3 PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO
3.5 MODELAGEM GERAL DO SISTEMA
Desde os primeiros dias no desenvolvimento de helicópteros, o layout do quadricóptero foi visto como uma alternativa para construção e uso futuro. Em uma configuração regular de helicóptero, o torque é neutralizado pelo rotor de cauda. Ao usar dois rotores, os torques dos rotores podem ser compensados um pelo outro. Mas dois rotores criados ainda têm desafios no controle, sendo que os movimentos de rotação e translação ainda estão altamente acoplados. Com quatro rotores, o controle fica mais fácil e os movimentos rotacionais podem ser desacoplados para os efeitos giroscópicos. Os movimentos de translação são conseguidos pela inclinação do veículo. (Menno Wierema B.Sc.,2008).
A modelagem começa com a definição dos referenciais, estes estão de acordo com Mulder (2006), e representado na figura 11.
Fonte: Menno Wierema B.Sc., 2008 (modificado)
O referencial inercial fixado na terra (0eXeYeZe) é um sistema de eixos ortogonais destros com a origem no centro de gravidade do quadrotor no início do movimento considerado. Este quadro de referência é fixo à terra e é considerado como o referencial inercial de referência sob condições simplificadoras. O referencial fixo no corpo (0bXbYbZb) é um sistema de eixos ortogonais destros coma origem no centro de
Figura 15 - setup fixo da terra e fixo do corpo
Referência da base ao corpo
Referência da terra ao corpo
gravidade do quadricóptero. O quadro de referência permanece fixo ao quadricóptero mesmo em movimento perturbado.
A posição absoluta do quadrante é descrita pelas três coordenadas (x, y, z) do centro de massa em relação ao referencial terra. Sua altitude absoluta é descrita pelos três ângulos de Euler (figura 16) em suas coordenadas inerciais com duas respectivas referências com sistema de coordenadas em sistemas intermediarios com defasagem de −60°, 30° 𝑒 45° entre eles, (𝜓 −yaw, 𝜙 −roll , 𝜃 −pitch).
Fonte: CHrobotics, 2019 (modificado)
Segundo Camperra (2013), o quadricóptero move-se devido ao trabalho realizado pelo conjunto dos quatro moteres com seus respectivos propulsores, dispostos horizontalmente em uma formação cruz. Os propulsores, devido ao seu formato e à rotação dos motores aos quais são acoplados, criam um fluxo de ar no sentido contrário ao do movimento desejado – como a terceira Lei de Newton propõe, para toda ação, há uma reação de igual intensidade em sentido oposto – isso causa o que é chamada de tração de voo.
A posição absoluta é descrita através dos angulos de Euler (𝜓, 𝜃, 𝜙). São três ângulos respectivos,chamados ângulos de guinada (yaw) (−𝜋 ≤ 𝜓 < 𝜋), ângulo de inclinação (pitch) (− < 𝜃 < ) e ângulo de rolagem (roll) (− < 𝜙 < ). Enquanto o quadricóptero não fizer acrobacias os ângulos de Euler podem ser definidos como limites de dados.
Segundo Newton, define-se que um corpo estará em equilíbrio estático se a soma de todas as forças (4.1) e a soma de todos os momentos (4.2) devem ser igual
Figura 16 - ângulos de Euler (𝝍, 𝝓, 𝜽)
Norte
Oeste
a zero. Em 4.1, 𝑚𝑉⃗ está representado a fórmula do somatório dos momentos e em 4.2, 𝐻⃗ representa o somatório dos impulsos em relação ao referencial inercial.
𝐹⃗ =𝑑 𝑚𝑉⃗ 𝑑𝑡 = 0 (4.1) 𝑀⃗ =𝑑 𝐻⃗ 𝑑𝑡 = 0 (4.2)
Conforme Silva (2012), quando se lida com veículos aéreos é necessário descrever, não somente sua posição, mas também sua altitude. As coordenadas de posição do quadricóptero serão dadas em relação a este referencial, utilizando a matriz de rotação (4.3) calculada. Esta é a matriz que fornece a relação entre o referencial inercial e o referencial do quadricóptero.
𝑅 = 𝑐𝑜𝑠 𝜓 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜓 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜙 − 𝑠𝑖𝑛𝜓 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜓 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠 𝜙 + 𝑠𝑖𝑛𝜓 𝑠𝑖𝑛𝜙 𝑠𝑖𝑛 𝜓 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜓 𝑠𝑖𝑛𝛩𝑠𝑖𝑛𝜙 + 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜓 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝛷 𝑠𝑖𝑛𝜓 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙 − 𝑐𝑜𝑠 𝜓 𝑠𝑖𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠 𝜙 (4.3)
Usando a teoria dos elementos das lâminas (Fay, 2001, Prouty, 2002) é possível calcular as forças atuando paralelamente e perpendicularmente ao eixo do rotor, bem como os momentos atuando em torno do rotor, eixo e cubo. Assumindo que os rotores são rígidos, a força paralela ao eixo do rotor é definida como empuxo 𝑇 do rotor e as forças perpendiculares ao eixo do rotor são definidas como as forças do cubo 𝐻. Também dois momentos trabalham no rotor: o momento de arrasto 𝑀 e o momento de rolagem 𝑀 . Pode-se supor que o levantamento que age na lâmina é cerca de uma ordem de grandeza maior do que o arrasto. Na figura 17, essas forças e momentos são claramente visíveis.
Fonte: Menno Wierema B.Sc.(2008)
A força de empuxo 𝑇 é o resultado de forças que atuam sobre todos os elementos da lâmina perpendiculares ao rotor e eixo, equação 4.4 e 4.5.
𝑇 = 𝐶 𝐴(Ω𝑅) (4.4)
Onde:
𝑇 : resultado das forças de empuxo 𝐶 : coeficiente de translação
𝜌 : densidade do ar a 20°C graus Celsius [
³] = 1,293 ³ 𝐴 : área do disco da hélice = 𝜋𝑟² (𝑚²)
Ω : velocidade da hélice R : resultante rotacional
𝐶 = + 𝜃 − (1 + 𝜇 ) − 𝜎𝑎 (4.5)
Onde:
𝜎𝑎 : relação de esforço (taxa de solidez do rotor) =
𝜃 : referencial pitch a velocidade vertical aplicada ao corpo ( ) 𝜆 : relação de vazão do movimento = ̇
𝑣 : aceleração horizontal na direção lateral direita no referencial do corpo ( ) 𝑧̇ : velocidade vertical no sentido descendente no referencial terra ( )
Ω 𝑅 : velocidade de empuxo da hélice ( )
A força do eixo é o resultado de forças que atuam em todos os elementos da lâmina no plano horizontal, as equações são apresentas em 4.6 e 4.7. Se a velocidade do eixo for igual a zero, a força também será a zero.
𝐻 = 𝐶 𝐴(Ω𝑅) (4.6)
Onde:
𝐻 : resultado das forças no plano horizontal 𝐶 : coeficiente de translação
𝜌 : densidade do ar a 20°C graus Celsius [
³] = 1,293 ³ 𝐴 : área do disco da hélice = 𝜋𝑟² (𝑚²)
Ω : velocidade da hélice R : resultante rotacional 𝐶 𝜎𝑎= 𝜇𝑐̅ 4 + 1 4𝜆𝜇 𝜃 − 1 2𝜃 (4.7) Onde:
𝜃 : incidência do ângulo de inclinação (𝑟𝑎𝑑)
𝜎𝑎 : relação de esforço (taxa de solidez do rotor) = 𝑎 : inclinação de elevação
𝜃 : torção de passo (𝑟𝑎𝑑)
𝜆 : relação de vazão do movimento = ̇ 𝜇 : proporção avançada
O momento de arrasto é o momento resultante de todas as forças horizontais que atuam no centro do rotor. Este torque determina a potência necessária para o motor manter a rotação do rotor e proporcionando assim um momento de arrasto, as equações deste são apresentados em 4.8 e 4.9.
𝑀 = 𝐶 𝜌𝐴(Ω𝑅) 𝑅 (4.8)
Onde:
𝑀 : momento resultante das forças no centro do rotor 𝜌 : densidade do ar a 20°C graus Celsius [
³] = 1,293 ³ 𝐶 : coeficiente de translação do momento
𝐴 : área do disco da hélice = 𝜋𝑟² (𝑚²) Ω : velocidade da hélice
𝐶 𝜎𝑎 = 1 8 (1 + 𝑢 )𝐶̅ + 𝜆( 𝜃 6 − 𝜃 8 − 𝜆 4) (4.9) Onde:
𝐶 : coeficiente de translação do momento
𝜎𝑎 : relação de esforço (taxa de solidez do rotor) = 𝜃 : torção de passo (𝑟𝑎𝑑)
𝜃 : incidência do ângulo de inclinação (𝑟𝑎𝑑) 𝑢 : velocidade horizontal para frente do frame ( ) 𝐶̅ : coeficiente de arrasto da seção radial em 70% 𝜆 : relação de vazão do movimento = ̇
𝑎 : inclinação de elevação
Como as pás se movem horizontalmente pelo ar, a lâmina que avança produzirá mais sustentação do que a lâmina que retrai, resultando em um momento de laminação global sendo produzido no rotor. As equações correspondentes a esta verificação são apresentadas em 4.10 e 4.11.
𝑀 = 𝐶 𝜌𝐴(Ω𝑅) 𝑅 (4.10)
Onde:
𝑀 : momento global produzido no rotor 𝐶 : coeficiente de translação do momento 𝜌 : densidade do ar a 20°C graus Celsius [
³] = 1,293 ³ 𝐴 : área do disco da hélice = 𝜋𝑟² (𝑚²)
Ω : velocidade da hélice 𝐶 𝜎𝑎 = 𝜇( 𝜃 6 − 𝜃 8 − 𝜆 4) (4.11) Onde:
𝐶 : coeficiente de translação do momento
𝜎𝑎 : relação de esforço (taxa de solidez do rotor) = 𝜇 : proporção avançada
𝜃 : torção de passo (𝑟𝑎𝑑)
𝜃 : incidência do ângulo de inclinação (𝑟𝑎𝑑) 𝜆 : relação de vazão do movimento = ̇
Das equações da dinâmica, onde a força resultante que atua sobre um corpo é fruto do produto da massa do corpo por sua aceleração, devido ao layout do quadricóptero, supõe-se que os produtos cruzados da matriz de inércia 𝐽 podem ser desprezados, isto é, os valores dos elementos 𝑎 onde 𝑖 ≠ 𝑗 são iguais a zero, pode ser verificado na equação 4.12.
𝐽 = 𝐼 0 0 0 0 𝐼 0 0 𝐼𝑧𝑧 (4.12) Onde: 𝐼 , 𝐼 , 𝐼 : Componentes inerciais (𝑘𝑔 𝑚²)
Usando as equações gerais dos movimentos, encontradas em Mulder (2006), define-se então os momentos externos (𝑀 , 𝑀 , 𝑀 ). Estes são apresentadas em 𝑀𝑥 na equação 4.16, em 𝑀𝑦 na equação 4.17 e 𝑀𝑧 em 4.18, aplicados sobre o corpo e as forças resultantes 𝐹 , 𝐹 , 𝐹 externas que agem sobre o corpo referenciadas nas equações 𝐹𝑥 em 4.13, 𝐹𝑦 em 4.14 e 𝐹𝑧 em 4.15.
𝐹 = −𝑊𝑠𝑖𝑛 𝜃 + 𝑋 = 𝑚(𝑢̇ + 𝑞𝑤 − 𝑟𝑣) (4.13)
Onde: 𝑚 : massa (𝑘𝑔)
𝑢̇ : aceleração horizontal para frente em relação ao referencial do corpo ( ) 𝑞𝑤: referencial de inclinação ao corpo do quadricóptero ( )
𝑟 : taxa de guinada no referencial do corpo ( )
𝑣 : velocidade horizontal para direita ao referencial do corpo ( ) 𝑊 : força proporcional da hélice (𝑁)
𝐹 = 𝑊𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝑌 = 𝑚(𝑣̇ + 𝑟𝑢 − 𝑝𝑤) (4.14)
Onde: 𝑚 : massa (𝑘𝑔)
𝑣̇ : aceleração horizontal para direita em relação ao referencial do corpo ( ) 𝑝 : taxa de rolagem no referencial do corpo ( )
𝑤 : Velocidade vertical o sentido descendente ao referencial do corpo ( ) 𝑟 : taxa de guinada no referencial do corpo ( )
𝑊 : força proporcional da hélice (𝑁)
𝐹 = 𝑊𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝑍 = 𝑚(𝑤̇ + 𝑝𝑣 − 𝑟𝑢) (4.15)
Onde: 𝑚 : massa (𝑘𝑔)
𝑤̇ : aceleração vertical no sentido descendente no referencial do corpo ( ) 𝑝 : taxa de rolagem no referencial do corpo ( )
𝑣 : velocidade horizontal direita ao referencial do corpo ( ) 𝑢 : velocidade horizontal para frente ao referencial do corpo ( ) 𝑟 : taxa de guinada no referencial do corpo ( )
𝑀 = 𝐿 = 𝐼 𝑝̇ + 𝐼 − 𝐼 𝑞𝑟 (4.16)
Onde:
𝐼 : componente inercial em 𝑥
𝑝̇ : aceleração de rolagem em relação a referência do corpo ( ) 𝐼 : componente inercial em 𝑧
𝐼 : componente inercial em 𝑦
𝑞 : taxa de inclinação no referencial do corpo ( ) 𝑟 : taxa de guinada no referencial do corpo ( )
𝑀 = 𝑀 = 𝐼 𝑞̇ + (𝐼 − 𝐼 )𝑟𝑝 (4.17)
Onde:
𝐼 : componente inercial em 𝑦
𝑞̇ : aceleração de inclinação em relação a referência do corpo ( ) 𝐼 : componente inercial em 𝑥
𝐼 : componente inercial em 𝑧
𝑝 : taxa de rolagem no referencial do corpo ( ) 𝑟 : taxa de guinada no referencial do corpo ( )
𝑀 = 𝑁 = 𝐼 𝑟̇ + (𝐼 − 𝐼 )𝑝𝑞 (4.18)
Onde:
𝐼 : componente inercial em 𝑧
𝐼 : componente inercial em 𝑦 𝐼 : componente inercial em 𝑥
𝑞 : taxa de inclinação no referencial do corpo ( ) 𝑝 : taxa de rolagem no referencial do corpo ( )
As forças aplicadas sobre o corpo do quadricóptero são derivadas em todos os eixos de movimentação do mesmo. O controle de velocidade aplicado, submete o quadricóptero a reações, e estas devem ser monitoradas e verificadas. As forças ao longo do eixo do quadricóptero, quando há velocidade horizontal na direção para frente do quadro de referência do corpo é apresentado através das equações 4.19 (forças ao longo do eixo) e 4.20 (fricção ao longo do eixo).
− 𝐻
(4.19)
Onde:
𝐻 : Hélice dos propulsores ( )
𝑢 : velocidade horizontal para frente ao referencial do corpo ( ) −1
2𝐶 𝐴 𝜌𝑢|𝑢|
(4.20) Onde:
𝐶 : coeficiente de araste na translação 𝐴 : área da translação
𝜌 : densidade do ar a 20°C graus Celsius [
³] = 1,293 ³
𝑢 : velocidade horizontal para frente ao referencial do corpo ( )
Para reações ao longo do eixo ao longo da velocidade horizontal para a lateral direita em relação ao corpo do quadricóptero, as equações são apresentadas em 4.21(forças ao longo do eixo) e 4.22 (fricção ao longo do eixo).
− 𝐻
(4.21)
Onde:
𝐻 : Hélice dos propulsores ( )
−1
2𝐶 𝐴 𝜌𝑣|𝑣|
(4.22) Onde:
𝐶 : coeficiente de araste na translação 𝐴 : área da translação
𝜌 : densidade do ar a 20°C graus Celsius [
³] = 1,293 ³
𝑣 : velocidade horizontal para direita ao referencial do corpo ( )
Para reações ao longo do eixo ao longo da velocidade vertical para baixo em relação ao corpo do quadricóptero, as equações são apresentadas em 4.23(forças ao longo do eixo) e 4.24 (fricção ao longo do eixo).
− 𝐻
(4.23)
Onde:
𝐻 : Hélice dos propulsores ( )
𝑤 : Velocidade vertical o sentido descendente ao referencial do corpo ( ) −1
2𝐶 𝐴 𝜌𝑤|𝑤|
(4.24) Onde:
𝐶 : coeficiente de araste na translação 𝐴 : área da translação
𝜌 : densidade do ar a 20°C graus Celsius [
³] = 1,293 ³
𝑤 : Velocidade vertical o sentido descendente ao referencial do corpo ( )
Na complementação dos componentes inerciais, há torques atuantes sobre todo o corpo do quadricóptero, em todos os seus movimentos (yaw, rool e pitch), estas forças devem ser verificadas pois, todos os sensores e itens fixados ao corpo do quadricóptero também exercerão distorções na tomada de decisões do controle.
A força de torque atuante sobre o efeito de rolagem do corpo do quadricóptero são apresentadas em 4.25, onde há o cálculo do efeito giroscópio da hélice, 4.26, em que é definido qual é o efeito da inclinação sobre o corpo, 4.27, onde há a verificação do efeito do eixo ao corpo em relação ao seu deslocamento lateral e 4.28 que é o efeito do momento de rolagem ao voar para frente.
𝐽 𝑞Ω (4.25) Onde:
𝐽 : matrix inercial em relação a referência ( ) 𝑞 : taxa de inclinação no referencial do corpo ( )
Ω : efeito residual dos propulsores de velocidade ( ) = −Ω + Ω − Ω + Ω
𝑙(−𝑇 + 𝑇 ) (4.26)
Onde:
𝑙 : comrimento da alavanca que sustenta o propulsor 𝑇 : propulsor correspontende (𝑖 = 𝑛)
−ℎ 𝐻
(4.27)
Onde:
ℎ : distância vertical entre o centro de gravidade e o plano dos propulsores (𝑚) 𝐻 : Hélice dos propulsores ( )
𝑣 : velocidade horizontal para direita ao referencial do corpo ( )
(−1) 𝑀
(4.28)
Onde:
𝑀 : momento em relação ao raio do propulsor (m)
𝑢 : velocidade horizontal para frente ao referencial do corpo ( )
A força de torque atuante sobre o efeito de inclinação do corpo do quadricóptero são apresentadas em 4.29, onde há o cálculo do efeito giroscópio da hélice, 4.30, em que é definido qual é o efeito da inclinação sobre o corpo, 4.31, onde há a verificação do efeito do eixo ao corpo em relação ao seu deslocamento lateral e 4.32 que é o efeito do momento de rolagem ao voar para frente.
𝐽 𝑝Ω (4.29)
Onde:
𝐽 : matrix inercial em relação a referência ( ) 𝑝 : taxa de rolagem no referencial do corpo ( )
𝑙(−𝑇 + 𝑇 ) (4.30) Onde:
𝑙 : comrimento da alavanca que sustenta o propulsor 𝑇 : propulsor correspontende (𝑖 = 𝑛)
ℎ 𝐻
(4.31)
Onde:
ℎ : distância vertical entre o centro de gravidade e o plano dos propulsores (𝑚) 𝐻 : Hélice dos propulsores ( )
𝑢 : velocidade horizontal para frente ao referencial do corpo ( )
(−1) 𝑀
(4.32)
Onde:
𝑀 : momento em relação ao raio do propulsor (m)
𝑢 : velocidade horizontal para frente ao referencial do corpo ( ) 𝑣 : velocidade horizontal para direita ao referencial do corpo ( )
A força de torque atuante sobre o efeito de guinada do corpo do quadricóptero são apresentadas em 4.33, onde há o cálculo do efeito giroscópio da hélice, 4.34, em que é definido qual é o efeito da inclinação sobre o corpo, 4.35, onde há a verificação do efeito do eixo ao corpo em relação ao seu deslocamento lateral e 4.36 que é o efeito do momento de rolagem ao voar para frente.
𝐽 ΔΩ̇ (4.33)
Onde:
𝐽 : matrix inercial em relação a referência ( ) Δ : variação do período de amostragem (𝑠)
Ω̇ : efeito residual da aceleração dos propulsores ( ) = −Ω̇ + Ω̇ − Ω̇ + Ω̇
−ℎ 𝐻
(4.34)
Onde:
𝐻 : Hélice dos propulsores ( )
𝑣 : velocidade horizontal para direita ao referencial do corpo ( )
𝑙(𝐻 − 𝐻 ) (4.35)
Onde:
𝑙 : comrimento da alavanca que sustenta o propulsor 𝐻 : Hélice dos propulsores ( )
𝑢 : velocidade horizontal para frente ao referencial do corpo ( ) =
𝑙(−𝐻 + 𝐻 ) (4.36)
Onde:
𝑙 : comrimento da alavanca que sustenta o propulsor 𝐻 : Hélice dos propulsores ( )
𝑢 : velocidade horizontal para frente ao referencial do corpo ( ) =
Combinando as equações de torque, força e momento de inercial resultante, tem-se todas as componentes inerciais completas para representar a dinâmina do quadricóptero. Em 4.37, a componetne inercial de rolagem se dá através da soma de 4.16, 4.25, 4.26, 4.27, 4.28.
𝐼 𝑝̇ = 𝐼 − 𝐼 𝑞𝑟 + 𝐽 𝑝Ω + 𝑙(−𝑇 + 𝑇 ) − ℎ 𝐻 + (−1) 𝑀
(4.37)
Em 4.38, tem-se a componente inercial de inclinação através da soma de 4.17, 4.29, 4.30, 4.31 e 4.32.
𝐼 𝑞̇ = (𝐼 − 𝐼 )𝑟𝑝 − 𝐽 𝑞Ω + 𝑙(𝑇 − 𝑇 ) − ℎ 𝐻 + (−1) 𝑀
(4.38)
Em 4.39, tem-se a componente inercial de guina através da soma de 4.18, 4.33, 4.34, 4.35 e 4.36.
𝐼 𝑟̇ = 𝐼 − 𝐼 𝑝𝑞 + 𝐽 𝛺̇ + (−1) 𝑀 + 𝑙(𝐻 − 𝐻 ) + 𝑙(−𝐻 + 𝐻 )
(4.39)
Na dinamica do quadrutor, também é necessário a verificação do controle de velocidade e as forças em torno do eixo de sustentação do mesmo. Isto faz com que as expressoes destes, sejam agrupados a fim de fornecer o detalhamento da força de empuxo através da massa do sistema.
A dinamica de força de empuxo em relação aceleração horizontal para frente do corpo de referência é verificada na equação 4.40, que é o somatorio das forças ao longo do eixo (4.19) e fricção ao longo do eixo (4.20).
𝑚𝑢̇ = −𝑚(𝑔 sin 𝜃 − 𝑞𝑤 + 𝑟𝑣) − 𝐻 −1 2𝐶 𝐴 𝑝 |𝑢| (4.44) Onde: 𝑚: massa (𝑘𝑔) 𝑔 : Constante de gravidade (9.8065 )
𝜃 : tarra de referência de inclinação do corpo para terra ( )
A dinamica de força de empuxo em relação aceleração horizontal para direita do corpo de referência é verificada na equação 4.41, que é o somatorio das forças ao longo do eixo (4.21) e fricção ao longo do eixo (4.22).
𝑚𝑣̇ = 𝑚(𝑔 cos 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜙 − 𝑟𝑢 + 𝑝𝑤) − 𝐻 −1 2𝐶 𝐴 𝑝 |𝑣| (4.41) Onde: 𝑚: massa (𝑘𝑔) 𝑔 : Constante de gravidade (9.8065 )
𝜃 : tarra de referência de inclinação do corpo para terra ( ) 𝜙 : tarra de referência de rolagem do corpo para terra ( )
A dinamica de força de empuxo em relação aceleração vertical para baixo do corpo de referência é verificada na equação 4.42, que é o somatorio das forças ao longo do eixo (4.23) e fricção ao longo do eixo (4.24).
𝑚𝑤̇ = 𝑚(𝑔 cos 𝜃 cos 𝜙 − 𝑝𝑤 + 𝑞𝑢) − 𝑇 −1
2𝐶 𝐴 𝑝 |𝑢|
(4.42)
Segundo Fay (2001), quando os rotores transitam horizontalmente, há uma diferença na sustentação entre o avanço e as lâminas de recuo, o que causa o momento de rolamento como descrito atraves matriz 𝑅 visto em 4.3. Porém, na prática também induz outro efeito, o que causa a vibração da lâmina. Ao usar lâminas duras não-rígidas, o agitar da lâmina faz com que o plano do caminho da ponta do rotor seja inclinado. A dinâmica do flapping do rotor é muito rápida, ocorrendo dentro
de uma revolução do rotor, em comparação com a dinâmica do frame do quadricoptero. Consequentemente, as equações de flapping podem ser escritas como funções instantâneas do velocidade horizontal do quadricóptero.
Em Pounds (et al., 2006), a teoria do flapping de lâminas foi usada no modelo para o quadrotor X4. Este, por sua vez é equipado com lâminas articuladas, então este modelo não pode ser totalmente usado com lâminas rígidas desequilibradas, uma vez que prediz o efeito de batida da lâmina. No projeto STARMAC II esse modelo é expandido para uso nessas situações. As propriedades de flapping de uma lâmina de rotor de passo fixo e rígido podem ser analisadas modelando a lâmina como sendo articulada em um deslocamento efetivo do centro de rotação (expresso como uma porcentagem do raio do rotor) e uma mola de torção com rigidez na dobradiça, como mostrado na figura 18.
Fonte: Sammy Omari, 2013 (modificado)
A deformação especifica de flapping ascendente das pás do rotor, faz com que este gere uma força de elevação em cada lâmina. Para os dois lados de batimento destas pás, os ângulos são inversamente simétriocos em relação ao cubo do rotor, fazendo com que os momentos de flapping se anulem. A deflexão total de uma pá do rotor afasta-se da horizontal nas coordenadas do corpo em relação a qualquer ponto de rotação, a equação que representa este ângulo de batimento está descrito através da equação 4.43, que define 𝑎 como deflexão da lamina devido ao momento cônico exercido pelo rotor e 𝑎 𝑒 𝑏 como deflexões da lamina devido ao efeito de flapping.
Figura 18 - movimento de flapping em lâminas sentido horizontal
Inclinação total Ângulo de flapping Movimentação rotor Corpo ro- tor
𝜓 é o angulo da lâmina, e é definido como zero na parte traseira a velocidade V, como demonstrada na figura 19.
𝛽 = 𝑎 − 𝑎 cos 𝜓 + 𝑏 sin 𝜓 (4.43)
Figura 19 - ângulos de flapping
Fonte: Menno Wierema B.Sc.(2008)
Como o efeito do cone é cancelado com o uso de dois rotores rígidos e o efeito da deflexão lateral anula-se para quadrotores, a mudança de direção das forças no rotor são inteiramentes devido à deflexão longitudinal 𝑎1𝑠. Experimentos em Hoffmann (et al., 2007), mostrou que o modelo com lâminas duras corresponderam razoavelmente com os valores medidos. É mostrado em Bouabdallah (2007), que o modelo de rotor rígido é suficiente para regimes de voo de menor velocidade. A implementação do flapping da lâmina também requer experimentos extensos, como é mostrado no STARMAC Projeto II.
4 CONTROLE APLICADO