3.2 Modelo Hipercubo de Filas
3.2.2 Medidas de Desempenho
As medidas de desempenho de interesse variam conforme o sistema, mas estão geralmente associadas à avaliação deste, do ponto de vista do cliente ou usuário do mesmo e do gestor do sistema emergencial, incluindo medidas globais, para cada átomo e cada servidor desse sistema (IANNONI, 2005). Essas medidas de desempenho são calculadas a partir das probabilidades de estado obtidas pela solução do sistema linear de equações do sistema.
As expressões apresentadas a seguir são utilizadas para calcular medidas de desempenho em sistemas que podem apresentar servidores não homogêneos. Outras medidas de desempenho e o detalhamento das medidas apresentadas podem ser encontrados em Larson e Odoni (1981) e Larson (1974).
3.2.2.1 Probabilidade de haver fila no sistema
A probabilidade da existência de fila de espera (𝑃𝑞) representa a porcentagem do tempo em que existem chamados aguardando em fila. Chiyoshi et al. (2000) descrevem a Equação (33) para o cálculo dessa medida para sistemas que admitem fila de espera infinita.
𝑃𝑞 = 1 − (𝑃000+ 𝑃001+ 𝑃100+ 𝑃010+ 𝑃110+ 𝑃011+ 𝑃101+ 𝑃111) (33)
3.2.2.2 Probabilidade de saturação do sistema
A probabilidade de saturação (𝑃𝑠) representa a porcentagem do tempo em que, caso uma chamada chegue ao sistema, ela será direcionada para a fila de espera. Larson (1974) apresentaram a Equação (34) para um sistema com fila infinita. Nesse caso, além dos estados associados à fila de espera, no estado com todos os servidores ocupados os chamados que chegam também são direcionados à fila.
3.2.2.3 Carga de Trabalho de cada servidor i
A carga de trabalho ou workload do servidor i (𝜌𝑖) representa a parcela do tempo, em porcentagem, que o servidor está ocupado. Para um sistema com fila infinita, Larson (1974) apresentou a Expressão (35) para o cálculo da carga de trabalho de cada servidor. O conjunto B representa o conjunto de estados associados ao hipercubo. Para essa aplicação, a carga de trabalho de cada servidor i pode ser calculada através das expressões (36), (37) e (38). 𝜌𝑖= ∑ 𝑃𝐵 𝐵:𝑏𝑖=1 + 𝑃𝑞 (35) 𝜌1= 𝑃100+ 𝑃110+ 𝑃101+ 𝑃111+ 𝑃𝑞 (36) 𝜌2= 𝑃010+ 𝑃110+ 𝑃011+ 𝑃111+ 𝑃𝑞 (37) 𝜌3= 𝑃001+ 𝑃011+ 𝑃101+ 𝑃111+ 𝑃𝑞 (38) 3.2.2.4 Frequência de despacho
A frequência de despacho representa a fração de todos os despachos do servidor i ao átomo j (𝑓𝑖𝑗). Para sistemas que admitem a formação de filas, essa fração é composta pela fração de despachos do servidor i para o átomo j que não incorre em espera (𝑓𝑖𝑗𝑛𝑞) e pela fração de despachos do servidor i para o átomo j que incorre em espera (𝑓𝑖𝑗𝑞), conforme mostra a Equação (39).
𝑓𝑖𝑗= 𝑓𝑖𝑗𝑛𝑞+ 𝑓𝑖𝑗𝑞 (39)
A fração de despachos que não incorre em fila de espera (𝑓𝑖𝑗𝑛𝑞) pode ser obtida através da Equação (40) (CHIYOSHI et al., 2000).
𝑓𝑖𝑗𝑛𝑞=𝜆𝑗 𝜆𝐵∈𝐸∑ 𝑃𝐵
𝑖𝑗
(40)
O conjunto 𝐸𝑖𝑗 representa o conjunto de estados nos quais o servidor i é o primeiro servidor disponível na lista de preferência de despacho para o átomo j. Nesse exemplo, os estados em que o servidor 1 é o primeiro servidor disponível para o átomo 1 (𝐸11) são {000}, {001}, {010} e {011} e as sua probabilidade é dada por (41).
Segundo Chiyoshi et al. (2000), essa fração depende apenas da probabilidade da primeira chamada em fila esperando por atendimento ter origem no átomo j (𝜆𝑗
𝜆), da
probabilidade de todos os servidores estarem ocupados (𝑃𝑆) e da probabilidade de um dado servidor i ser o primeiro a completar o serviço (𝜇𝑖
𝜇) no caso de servidores heterogêneos, como
mostra a Equação (42). O modelo hipercubo original proposto por Larson (1974) utilizava servidores homogêneos e o último termo da Equação (42) era originalmente 1
𝑁.
𝑓𝑖𝑗𝑞 =𝜆𝜆𝑗𝑃𝑆𝜇𝜇𝑖 (42)
3.2.2.5 Tempos Médios de Viagem
Os tempos médios de viagem são importantes medidas de desempenho para os sistemas. Esses tempos representam uma parcela do tempo em que os servidores estão ocupados, mas estes não estão efetivamente realizando atendimento. Nessa seção são apresentadas algumas medidas relacionadas a esses tempos de viagem.
3.2.2.5.1 Tempo Médio de viagem para o servidor i, quando disponível, viajar para o átomo j
O tempo médio de viagem para os chamados que não esperam em fila (𝑡𝑖𝑗) é calculado a partir da matriz de tempos médios de viagem entre os átomos k e j (𝜏𝑘𝑗) e da matriz de localização dos servidores (𝑙𝑖𝑘), conforme a Equação (43). Esse tempo médio
representa o tempo de deslocamento do servidor i ao átomo j quando a chamada em questão não aguardou na fila para atendimento.
𝑡𝑖𝑗 = ∑ 𝑙𝑖𝑘𝜏𝑘𝑗 𝑁𝑎 𝑘=1
(43)
3.2.2.5.2 Tempo médio de viagem até uma chamada que incorre em algum tempo de espera
Segundo Larson (1974), o tempo médio de viagem para atendimento de uma chamada que incorre em fila (𝑇𝑞) pode ser obtido pela Equação (44). Nessa equação, a chamada é gerada no átomo j com probabilidade 𝑝𝑗, cada um dos servidores ocupados tem igual probabilidade de serem despachados para atender essa chamada e a probabilidade do
servidor despachado para o chamado viajar do átomo k é 𝑝𝑘 e o tempo médio de viagem entre os átomos k e j é dado por 𝜏𝑘𝑗.
𝑇𝑞 = ∑ ∑ 𝑝𝑘𝑝𝑗𝜏𝑘𝑗 𝑁𝑎 𝑗=1 𝑁𝑎 𝑘=1 (44)
A probabilidade 𝑝𝑗 pode ser calculada através da razão 𝜆𝑗
𝜆 que corresponde à
probabilidade de uma chamada que incorre em algum tempo de espera em fila ser gerada no átomo j. A probabilidade 𝑝𝑘 está relacionada com a localização do servidor e pode ser obtida através da razão 𝜆𝑘
𝜆 que representa a probabilidade da chamada ser atendida por um servidor
localizado no átomo k. Assim, tem-se a Equação (45) (CHIYOSHI et al., 2000).
𝑇𝑞 = ∑ ∑𝜆𝜆𝑘𝜆2𝑗𝜏𝑘𝑗 𝑁𝑎 𝑗=1 𝑁𝑎 𝑘=1 (45)
3.2.2.5.3 Tempo médio de viagem no sistema
O tempo médio de viagem no sistema (𝑇) considera o tempo médio de viagem para chamadas que não incorrem em espera e para chamadas que incorrem em espera e pode ser obtido através da Equação (46) (LARSON, 1974). Segundo Takeda (2000), esse tempo representa o tempo médio de resposta independente de qual átomo foi originado o chamado ou de qual servidor foi despachado para esse atendimento, ou seja, reflete o desempenho global do sistema. 𝑇 = ∑ ∑ 𝑓𝑖𝑗𝑛𝑞𝑡𝑖𝑗 𝑁𝑎 𝑗=1 𝑁 𝑖=1 + 𝑃𝑠𝑇𝑞 (46)
3.2.2.5.4 Tempo médio de viagem ao átomo j
O tempo médio de viagem ao átomo j (𝑇𝑗) reflete o nível de serviço oferecido pelo sistema e é chamado de tempo de resposta em sistemas reais (TAKEDA, 2000). O tempo médio de viagem ao átomo j (𝑇𝑗) pode ser calculado através da Equação (35) (LARSON, 1974). Esse cálculo considera o tempo médio de viagem ao átomo para chamados que não incorrem em fila de espera (primeira parte do lado direito da Equação (47)) e para chamados que incorrem em fila de espera (segunda parte do lado direito da Equação (47)).
𝑇𝑗= ∑𝑁𝑖=1𝑓𝑖𝑗𝑛𝑞𝑡𝑖𝑗 ∑𝑁 𝑓𝑖𝑗𝑛𝑞 𝑖=1 (1 − 𝑃𝑠) + ∑ 𝜆𝑘 𝜆 𝜏𝑘𝑗 𝑁𝑎 𝑘=1 𝑃𝑠 (47)
3.2.2.5.5 Tempo médio de viagem de cada servidor i
O tempo médio de viagem de cada servidor i (𝑇𝑈𝑖) pode ser estimado utilizando-se a Equação (48), uma vez que não há uma expressão exata para calcular essa medida de desempenho (LARSON; ODONI, 1981). Essa aproximação superestima o tempo de viagem de chamadas que esperam em fila, o qual se torna assintoticamente exato quando a taxa de utilização do sistema tende a 1 (LARSON, 1974).
𝑇𝑈𝑖=
∑𝑁𝑗=1𝑎 𝑓𝑖𝑗𝑛𝑞𝑡𝑖𝑗+ (𝑇𝑞𝑃𝑠) 𝜇𝜇𝑖 ∑𝑁𝑎 𝑓𝑖𝑗𝑛𝑞
𝑗=1 + 𝑃𝑠𝜇𝜇𝑖
(48)