SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO
3 METODOLOGIA PARA CÁLCULO DE DESEMPENHO ESTRUTURAL
3.3 Modelagem por Elementos Finitos
Para que uma estrutura seja projetada, o engenheiro deve utilizar um modelo de cálculo, de maneira que possa ser analisada de acordo com conceitos de Mecânica Geral e Resistência dos Materiais. Por mais que seja simples a geometria da estrutura, a aplicação desses conceitos necessita de uma abordagem matemática complexa e uma grande quantidade de cálculos para a sua resolução. Com o passar do tempo, as ferramentas utilizadas na resolução de problemas estruturais foram se modificando de acordo com a tecnologia disponível em cada época (PAPPALARDO, 2007). Dentro deste contexto, surgiram ferramentas que empregam métodos de elementos finitos, que apresentam maior velocidade de resolução de cálculos e capacidade de armazenamento de dados. Segundo Kwon e Bang (1996), uma das maiores vantagens do método de elementos finitos é que um programa computacional pode ser facilmente elaborado para analisar vários tipos de problemas. Em tese, qualquer forma complexa de domínio do problema com condições prescritas pode ser tratada com facilidade usando este método. Para isso, requer-
se a divisão do domínio do problema em vários subdomínios, e cada subdomínio é chamado de elemento finito. Por conseguinte, o conjunto de elementos finitos forma uma malha numérica. A Figura 3.7 apresenta um exemplo de uma malha de elementos lineares, bidimensionais e tridimensionais.
Figura 3.7 - Exemplos de aplicações de elementos finitos em estruturas lineares, bidimensionais e tridimensionais (PAPPALARDO, 2007).
Vale destacar também que todos os elementos finitos da malha interagem entre si através dos deslocamentos nodais como ilustra a Figura 3.8 que representa uma peça sujeita a carregamento externo.
Figura 3.8 - Peça sujeita a ações externas subdividida em elementos finitos, detalhe de um elemento finito e sua interação com os adjacentes (ALVES FILHO, 2003).
Com isso, decidiu-se adotar uma metodologia numérica para simulação de falha das vigas MLC através de critérios de falha aplicados a materiais ortotrópicos, aos quais a madeira se refere. Portanto, foram elaborados Scripts em linguagem Python com as equações dos critérios de Tsai-Wu e LaRC04 e implementados no programa de elementos finitos Abaqus para efeitos de simulação de falha em ensaios de flexão de vigas MLC. Nesta análise foi feito o cálculo do índice de falha em cada critério e para cada elemento da malha gerada. A partir do valor do índice de falha, é possível prever se o material falhou ou não em regiões específicas devido à carga aplicada no ensaio que está sendo feito.
3.3.1 Critério de Falha de Tsai-Wu
Dentre as diversas teorias de falha para materiais ortotrópicos, existe o critério de Tsai- Wu que se trata de um critério iterativo e capaz de distinguir diretamente entre os limites de resistência à tração e à compressão, sendo este muito aplicado em diversas pesquisas, sobretudo relacionadas a madeira. De acordo com Tsai and Wu (1971), esta teoria é apresentada da seguinte forma:
(3.1)
Os termos representados por F com os índices subescritos indicam constantes a serem calculadas através dos limites de falha. As expressões , e são as tensões nos eixos
principais do material. Ao considerar que a resistência ao cisalhamento não depende do sinal da
, tem-se que:
= = = 0
portanto, para um estado de cisalhamento puro em que as tensões normais principais são nulas e a tensão cisalhante seja equivalente ao limite de resistência longitudinal ao cisalhamento ( ), conclui-se que:
=
(3.2)
Ao aplicar ao laminado um estado de tensões cuja única componente não nula é , que
equivale ao limite de resistência longitudinal a tração ( ) das fibras, encontra-se:
= 1 (3.3)
Caso a única componente não nula seja = , em que representa o limite de resistência longitudinal à compressão das fibras, encontra-se:
= 1 (3.4)
Resolvendo-se este sistema formado pelas equações (3.3) e (3.4), são determinadas as constantes:
e (3.5)
e (3.6)
Uma forma direta de se determinar o fator adotada por Tsai e Wu (1971) sem a necessidade da realização de um procedimento experimental, apenas comparando com testes já existentes e com critérios de falha mais simples é:
√ (3.7)
Ao substituir todas as constantes na equação (3.1), tem-se que:
( ) ( ) ( )
√ (3.8)
Esta expressão demonstra que há um fator de segurança unitário quanto à falha da lâmina. Esta igualdade representa uma situação crítica para ruptura do laminado. Para realizar uma melhor análise desta expressão, Tsai e Melo (2015) apresentam o coeficiente R, denominado razão de tensões. Ao substituir o valor de R na equação 3.8, obtém-se a seguinte expressão:
(3.9)
Para a qual:
( ) ( )
( )
√
Ao isolar o fator R, tem-se:
O fator k é denominado índice de falha. Para , indica que houve falha do material, enquanto que representa que a falha não ocorreu, o que indica uma situação de segurança para o material. Portanto, deseja-se descobrir por qual razão R as tensões podem ser multiplicadas de modo a cruzar o envelope, causando a falha.
3.3.2 Critério de Falha LaRC04
Paralelamente ao critério de Tsai-Wu, também foi utilizado neste trabalho o critério de falha LaRC04 por se tratar de um critério que analisa o comportamento não linear do material aplicado para elementos tridimensionais de materiais ortotrópicos. Este critério também leva em consideração os parâmetros físicos do material, e se resume a seis índices de falha, nos quais três se referem a falha das fibras e três se referem a falha da matriz. A seguir é apresentado um resumo de todo o critério LaRC04 de acordo com o que foi apresentado por Dávila (2005). A Tabela 3.2 apresenta as equações de cada índice de falha com as respectivas condições de aplicação.
As propriedades unidirecionais do material exigidas para este critério são: E11, E22, G12,
v12, XT, XC, YT, YC, SL e g, onde E11 e E22 representam os módulos de elasticidade longitudinal e
transversal no plano das fibras, G12 o módulo de elasticidade transversal ao plano das fibras, v12 o
coeficiente de Poisson e g a razão de dureza do material que é calculada através da equação 3.10, a qual é aplicada somente para lâminas espessas.
Tabela 3.2 - Sumário do critério de falha LaRC04 (DÁVILA, 2005). ( ) (3.10) onde: ( ) √ √
Os termos e , representam os limites de resistência localizados à tração e ao cisalhamento.
Para o caso de falha da matriz devido a esforços de compressão transversal, o ângulo de fratura (αo) é obtido através da aplicação da teoria de Mohr-Coulomb, efetuando a maximização
das tensões efetivas (PANOSSO, 2011). A Figura 3.9 demonstra uma representação geométrica do estado uniaxial de compressão.
Figura 3.9 - Círculo de Mohr para um estado uniaxial de compressão e tensões efetivas de cisalhamento (PANOSSO, 2011).
Com isso o coeficiente de fricção transversal (ηT) pode ser determinado através da equação 3.11.
( ) (3.11)
Dentro deste contexto, a tensão de cisalhamento transversal é definida como:
( ) ( ( ) ( ( ))) (3.12)
com isso, o coeficiente de fricção longitudinal (ηL) é obtido através da relação:
. (3.13)
As tensões normal ( ), cisalhante transversal ( ) e cisalhante longitudinal ( ) aos respectivos planos de fratura ( [ [ ) são determinadas como:
( )
( ) (3.14) ( )
( )
( ) ( )
Ao exercer esforços de compressão axial nas fibras, estas estão sujeitas a um desalinhamento longitudinal no próprio plano. Com isso surge um ângulo de desalinhamento ( ), como representado na Figura 3.10. O valor de pode ser calculado através da Equação 3.15.
Figura 3.10 - Quadro de desalinhamento de fibra (DÁVILA, 2005).
( √ ( ) ( ) ) (3.15)
O ângulo obedece à relação , onde se refere ao ângulo de desalinhamento inicial e a deformação no plano de desalinhamento e que pode ser obtido por:
(3.16)
| |( ) (3.17) | |
Conhecendo todas as variáveis que se referem ao desalinhamento das fibras, as tensões para tais condições são calculadas seguindo as equações 3.18.
( ) ( ) (3.18)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
Para falha da matriz por compressão biaxial (com ] [), as tensões são determinadas como:
( ) ( ) (3.19) ( ) ( ) ( ) ( )
Assim como o desalinhamento das fibras ocorre no plano da lâmina, o critério LaRC04 também avalia a torção do plano da lâmina em um modelo 3D, como mostra a Figura 3.11 que apresenta o ângulo ѱ, conhecido como ângulo de torção. Este ângulo surge a partir de uma solicitação tridimensional do material, cujo valor é obtido pela equação 3.20.
Figura 3.11 - Modelo tridimensional de torção (PINHO, 2005).
( )
(3.20)
As tensões no plano de torção são definidas como:
( ) ( ) (3.21)
( ) ( )
( ) ( )
Assim como no critério de Tsai-Wu, se algum dos índices de falha apresentados na Tabela 3.2 exceder o valor unitário, indica que houve falha no material. Por meio do software Matlab, foram implementadas as equações de cada critério para plotar os seus respectivos envelopes de falha.
No critério LaRC04 há uma separação entre índices de falha para a matriz e para as fibras como apresentado na Tabela 3.2. A madeira é um compósito natural formado por uma matriz polimérica. A matriz é uma importante parte em um material compósito reforçado por fibras
naturais. Esta funciona como uma barreira contra ambientes adversos protegendo o compósito contra a umidade e diversos solventes, além de transferir o esforço fornecido sobre a superfície do compósito para as fibras que reforçam o material (VAISANEN, 2016). Os materiais poliméricos utilizados como matrizes em compósitos podem ser classificados em termorrígidos ou termoplásticos. O fator limitante para a utilização de um polímero como matriz em compósitos reforçados com fibras naturais é a temperatura de processamento, a qual deve geralmente ser inferior a 200 °C para evitar a degradação térmica das fibras naturais (PICKERING, 2016). Como já mencionado no Capítulo 2, a madeira é formada por fibras de celulose e hemicelulose que são envolvidas por lignina que seria a matriz polimérica presente na madeira.
3.4 Determinação das propriedades unidirecionais do material
Para a determinação das principais propriedades unidirecionais do material foram realizados ensaios experimentais em corpos de prova de MLC obedecendo o que é apresentado na norma NBR 7190/1997. Assim, foram realizados ensaios de tração e compressão longitudinal e normal às fibras, e também ensaio de cisalhamento para assim obter os valores dos respectivos limites de resistência à falha do material. Como já apresentado, tais propriedades são essenciais para a aplicação dos critérios de falha. Cada tipo de ensaio foi realizado em três corpos de prova. A madeira utilizada para confecção dos corpos de prova foi Pinus elliottii que é o mesmo tipo de madeira das vigas utilizadas nos ensaios de flexão.
As propriedades mecânicas do material determinam o seu comportamento em todas as circunstâncias do processo de fabricação e de utilização. Estas são obtidas quando o material está sujeito a esforços mecânicos, daí a importância da realização de ensaios mecânicos. Tais características determinam a maior ou menor capacidade que o material tem para transmitir ou resistir aos esforços que lhe são aplicados (TEÓFILO, 2017).
Os aparelhos de medição utilizados nos ensaios foram os mesmos apresentados na Tabela 3.1 para assim poder coletar os valores de força e deslocamento. Devido à necessidade de dispositivos específicos, os ensaios de tração longitudinal às fibras foram realizados em uma máquina de ensaio MTS (carga máxima = 125kN), como a que está apresentada na Figura 3.12, a qual coleta os valores dos mesmos parâmetros desejados (força e deslocamento). Esta é uma
máquina de alta resolução, permitindo a obtenção de valores e a plotagem de gráficos com maior precisão.
Figura 3.12 - Máquina de ensaio de tração MTS Landmark.
3.4.1 Ensaios de Tração
Foram realizados ensaios de tração longitudinal e normal às fibras. Para o ensaio de tração longitudinal, foram confeccionados corpos de prova com dimensões distintas daquelas estabelecidas pela NBR 7190 pelo fato de os dispositivos de fixação da máquina MTS possuírem dimensões reduzidas e específicas. Portanto, decidiu-se adotar as dimensões utilizadas por Nicolas (2006), cujo trabalho foi realizado com a mesma finalidade de obter o limite de resistência máxima ao esforço em questão. A máquina MTS é um equipamento de alta precisão e que fornece valores com melhor clareza para o cálculo do módulo de elasticidade do material. Realizou-se uma alteração na largura para melhor fixação na máquina de ensaio. A Figura 3.13 apresenta as dimensões do respectivo corpo de prova. A Figura 3.14 apresenta a montagem do ensaio.
Figura 3.13 - Modelo de corpo de prova de tração longitudinal utilizado nos ensaios (NICOLAS, 2006).
Figura 3.14 - Montagem do ensaio de tração paralela às fibras.
Os ensaios de tração normal às fibras foram realizados utilizando os equipamentos descritos na Tabela 3.1. A Figura 3.15 mostra o modelo de corpo de prova adotado neste ensaio. A montagem para este ensaio é apresentada na Figura 3.16. Para isso foi feito um dispositivo para assim poder realizar o ensaio de acordo com a norma NBR 7190 como mostra a Figura 3.17. Os limites de resistência à tração são calculados utilizando as equações 3.22 e 3.23, onde e são as médias das forças máximas de tração longitudinal e transversal aplicadas ao corpo de prova durante o ensaio, em newtons. Os termos e se referem às áreas iniciais da seção
Figura 3.15 - Corpo de prova para tração normal às fibras (NBR 7190, 1997).
Figura 3.17 - Montagem da bancada para o ensaio de tração normal às fibras.
(3.22)
(3.23)
O termo representa o limite de resistência à tração longitudinalmente às fibras e o termo indica o limite de resistência à tração transversalmente às fibras.
3.4.2 Ensaios de Compressão
Para os ensaios de compressão longitudinal às fibras, as dimensões dos corpos de prova utilizados são apresentadas na Figura 3.18 em milímetros. A montagem do ensaio foi realizada segundo mostrado na Figura 3.19. Foi aplicado apenas um ciclo de carregamento.
Figura 3.18 - Dimensões dos corpos de prova para ensaio de compressão paralela às fibras (NBR 7190, 1997).
Figura 3.19 - Montagem da bancada para o ensaio de compressão paralela às fibras.
Os ensaios de compressão normal às fibras foram realizados com a mesma montagem de bancada utilizada para o ensaio de compressão longitudinal exceto nas dimensões do corpo de prova e a disposição das fibras. Tais propriedades são mostradas na Figura 3.20. A Figura 3.21 mostra a montagem do ensaio em questão. Os limites de resistência a compressão são calculados utilizando as equações 3.24 e 3.25, onde e são as médias das forças máximas de compressão longitudinal e transversal aplicadas ao corpo de prova durante o ensaio, em newtons. Os termos e se referem às áreas iniciais da seção transversal comprimida, em metros quadrados.
Figura 3.20 - Dimensões do corpo de prova para ensaio de compressão normal às fibras.
(3.24)
(3.25)
Figura 3.21 - Montagem da bancada para o ensaio de compressão normal às fibras.
3.4.3 Ensaio de Cisalhamento
O modelo de corpo de prova utilizado para os ensaios de cisalhamento é mostrado na Figura 3.22. Para este ensaio foi montado um dispositivo para o encaixe da amostra e para a
região de fornecimento de carga como é apresentado nas Figuras 3.23 e 3.24. Para este procedimento acompanhou-se o modelo de ensaio descrito pela norma NBR 7190/1997.
Figura 3.22 - Corpo de prova para ensaio de cisalhamento na direção paralela às fibras.
Figura 3.24 - Montagem da bancada para o ensaio de cisalhamento.
O limite de resistência longitudinal ao cisalhamento é calculado através da divisão da medida das forças cisalhantes máximas ( ) obtidas nos ensaios pela área inicial da seção crítica
do corpo de prova em plano paralelo às fibras como mostra a Equação 3.26.
(3.26)
3.4.4 Módulos de Elasticidade
Uma vez obtidos os valores de força e deslocamento nos ensaios experimentais, é possível determinar os valores dos módulos de elasticidade nas direções longitudinal ( ) e transversal ( ) às fibras do material através do cálculo das tensões e deformações, e plotar o gráfico x correspondente. O módulo de elasticidade foi determinado através da inclinação da reta secante à curva do gráfico x definida pelos pontos ( ; ) e ( ; ) que se referem a 10% e 50% da resistência à tração longitudinal às fibras medida nos ensaios (NBR 7190, 1997). A Figura 3.25 seguida pela equação 3.27 ilustram a determinação desta propriedade. A variação de comprimento ( ) da amostra pode ser obtida através do valor de deslocamento obtido pelo sensor de deslocamento acoplado.
Figura 3.25 - Diagrama tensão x deformação específica da tração paralela às fibras (NBR 7190, 1997).
(3.27)
A mesma metodologia foi adotada para a determinação do parâmetro , porém distinguiu-se na utilização do tipo de ensaio adotado. Neste caso, baseou-se no ensaio de compressão transversal às fibras. E como o adesivo utilizado para colar a madeira é um material isotrópico, foi realizado um ensaio de tração semelhante ao ensaio de tração normal às fibras com a inclusão de uma linha de cola na parte central do corpo de prova que une dois pedaços de madeira como representa a Figura 3.26. Sendo assim, é possível determinar o módulo de elasticidade da cola.
Figura 3.26 - Corpo de prova para tração da lâmina de cola normal às fibras da madeira laminada colada (NBR 7190, 1997).
A montagem do corpo de prova na bancada para ensaio é idêntico ao mostrado na Figura 3.17, utilizando os mesmos dispositivos elaborados para o ensaio de tração normal às fibras segundo o que está descrito na norma NBR 7190 (1997), e também representado na Figura 3.27.
Figura 3.27 - Arranjo de ensaio para tração da lâmina de cola na direção normal às fibras da madeira laminada colada (NBR 7190, 1997).
O módulo de cisalhamento foi determinado através da plotagem do diagrama tensão cisalhante ( ) versus distorção ( ) cujos valores são calculados através dos ensaios de cisalhamento. O valor de é obtido através da inclinação da reta secante à curva do gráfico x . Foi utilizada a equação 3.28 para obtenção do módulo de cisalhamento. A distorção específica é ilustrada na Figura 3.28.
(3.28)
Figura 3.28 - Distorção específica obtida a partir de um ensaio de cisalhamento ( LEGGERINI, 2007).
Como as estruturas trabalham no campo das pequenas deformações, obtém-se que <<<1 rad, logo, pode-se reduzir a expressão da distorção à equação 3.29. Este fator representa a relação entre o deslocamento observado e a distância medida perpendicular ao deslocamento (LEGGERINI, 2007).
(3.29)
O valor do coeficiente de Poisson ( ) é calculado através da proporção pela qual o sólido se deforma em uma direção devido a deformações em uma direção perpendicular como representa a equação 3.30 e ilustra a Figura 3.29. Os valores de deformação foram extraídos através dos ensaios de compressão longitudinal.
Figura 3.29 - Ensaio de compressão de um corpo de prova para determinação do coeficiente de Poisson a partir da razão da deformação longitudinal pela deformação transversal (SOUZA, 2003).
Desta forma, este trabalho não limitou-se em utilizar dados presentes na literatura. Para aproximar-se ainda mais da realidade de comportamento do material, todas as propriedades unidirecionais da madeira e do adesivo necessárias para implementação dos critérios de Tsai-Wu e LaRC04 foram obtidas experimentalmente exceto o valor do coeficiente de Poisson do adesivo. Para este último caso, devido a restrições de condições de ensaio, utilizaram-se valores retirados de fichas técnicas específicas do produto que para este trabalho foi o adesivo de polivinila (PVA – cola branca). Com isso, foi possível verificar o quão próximo cada um dos indicadores de falha destes critérios podem chegar dos resultados obtidos em ensaios de flexão simples e, caso seja ampla a divergência, verificar quais fatores provocaram o distanciamento do que era esperado.
Como já apresentado, os valores experimentais foram tomados como referência ao serem comparados com os resultados numéricos para assim levantar as possíveis conclusões neste trabalho. De forma geral, valores experimentais validam valores numéricos e analíticos.
O trabalho completo se baseia em estudo de bibliografias relacionadas ao tema para compreensão de teorias que possam ser aplicadas de modo que estejam relacionadas com o assunto. Também com o desenvolvimento de cálculos para serem utilizados como base para a elaboração de simulações numéricas, de maneira que tais simulações estejam relacionadas com a teoria escolhida para aplicação no trabalho. E por fim, a realização de testes experimentais a fim de verificar o quão confiáveis são os resultados obtidos nos cálculos e simulações.