Modelagem da Dinâmica do Atrito

A característica não linear do atrito está presente em todos os mecanismos mecânicos que incorporem movimentos. Estudá-lo e compreendê- lo é importante para perceber seus efeitos em tais mecanismos, de modo a compensar e por consequência diminuir seus efeitos. Canudas de Wit et al. (1995) destaca que o atrito gera erros/ciclos limites no seguimento de trajetórias causando efeitos de aderência-deslizamento (stick-slip – que alterna movimentos e repousos), oscilações (hunting – o movimento varia em torno de uma dada posição constante), perda de movimento (standstill – ocorre quando o sistema é detido no repouso em um intervalo de tempo onde a velocidade é nula), falha de quadratura (quadrature glitch – desvios do seguimento de um movimento de múltiplos eixos), dentre outras dificuldades para o controle e a estabilidade destacadas pelos autores e que são geradas pelo atrito. Os erros citados estão apresentados na Figura 23.

Figura 23 - Alguns Efeitos do Atrito no Movimento

Para Valdiero (2012) e Sanca (2006), o atrito exibe diversas características clássicas compostas pelo atrito estático, atrito de Coulomb, atrito viscoso e o atrito de arraste, baseados em mapas estáticos e características dinâmicas mais complexas como o atrito de Stribeck, atrito estático crescente, memória do atrito e o deslocamento de predeslizamento. Sanca (2006) destaca ainda que as características do atrito dependem geralmente da velocidade, temperatura, sentido do movimento, lubrificação e desgaste das superfícies, da posição e da história do movimento, de modo que a escolha do modelo de atrito apropriado depende das características apresentadas.

O atrito estático (stiction) ocorre quando a velocidade é nula e possui sentido oposto ao do movimento com magnitude de força (ou torque) aplicada até um valor máximo de força de atrito estático , sendo descrito como

(20) onde é a velocidade e é a função impulso descrita por

(21)

A função descrita na equação (21) é utilizada apenas para descrever o fato de que o atrito estático ocorre apenas no repouso, podendo ser aproximada (quando em aplicações computacionais) por uma região nas proximidades da velocidade zero onde os movimentos da ordem de mícron ( que equivale a ) sugere que a força aplicada é aproximadamente proporcional ao deslocamento de predeslizamento. Esta estrutura perfilar retangular foi abordada por Karnopp (1985). A Figura 24 ilustra a característica do atrito estático e a aproximação feita por Karnopp.

Figura 24 - Representação do Atrito Estático e da Aproximação de Karnopp

Fonte: Valdiero, 2012.

O atrito de Coulomb, também conhecido como atrito seco, foi pesquisado pelo físico francês Charles Augustin de Coulomb no final do século XVII. Esta característica do atrito independe da área de contato, e é oposta ao movimento relativo e proporcional à força normal de contato. A equação (22) descreve-o.

(22)

quando , de modo que é a magnitude do atrito de Coulomb e esta independe da magnitude da velocidade relativa . O atrito de Coulomb está representado na Figura 25.

Figura 25 - Característica do Atrito de Coulomb

Fonte: Valdiero, 2012.

O atrito viscoso corresponde a uma situação de boa lubrificação e é linearmente proporcional a velocidade, ou seja,

onde é chamado de coeficiente de amortecimento viscoso. Esta característica do atrito está apresentada na Figura 26.

Figura 26 - Característica do Atrito Viscoso

Fonte: Valdiero, 2012.

O atrito de arraste por sua vez, refere-se ao atrito causado pela resistência de um corpo ao movimento, e é proporcional ao quadrado da velocidade (decorrente em muitos casos de um escoamento turbulento). Ele pode ser escrito como

(24)

onde é o coeficiente de arraste. O gráfico da Figura 27 ilustra uma particularidade importante deste tipo de atrito: em baixas velocidades o valor do atrito de arraste torna-se pequeno e pode ser desconsiderado.

Figura 27 - Característica do Atrito de Arraste

O atrito de Stribeck é um fenômeno não linear de atrito descrito pelo engenheiro mecânico alemão Richard Hermann Stribeck. Este fenômeno acontece em baixas velocidades da curva de atrito onde a inclinação é negativa, conforme apresentado na Figura 28.

Figura 28 - Característica do Atrito de Stribeck

Fonte: Valdiero, 2012.

A combinação das características de atrito citadas até agora, resultam em uma função não linear semelhante a representada na Figura 29 onde são relacionadas a força de atrito ( ) e a velocidade em regime permanente

( ).

Figura 29 - Combinação das Características do Atrito em Regime Permanente

Apesar de Valdiero (2012) descrever outras características não lineares do atrito, estas citadas anteriormente e suas combinações são muito importantes para a compreensão de sua dinâmica.

Um grande avanço na modelagem do atrito foi proposto por Canudas de Wit et al. (1995). O modelo dinâmico denominado LuGre (em referência as duas universidades sueca e francesa onde fora desenvolvido – LUnd e GREnoble) desenvolvido pelos autores, é baseado nas microdeformações que ocorrem entre as superfícies de contato. Quando uma força tangencial é aplicada, as cerdas elásticas se deflexionarão como molas. Se estas deflexões forem suficientemente grandes, as cerdas irão deslizar (stick-slip). Segundo Sanca (2006), a velocidade é que determina a deflexão média das cerdas nos movimentos em regime permanente, a qual é modelada pelo atrito de Stribeck: quando em velocidades baixas é menor e em regime permanente a deflexão diminui com velocidade crescente. O diagrama da Figura 30 apresenta, em nível microscópico, o contato entre as superfícies e o movimento relativo entre elas com a presença de uma rugosidade elástica.

Figura 30 - Desenho Esquemático da Deflexão Microscópica das Cerdas no

Modelo Dinâmico do Atrito LuGre e a Representação das Variáveis

Fonte: Sanca, 2006.

Para Canudas de Wit et al. (1995) o atrito dinâmico é dado pela equação (25).

onde é a força de atrito dinâmico do modelo LuGre. Os parâmetros

dinâmicos e são o coeficiente de rigidez das deformações microscópicas entre as superfícies em contato durante o regime de predeslizamento e o coeficiente de amortecimento associado à taxa de variação de (ou seja, ), respectivamente. O parâmetro estático é o coeficiente de amortecimento viscoso ( ). A dinâmica do estado interno do atrito é denominado por , o qual descreve a deflexão média das superfícies em contato durante a fase de atrito estático, ou, em outras palavras, a deformação do movimento de predeslizamento. Por fim, o parâmetro representa a velocidade relativa entre as superfícies. A taxa de variação de é dada pela equação (26).

(26)

A função é dada pela expressão da equação (27).

(27) onde é a força de atrito de Coulomb, é a força de atrito estático e é a velocidade de Stribeck.

Este modelo, no entanto, não consegue capturar a característica de atrito estático, o que foi introduzido por Dupont, Armstrong e Hayward (2000). Os autores desenvolveram um modelo genérico de atrito combinando o predeslizamento e o atrito estático, fazendo assim uma extensão no modelo LuGre substituindo a equação (26) pela equação (28) a seguir.

(28) onde o termo , que descreve o atrito estático em velocidades muito baixas, está representado no gráfico da Figura 31 e descrito na equação (29).

Figura 31 - Gráfico da Função Utilizada Para a Obtenção do Atrito Estático

Fonte: Sanca, 2006.

onde é chamado de deslocamento da força de quebra de modo que

todo movimento na interface de atrito consiste apenas de

deslocamentos elásticos; é o valor máximo das microdeformações e depende da velocidade. Para , a função pode ser escrita como (29)

E, se , a função pode ser escrita como

(30)

onde,

(31)

A função permanece a mesma da equação (27). Em regime

permanente (steady state – ) de deslizamento, a velocidade é constante, e , a dinâmica do atrito apresentada na equação (32) é dada por:

(32)

(33) Tem-se, (34)

E, substituindo a equação (34) na equação (25), obtém-se a equação (35) que descreve o mapa estático do atrito contemplando as características descritas.

₍₃₅₎