS, 2015).
Estas derivadas para uma família de tiro comum definem-se pela equação:
∂E ∂vl= ∑ Nr k=1 ∂u ∂vl(r⃗⃗ ,t)⊗∆u(rk ⃗⃗ ,t) (11) k Onde:
➢ 𝑙 varia de 1 ao número de parâmetros 𝑁 ; ➢ ∂u
∂vl(r⃗⃗ ,t) é a derivada do campo de pressão, nas posições dos receptores, com k
respeito a velocidade na posição r⃗⃗ (Derivada de Fréchet); l
➢ ∆u(r⃗⃗ ,t) = u(rk ⃗⃗ ,t) − d(rk ⃗⃗ ,t) representa as diferenças (resíduos) entre os dados k
calculados e observados.
A equação pode ser deduzida derivando a função objetivo diretamente. Sendo assim, ∂E
∂vl é igual à soma das correlações entre as derivadas de Fréchet e os
resíduos nas posições dos receptores (MARTINS, 2015).
A figura 15 apresenta uma explicação física para o cálculo do gradiente, onde se percebe que a derivada de Fréchet, associada ao parâmetro na posição r⃗⃗ , pode ser interpretada l como o campo de ondas registrado na superfície de observação, espalhado pelo ponto localizado em r⃗⃗ . l
Para uma fonte localizada em r⃗⃗ l(f), a derivada de Fréchet em (𝑟 , 𝑡) associada ao ponto
do meio r⃗⃗ , é dada pela expressão (12): l
𝜕𝑢(𝑓) 𝜕𝑣𝑙 (𝑟 , 𝑡) = 𝑔(𝑟 , 𝑟⃗⃗ , 𝑡) ⊗ (𝑙 −2 𝑣(𝑟⃗⃗⃗ )𝑙 3) 𝜕2𝑢(𝑓) 𝜕𝑡2 (𝑟⃗⃗ , 𝑡) (12) 𝑙
53 Onde:
• 𝑔(𝑟 , 𝑟⃗⃗ , 𝑡) → Representa a função de Green encontrada através da solução da equação 𝑙
diferencial; ∇2𝑔(𝑟 , 𝑟 𝑙 ⃗⃗ , 𝑡) − 1 𝑣(𝑟 )2 𝜕2𝑔(𝑟 ,𝑟⃗⃗⃗ ,𝑡)𝑙 𝜕𝑡2 = 𝛿(𝑡)𝛿(𝑟 − 𝑟⃗⃗ ) (13) 𝑙 • Quando 𝑡 ≤ 0, temos a equação seguinte:
𝑔(𝑟 , 𝑟⃗⃗ , 𝑡) =𝑙
𝜕𝑔(𝑟 ,𝑟⃗⃗⃗ ,𝑡)𝑙
𝜕𝑡 = 0 (18)
Martins (2015) explica que o termo 𝜕 2𝑢(𝑓)
𝜕𝑡2 (𝑟⃗⃗ , 𝑡) é a derivada segunda com relação ao 𝑙 tempo do campo incidente em r⃗⃗ , que é dado pela solução da equação da onda não l
homogênea: ∇2𝑢(𝑓)(𝑟 , 𝑡) − 1 𝑣(𝑟 )2 𝜕2𝑢(𝑓) 𝜕𝑡2 (𝑟 , 𝑡) = 𝑓(𝑡)𝛿 (𝑟 − 𝑟 (𝑓 )) (19)
Analisando 𝑡 ≤ 0, uma 𝑓(𝑡) a assinatura da fonte sísmica, assumindo a expressão seguinte:
𝑢(𝑓)(𝑟 , 𝑡) =𝜕𝑢(𝑓)
𝜕𝑡 (𝑟 , 𝑡) = 0 (20)
54
Figura 15 – O gradiente é dado pela soma das correlações entre as derivadas de Fréchet e os
resíduos nas posições dos receptores.
Fonte: Do autor, 2020
Onde temos:
Para a fonte 𝑓(𝑡)𝛿 (𝑟 − 𝑟(𝑓 ))
Para o primeiro receptor 𝑟1, têm-se: 𝜕𝑢(𝑓)
𝜕𝑣𝑙 (𝑟⃗⃗⃗ , 𝑡) ⨂ ∆u(r1 ⃗⃗⃗ ,t)1
Para o segundo receptor 𝑟2, têm-se: 𝜕𝑢 (𝑓)
𝜕𝑣𝑙 (𝑟⃗⃗⃗ , 𝑡) ⨂ ∆u(r2 ⃗⃗⃗ ,t)2
Para o terceiro receptor 𝑟3, têm-se: 𝜕𝑢 (𝑓)
𝜕𝑣𝑙 (𝑟⃗⃗⃗ , 𝑡) ⨂ ∆u(r3 ⃗⃗⃗ ,t)3
Para o quarto receptor 𝑟4, têm-se: 𝜕𝑢 (𝑓)
𝜕𝑣𝑙 (𝑟⃗⃗⃗ , 𝑡) ⨂ ∆u(r4 ⃗⃗⃗ ,t)4
De forma análoga para N receptor 𝑟𝑁, têm-se: 𝜕𝑢 (𝑓)
55
A Figura 16 mostra que a derivada de Fréchet com relação a velocidade 𝑣𝑙 pode ser
interpretada como a o campo de ondas registrado na superfície de observação espalhado pelo ponto 𝑙 (MARTINS, 2015).
Ainda que esta formulação seja apropriada para a compreensão do problema inverso, o cálculo do gradiente exige esforços muitas vezes superiores aos recursos computacionais disponíveis, principalmente para aplicações tridimensionais. Acontece que cada família de tiro comum necessita da solução do problema sísmico direto (modelagem) 𝑁 + 1 vezes.
Consequentemente, na prática utiliza-se uma fórmula que não depende explicitamente das derivadas de Frechet, a qual pode ser deduzida por meio do Método Adjunto (PLESSIX (2006); FICHTNER (2011)).
Figura 16 – Interpretação Física das Derivadas de Frechet.
56 Onde temos: fv(r , t) = -2 vl3( -2 v(r⃗⃗ )l 3) ∂2u(f) ∂t2 (r⃗⃗ , t) l
Martins (2015) explica que o vetor gradiente da função objetivo em um ponto r⃗⃗ do l
meio pode ser calculado através da correlação entre a derivada segunda do campo de ondas incidente neste ponto a partir da fonte e o Campo Adjunto, conforme a seguinte equação:
∂E ∂vl= ( −2 𝑣(𝑟⃗⃗⃗ )𝑙 3) 𝜕2𝑢(𝑓) 𝜕𝑡2 (𝑟⃗⃗ , 𝑡)⊗𝑢𝑙 (𝑓)†(r⃗⃗ ,t) (21) l Onde: ∇2𝑢(𝑓)†− 1 𝑣2(𝑟 ) 𝜕2𝑢(𝑓)† 𝜕𝑡2 = ∆𝑢 (𝑓)(𝑟 , 𝑡)𝛿(𝑟 − 𝑟 𝑙 ⃗⃗ ) (22) Que para 𝑡 ≥ 𝑇, temos:
𝑢(𝑓)†(𝑟 , 𝑡) = 𝜕𝑢(𝑓)†(𝑟 ,𝑡)
𝜕𝑡 = 0 (23)
Onde:
• 𝑢(𝑓)†(𝑟 , 𝑡) é o campo adjunto associado a fonte f .
A Figura 17 ilustra o cálculo do gradiente no ponto r⃗⃗ para um Família de Tiro l Comum. Na interpretação física para o cálculo do gradiente, através do Método Adjunto, percebe-se que o vetor gradiente da função objetivo no ponto r⃗⃗ é calculado através da l correlação entre o campo de ondas propagado diretamente a partir da fonte sísmica, na figura este processo é representado pelo segmento de reta vermelho. Além disto, a propagação dos resíduos a partir dos receptores, sendo representado pelos segmentos de retas verdes, em um processo similar a migração reversa no tempo (MARTINS apud LAYLLY (1983), TARANTOLA (1984).
57
Figura 17 – Correlação dos campos - Método Adjunto.
Fonte: Do autor, 2020
Onde temos:
Para a fonte 𝑓(𝑡)𝛿 (𝑟 − 𝑟(𝑓 ))
Para o primeiro receptor 𝑟1, têm-se: ∆u(𝑓)(r⃗⃗⃗ ,t) 1
Para o segundo receptor 𝑟2, têm-se: ∆u(𝑓)(r 2
⃗⃗⃗ ,t) Para o terceiro receptor 𝑟3, têm-se: ∆u(𝑓)(r⃗⃗⃗ ,t) 3
Para o quarto receptor 𝑟4, têm-se: ∆u(𝑓)(r⃗⃗⃗ ,t) 4
58
3.2 – Filtragem
3.2.1 – Filtros Digitais
Os filtros digitais são amplamente utilizados em aplicações digitais modernas. Com eles é possível selecionar o sinal desejado, gerar pulso, equalizar canais de comunicação, entre outras aplicações. Qualquer sistema de tempo linear invariante (LTI) é calculado através da concepção de um filtro apropriado. Existem dois tipos diferentes de filtros digitais com base na sua resposta ao impulso; filtro de resposta de impulso finito (FIR) e resposta ao impulso do filtro infinito (IIR) (OPPENHEIM et al, 1999).
A resposta de impulso de duração finita, contendo zeros, isto é, filtros de todos os zeros ou FIR, são os filtros digitais mais comumente usados por causa de suas várias vantagens sobre (IIR) filtros de resposta infinito-impulso.
Os filtros FIR têm as seguintes vantagens principais:
• Eles estão sempre estáveis, mesmo quando quantificados durante a implementação ou aplicação do sistema real;
• A fase pode ser exatamente linear, portanto, não ocorrerem distorções de fase; • Eles podem ser realizados de forma eficiente em hardware;
• O filtro de transientes start-up tem duração finita; • Os métodos de concepção são geralmente lineares.
Por outro lado, a desvantagem principal de filtros FIR é que muitas vezes requerem um filtro de ordem muito maior das quais os filtros IIR podem atingir num determinado nível de desempenho. Correspondentemente, o atraso destes filtros é freqüentemente muito maior do que para um desempenho igual em filtros IIR (OPPENHEIM et al, 1999).
Mais uma vez, os filtros podem ser concebidos tanto no domínio do tempo e frequência. Podemos criar dois filtros de domínio de tempo e frequência e compreender suas vantagens e desvantagens em um sentido amplo (OPPENHEIM et al, 1999).