O ensaio quase-din ˆamico ´e executado segundo a norma EN-12975-2. Esta norma europeia n ˜ao s ´o define os procedimentos para o ensaio de coletores sob condic¸ ˜oes bem definidas e repet´ıveis, como tamb ´em fornece os m ´etodos de c ´alculo para determinar o rendimento t ´ermico apresentado em 3.2.
Segundo a norma EN-12975-2, no ensaio quase-din ˆamico o coletor deve ser ensaiado sob condic¸ ˜oes ao ar livre de maneira a determinar os seus par ˆametros caracter´ısticos. Os pontos de ensaio obtidos devem satisfazer alguns requisitos e devem ser dados para pelo menos quatro temperaturas do fluido de entrada, espac¸adas uniformemente sobre o intervalo de temperaturas de operac¸ ˜ao do coletor.
A figura 3.1 mostra o esquema da instrumentac¸ ˜ao utilizada no ensaio quase-din ˆamico, que pode tamb ´em ela ser utilizada para o ensaio estacion ´ario em condic¸ ˜oes exteriores.
Mass flow = constant (1) (2) (3) (6) (5) (4) Radial ventilator (7) CRYOSTAT Tout= constant SUN
Figura 3.1: Diagrama esquem ´atico para o ensaio quase-din ˆamico[4] (Adaptado)
As seguintes medic¸ ˜oes s ˜ao efetuadas:
– a ´area da abertura (Aa), a ´area do absorsor (AA) e a ´area total do coletor (AG);
– a capacidade t ´ermica do fluido de transfer ˆencia de calor (cf);
– o ˆangulo de incid ˆencia da radiac¸ ˜ao solar direta ou fazer a sua determinac¸ ˜ao por c ´alculo (θ); – o ˆangulo de inclinac¸ ˜ao (β) e o azimutal da abertura do coletor (γ);
– a temperatura do fluido de transfer ˆencia de calor `a entrada do coletor (Tin), obtida por uma
sonda de temperatura - (1) figura 3.1;
– a temperatura do fluido de transfer ˆencia de calor `a sa´ıda do coletor (Tout) - (2) figura 3.1;
– a temperatura do ar ambiente (Ta) - (3) figura 3.1;
– a velocidade do ar ambiente na superf´ıcie do coletor (v), obtida atrav ´es de um anem ´ometro - (4) figura 3.1;
– a irradi ˆancia solar global na abertura do coletor (G∗), adquirida por via de um piran ´ometro - (5) figura 3.1;
– a irradi ˆancia solar direta na abertura do coletor (Gb), adquirida por via de um pirele ´ometro - (6)
figura 3.1.
– a radiac¸ ˜ao de grande comprimento de onda incidente na abertura do coletor (EL);
– o caudal do fluido de transfer ˆencia de calor que atravessa o coletor ( ˙m), adquirido atrav ´es de um medidor de caudal - (7) figura 3.1.
Excluindo a medic¸ ˜ao das diferentes ´areas do coletor e a capacidade t ´ermica do fluido, os restantes valores s ˜ao obtidos continuamente ao longo do ensaio. A norma EN 12975-2 imp ˜oe que o intervalo de aquisic¸ ˜ao de dados seja entre 1 a 6 segundos, a esses valores ´e feita uma m ´edia num per´ıodo de amostragem de 5 ou 10 minutos. Esses ser ˜ao os valores a serem utilizados na an ´alise de dados para obtenc¸ ˜ao dos par ˆametros caracter´ısticos da equac¸ ˜ao de balanc¸o do coletor. No LES o
sistema de aquisic¸ ˜ao de dados realiza uma m ´edia aos valores adquiridos num per´ıodo de 5 minutos. Em simult ˆaneo devem ser executados os c ´alculos referentes `a pot ˆencia ´util de sa´ıda do coletor ( ˙Q), a radiac¸ ˜ao difusa no plano do coletor (Gd), obtida a partir da diferenc¸a entre a radiac¸ ˜ao global e
direta, assim como a derivada em ordem ao tempo da temperatura m ´edia (Tm) no coletor, isto ´e,
dTm
dt =
Tm(novo)–Tm(anterior)
intervalo de amostragem (3.3)
Estes valores devem ser inclu´ıdos na base de dados das medic¸ ˜oes.
As sequ ˆencias de ensaio devem na sua maioria ser conduzidas sob condic¸ ˜oes de c ´eu claro, por ´em, ´e tamb ´em requerida uma sequ ˆencia de ensaio sob condic¸ ˜oes de c ´eu parcialmente nublado, que inclua variac¸ ˜oes de c ´eu nublado e limpo. O registo deve conter dados equivalentes para todas estas condic¸ ˜oes de operac¸ ˜ao, de forma a garantir uma tal variabilidade que assegure a independ ˆencia dos par ˆametros caracter´ısticos do coletor a calcular.
´
E recomendada uma sequ ˆencia de ensaio de 4 a 5 dias, por ´em o n ´umero exato de dias estar ´a dependente das condic¸ ˜oes clim ´aticas no local. O per´ıodo m´ınimo de durac¸ ˜ao de uma sequ ˆencia de ensaio deve ser de 3 horas.
Os valores admiss´ıveis para as grandezas retiradas do ensaio, os seus limites m ´aximos e respetivas incertezas s ˜ao apresentados na tabela 3.1. O conjunto de dados utilizado para a extrac¸ ˜ao dos par ˆametros caracter´ısticos do coletor deve estar de acordo com estes requisitos. Estes valores podem no entanto variar se o ensaio for aplicado a coletores sem cobertura.
Tabela 3.1: Valores impostos pela Norma EN 12975-2 para o ensaio quase-din ˆamico
Valores Admiss´ıveis Limite M ´aximo Incerteza Padr ˜ao
A[m2] - 0,3% 0,1% G[W/m2] - 2,45% 1% ˙ m[kg/s] 0,02/m2coletor 1% 0,4% Tin[K] - 0,1 0,04 Tout [K] - 0,1 0,04 Ta[K] - 0,5 0,2 ∆T [K] >1 0,05 0,02 v[m/s] 1−4 0,25 0,1
dTm/dt[K/s] incluir valores superiores a ±0,005 - -
∆t[s] - 0,2% 0,08%
A norma indica uma incerteza m ´axima para as medic¸ ˜oes (limite m ´aximo). A incerteza padr ˜ao a considerar ´e obtida atrav ´es da atribuic¸ ˜ao de uma distribuic¸ ˜ao triangular sim ´etrica a essas grandezas, uma vez que ´e realista assumir que os valores pr ´oximos dos limites, onde a incerteza ´e superior, s ˜ao menos prov ´aveis do que os mais pr ´oximas do ponto m ´edio.
Uma distribuic¸ ˜ao triangular ´e caracterizada por apresentar m ´axima probabilidade para o valor m ´edio e decrescer linearmente at ´e zero nos limites dados por ¯x − ae ¯x + a, e zero fora destes. A incerteza padr ˜ao nestas condic¸ ˜oes ´e dada por:
4
Determinac¸ ˜ao de Par ˆametros
A determinac¸ ˜ao dos par ˆametros caracter´ısticos do coletor segundo a equac¸ ˜ao de balanc¸o do ensaio quase-din ˆamico, equac¸ ˜ao 3.2, n ˜ao pode ser realizada diretamente pelo processo de medic¸ ˜ao, implicando o recurso a m ´etodos de ajuste dados. Estes procurar ˜ao ajustar os par ˆametros do modelo que melhor reproduzem os resultados experimentais. Esse ajuste ´e feito atrav ´es da minimizac¸ ˜ao da diferenc¸a quadr ´atica entre os valores de pot ˆencia obtidos experimentalmente e aqueles obtidos atrav ´es do modelo.O m ´etodo dos m´ınimos quadrados ´e um m ´etodo determin´ıstico e o mais simples e comummente utilizado no que diz respeito `a otimizac¸ ˜ao de dados pouco complexos. Apesar das suas limitac¸ ˜oes representa a base da an ´alise estat´ıstica moderna, tal como as suas in ´umeras variac¸ ˜oes e extens ˜oes. O m ´etodo dos m´ınimos quadrados simples e as equac¸ ˜oes que o descrevem ´e apresentado na secc¸ ˜ao 4.1. Uma das suas variantes, o m ´etodo dos m´ınimos quadrados pesados, ´e descrito na secc¸ ˜ao 4.2.
4.1
M´ınimos quadrados simples
O m ´etodo dos m´ınimos quadrados (LS - least squares) ´e uma t ´ecnica de otimizac¸ ˜ao matem ´atica e estat´ıstica que permite o ajuste de um conjunto de dados a um modelo linear. O melhor ajuste ´e obtido pela minimizac¸ ˜ao da soma quadr ´atica das diferenc¸as entre os valores estimados e os dados observados. Estas diferenc¸as possuem o nome de res´ıduos.
O desenvolvimento das bases fundamentais do m ´etodo dos m´ınimos quadrados ´e creditado a Carl Friedrich Gauss, em 1795. Adrien-Marie Legendre foi, no entanto, o primeiro a publicar o m ´etodo em 1805 no seu Nouvelles M ´ethodes Pour la D ´etermination des Orbites des Com `etes, Gauss apenas publicou as suas conclus ˜oes em 1809.[39] Nos dois s ´eculos seguintes, matem ´aticos foram desenvolvendo diferentes variac¸ ˜oes de implementac¸ ˜ao do m ´etodo dos m´ınimos quadrados.
Problemas de m´ınimos quadrados dividem-se essencialmente em duas categorias: m´ınimos quadrados simples ou lineares e m´ınimos quadrados n ˜ao lineares. Esta classificac¸ ˜ao ´e feita dependendo se os res´ıduos s ˜ao, ou n ˜ao, lineares para todas as inc ´ognitas. O primeiro caso ocorre na an ´alise de regress ˜ao, ou seja, no processo estat´ıstico para estimar as relac¸ ˜oes entre a, ou as vari ´aveis independentes e a vari ´avel dependente. O problema ´e resolvido a partir de um sistema poss´ıvel e indeterminado, sendo devolvida uma ´unica soluc¸ ˜ao que ter ´a sido aproximada para o menor erro do modelo. No caso n ˜ao linear, existe mais do que uma soluc¸ ˜ao poss´ıvel e o problema tem de ser resolvido de forma iterativa. Em cada iterac¸ ˜ao, o sistema de equac¸ ˜oes ´e aproximado a um sistema linear e por isso o processo de c ´alculo ´e semelhante nos dois casos.
O ajuste ´e feito a partir de um conjunto de n pontos experimentais (xi, yi), i = 1, ..., n, onde xi ´e a
vari ´avel independente e yi ´e a vari ´avel dependente, cujo valor ´e obtido experimentalmente. O modelo
apresenta a forma de f (m, x), onde os diferentes par ˆametros mna serem ajustados est ˜ao contidos
no vetor m. O m ´etodo dos m´ınimos quadrados encontra o valor ´otimo dos par ˆametros quando a soma quadr ´atica dos res´ıduos, ´e m´ınima - equac¸ ˜ao 4.1.
χ2=
n
X
i=1
[y(i) − f (m, x)]2 (4.1)
Num caso mais generalizado, a regress ˜ao pode mesmo ser aplicada a um modelo onde existam v ´arias vari ´aveis independentes e v ´arias vari ´aveis dependentes.
A equac¸ ˜ao de balanc¸o do ensaio quase-din ˆamico possui apenas uma vari ´avel dependente, a pot ˆencia extra´ıda do coletor, e mais do que uma vari ´avel independente. Neste caso, a regress ˜ao do modelo pelo m ´etodo dos m´ınimos quadrados passa a ser do tipo multilinear. Assim, tendo uma equac¸ ˜ao do tipo:
y(i) = m1.x1(i) + m2.x2(i) + ... + mn.xn(i) (4.2)
e assumindo que a todos os dados obtidos x1(i), x2(i), ..., xn(i), e y(i) est ´a associada uma
incerteza que ´e igual para todos os pontos, a probabilidade m ´axima destes par ˆametros serem os corretos ´e obtida a partir da minimizac¸ ˜ao da func¸ ˜ao qui-quadrada:
χ2=
n
X
i=1
A figura 4.1 mostra a correspond ˆencia entre as vari ´aveis do modelo quase-din ˆamico e regress ˜ao multilinear para a obtenc¸ ˜ao dos par ˆametros caracter´ısticos do coletor.
Tin Tout Ta G* Gb EL v Dados Experimentais (Q/A)exp Gd (Tm-Ta) (Tm-Ta)2 v.(Tm-Ta) EL- .Ta 4 dTm/dt v.G* Grandezas Intermédias Y f(m,x) Ajuste Multilinear m1 m2 ... mn F'( ) K b( ) K d c1 c2 c3 c4 c5 c6 Parâmetros do Coletor
Figura 4.1: Relac¸ ˜ao entre os dados experimentais e a regress ˜ao multilinear. A laranja est ˜ao representadas as
vari ´aveis de entrada do modelo e a azul a vari ´avel de sa´ıda.
A determinac¸ ˜ao dos par ˆametros m1, ..., mn a partir da equac¸ ˜ao 4.3 passa pela resoluc¸ ˜ao do
sistema[40]: (AT.A) × a = AT.b (4.4) Onde: A = X1,1 X2,1 ... Xn,1 X1,2 X2,2 ... Xn,2 ... ... ... ... X1,k X2,k ... Xn,k (4.5) b = y1 y2 ... yk (4.6) a = m1 m2 ... mn (4.7)
A matriz A ´e constitu´ıda pelas diferentes entradas (vari ´aveis independentes) da regress ˜ao, o vetor b cont ´em as sa´ıdas da regress ˜ao, enquanto que, o vetor a representa o vetor com valores dos par ˆametros do modelo.
Os elementos diagonais da matriz C = (AT.A)s ˜ao as vari ˆancias dos diferentes par ˆametros, e os
elementos n ˜ao diagonais as respetivas covari ˆancias.
Ao usar o m ´etodo dos m´ınimos quadrados simples s ˜ao assumidas algumas premissas[41, 42]: – As vari ´aveis do modelo devem apresentar uma relac¸ ˜ao linear entre si, ou seja, a func¸ ˜ao a
ajustar deve ser do tipo f = m1.x1+ ... + mn.xn. Caso contr ´ario, deve ser usado um modelo de
– Todos os pontos experimentais s ˜ao obtidos com a mesma precis ˜ao.
– N ˜ao existe correlac¸ ˜ao entre os res´ıduos das diferentes observac¸ ˜oes. Se esta correlac¸ ˜ao existir, ent ˜ao o m ´etodo n ˜ao ´e vi ´avel.
– A incerteza associada `a vari ´avel dependente e `as vari ´aveis independentes ´e conhecida e considerada constante (igual a um).
– O erro experimental ´e aleat ´orio com m ´edia 0 e a sua distribuic¸ ˜ao ´e assumida como normal (Gaussiana).
O m ´etodo dos m´ınimos quadrados simples pode portanto n ˜ao ser o mais adequado para o ajuste de todo o tipo de dados. Os requisitos em cima enumerados devem ser tidos em conta, de outro modo, a soluc¸ ˜ao obtida pode n ˜ao possuir relev ˆancia estat´ıstica e as incertezas devolvidas pelo m ´etodo podem ser substanciais, levando a conclus ˜oes equ´ıvocas.
A regress ˜ao simples pelo m ´etodo dos m´ınimos quadrados ´e a metodologia padr ˜ao utilizada no LES para o tratamento de dados relativos ao ensaio de rendimento de coletores solares t ´ermicos. A ferramenta utilizada para este fim ´e o EXCEL e recorrendo `a sua func¸ ˜ao LINEST s ˜ao obtidos os valores dos coeficientes e suas incertezas.