A matriz de uma transforma¸c˜ ao linear





x −2y = 0

z = 0

x +y = 0

Esse sistema possui somente a solu¸c˜ao trivial, e portanto KerT ={(0,0,0)} (⇒T ´e injetora).

Conclu´ımos ent˜ao que T ´e isomorfismo.

Agora, calculemos T⁻¹. Sabemos que, sendo T isomorfismo, leva base em base. Em parti-cular, o conjunto

β ={T(1,0,0);T(0,1,0);T(0,0,1)}={(1,0,1); (−2,0,1); (0,1,0)}

proveniente da aplica¸c˜ao de T na base canˆonica de R³ ´e base de R³. Assim T⁻¹◦T(1,0,0) = (1,0,0) ⇒ T⁻¹(1,0,1) = (1,0,0), T⁻¹◦T(0,1,0) = (0,1,0) ⇒ T⁻¹(−2,0,1) = (0,1,0) e T⁻¹◦T(0,0,1) = (0,0,1) ⇒ T⁻¹(0,1,0) = (0,0,1).

Ora, T⁻¹ est´a definida sobre a base β de R³, e T⁻¹ est´a bem definida em todo R³. Dado (x, y, z)∈R³, vocˆe pode verificar que

(x, y, z) = x+ 2y

3 (1,0,1) + z−x

3 (−2,0,1) +y(0,1,0), donde segue que

T⁻¹(x, y, z) =

x+ 2y

3 , z−x 3 , y

.

5.5 A matriz de uma transforma¸ c˜ ao linear

Recorde da Se¸c˜ao 5.3 que cada transforma¸c˜ao tem uma escrita na forma matricial. Para exemplificar, considere a transforma¸c˜ao linear T :R² →R² dada porT(x, y) = (x+y,2x), e a matriz

A=

1 1 2 0

.

CAP´ITULO 5. TRANSFORMAC¸ ˜OES LINEARES 69

Assim, a imagem de (x, y) porT coincide, interpretada como uma matriz coluna, com o produto AX. Isso nos motiva a associar transforma¸c˜oes lineares a matrizes.

Dada uma transforma¸c˜ao linear T :V →W e bases α ={v₁, . . . , v_n}, β ={w₁, . . . , w_k} de V e W, respectivamente, nosso objetivo ´e associar uma matriz `a transforma¸c˜ao T relativa `as bases α e β. ComoT(v₁), . . . , T(v_n)∈W, escrevemos

Teorema 5.4. Sejam V e W espa¸cos vetoriais, α base deV, β base de W e T :V →W uma transforma¸c˜ao linear. Ent˜ao

[T(v) ]_β = [T ]^α_β[v]_α.

A matriz [T ]^α_β ´e chamada matriz de T em rela¸c˜ao `as bases α e β.

α

V v

β

W T(v) T

Note que α´e a base de partida (do dom´ınio V) e β a base de chegada (do contradom´ınio W).

Ou seja, a ordem dos ´ındices coincide com `aquela da escrita de matrizes de mudan¸ca de base.

Como fizemos com matrizes de mudan¸ca de base, podemos ver [T ]^α_β em colunas. Observe que as colunas de [T]^α_β s˜ao os coeficientes das escritas das imagensT(v₁), . . . , T(v_n) na base β deW, isto ´e,

[T ]^α_β =





| |

[T(v₁) ]_β · · · [T(v_n) ]_β

| |



.

Com isso, uma transforma¸c˜ao de V em W estar´a bem definida se dissermos sua matriz sobre bases de V e W. Observe tamb´em que se n= dimV e k = dimW ent˜ao uma matriz da transforma¸c˜ao T :V →W tem ordem k×n.

Volte `a se¸c˜ao de mudan¸ca de base e compare com as contas feitas aqui. Veja que a matriz de mudan¸ca de base ´e a matriz do operador linear identidade. Nesse sentido, a nota¸c˜ao usada mostra sua conveniˆencia: se T =Id_V =I ´e o operador identidade sobre V, ent˜ao a express˜ao [T(v) ]_β = [T ]^α_β[v]_α fica [v]_β = [I]^α_β[v]_α, a mesma express˜ao obtida no estudo de matrizes de mudan¸ca de base.

Exemplo 5.15. Considere a transforma¸c˜ao linear T :R³ →R² dada por T(x, y, z) = ( 2x−y+z , 3x+y−2z ).

a) A matriz de T, [T ]^α_β, nas bases α ={(1,1,1); (0,1,1); (0,0,1)} deR³ e β ={(2,1); (5,3)}

deR² ´e [T]^α_β =





| | |

[T(1,1,1) ]_β [T(0,1,1) ]_β [T(0,0,1) ]_β

| | |



=





| | |

[ (2,2) ]_β [ (0,−1) ]_β [ (1,−2) ]_β

| | |



. Para encontrar essa matriz, temos que encontrar as escritas dos vetores (2,2),(0,−1) e (1,−2) na base β. Fazendo as contas, chegamos `a escrita do vetor (x, y) na base β:

[ (x, y) ]_β =

3x−5y

−x+ 2y

. Assim,

[T ]^α_β =

−4 5 13 2 −2 −5

.

CAP´ITULO 5. TRANSFORMAC¸ ˜OES LINEARES 71 Vocˆe pode fazer as contas e descobrir que

[ (3,−4,2) ]_α= contradom´ınio). Assim, para obter a matriz deT que vai de α para a base β, basta mudar a base do contradom´ınio da can paraβ, atrav´es da multiplica¸c˜ao da matriz de mudan¸ca de base [I]^can_β . W e U respectivamente. Ent˜ao a composta

S◦T :V →U

v →(S◦T)(v) = S(T(v))

´

e transforma¸c˜ao linear, e

[S◦T ]^α_γ = [S]^β_γ[T ]^α_β

(o produto matricial deve ser feito na mesma ordem da composi¸c˜ao).

β W

α V U γ

T S

S◦T

Exemplo 5.16. Considere os operadores lineares T, S :R² →R² dados por T(x, y) = (2x,2y) e S(x, y) = (x+ 2y, y). Temos

[S◦T ]^can_can = [S]^can_can[T]^can_can =

1 2 0 1

2 0 0 2

=

2 4 0 2

.

Exemplo 5.17. Sejam T :R² →R³ e S :R³ →R² definidas por

[T ]^α_β =





1 0

1 −1

0 1



 e [S]^β_γ =

0 1 −1

0 0 0

,

onde α = {(1,0); (0,2)} e γ = {(2,0); (1,1)} s˜ao bases de R² e β ´e uma base de R³. Vamos encontrar S◦T(x, y). Ora,

[S◦T ]^α_γ = [S]^β_γ[T ]^α_β =

1 −2

0 0

. E f´´ acil ver que

[ (x, y) ]_α = x

y/2

. Assim,

[S◦T(x, y) ]_γ = [S◦T ]^α_γ[ (x, y) ]_α =

x−y 0

, ou seja,

S◦T(x, y) = (x−y)(2,0) + 0(1,1) = (2x−2y,0).

Corol´ario 5.2. Se T :V →W ´e um isomorfismo,α uma base deV eβ uma base deW, ent˜ao [T⁻¹]^β_α =

[T]^α_β−1

.

α V

β W T

T⁻¹

Sabemos que matrizes quadradas possuem inversa se, e somente se, seu determinante ´e n˜ao nulo. Portanto, a mesma rela¸c˜ao vale entre isomorfismos (isto ´e, a existˆencia de T⁻¹) e determinantes.

CAP´ITULO 5. TRANSFORMAC¸ ˜OES LINEARES 73 Corol´ario 5.3. Sejam V e W espa¸cos vetoriais de mesma dimens˜ao, T :V → W uma trans-forma¸c˜ao linear e α, β bases deV e W respectivamente. Ent˜ao T ´e isomorfismo se, e somente se det[T ]^α_β 6= 0.

(o encadeamento da primeira para a ´ultima base se lˆe da direita para a esquerda no produto das matrizes – veja a figura abaixo).

α⁰ V

E importante ler e escrever a ordem dos ´ındices nas matrizes de forma correta. Note que as´ bases no produto [I]^β_β0[T]^α_β[I]^α_α⁰ “se cancelam”, restando a base de partida α⁰ e a de chegada β⁰.

Exemplo 5.19. Considere a transforma¸c˜ao do exemplo anterior, ou seja, T : R² → R² dada por

T(x, y) = ( 3x+ 4y , 2x+ 3y ).

Dadas as basesα⁰ ={(1,2); (−1,3)}eβ⁰ ={(1,1); (2,0)}, vamos calcular a matriz deT da base α⁰ para a base β⁰ utilizando o Corol´ario 5.4. Este resultado garante que

[T ]^β_α⁰0 = [I]^can_α0 [T ]^can_can[I]^β_can⁰ .

Veja que as matrizes envolvendo a base canˆonica s˜ao f´aceis de calcular. Temos

ˆ [I]^can_α0 =

ˆ [T ]^can_can = Assim, pela linearidade de T segue que

T(v) = T caso, dim KerT = p). Completando esse conjunto a uma base de V, obtemos uma base {v₁, . . . , v_p, v_p+1, . . . , v_n}deV formada, evidentemente, porn= dimV vetores. Vamos mostrar que os n−p vetores T(vp+1), . . . , T(vn) formam uma base de ImT. De fato, esses vetores s˜ao LI pois, pela linearidade deT, temos

a_p+1T(v_p+1) +· · ·+a_nT(v_n) = T(a_p+1v_p+1+· · ·+a_nv_n) =0 ⇒ a_p+1v_p+1+· · ·+a_nv_n∈ KerT.

Da´ı, esta soma dos v’s pode ser escrita na base de KerT, isto ´e, a_p+1v_p+1+· · ·+a_nv_n =b₁v₁+· · ·+b_pv_p, o que fornece

−b₁v₁− · · · −b_pv_p+a_p+1v_p+1+· · ·+a_nv_n=0.

CAP´ITULO 5. TRANSFORMAC¸ ˜OES LINEARES 75 Ora, mas os vetores v1, . . . , vn s˜ao LI, e logo devemos ter ap+1 =· · ·=an= 0. Portanto

a_p+1T(v_p+1) +· · ·+a_nT(v_n) = 0 ⇒ a_p+1 =· · ·=a_n = 0, ou seja, T(v_p+1), . . . , T(v_n) s˜ao LI.

Agora, dado T(u)∈ ImT, escrevemos u∈V na base de V:

u=c₁v₁+· · ·+c_pv_p+c_p+1v_p+1+· · ·+c_nv_n. AplicandoT e usando linearidade obtemos

T(u) = c₁T(v₁) +· · ·+c_pT(v_p)

| {z }

=0poisv1,...,vp∈KerT

+T(c_p+1v_p+1+· · ·+a_nv_n) = c_p+1T(v_p+1) +· · ·+c_nT(v_n).

Ou seja,{T(v_p+1), . . . , T(v_n)} gera ImT, e logo ´e uma base de ImT. Finalmente basta contar os elementos das bases de KerT e ImT para concluir que

dimV =n= (n−p) +p= dim ImT + dim KerT.

Demonstra¸c˜ao do Corol´ario 5.1. Seja T :V →W transforma¸c˜ao linear. Temos

T injetora ⇔ KerT ={0} (Teorema 5.2)

⇔dim KerT = 0

⇔dim ImT = dimV = dimW (Teorema 5.3 [do N´ucleo e da Imagem])

⇔ ImT =W (Atividade 4.8 de Espa¸cos Vetoriais)

⇔T sobrejetora (Defini¸c˜ao 5.5).

Demonstra¸c˜ao do Teorema 5.4. A demonstra¸c˜ao est´a no pr´oprio texto, antes do Teorema.

Demonstra¸c˜ao do Teorema 5.5. SejaRa MLRFE de [T ]^α_β. Essa matriz n˜ao ´e necessariamente quadrada: tem ordem m×n, onde m = dimW e n = dimV. Consideremos o sistema ho-mogˆeneo Rv =0. Como R est´a na forma escada reduzida, suas linhas nulas aparecem todas abaixo das n˜ao nulas; portanto podemos desconsider´a-las no sistemaRv=0. Reordenando as colunas se necess´ario, podemos ent˜ao escrever o sistema Rv=0 de forma equivalente como

I_p N v_I

vN

=0,

onde I_p ´e matriz identidade de ordem p = posto de [T ]^α_β e N a matriz restante de ordem p×(p−n). Assim, v_I e v_N tˆem dimens˜oes p×1 e (n−p)×1, respectivamente. O sistema anterior pode ser escrito simplesmente como

v_I =−Nv_n.

Note que a escolha devN ´e livre, mas a devI n˜ao. Ademais, KerT ´e caracterizado pelo sistema homogˆeneo, e logo este subespa¸co ´e caracterizado pelas poss´ıveis escolhas para v_N. Ora, h´a exatamente n−pescolhas para v_N de modo a obter vetores LI, por exemplo, escolhendo para vN os vetores canˆonicos de R^n−p. Assim, uma base de KerT tem n−p vetores, e logo

dim KerT =n−p= nulidade de [T]^α_β

(no caso extremo onde n−p= 0, a matriz N n˜ao aparece, o sistema homogˆeneo ´e equivalente

`

a v_I =0 e ent˜ao, coerentemente, KerT ={0}).

A rela¸c˜ao envolvendo a imagem de T segue do Teorema do N´ucleo e da Imagem:

dim ImT = dimV −dim KerT =n−(n−p) = p= posto de [T]^α_β. Isso finaliza a demonstra¸c˜ao.

Demonstra¸c˜ao do Teorema 5.6. Primeiro mostramos que a composta S◦T : V → U ´e linear.

Dados vetores v₁, v₂ ∈V e a∈R quaisquer, temos (S◦T)(v₁+v₂) =S(T(v₁+v₂))

=S(T(v₁) +T(v₂)) =S(T(v₁)) +S(T(v₂))

= (S◦T)(v₁) + (S◦T)(v₂).

Da mesma forma prova-se que (S◦T)(av1) =a(S◦T)(v1).

Vamos agora mostrar que a matriz de S◦T ´e o produto das matrizes de S e T. Usando o Teorema 5.4 temos, por um lado,

[S◦T(v) ]γ = [S◦T ]^α_γ[v]α, e, por outro lado,

[S◦T(v) ]_γ = [S(T(v)) ]_γ = [S]^β_γ[T(v) ]_β =

[S]^β_γ[T ]^α_β [v]_α.

Como as duas express˜oes acima valem parav ∈V arbitr´ario, s´o pode ser [S◦T ]^α_γ = [S]^β_γ[T ]^α_β, como quer´ıamos demonstrar.

Demonstra¸c˜ao do Corol´ario 5.2. Temos T⁻¹◦T =IdV. Se α={v1, . . . , vn}´e base deV ent˜ao [Id_V ]^α_α =





| |

[v₁]_α · · · [v_n]_α

| |



=I_n. Assim,

I_n= [Id_V ]^α_α = [T⁻¹◦T ]^α_α= [T⁻¹]^β_α[T ]^α_β, e da´ı [T⁻¹]^β_α =

[T]^α_β−1

.

CAP´ITULO 5. TRANSFORMAC¸ ˜OES LINEARES 77 Demonstra¸c˜ao do Corol´ario 5.3. Se T ´e isomorfismo, ent˜ao o Corol´ario 5.2 diz que [T ]^α_β ´e invers´ıvel, e assim det[T ]^α_β 6= 0. Reciprocamente, se det[T ]^α_β 6= 0 ent˜ao [T ]^α_β ´e invers´ıvel, isto

´

e, existe uma matriz quadradaB tal queB[T ]^α_β =I. Defina ent˜ao a transforma¸c˜aoS :W →V pondo [S]^β_α =B. Temos

[Id_V ]^α_α =I=B[T ]^α_β = [S]^β_α[T]^α_β = [S◦T ]^α_α, ou seja, S◦T =Id_V. Assim, T ´e isomorfismo, comT⁻¹ =S.

Demonstra¸c˜ao do Corol´ario 5.4. Basta observar que T =Id_W ◦T ◦Id_V implica [T]^α_β⁰0 = [Id_W ◦T ◦Id_V ]^α_β⁰0 = [I]^β_β0[T ]^α_β[I]^α_α⁰.

5.7 Exerc´ıcios

Transforma¸ c˜ oes Lineares

1. Determine quais das seguintes aplica¸c˜oes s˜ao lineares. Se n˜ao for, explique o porquˆe.

(a) T :R³ →R² definida por T(x, y, z) = (x, z).

(b) T :R⁴ →R⁴ definida por T(x) =−x.

(c) T :R³ →R³ definida por T(x) =x+ (0,−1,0).

(d) T :R² →R² definida por T(x, y) = (2x+y, y).

(e) T :R² →R² definida por T(x, y) = (2x, y−x).

(f) T :R² →R² definida por T(x, y) = (y, x).

(g) T :R² →R definida por T(x, y) =xy.

(h) T :R³ →R³ definida por T(x, y, z) = (x,2^y,2^z).

(i) T :R⁴ →R³ definida por T(x, y, z, w) = (x−w, y−w, x+z).

(j) T :M(2,2)→R definida por T

a b c d

= det

a b c d

=ad−bc.

(k) T :M(n, n)→Rⁿ definida por T(A) = (a₁₁, a₂₂, . . . , a_nn).

(l) T : P_n → P_n onde a imagem de um polinˆomio p ∈ P_n ´e o polinˆomio definido por T(p)(t) =p(t+ 1) para todo t∈R.

(m) T :Pn →Rⁿ definida por T(p) = p(1).

(n) T :P2 →R³ definida por T(p) = (p(−1), p(0), p(1)).

(o) T :R³ →R³ definida por T(x, y, z) = (x+y, y+z, x+z).

(p) T :R² →R³ definida por T(x, y) = (x+y, y, x).

(q) T :M(n, n)→R definida por T(A) =trA=a₁₁+a₂₂+· · ·+a_nn. 2. Para cada uma das transforma¸c˜oes lineares do exerc´ıcio anterior, fa¸ca:

(a) Determine uma base da imagem de T, ImT, caso n˜ao se reduza a {0}.

(b) Determine uma base do n´ucleo de T, KerT, caso n˜ao se reduza a {0}.

(c) Diga seT ´e injetora, sobrejetora ou um isomorfismo, justificando sua resposta. Caso T for isomorfismo, calcule T⁻¹.

3. Seja V um espa¸co vetorial real e sejam u, w ∈ V. A reta que passa por u e ´e paralela a w ´e definida pelo conjunto de todos os elementos u+tw com t ∈ R. O segmento de reta entre os pontos extremos u e u+w ´e definido pelo conjunto de todos os elementos u+tw com 0≤t ≤1. Seja L:V →U uma transforma¸c˜ao linear. Mostre que a imagem por L de um segmento de reta em V ´e um segmento de reta em U. Quais s˜ao os pontos extremos do segmento? Mostre que a imagem por L de uma reta ´e sempre uma reta ou um ponto.

4. SejaT :R² →R² uma transforma¸c˜ao linear. Em cada caso, determine T(x, y).

(a) T(3,1) = (1,2) e T(−1,0) = (1,1).

(b) T(4,1) = (1,1) e T(1,1) = (3,−2).

(c) T(1,1) = (2,1) e T(−1,1) = (6,3).

5. Existe um operador T : R³ → R³ tal que T(1,1,1) = (1,2,3), T(1,2,3) = (1,4,9) e T(2,3,4) = (1,8,25)? (dizemos que uma transforma¸c˜ao linear T ´e um operador se seus dom´ınio e contradom´ınio s˜ao os mesmos) Justifique sua resposta. Se for o caso, encontre T(x, y, z).

6. Diga cada senten¸ca ´e verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove-a, e se for falsa, dˆe um contra-exemplo.

Seja dada uma transforma¸c˜ao linear T :V →W. (a) Se v ∈V ´e tal que T(v) = 0 ent˜aov =0.

(b) Se T(w) =T(u) +T(v) ent˜ao w=u+v.

(c) Sev´e combina¸c˜ao linear deu₁, . . . , u_ment˜aoT(v) ´e combina¸c˜ao linear deT(u₁), . . . , T(u_m).

Sejan = dimV ek = dimW.

(d) Se T ´e injetora ent˜ao dim ImT =n.

(e) Se T ´e sobrejetora ent˜ao dim KerT =n−k.

7. SejamV eW espa¸cos vetoriais. Se dimV < dimW, mostre que existem transforma¸c˜oes linearesT :V →W e S:W →V tais que T ´e injetora e S ´e sobrejetora.

8. Seja T : R² → R² dado por T(x, y) = (ax +by, cx +dy). Determine as constantes a, b, c, d∈R de modo queT(1,2) = (1,1) e T(3,4) = (2,2).

9. SejaT :V →W uma transforma¸c˜ao linear. Mostre que:

(a) Se os vetoresT(u₁), . . . , T(u_m)∈W s˜ao LI ent˜ao s˜ao tamb´em LI os vetoresu₁, . . . , u_m ∈ V.

(b) Se V =W e os vetoresT(u₁), . . . , T(u_m) geramW, ent˜aou₁, . . . , u_m geram V. 10. SejaG um conjunto de geradores do espa¸co vetorial V. Mostre que se as transforma¸c˜oes

lineares T, S : V → W s˜ao tais que T(u) = S(u) para todo u ∈ G, ent˜ao T(v) = S(v) para todov ∈V, isto ´e,T eS s˜ao iguais.

CAP´ITULO 5. TRANSFORMAC¸ ˜OES LINEARES 79 11. SejaT :V →V um operador linear e suponha que exista um operadorS :V →V tal que T ◦S =Id_V, onde Id_V ´e o operador identidade emV. Mostre queT ´e umautomorfismo, isto ´e, que T ´e um isomorfismo de V no pr´oprio V.

12. SejaT :V →W um isomorfismo. Se S :W →V ´e tal que T ◦S =Id_W, mostre queS ´e transforma¸c˜ao linear.

13. Sejam T : V → W e S : W → U transforma¸c˜oes lineares tais que KerT = {0_V} e KerS = {0_W}, onde 0_V e 0_W s˜ao os vetores nulos de V e W, respectivamente. Mostre que Ker (S◦T) = {0_V}.

14. Seja T : V → V um operador linear tal que T² = T ◦ T = T. Mostre que V = KerT ⊕ ImT.

15. Um conjunto C se chama convexo se, para quaisquer x, y ∈C, tem-se (1−t)x+ty ∈C para todot ∈[0,1] (isto ´e, se o segmento que liga dois pontos quaisquer deC ainda est´a em C). Mostre que uma transforma¸c˜ao linear T : V → W transforma todo conjunto convexo C ⊂V num conjunto convexo T(C)⊂W.

16. (a) Sejam U e W espa¸cos vetoriais. Considere o conjunto U ×W de todos os pares ordenados (u, w) com u ∈ U e w ∈ W. Se (u₁, w₁),(u₂, w₂) ∈ U ×W e α ∈ R definimos a soma em U×W por

(u₁, w₁) + (u₂, w₂) = (u₁+u₂, w₁+w₂)

e a multiplica¸c˜ao por escalar por α(u₁, w₁) = (αu₁, αw₁). Mostre que com essas opera¸c˜oes, U ×W ´e espa¸co vetorial.

(b) Mostre que dim(U ×W) = dimU + dimW.

(c) Suponha queU eW sejam subespa¸cos deV, e considere a aplica¸c˜aoT :U×W →V dada porT(u, w) = u−w. Mostre queT ´e transforma¸c˜ao linear e use-a para mostrar que

dimU + dimW = dim(U +W) + dim(U ∩W).

17. SejaT :V →V um operador linear.

(a) Mostre que se T(v) ´e m´ultiplo de v para todo v ∈ V, ent˜aoT = αId_V para algum α∈R, ondeId_V ´e o operador identidade em V.

(b) Usando o item anterior, mostre que se T n˜ao ´e da forma αId_V ent˜ao existe w ∈ V tal que {w, T(w)}´e um conjunto LI.

(c) Mostre que se T comuta com qualquer operador sobre V, isto ´e, se T ◦S = S ◦T para qualquer operadorS :V →V, ent˜aoT =αId_V para algum α∈R.

Dica: SeT n˜ao ´e da formaαIdV, pelo item anterior existew∈V tal que{w, T(w)}´e LI. Complete esse conjunto a uma base de V, digamos {w, T(w), v₃, . . . , v_n}. Defina ent˜ao o operador P :V →V pondo P(w) =P(T(w)) =w e P(v₃) =· · ·=P(v_n) = 0. Mostre ent˜ao que P ◦T 6=T ◦P, e conclua o resultado.

Matrizes de Transforma¸ c˜ oes Lineares

1. Considere as tranforma¸c˜oes lineares abaixo

i) T₁ :R³ →R² definida por T₁(x, y, z) = (x, z).

ii) T₂ :R⁴ →R⁴ definida por T₂(v) = −v.

iii) T3 :R² →R² definida por T3(x, y) = (2x+y, y).

(d) a partir do item anterior, diga se T_i ´e isomorfismo. Caso for, encontre uma matriz para T_i⁻¹ em certas bases.

(e) calcule [T₃◦T₁]^β_α, [T₆◦T₂]^can_β , [T₁◦T₆]^γ_can, [T₅◦T₃]^α_α, [T₅◦T₁◦T₆]^can_α . (f) calcule [T₅◦T₄◦T₃]^can_α e a partir da´ı encontre (T₅◦T₄◦T₃)(x, y).

2. Para cada matriz A abaixo, encontre uma trasnforma¸c˜ao linear T : Rⁿ → R^m tal que a matriz de T nas bases canˆonicas de Rⁿ eR^m seja A. n˜ao ´e isomorfismo.

5. Mostre que os espa¸cos vetoriaisR³ e T_S(2) s˜ao isomorfos (T_S(2) ´e o espa¸co das matrizes triangulares superiores de ordem 2). Mais geralmente, argumente que espa¸cos vetoriais de mesma dimens˜ao s˜ao isomorfos.

Cap´ıtulo 6

Autovalores e Autovetores

Considere a operador linearS :R² →R² sobreR². Podemos nos perguntar o seguinte: para quais vetores v ∈R², a imagem S(v)∈ R² tem a mesma dire¸c˜ao de v? Isto ´e, queremos saber se para um dado v ∈R², existe λ∈R tal que

S(v) =λv. (6.1)

Exemplo 6.1. Considere a reflex˜ao no plano ao redor da origem, F(x, y) = (−x,−y).

Como

F(x, y) = −1 (x, y),

e logo (6.1) ´e satisfeita para todo (x, y) e λ=−1.

Exemplo 6.2. Considere a reflex˜ao em torno do eixox, dada por Q(x, y) = (x,−y).

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Os ´unicos vetores (x, y) que satisfazem (6.1) s˜ao da forma (x,0) ou (0, y). Veja que Q(x,0) = 1 (x,0) e Q(0, y) =−1 (0, y)

para x, y 6= 0, mas Q(x, y) 6= λ(x, y) para qualquer λ ∈ R quando y 6= 0 e x 6= 0. Geome-tricamente, os ´unicos vetores que permanecem inalterados por reflex˜ao ao redor do eixo x s˜ao aqueles na dire¸c˜ao do eixo x, enquanto que os vetores na dire¸c˜ao do eixo y mudam de sentido.

Exemplo 6.3. Considere a rota¸c˜ao ao redor da origem por um ˆanguloθno sentido anti-hor´ario, R(x, y) = ( xcosθ−ysenθ , ycosθ+xsenθ ).

ˆ Se θ = 2kπ para algum k ∈ Z (ˆangulo nulo + voltas completas), ent˜ao para todo (x, y) temos

R(x, y) = (x, y).

ˆ Se θ = π + 2kπ para algum k ∈ Z (ˆangulo 180^o + voltas completas), ent˜ao para todo (x, y) temos

R(x, y) = −(x, y).

ˆ Seθ 6=kπ para todok ∈Z(0< θ < π + meias voltas) ent˜aoR n˜ao mant´em a dire¸c˜ao de vetor algum, isto ´e, ap´os rota¸c˜ao por um ˆangulos desses, os vetores mudam de dire¸c˜ao.

Atividade 6.1. Interprete geometricamente os trˆes itens do exemplo anterior fazendo figuras.

Podemos levar esta ideia para um espa¸co vetorial qualquer: dada um operador linear T : V →V, estamos interessados em determinar os pares (λ, v) para os quais

T(v) = λv. (6.2)

Neste caso, o escalar λ ´e chamado autovalor de T e v ´e chamado autovetor de T associado a λ. Podemos ainda dizer que (λ, v) ´eautopar deT.

Evidentemente, em qualquer caso,v =0satisfaz a equa¸c˜ao (6.2) para qualquerλ, e logo o caso interessante ´e quando v 6= 0. Com isso, determinamos a no¸c˜ao de autovalor/autovetor de um operador qualquer.

Defini¸c˜ao 6.1. Seja T : V → V um operador linear sobre V. Se existirem v ∈ V, v 6= 0, e λ ∈ R tais que T(v) = λv, ent˜ao dizemos que λ ´e autovalor de T e v ´e autovetor de T associado a λ.

CAP´ITULO 6. AUTOVALORES E AUTOVETORES 83 Note que a defini¸c˜ao exige que

T(v) = λv∈V.

Logo, a imagem T(v) deve ser elemento de V. Por isso s´o definimos autovalo-res/autovetores para transforma¸c˜oes entre um mesmo espa¸co vetorial V (operador sobreV).

Um fato ´e que sev 6=0´e autovetor deT associado ao autovalorλ, ent˜aoav,a6= 0 qualquer, tamb´em ´e autovetor deT associado ao mesmo autovalor λ. De fato, sendo T(v) =λv temos

T(av) =aT(v) =a(λv) =λ(av).

Em resumo:

Teorema 6.1. Se v 6= 0 ´e autovetor de T associado ao autovalor λ, ent˜ao av, a 6= 0, ´e autovetor de T associado a λ.

Dado um operador T : V → V, o Teorema 6.1 motiva considerarmos o conjunto dos autovetores v associados a um autovalor λ, definido como

V_λ ={v ∈V |T(v) =λv}.

Atividade 6.2. Mostre que Vλ ´e subespa¸co vetorial de V.

O subespa¸co Vλ deV ´e chamado de autoespa¸co associado ao autovalorλ.

Uma visualiza¸c˜ao geom´etrica interessante dos autoespa¸cos aparece um Geometria Anal´ıtica, da seguinte forma: dada uma cˆonica no plano rotacionada ao redor da origem (por exemplo, uma elipse rotacionada), os autoespa¸cos associados `a matriz dos termos de ordem 2 da cˆonica s˜ao as retas nas dire¸c˜oes dos eixos da cˆonica. Veja a se¸c˜ao 6.5 para detalhes. Analogamente, autoespa¸cos descrevem os eixos de qu´adricas rotacionadas no espa¸co.

6.1 Matrizes

Vimos anteriormente que podemos associar matrizes `a transforma¸c˜oes lineares. ´E natural, portanto, associar autovalores/autovetores `a matrizes. Pela afirma¸c˜ao acima, somente matri-zes quadradas s˜ao consideradas. Podemos pensar na matriz quadrada A n × n como a matriz de T : Rⁿ → Rⁿ nas bases canˆonicas. Logo, transitamos entre transforma¸c˜oes e matrizes de forma natural:

[T ]^can_can =A

T :Rⁿ →Rⁿ ←→ A matriz n×n v ∈Rⁿ ←→ v matriz coluna n×1

T(v) = λv ←→ Av=λv

Podemos ent˜ao falar em autovalores/autovetores de matrizes quadradas:

v6=0´e autovetor da matriz quadradaA associado ao autovalor λ se Av=λv.

Com isso, calculamos autovalores/autovetores de um operador olhando para sua matriz nas bases canˆonicas.

Exemplo 6.4. As matrizes nas bases canˆonicas associadas aos operadores lineares dos Exem-plos 6.1 e 6.2 s˜ao, respectivamente,

B= Exemplo 6.5. Considere a matriz

A=

2 2 0 1

, Seus autopares podem ser calculados resolvendo

2 2

Vocˆe pode verificar queAu = 2u.

CAP´ITULO 6. AUTOVALORES E AUTOVETORES 85

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