Modelo de Johnson-Lafarge

Dentre os estudos sobre materiais porosos conduzidos por muitos pesquisadores (Allard e Atalla, 2009), uma das contribuições mais significativas foi realizada por Johnson et al. (1987). Em seu trabalho, foi estabelecido o limite de alta e baixa frequência para a tortuosidade dinâmica assim como a permeabilidade viscosa e introduziu-se um parâmetro para descrever as características de conectividade entre os poros. Suas expressões de tortuosidade e permeabilidade são amplamente usadas em modelos de materiais porosos de estrutura rígida. Os efeitos térmicos em tais estudos foram discutidas por Lafarge et al. (1997), utilizando uma abordagem semelhante à de Johnson et al. (1987).

Desta forma, com base no trabalho de Johnson et al. (1987), para a densidade efetiva e Lafarge et al. (1997), para o módulo de compressibilidade dinâmica, estas expressões são dadas respectivamente por: em que é a pressão estática do meio, a tortuosidade, a permeabilidade estática viscosa, a permeabilidade estática térmica, a viscosidade do fluido, a razão de calores específicos a pressão e volume constantes , o número de Prandtl ( , onde é o calor específico a pressão constante e a condutibilidade 2.3 Modelo de fluido equivalente de Zwikker e Kosten

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térmica do fluido), é o comprimento característico viscoso e o comprimento característico térmico. A compressibilidade dinâmica é dada por e a tortuosidade dinâmica é definida

como . Observe, que as equações (2.28) e (2.32)

são idênticas, no entanto, esta última está descrita em termos da permeabilidade estática viscosa, invés da resistividade ao fluxo.

Pode-se notar que uma expressão similar para foi proposta por Champoux e Allard (1991), conforme equação (2.29). De acordo com Allard e Atalla (2009), a permeabilidade viscosa deveria ser definida como permeabilidade visco-inercial. A permeabilidade dinâmica viscosa foi definida primeiramente por Johnson et al. (1987), sendo um parâmetro relacionado ao gradiente de pressão e à velocidade de partícula em fluido de volume elementar. Em um meio poroso isotrópico, pode-se escrever:

Uma aproximação consiste em usar um parâmetro de baixa frequência, a partir da definição de resistividade ao fluxo . Tem-se então a permeabilidade estática viscosa , dada por:

A resistividade ao fluxo ou a permeabilidade viscosa são mensuráveis e, quando a frequência tende a zero, esta fornece informações essenciais sobre as interações viscosas nos poros do material. Desta forma, a permeabilidade estática viscosa é um parâmetro intrínseco que depende somente da microgeometria da estrutura porosa, pois é proporcional à para um fluido qualquer.

Em relação à permeabilidade térmica e à compressibilidade do fluido em um meio poroso, tem-se os passos a seguir.

Em um material poroso que possua uma estrutura rígida saturada por um fluido, a descrição macroscópica da troca térmica entre a estrutura e o fluido é necessária para predizer a compressibilidade do fluido equivalente. Esta descrição será obtida com o auxílio do conceito de permeabilidade térmica dinâmica. O parâmetro de permeabilidade térmica dinâmica foi definido por Lafarge et al. (1993, 1997).

A permeabilidade térmica é um parâmetro que relaciona a derivada de pressão acústica no tempo ( , considerada Modelos clássicos de materiais porosos de estrutura rígida

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espacialmente constante ao longo do poro, para comprimentos de onda muito maiores que a dimensão característica do poro) e a temperatura acústica média espacial , definido como:

onde é a condutibilidade térmica. O termo tem a mesma dimensão de , ou seja, metros quadrados na unidade SI. Quando tende a zero, tende a permeabilidade estática térmica . De acordo com Torquato (1990), .

Quando a estrutura porosa apresenta capacidade térmica suficiente para a parte real da compressibilidade atingir o valor isotérmico, , no limite de baixa frequência ( ), a variação de temperatura pode ser considerada nula nas paredes do poro (substituindo a analogia da condição de não-deslizamento, , para um fluxo viscoso).

A justificativa da utilização da permeabilidade térmica e viscosa em função do comprimento de onda é a caracterização acústica de um fluido equivalente. É possível encontrar uma relação entre a permeabilidade estática térmica e a compressibilidade dinâmica para o limite de (Debray et al., 1997; Champoux e Allard, 1991). A partir da equação (2.36), é possível demonstrar que:

A estimativa de foi sugerida por Henry e Allard (1997), no entanto não é possível avaliar em frequências suficientemente baixas, sem o seu prévio conhecimento em função da frequência. Outros modelos de compressibilidade dinâmica independentes da permeabilidade estática térmica, como por exemplo o modelo de Champoux e Allard (1991) podem ser utilizados para estimar .

Desta forma, pode-se avaliar a permeabilidade térmica, utilizando o modelo de Lafarge et al. (1997) e as propriedades do material poroso #2 do trabalho de Henry e Allard (1997), cujos parâmetros são:

Totuosidade: ; Porosidade: ;

Comprimento característico viscoso: ; 2.3 Modelo de fluido equivalente de Zwikker e Kosten

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Comprimento característico térmico: _;

Permeabilidade estática viscosa: _;

Permeabilidade estática térmica: _.

Nota-se que a curva de permeabilidade térmica vista na Figura 2.6, quando , apresenta o valor de , próximo ao valor inicialmente introduzido ao modelo de compressibilidade dinâmica.

Desta maneira, conclui-se que o limite de baixa frequência da expressão da permeabilidade térmica estudada é realmente válida. De acordo com Henry e Allard (1997), em suas avaliações analíticas e experimentais, afirma-se que a razão entre as permeabilidades estáticas térmica e viscosa , apresenta a mesma ordem de magnitude da razão entre os comprimentos característicos térmico e viscoso , e esta ordem de magnitude está entre 1,5 e 4. Nota-se que estas razões são iguais quando a porosidade é muito próxima de 1. No caso de fibras circulares equidistantes, esta razão torna-se igual a 2 e no caso de esferas ela torna-se 1,5. No caso de esferas, a razão foi calculada por Kostek et al. (1992).

No trabalho de Allard et al. (1998) encontra-se que a relação pode ser uma estimativa para alguns materiais granulares. No caso de poros cilíndricos de raio igual a _{, tem-se que a} permeabilidade térmica estática é dada por (Allard e Atalla, 2009).

Figura 2.6: Permeabilidade térmica válida para limite de baixa frequência; (Modelo de Lafarge et al., 1997).

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No caso de poros cilíndricos idênticos alinhados paralelamente com dimensões muito menores que o comprimento de onda, cuja propagação é perpendicular à área de seção transversal, tem-se as seguintes relações:

; ;

Pela definição de tortuosidade, este parâmetro não deve ser menor que 1, e para a maioria dos materiais acústicos porosos nota-se que a tortuosidade é geralmente menor que 4.

Já foi comentado que as funções e expressam

respectivamente as trocas viscosas e térmicas entre o fluido e a estrutura porosa, responsáveis pelo amortecimento e absorção sonora dos materiais porosos. Para considerar apenas as dissipações viscosas ao modelo e observar o efeito de importância na absorção sonora, basta considerar o módulo de compressibilidade constante e igual a

= . Por outro lado, para considerar apenas a dissipação

térmica, deve-se manter a densidade dinâmica efetiva constante, de forma que . De acordo com Perrot (2006), a dissipação

viscosa contribui com a maior parcela da dissipação total, cerca de 70 % para materiais de polietileno, e apenas 30% relacionada à dissipação térmica. Estas trocas são devidas primeiramente ao movimento relativo do fluido no interior da estrutura, mesmo esta considerada rígida. Por outro lado, é devido também às compressões e rarefações do fluido que satura a amostra porosa durante o movimento ondulatório.

As parcelas do fluido afetadas pelas dissipação viscosa e térmica podem ser estimadas pela razão entre os comprimentos característicos do material poroso, como exemplo as dimensões dos poros assim como a espessura das camadas limite viscosa _{e térmica}

. Para os efeitos viscosos, o domínio corresponde à região do fluido na qual a distribuição de velocidade é perturbada pelas forças de fricção, justamente na interface entre o fluido viscoso e a estrutura rígida. Para os efeitos de dissipação térmica, esta região corresponde ao volume de fluido afetado pelas trocas térmicas entre as duas fases do material poroso.

A faixa de frequências tal que a espessura da camada limite viscosa _{é muito maior do que os raios dos poros ,}

ou seja, , é chamado de baixas frequências. Para estas frequências, as forças viscosas são importantes em todo o fluido. Ao mesmo tempo, o ciclo de compressão-expansão é lento o suficiente para

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favorecer as trocas térmicas entre o fluido e a estrutural do material poroso. A temperatura da estrutura é então praticamente invariável devido à propagação das ondas acústicas com elevado valor de . Assim, a estrutura apresenta o comportamento termo-estático, e neste caso a compressibilidade isotérmica é diretamente aplicável, onde para . Quando há o aumento da frequência, a espessura da camada limite torna-se mais estreita e os efeitos viscosos são concentrados em um volume menor próximo da parede do poro e tem-se . Neste caso, os efeitos viscosos no fluido podem ser negligenciados: o fluido comporta-se quase como um fluido perfeito (com viscosidade dinâmica nula). Neste domínio de frequências, o ciclo de compressão-expansão torna-se muito mais rápida do que a troca de calor entre o fluido e a estrutura, e com boa aproximação pode-se considerar a compressão adiabática.

Sabe-se que os modelos de fluido equivalente são de maneira geral bastante precisos para a determinação de propriedades de absorção acústica de materiais porosos. No entanto, há a necessidade de determinação experimental de alguns parâmetros macroscópicos para uma avaliação efetiva. Estes parâmetros não estão visualmente relacionados às características microgeométricas do material, a não ser que seja modelado como poros cilíndricos alinhados. Por isso, modelos que associam a característica acústica com parâmetros dimensionais podem ser interessantes no intuito de encontrar uma material mais adequado para certa aplicação. Baseado neste raciocínio, tem-se o modelo de Lu et al. (2000), que possui como base analítica estruturas microperfuradas.