Seja V um espa¸co vetorial e β = {u1, . . . , un}, β0 = {w1, . . . , wn} bases ordenadas suas.
Nosso objetivo ´e descobrir qual a rela¸c˜ao entre as escritas de um vetor v ∈V nessas bases, isto
´
Comoβ ´e base deV, podemos escrever cada vetor de β0 como comina¸c˜ao linear dos vetores de β, digamos aparecem na soma anterior s˜ao os xi’s:
chegamos `a express˜ao
CAP´ITULO 4. ESPAC¸ OS VETORIAIS 51
[v]β = [I]ββ0[v]β0.
A matriz [I]ββ0 ´e chamada matriz de mudan¸ca da base β0 para a base β.
A nota¸c˜ao ´e adequada: vocˆe pode ver [I]ββ0[v]β0 como o “produto v = Iv” onde as bases β0 s˜ao “canceladas”.
Observe que as colunas de [I]ββ0 s˜ao os coeficientes da escrita dos vetores da base inicial β0 ={w1, . . . , wn} na base finalβ ={u1, . . . , un}. Para indicar tal fato, podemos escrever
Dessa maneira, fica f´acil saber o que fazer para calcular uma matriz de mudan¸ca de base.
Exemplo 4.45. Sejamβ ={(2,−1); (3,4)}ecan={(1,0); (0,1)}bases deR2. Vamos calcular a matriz de mudan¸ca da base can para β:
[I]canβ = Devemos ent˜ao calcular a escrita dos vetores decan na base β:
(1,0) = a(2,−1) +b(3,4)⇒
Com isso podemos encontrar qualquer vetor na base β. Por exemplo, tomando v = (5,−8), vemos que [v]can = Vocˆe pode verificar que realmente
(5,−8) = 4(2,−1)−1(3,4).
De fato, a escrita de cada vetor vi na baseβ ´e
vi = 0v1 + 0v2 +· · ·+ 1vi+· · ·+ 0vn,
ou seja, [vi]β ´e a coluna ida matriz identidade In. Uma pergunta surge: se conhecemos a mudan¸ca de β0 para β ([I]ββ0), como obter a mudan¸ca inversa, deβ para β0 ([I]ββ0)?
Vejamos: dado v ∈V qualquer, temos
[v]β = [I]ββ0[v]β0 e [v]β0 = [I]ββ0[v]β. Vamos encontrar [I]canβ . Observe que nessa matriz as colunas s˜ao as escritas dos vetores canˆonicos na base β. ´E conveniente portanto calcul´a-la invertendo a matriz
[I]βcan =
CAP´ITULO 4. ESPAC¸ OS VETORIAIS 53
4.8 Demonstra¸ c˜ oes
Demonstra¸c˜ao do Teorema 4.1. u, w ∈ W1 ∩W2 ⇒ u, w ∈ W1 e u, w ∈ W2. Como W1 e W2 s˜ao subespa¸cos, temos u+w∈W1 eu+w∈W2. Assim u+w∈W1∩W2, ou seja, W1∩W2 ´e fechado para a soma.
Atividade 4.9. Mostre que a interse¸c˜aoW1∩W2 no teorema anterior ´e fechada para a multi-plica¸c˜ao por escalar, e conclua a prova desse teorema.
Demonstra¸c˜ao do Teorema 4.2. u, v ∈ W1 +W2 ⇒ u = w1 +w2, v = w1 +w2, w1, w1 ∈ W1, w2, w2 ∈W2 ⇒u+v = (w1+w2) + (w1+w2) = (w1+w1) + (w2+w2) ∈W1+W2 pois W1 eW2 s˜ao subespa¸cos. Isso mostra que W1+W2 ´e fechado para a soma.
Atividade 4.10. Mostre que W1+W2 no teorema anterior ´e fechado para a multiplica¸c˜ao por escalar, e conclua a prova desse teorema.
Demonstra¸c˜ao do Teorema 4.3. Se {v1, . . . , vn} ´e LD ent˜ao existem a1, . . . , an ∈ R n˜ao todos nulos (digamos que ai 6= 0) tais que a1v1+· · ·+anvn=0. Assim,
vi =−1
ai(a1v1+· · ·+ai−1vi−1+ai+1vi+1+· · ·+anvn)
=
−a1 ai
v1+· · ·+
−ai−1
ai
vi−1+
−ai+1 ai
vi+1+· · ·+
−an ai
vn, ou seja, vi ´e combina¸c˜ao linear dev1, . . . , vi−1, vi+1, . . . , vn.
Reciprocamente, se vi ´e combina¸c˜ao dos outros vetores, ent˜ao vi =a1v1+· · ·+ai−1vi−1+ai+1vi+1+· · ·+anvn
⇒a1v1+· · ·+ai−1vi−1+ (−1)vi+ai+1vi+1+· · ·+anvn=0.
Com isso, a equa¸c˜aoa1v1+· · ·+anvn=0admite uma solu¸c˜ao n˜ao trivial. Portanto{v1, . . . , vn}
´ e LD.
Demonstra¸c˜ao do Corol´ario 4.1. Sejamα ={v1, . . . , vn}eβ ={w1, . . . , wk}bases deV. Como V = [α] eβ´e LI, o Teorema 4.5 diz quek ≤n. Por outro lado, como V = [β] eα´e LI, tamb´em k ≥n. Assim, k =n, como quer´ıamos.
Demonstra¸c˜ao do Teorema 4.6. Seja n = dimV e v1, . . . , vr ∈ V vetores LI. Se [v1, . . . , vr] = V ent˜ao {v1, . . . , vr} j´a ´e base de V (r = n). Caso contr´ario, se [v1, . . . , vr] ( V, existe vr+1 ∈ V tal que vr+1 ∈/ [v1, . . . , vr] (r < n). Neste caso, {v1, . . . , vr, vr+1} ´e LI. Com isso, se [v1, . . . , vr, vr+1] =V, ent˜ao {v1, . . . , vr, vr+1} ´e base de V. Caso contr´ario, existe vr+2 ∈V tal que
[v1, . . . , vr, vr+1]([v1, . . . , vr, vr+1, vr+2].
Prosseguindo se necess´ario, existem ent˜ao k = n−r vetores vr+1, . . . , vr+k ∈ V tais que β = {v1, . . . , vr, vr+1, vr+k}´e LI e [β] =V, ou seja, β ´e base de V. Note que este processo p´ara pois qualquer conjunto comn vetores de V ´e LD.
Demonstra¸c˜ao do Corol´ario 4.2. Suponha por absurdo que o conjunto β comn vetores LI n˜ao
´
e base de V. Assim, completamos β a uma base de V, obtendo uma base de V com mais den vetores, um absurdo.
Demonstra¸c˜ao do Teorema 4.8. Seja v ∈ V. Como [v1, . . . , vn] = V, v ´e combina¸c˜ao linear de v1, . . . , vn]. Escrevamos v =Pn
1aivi e v =Pn
1bivi. Devemos mostrar que ai =bi para todo i.
Ora, como
0=v−v =
n
X
1
aivi−
n
X
1
bivi =
n
X
1
(ai−bi)vi e β ´e LI, segue que ai−bi = 0 para todo i, como quer´ıamos demonstrar.
4.9 Exerc´ıcios
1. Verifique que os conjuntos abaixo s˜ao subespa¸cos deR2 ou R3. (a) A={(x, y)∈R2 |x=y}
(b) C={(x, y, z)∈R3 |x+y+z = 0}
(c) D={(x, y, z)∈R3 |x=y, 2y=z}
2. Diga quais dos subconjuntos a seguir s˜ao subespa¸cos vetoriais. Se n˜ao for, diga o porquˆe.
Considere como opera¸c˜oes de soma e multiplica¸c˜ao por escalar as usuais deRnouM(m, n).
(a) X ={(x, y, z)∈R3 |xy= 0} ⊂R3.
(b) O conjunto Z ⊂M(2,3) nas quais alguma coluna ´e formada por elementos iguais.
(c) O conjunto L⊂Rn dos vetores v = (x,2x,3x, . . . , nx), ondex∈R ´e arbitr´ario.
(d) O conjunto dos vetores de R5 que tˆem duas ou mais coordenadas nulas.
(e) O conjunto dos vetores de R3 que tˆem pelo menos uma coordenada ≥0.
(f) O conjunto dos vetores de Rn cujask ≥1 primeiras coordenadas s˜ao iguais.
(g) Y ={(x, y)∈R2 |x2+ 3x=y2+ 3y} ⊂R2. 3. Exiba uma base para cada um dos subespa¸cos deR4.
(a) F ={(x1, x2, x3, x4)∈R4 |x1 =x2 =x3 =x4} (b) H={(x1, x2, x3, x4)∈R4 |x1 =x2 =x3}
(c) K ={(x1, x2, x3, x4)∈R4 |x1+x2+x3+x4 = 0}
4. Verifique que os vetores u = (1,1,1), v = (1,2,1) e w = (2,1,2) s˜ao linearmente depen-dentes.
5. Verifique que os vetoresu= (1,1,1), v = (1,2,3) ew= (1,4,9) formam uma base deR3. Exprima cada um dos vetorese1 = (1,0,0),e2 = (0,1,0) ee3 = (0,0,1) como combina¸c˜ao linear dos elementos dessa base.
6. Dadosu= (1,2) e w= (−1,2), sejamF eG as retas que passam pela origem em R2 nas dire¸c˜oes de u ew, respectivamente.
(a) Verifique que F eG s˜ao subespa¸cos deR2.
CAP´ITULO 4. ESPAC¸ OS VETORIAIS 55 (b) Mostre que R2 =F ⊕G.
7. Considere os subespa¸cos W1, W2 ∈ R3 assim definidos: W1 ´e o conjunto de todos os vetores v = (x, x, x) e W2 ´e o conjunto de todos os vetores w = (x, y,0). Mostre que R3 =W1⊕W2.
8. (a) Mostre que para todo subespa¸co vetorialW deRn, existe um subespa¸co vetorialW0 deRn tal que Rn =W ⊕W0.
(b) Dado o subespa¸co W = {(x, y, z) ∈ R3 | x+ 2y +z = 0} de R3, encontre um subespa¸coW0 tal que R3 =W ⊕W0.
9. Diga se cada afirma¸c˜ao ´e verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(a) Se V =W1⊕W2 ent˜ao dimV = dimW1+ dimW2. (b) Se dimV = dimW1+ dimW2, ent˜ao V =W1⊕W2.
(c) Se W1 e W1 s˜ao subespa¸cos de V, dimW1 > dimV
2 e dimW2 > dimV
2 , ent˜ao W1∩W2 6={0}.
(d) Se W1 eW2 s˜ao subespa¸cos deV ent˜ao [W1∪W2] =W1+W2.
10. Mostre que todo espa¸co vetorial V com dimV = n ´e soma direta de n subespa¸cos de dimens˜ao 1.
11. Mostre que β = {(1,1,0,0),(−1,0,2,3),(0,0,1,1),(1,0,0,3)} forma uma base de R4 e obtenha as matrizes mudan¸ca de base [I]βcan e [I]canβ , onde can´e a base canˆonica de R4. 12. Sejamα e β bases deR2. Se α ={(1,2),(2,3)} e [I]βα=
1 −1
−1 2
, encontre β.
13. Considere um subconjunto LD α = {v1, v2,· · · , vn} de Rn com n vetores. Justifique porque o determinante da matriz cujas colunas s˜ao os vetores v1, v2,· · · , vn do conjunto α ´e nulo.
14. Mostre que, dado um subconjunto deR3 α ={(a11, a21, a31),(a12, a22, a32),(a13, a23, a33)}, temos queα ´e base de R3 se, e somente se, det[aij]3×3 6= 0. Tente generalizar o resultado para Rn. Volte ao exerc´ıcio 11 e veja que o determinante da matriz 4×4 cujas colunas s˜ao os vetores de β ´e n˜ao nulo, e portanto β ´e base.
Dica: no caso de R3, escreva a matriz [aij]3×3 e observe que ela ´e justamente a matriz de mudan¸ca de base [I]αcan. Sabendo que essa matriz ´e invers´ıvel, conclua o resultado usando o exerc´ıcio 13 e lembrando do teorema que diz “A ´e invers´ıvel se, e somente se, detA 6= 0”.
15. Considere o plano π: 2x−y+ 3z = 0 que passa pela origem de R3 e a retar : (x, y, z) = (0,0,0) +t(1,1,−3). SejaP e R os subespa¸cos deR3 correspondentes ao plano e `a reta, respectivamente.
(a) Encontre bases para P e R.
(b) Mostre que R3 =P ⊕R.
(c) Dˆe uma interpreta¸c˜ao geom´etrica para as bases deP eR, considerando o seu conhe-cimento em geometria anal´ıtica.
16. Considere a afirma¸c˜ao
“A uni˜ao de dois subconjuntos LI X e Y do espa¸co vetorialV ´e ainda um conjunto LI”
Diga se cada alternativa abaixo ´e correta ou incorreta, justificando suas respostas.
(a) A afirma¸c˜ao ´e sempre verdadeira.
(b) A afirma¸c˜ao nunca ´e verdadeira.
(c) A afirma¸c˜ao ´e verdadeira quandoX e Y s˜ao disjuntos, isto ´e, quando X∩Y =∅.
(d) A afirma¸c˜ao ´e verdadeira quandoX ⊂Y ouY ⊂X.
(e) A afirma¸c˜ao ´e verdadeira quando um dos conjuntosX ouY ´e disjunto do subespa¸co gerado pelo outro.
(f) A afirma¸c˜ao ´e verdadeira quando o n´umero de elementos de X somado ao n´umero de elementos deY ´e igual `a dimens˜ao de V.
17. Se os coeficientesa1, a2, . . . , an n˜ao s˜ao todos iguais a zero (isto ´e, pelo menos um deles ´e n˜ao nulo), mostre que ohiperplano
H ={(x1, . . . , xn)∈Rn|a1x1+a2x2+· · ·+anxn = 0}
´e um subespa¸co vetorial de dimens˜aon−1 em Rn (o cason= 3 remete `a geometria vista em GA).
EXERC´ICIOS EXTRAS
18. SejaX ={x1, x2, . . . , xn}um conjunto den elementos, e considere o conjuntoV de todas as fun¸c˜oes f : X → R. Definimos, sobre os elementos de V, as opera¸c˜oes de soma e multiplica¸c˜ao por um escalarα ∈Rfazendo (f+g)(x) = f(x) +g(x) e (αf)(x) = αf(x), respectivamente.
(a) Mostre que V com as opera¸c˜oes acima ´e um espa¸co vetorial.
(b) Para cadai= 1, . . . n, definimos as fun¸c˜oesfi :X →Rpondofi(xi) = 1 efi(xj) = 0, para todo j 6=i. Mostre que {f1, f2, . . . , fn}´e uma base paraV. Conclua ent˜ao que dimV =n. Vocˆe vˆe alguma semelhan¸ca entre V e o espa¸co vetorialRn?
(c) Escreva a fun¸c˜ao f : X → R definida por f(xi) = i como uma combina¸c˜ao linear das fun¸c˜oesf1, . . . fn.
19. Considere Pn o espa¸co vetorial dos polinˆomios de grau ≤ n, mais o polinˆomio nulo, com as opera¸c˜oes usuais (p+q)(x) = p(x) +q(x) e (αp)(x) =αp(x).
(a) Exiba uma base paraPn, e encontre dimPn. Vocˆe vˆe alguma semelhan¸ca entrePn o espa¸co vetorial Rn+1?
(b) Escreva o polinˆomio p(x) = 2x6−4x5 +x3−7x+ 2 na base que vocˆe encontrou.
20. SejaM(n, n) o espa¸co vetorial das matrizes reais n×n com as opera¸c˜oes usuais.
(a) Mostre que
1 0 0 0
,
0 1 0 0
,
0 0 1 0
,
0 0 0 1
´e uma base de M(2,2).
(b) Generalize o item anterior e exiba uma base deM(n, n). Com isto, encontre dimM(n, n).
CAP´ITULO 4. ESPAC¸ OS VETORIAIS 57 (c) O conjunto Tsim(n) das matrizes sim´etricas de ordemnmunido das opera¸c˜oes usuais
´e um subespa¸co de M(n, n). Exiba uma base de Tsim(n) e encontre dimTsim(n).
(d) SejamTS(n) e TI(n) os subespa¸cos das matrizes triangulares superiores e inferiores, respectivamente. Mostre queM(n, n) =TS(n)+TI(n), e que N ˜AO se temM(n, n) = TS(n)⊕TI(n). Qual a dimens˜ao dos subespa¸cos TS(n) e TI(n)?
21. Mostre que os elementos s˜ao linearmente independentes.
(a) A=
1 1 0 0
, B=
1 0 0 1
eC=
1 1 1 1
(b) p(x) = x3−5x2+ 1, q(x) = 2x4+ 5x−6 e r(x) =x2−5x+ 2
22. Seja V um espa¸co vetorial e u, v, w ∈ V. Mostre que [u, v] ⊂ [u, v, w]. Quando se tem [u, v] = [u, v, w]? Quando se tem [u, v]([u, v, w]?
Transforma¸ c˜ oes Lineares
5.1 Motiva¸ c˜ ao
Transforma¸c˜oes lineares s˜ao fun¸c˜oes entre espa¸cos vetoriais que satisfazem certas pro-priedades. Essas propriedades, que constituem o que coloquialmente chamamos delinearidade, s˜ao um dos conceitos mais fundamentais da ´Algebra Linear (n˜ao `a toa d´a o nome `a disciplina!).
Lidar com fun¸c˜oes lineares no computador ´e particularmente interessante, pois, como ve-remos, a avalia¸c˜ao de tais fun¸c˜oes pode ser vista como um produto “matriz-vetor” Ax. De fato, linguagens de programa¸c˜ao para computa¸c˜ao de alta eficiˆencia s˜ao pensadas em termos matriciais, como por exemplo, o Fortran. Python, Matlab, Octave e Julia s˜ao outros exemplos de linguagens que dedicam especial aten¸c˜ao `a opera¸c˜oes com matrizes.
A facilidade computacional com fun¸c˜oes lineares permite-nos resolver v´arios problemas reais.
Por exemplo, ao querer encontrar o valor m´ınimo que uma fun¸c˜ao f qualquer atinge, pode-se conceber um algoritmo iterativo que a cada passoaproxima fpor uma fun¸c˜ao linear; a sequˆencia de problemas aproximados s˜ao mais f´aceis de resolver justamente por envolverem fun¸c˜oes line-ares. Em particular, problemas de otimiza¸c˜ao onde os dados s˜ao descritos por fun¸c˜oes lineares s˜ao amplamente estudados, com aplica¸c˜oes em diversos ocasi˜oes (c´alculo de melhores rotas, problemas de log´ıstica em geral, minimiza¸c˜ao de perdas em cortes de chapas met´alicas etc – provavelmente vocˆe estudar´a problemas deste tipo na disciplina “Pesquisa Operacional”).
Enfim, fun¸c˜oes lineares aparecem em in´umeras situa¸c˜oes. Veja a se¸c˜ao “Curiosidades -aplica¸c˜oes da ´Algebra Linear” no s´ıtio da disciplina.
Como ponto de partida, sugiro que vocˆe
veja a introdu¸c˜ao do Cap´ıtulo 5 do livro do Boldrini;
assista aos v´ıdeos indicados no s´ıtio da disciplina.
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CAP´ITULO 5. TRANSFORMAC¸ ˜OES LINEARES 59