Modelagem do sistema e obtenção dos parâmetros do controlador

Este capítulo apresenta o estudo feito da interação entre um conversor e a rede elétrica, considerando que esta foi modelada de forma simplificada, com o objetivo de identificar possíveis problemas causados por essa modelagem no projeto do controlador. Uma ilustração desse sistema se encontra na Figura 2.1, considerando a impedância da rede como sendo dada pela impedância da subestação e da linha de distribuição. As principais simplificações consideradas nesse modelo de rede foram considerar que seu comportamento pode ser modelado por uma associação série RL e que a fonte de tensão é balanceada e senoidal. Dessa forma não são consideradas ressonâncias na rede nem a presença de distorções harmônicas na tensão e corrente. Neste projeto de controlador foi considerado ainda que o controle se dá em ambiente microprocessado, uma vez que pretende-se validá-lo em bancada como trabalho futuro.

Figura 2.1: Modelo simplificado do sistema para projeto do controlador.

O controle de corrente desempenha um papel fundamental nos sistemas de potência, em especial, no que diz respeito à potência que será injetada ou drenada da rede. Portanto, é fundamental garantir a precisão desse laço de controle, bem como é desejado que sua largura de banda seja elevada, a fim de apresentar uma boa resposta

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dinâmica. A concepção de regulação de corrente consiste sempre, independente da aplicação, em comparar a corrente medida nos terminais do conversor com a sua referência, e usar o erro, ou seja, a diferença entre esses dois sinais, para ajustar um sinal de controle de chaveamento gerado pelo conversor, a fim de minimizar ou eliminar esse erro. Esse controle faz uso, pois, da realimentação da corrente medida e, com isso, pretende alcançar os seguintes objetivos:

1. Minimizar o erro de rastreamento de amplitude e fase;

2. Minimizar os erros causados por perturbações originadas remotamente por não-linearidades existentes na rede, como cargas que demandam correntes distorcidas ou fontes de tensão contendo harmônicos;

3. Obter uma resposta dinâmica rápida, o que requer um sistema com a maior largura de banda possível, conforme mencionado acima neste parágrafo; 4. Compensar efeitos de segunda ordem associados à operação de inversores

como, por exemplo, os atrasos relacionados à modulação PWM e à amostragem digital [7].

A estratégia de controle de corrente analisada neste projeto teve como base o controlador Proporcional-Integral (PI) com coordenadas estacionárias. Sua escolha foi motivada pela sua simplicidade de implementação, além de ser uma estratégia de controle bastante conhecida e, portanto, amplamente utilizada. A função de transferência desse controlador na forma padrão é dada por:

8_"9:; = <_-:1 + ¹

:%₂^{=. 92.1;}

Ainda, a teoria de controle linear clássica sugere que esse tipo de controlador seja eficiente como regulador para a planta de primeira ordem do sistema a ser controlado, conforme ilustrado na Figura 2.1. Vale ressaltar que a representação da planta foi considerada de primeira ordem devido às simplificações adotadas, considerando os parâmetros de um circuito equivalente na frequência fundamental como se fossem os mesmos em qualquer frequência. A ação proporcional atua na resposta de alta frequência do sistema, enquanto o controle integral atua na minimização do erro em regime permanente. De fato, esta técnica de controle quando aplicada a correntes CC é capaz de obter erros nulos em regime permanente, porém, quando submetida ao controle de correntes CA, sua performance é limitada, uma vez que os ganhos do controlador PI

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não podem ser elevados o suficiente de forma a eliminar atrasos de fase no rastreamento e, consequentemente, o erro não será nulo em regime permanente.

As plantas de primeira ordem reguladas por controladores PI configuram um sistema de segunda ordem, o qual não apresenta teoricamente limites de estabilidade com o aumento dos ganhos. Apesar disso, em sistemas reais o aumento dos ganhos pode levar de fato à instabilidade do sistema devido a efeitos secundários. Atrasos oriundos da modulação PWM e da amostragem do controlador são citados na literatura como os principais efeitos secundários que limitam os ganhos do PI [7]. Esses atrasos fazem com que o sistema se torne instável antes do ganho proporcional atingir um valor grande o suficiente para que a performance da malha de controle seja satisfatória.

Os atrasos mencionados no parágrafo anterior são devidos principalmente pelo uso de microprocessador, ou DSP, para o algoritmo de controle. O atraso relacionado à modulação PWM, por exemplo, é considerado como sendo de um quarto do período da portadora triangular. Essa estimação foi feita considerando que o período de amostragem é metade do período da portadora, ou seja, os sinais usados no algoritmo do controle são amostrados nos picos e vales da portadora. Assim, considerando que os cálculos feitos pelo DSP levam aproximadamente um quarto do período da portadora, e que só são atualizados na amostragem seguinte, então se pode considerar que o atraso também é de um quarto do período da portadora. Além disso, o atraso relativo à amostragem é de meio período da portadora, causado pela amostragem da corrente medida exatamente na transição de cada intervalo de meio período. Esse procedimento é feito para evitar amostrar a corrente de ripple gerada pelo chaveamento do conversor. Portanto, o atraso total será de 75% do período da portadora.

Tendo como base ainda a referência [7], foi feito o projeto de um regulador PI com coordenadas estacionárias adotado no projeto em questão, e que está detalhado a seguir.

Para determinar a planta do sistema, considerou-se o modelo simplificado da rede mostrado na Figura 2.2, já representado no lado de baixa tensão (BT), no qual sua impedância equivalente de Thévenin é um circuito RL em série e a fonte de tensão que foi tratada como uma entrada externa independente, comportando-se como uma entrada de perturbação.

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Figura 2.2: Modelo simplificado do sistema no lado BT.

A função de transferência da planta considerando como entrada a tensão aplicada pelo conversor e como saída a corrente (4_%9:; !⁄ _%9:;) é dada por

8_-9:; = ¹

._-^B

1

1 + :%_-^{C, 92.2;}

onde %_- = 9,_-+ ,₂₃₄; .⁄ _- é a constante de tempo da planta, no caso, a rede.

Considera-se ainda a dinâmica do inversor, cuja função de transferência 8₂9:; é dada pela relação entre a tensão de saída do conversor e a tensão no elo CC

(!_%9:; !⁄ _%%9:;;. Nessa função de transferência é considerado um ganho de valor igual à

tensão no elo CC!_"", bem como um atraso total %_& de 75% do período da portadora triangular usada na modulação PWM, conforme explicado anteriormente neste capítulo, oriundo do sistema de processamento digital, assim

8₂9:; = !_""EF0G_H. 92.3;

Dessa forma, a função de transferência em malha aberta do sistema 8_7J9:; que descreve a relação entre a corrente medida e a de referência (4_%9:; 4∗

%9:; ⁄ ), é dada por: 8_7J9:; = 8_"9:;8_-9:;8₂9:; =^<_.^-!"" -%₂ 91 + :%₂;EF0G_H :91 + :%_-; ^{. 92.4;}

Assim, antes de prosseguir com a explicação de como o controlador foi projetado, é interessante verificar, de posse da função de transferência em malha aberta do sistema, o motivo pelo qual o controlador PI não zera o erro em regime permanente para a entrada senoidal. Para tal, será feita a análise de como esse erro E(s) depende da referência de entrada, a partir da função de transferência que é dada por:

+9:; = ^.9:; 1 + 8_7J9:;^{, 92.5;} c i c v

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onde R(s) representa uma referência de entrada qualquer.

Aplicando o Teorema do Valor Final, tem-se que o erro em regime permanente E₀₀ assume a expressão dada por:

E₀₀ = lim 5→QE9R; = lim 0→$:+9:;. 92.6; Substituindo (2.5) em (2.6), obtém-se, E₀₀ = lim 0→$:+9:; = lim 0→$: ^.9:; 1 + 8_7J9:;^{. 92.7;}

Dessa forma, observando-se em 2.4 que o sistema é do tipo 1, ou seja, 8_7J9:; possui um polo em s=0, o erro em regime permanente dado em 2.7 só será nulo para uma referência R(s) do tipo degrau [8], no caso a corrente CC, conforme mencionado anteriormente. Entretanto, foram empregadas técnicas de controle atuais que permitem melhorar o desempenho deste controlador para referências senoidais. Estas serão mais bem explicadas ao longo deste Capítulo.

Para o projeto de um controlador é necessário considerar especificações que priorizem critérios de robustez, pois o controle deve ser capaz de funcionar corretamente, mesmo que haja alguma alteração dos parâmetros da rede ou que o sistema sofra alguma perturbação não modelada. Para conferir mais robustez então, as especificações para o projeto serão dadas no domínio da frequência. A margem de fase está relacionada com o amortecimento do sistema, sendo também uma forma de medir sua performance, por isso é o parâmetro especificado no projeto. No entanto, não basta somente que a margem de fase seja satisfeita, é necessário analisar também a margem de ganho e a resposta ao degrau do sistema, a fim de verificar sua resposta dinâmica.

O procedimento para determinar os ganhos do PI utiliza-se da análise da resposta em frequência do sistema dada pela equação 2.4. Porém, antes de calcular os ganhos, foi visto como o erro entre as correntes de referência e medida é afetado pelos ganhos do controlador. Esse comportamento foi visto através da sensibilidade do erro de rastreamento em malha fechada +_U9:;, como mostrado em:

+_U9:; =^∆49:;

4∗9:; ⁼

1

12 onde ∆49:; = 49:; − 4∗9:;.

A partir de (2.8) é imediata a percepção de que quanto maior o ganho da função de transferência do controlador, menor será o erro. Assim, o projeto visa obter os maiores ganhos <_- e <₂ possíveis, ou se for usado no projeto a constante de tempo do integrador %₂, ela deve assumir o menor valor possível. Tendo isso em mente, será dado prosseguimento ao projeto em si.

É desejado respeitar a margem de fase, que confere certo grau de estabilidade ao sistema. Da mesma forma, é interessante maximizar a frequência de cruzamento de ganho #_" (ou seja, a frequência na qual o ganho é unitário e a margem de fase é a desejada) uma vez que, resulta em um aumento da largura de banda do sistema em malha fechada, permitindo melhor resposta dinâmica. Vale ainda ressaltar que o ganho proporcional <_- está diretamente relacionado com a frequência de cruzamento de ganho #_". Portanto, maximizar essa frequência também maximiza o ganho, conforme desejado. Assim, levando-se em consideração as observações feitas neste parágrafo e no anterior, serão escolhidos os ganhos <_- e <₂, de forma que satisfaçam à:

∠8_"9Z#_";8_-9Z#_";8₂9Z#_"; = −[ + '₍. 92.9; A partir de (2.4) obtém-se,

∠8_"9Z#_";8_-9Z#_";8₂9Z#_"; = R]^F_9#_"%₂; −^`_a − #_"%_&− R]^F_b#_"%_-c. 92.10; Uma vez de posse de (2.10), será detalhado, então, o método utilizado para obter os parâmetros da rede, previamente ilustrada na Figura 2.1.

Neste modelo de rede, o inversor, que se encontra no lado de baixa tensão (BT), se conecta à rede através do ponto de conexão comum (PCC). Porém, neste ponto as características da rede ainda são desconhecidas. Podemos determiná-las a partir da rede de média tensão (MT), que se conecta ao PCC através de um transformador de distribuição abaixador. Dessa forma, as características da rede no PCC serão dadas pelas impedâncias indutiva /_& e resistiva ._& da rede, bem como pela impedância indutiva de dispersão /_e do transformador; e serão obtidas a partir da reflexão de impedâncias do lado MT para o lado BT. Esse procedimento resultará, então, nos parâmetros necessários para o modelo da planta, dado por (2.2), e que são calculados a seguir.

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Para o modelo foi escolhido um inversor cuja potência aparente é de 10 kVA. A potência do trafo foi determinada a partir de valores estabelecidos pela LIGHT [9] para máxima corrente de curto-circuito de 8 kA para uma rede de distribuição com tensão 13.8 kV no lado de médias tensões. Assim, uma vez que a potência máxima de curto-circuito estabelecida pela LIGHT é de 190 MVA, foi escolhido para o projeto f_""=100 MVA. Para o valor da potência no trafo foi determinada uma potência de f_56g7h=150 kVA com impedância de 3.5%, valor também dentro dos limites estabelecidos pela LIGHT [10]. A impedância da rede é composta pela impedância da subestação, determinada a partir da impedância de curto-circuito, e pela impedância do cabo de distribuição. No caso, considerou-se o cabo 336.4 MCM (Z=0.2+j0.38 W/km) [11][12][13], conforme ilustrado anteriormente na Figura 2.1. A frequência fundamental da rede é de 60 Hz.

Para calcular a impedância indutiva de dispersão /_e do transformador é

necessário, primeiramente, determinar o valor da impedância base

)_{ig01_5} do trafo, através de (2.11). A partir dela obtém-se a porcentagem referente à /_e: )_{ig01_5} = 9!_(é&2g;akf_56g7h 92.11; Assim,

/_e = 0.035 ∗ )_{ig01_5}. 92.12;

Para determinar a impedância equivalente da rede, é preciso calcular a impedância da subestação para adicionar a ela a impedância do cabo, ou seja, da linha e dada por:

)₀₁ = /₀₁ = 9!_(é&2g;a⁄f_"" 92.13; Assim, lembrando que a impedância do cabo em função da distância é Z=0.2+j0.38 W/km e sabendo que a distância é de 10 km, a impedância da linha é )_>23lg= 2+j3.8 W, e a equivalente da rede )_& é dada por:

._& = ._>23lg, 92.14; /_& = /_>23lg+ /₀₁. 92.15;

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De posse desses valores, o passo seguinte é fazer a reflexão das impedâncias do lado de média para o de baixa tensão, para obter os parâmetros da planta do sistema de controle, através das seguintes relações,

] = !_(é&2g/!_ig2ng 92.16; ._- = :¹ ]⁼ a ._& 92.17; /_-= :¹ ]⁼ a 9/_&+ /_e; 92.18; onde ,_- = /_-/#.

Por fim, considerou-se que o inversor tem uma impedância indutiva de saída /₂₃₄, e que assume tipicamente o valor de 10% da impedância base )_{ig01_2} [14]:

)_{ig01_2} = 9!_ig2ng;a⁄f₂₃₄ 92.19;

/₂₃₄ = 0.1 ∗ )_ig011, 92.20;

onde o reator de saída do inversor é ,₂₃₄ = /₂₃₄/#.

Fazendo os cálculos acima, foram obtidos os seguintes valores para o modelo da rede:

Tabela 2.1: Elementos calculados para a modelagem da rede.

A partir desse resultado e do valor de outros parâmetros do circuito, também dados na Tabela 2.2, é possível enfim, calcular os ganhos do PI usando (2.9) e (2.10). O desenvolvimento segue em detalhes abaixo.

._- 0.51 mΩ

,_- 33.8 µH

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Tabela 2.2: Parâmetros do circuito.

Parâmetros do Circuito Valor

Resistência da Planta 0.51 mΩ

Indutância da Planta 33.8 µH

Frequência de Amostragem do Controlador 20 kHz

Frequência da Portadora do PWM 10 kHz

Tensão no elo CC 400 V

Reator de Saída do Inversor 1.3 mH

Tensão de linha 220 V

Frequência da Rede 60 Hz

É razoável considerar que a frequência de cruzamento de ganho #_" é bastante superior à frequência na qual se encontra o polo da planta e, portanto, a parcela R]^F_b#_"%_-c assume um valor próximo a [ 2⁄ . Essa simplificação aplicada à (2.10) leva à (2.21):

'₍ ≈ R]^F_9#_"%₂; − #_"%_& 92.21;

que pode ser reescrita como

#_" = ^{R]^}

F_9#_"%₂; − '₍

%_& ^{, 92.22;} de onde se pode verificar com uma rápida análise que o valor máximo de #_" para uma dada margem de fase, acontece quando R]^F_9#_"%₂; = [ 2⁄ . Com isso, (2.22) fica

#_"9(gn; = ^{[ 2}⁄ − '₍

%_& ^{. 92.23;} De posse do valor máximo calculado para a frequência de cruzamento do ganho, #_", definida como a frequência em que o módulo da função de transferência de malha aberta é unitário (ou 0 dB), calcula-se o valor do ganho proporcional <_- substituindo

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essa frequência em (2.4) e considerando o ganho unitário, de acordo com a própria definição de frequência de cruzamento de ganho. Com isso, chega-se a

<_- =^.-%2

!_"" ^#"9(gn;p

91 + 9#_"9(gn;%_-;a;

91 + 9#_"9(gn;%₂;a;^{. 92.24;}

Para encontrar o ganho <₂ ou, analogamente, a constante de tempo do integrador %₂ , utiliza-se a consideração feita para encontrarmos (2.23), ou seja, de que R]^F_9#_"%₂; = [ 2⁄ . Dessa forma, tem-se que

R]^F_b#_"9(gn;%₂c ≈ [ 2⁄ . 92.25; Para determinar o ângulo foi analisada a curva da tangente a fim de encontrar um ângulo próximo de 90° o suficiente, mas que não estivesse em uma região de tão elevada sensibilidade (variação da tangente com relação ao ângulo). Com base nesse critério avaliado, foi escolhido o ângulo como sendo 88.5°, assim

%₂ = ^{tan 988.5 ∗ 9[ 180⁄ ;;}

#_"9(gn; ^{. 92.26;}

Assim, considerando uma margem de fase '₍ = 40°, valor adotado comumente

na literatura, as equações acima resultam nos valores para os ganhos do regulador PI dados na Tabela 2.3.

Tabela 2.3: Ganhos do controlador PI calculados. <_- 15.32 Ωrad/V

<₂ 304.68 rad/s

As respostas em frequência do sistema completo tanto em malha aberta, quanto em malha fechada foram traçadas e podem ser vistas nas Figuras 2.3 e Figuras 2.4, respectivamente. Analisando a Figura 2.3 verifica-se margem de fase 38.5° e margem de ganho 5.03 dB, com isso a estabilidade de um sistema de fase mínima, no qual nenhum polo ou zero se encontra no semiplano lateral direito no domínio de Laplace, é assegurada. Já pela Figura 2.4, observa-se que a largura de banda, grandeza diretamente

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relacionada com a resposta dinâmica do sistema, é de 4.21 kHz, desconsiderando os efeitos da modulação PWM que reduzem a largura de banda e que são explicados no Capítulo 5.

Entretanto, conforme mencionado anteriormente neste capítulo, as margens de fase e ganho não são os únicos fatores importantes para conferir a estabilidade a um sistema. É necessário também analisar sua resposta ao degrau, a fim de verificar seu comportamento transitório. Portanto, foi aplicado um degrau à referência de corrente para analisar como o sistema se comporta. Esse resultado se encontra na Figura 2.5 e mostra que o sistema respondeu satisfatoriamente à variação da referência. É importante ressaltar que novamente não foram considerados os efeitos do PWM, o que é possível verificar analisando a corrente de saída que não possui componentes de alta frequência oriundas do chaveamento do PWM.

Figura 2.3: Resposta em frequência do sistema em malha aberta.

-60 -40 -20 0 20 40 60 Ma g n it u d e ( d B ) 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ -2.88 -2.304 -1.728 -1.152 -0.576 0 x10⁴ Fa s e ( d e g ) Diagrama de Bode

Gm = 5.03 dB (at 3.3e+003 Hz) , Pm = 38.5 deg (at 1.85e+003 Hz)

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Figura 2.4: Resposta em frequência do sistema em malha fechada.

Figura 2.5: Resposta a um degrau de referência aplicado.

Ainda analisando a Figura 2.5, observa-se um transitório ao aplicar o degrau de referência, que possui certo overshoot. A explicação para isso está no fato de que nessa modelagem não foi levado em consideração o efeito da tensão da rede, que pode ser vista como uma perturbação no sistema; considerou-se apenas a relação entrada/saída do sistema em malha fechada. Porém, no sistema real essa perturbação deve ser considerada, bem como o erro causado por ela, principalmente pelo fato dos ganhos do controlador sofrerem limitações, previamente explicadas. Esses limites impostos pelos atrasos da modulação PWM e da amostragem do controlador, tem influência considerável no erro devido à perturbação. Como solução, propôs-se usar a técnica de

-60 -40 -20 0 20 Ma g n itu d e ( d B ) Sistema: FTMF Frequência (Hz): 4.21e+003 Magnitude (dB): -3 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ -1800 -1440 -1080 -720 -360 0 Fa s e ( de g) Frequência (Hz) Tempo (s) Co rr e n te ( A) 0.06 0.065 0.07 0.075 0.08 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 Corrente de saída

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feedforward, usando a tensão medida no PCC, para compensar a perturbação [7]. O diagrama de blocos do sistema considerando essa realimentação positiva se encontra ilustrado na Figura 2.6.

De posse dos parâmetros calculados e dos resultados teóricos obtidos, essa solução foi implementada diretamente na simulação do sistema feita no ambiente de simulação de circuitos PSIM [15]. Os resultados obtidos serão mostrados no Capítulo 5, a fim de validar este controle.

Figura 2.6: Diagrama de blocos do controle.

Neste Capítulo foi apresentado, pois, o modelo do sistema considerando a rede modelada de forma simplificada. Além disso, foi feito o projeto do controlador PI usando como parâmetro a margem de fase do sistema. Os resultados mostrados até então não consideram a dinâmica da modulação PWM, que será mostrada nos resultados obtidos em simulação no Capítulo 5. Vale ainda ressaltar que as análises feitas neste capítulo são uma aproximação, uma vez que foram feitas no domínio contínuo. No Capítulo 5 elas serão feitas no domínio discreto e, portanto, mais próximas à realidade.

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Capítulo 3