3.2 Modelos determinísticos
3.2.6 Modelo de seleção de processos e dimensionamento de lotes
Antes de apresentar o modelo de seleção de processos e dimensionamento de lotes (SPDL), é importante deixar claro que este é um caso particular de um dos modelos de dimensionamento de lotes e programação da produção, o modelo de dimensionamento e sequenciamento de lotes discretos (ou The Discrete Lot-Sizing and Scheduling Problem). Portanto, entendemos que é importante mostrar um breve panorama da teoria de programação da produção existente.
Os problemas de dimensionamento de lotes e programação da produção, embora intrinsecamente relacionados, são definidos na literatura clássica como dois problemas diferentes e tiveram um desenvolvimento histórico independente (Johnson & Montgomery, 1974; Williams, 1978; Hax & Candea, 1984; Winston, 1991; Nahmias, 1995). No entanto, estes dois problemas estão interligados e o fato de serem analisados separadamente gera dificuldades para o atendimento adequado das metas de produção em aplicações reais. Para resolver este problema, os modelos e pesquisas mais atuais procuraram combinar o problema de dimensionamento de lotes com as decisões de programação da produção numa única análise (Drexl & Kimms, 1997; Araújo, 2003; Karimi et al., 2003; Araújo et al., 2004).
De uma forma geral, os modelos de programação da produção (Lot- Sizing and Scheduling Problem) podem ser divididos da seguinte forma:
(a) Lote econômico de compra (The Economic Lot Scheduling Problem – ELSP); (b) Dimensionamento de lotes capacitado (The Capacitated Lot Sizing Problem –
CLSP);
(c) Dimensionamento e sequenciamento de lotes com preparação contínua (The Continuous Setup Lot-Sizing and Scheduling Problem – CSLP);
(d) Dimensionamento e sequenciamento de lotes discretos (The Discrete Lot-Sizing and Scheduling Problem – DLSP);
(e) Dimensionamento e sequenciamento de lotes proporcional (The Proportional Lot-Sizing and Scheduling Problem – PLSP);
(f) Dimensionamento e sequenciamento de lotes generalizado (The General Lot- Sizing and Scheduling Problem – GLSP).
Nesta revisão tratamos apenas do modelo DLSP devido à similaridade com a aplicação no estudo de caso (apresentada no próximo capítulo). Para uma revisão mais completa, veja Drexl e Kimms (1997), Staggemeier e Clark (2001), Araújo (2003) e Karimi et al. (2003), e para aplicações desta teoria em situações reais, veja Toso (2003), Toso e Morabito (2005), Luche (2003) e Luche e Morabito (2005).
O modelo DLSP consiste em um problema monoestágio, multiproduto (ou multiprocesso), dinâmico, capacitado e que combina decisões de dimensionamento e sequenciamento de lotes. A pressuposição principal deste tipo de modelo é que em um período de analise só poderá ser utilizado um lote, ou seja, temos um modelo de produção tudo ou nada (ou small Bucket). Logo, só ocorre custo de preparação (ou custo de setup) quando a produção de um novo lote for iniciada.
A formulação que segue ilustra o modelo DLSP que procura maximizar a contribuição ao lucro:
(
)
(
)
1 1 1 1 max T n T n it it it i it i it t i t i Z r c X s z h I = = = = =∑∑
− −∑∑
+ (23) s.a. , 1 , 1,..., ; 1,..., it i t it it I =I − +X −D i= n t= T (24) , 1,..., ; 1,..., i it t it p X =C Y i= n t= T (25)1 1, 1,..., n it i Y t T = ≤ =
∑
(26) , 1, 1,..., ; 1,..., it it i t z ≥Y −Y − i= n t= T (27){ }
0,1 , 1,..., ; 1,..., it Y ∈ i= n t= T (28) , , 0, 1,..., ; 1,..., it it it I X z ≥ i= n t= T (29)A notação adotada neste modelo [equações (23) a (29)] está descrita a seguir:
Z Função objetivo de contribuição ao lucro gerada por todos os produtos durante os períodos analisados;
rit Receita obtida na venda do produto i no período t;
cit Custo de produzir o produto i no período t;
Xit Quantidade produzida do produto i no período t;
si Custo de preparação para produzir o produto i;
zit Variável binária que determina a ocorrência (zit=1), ou não (zit=0), dos custos de
preparação para produzir o produto i no período t; hi Custo de estocar o produto i;
Iit Variável de estoque do produto i no fim do período t;
Dit Demanda do produto i no período t;
pi Capacidade necessária para produzir uma unidade do produto i;
Ct Capacidade disponível no período t;
Yit Variável binária que determina se houve preparação da máquina (Yit=1), ou não
(Yit=1), para produzir o produto i no período t.
A função objetivo [equação (23)] é a margem de contribuição ao lucro gerada pela produção dos produtos i em todos os períodos t analisados. A restrição (24) faz o balanceamento de estoque de cada produto i em cada período t, a igualdade (25) indica a produção tudo ou nada, ou seja, produção do produto i com a capacidade total em todo período t. A inequação (26) restringe a produção a apenas um produto i por período t, a equação (27) identifica quando acontece a troca de lotes, e as restrições (28) e (29) definem os domínios da variável de seleção de processos (Yit) e das demais
variáveis de decisão (Iit, Xit, zit).
É interessante notar que a combinação das restrições (27), (28) e (29), juntamente com a função objetivo, fazem com que a variável Yit assuma valores binários
(1 quando houver uma troca de produtos e 0 quando não houver). Este modelo não considera o tempo necessário para fazer a preparação (setup) nem a possibilidade de utilização de pedidos pendentes (atraso na entrega dos produtos).
Na literatura clássica de dimensionamento de lotes e programação da produção, os lotes são constituídos por produtos (como mostrado no modelo DLSP). Para esta dissertação, consideramos o dimensionamento de lotes de processos de produção, que por sua vez podem produzir vários produtos ao mesmo tempo (como apresentado na seção 3.2.4). Esta modificação traz a possibilidade de utilizar a teoria de dimensionamento e programação da produção para empresas que possuam processos com produção simultânea de múltiplos produtos, como é o caso das usinas de açúcar e álcool. Para mais detalhes sobre este tipo de modelo, consultar Luche (2003) e Luche e Morabito (2005), em que se utiliza o dimensionamento de lotes de processos para modelar o problema da produção de grãos eletrofundidos.
Além da modificação de lotes de produtos para lotes de processos, no modelo que apresentamos a seguir considera-se que o custo de preparação de processos é nulo (si = 0). Seguindo estas considerações, apresentamos a extensão do modelo DLSP
para tratar lotes de processos sem custo de preparação, denominado modelo de seleção de processos e dimensionamento de lotes (SPDL).
(
)
1 1 1 1 1 max i J T n T n it ij jt jt it it t j i t i Z r a c X h I = = = = = =∑∑∑
− −∑∑
(30) s.a. , 1 1 , 1,..., ; 1,..., i J it i t ij jt it j I I − a X D i n t T = ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟− = = ⎝∑
⎠ (31) 1 1, 1,..., i J jt j X t T = ≤ =∑
(32){ }
0,1 , 0, 1,..., ; 1,..., jt it X ∈ I ≥ i= n t= T (33) A simbologia adotada neste modelo [equações (30) a (33)] está descrita a seguir:Z Função objetivo de contribuição ao lucro na produção total em todos os períodos;
rit Receita obtida na venda do produto i no período t;
cjt Custo de utilizar o processo j no período t;
Xjt Variável binária que determina a utilização (Xjt=1), ou não (Xjt=0), do processo j
no período t;
hit Custo de estocar o produto i no período t;
Iit Variável de estoque do produto i no período t;
Dit Demanda do produto i no período t.
Neste modelo, a equação (30) maximiza a margem de contribuição ao lucro em todos os períodos t analisados, de acordo com a produção de i gerada pela escolha dos processo j; a restrição (31) faz o balanceamento de estoque, produção e demanda de cada produto i em cada período t; a inequação (32) indica a utilização de apenas um processo por período t, visto que Xjt é um valor binário; e a equação (33)
define o domínio das variáveis de seleção de processos (Xjt) e da variável de estoque
(Iit).
Esta formulação [equações (30) a (33)] é equivalente ao “modelo 4” apresentado por Luche (2003) para tratar o problema da produção de grãos eletrofundidos. Nesta dissertação, este modelo será utilizado como base para o modelo de planejamento agregado da produção em usinas de açúcar e álcool (apresentado no capítulo 45), devido às semelhanças do sistema de produção de grãos eletrofundidos e de açúcar, álcool, melaço e subprodutos (produção divergente) e à facilidade de definir processos de produção para estas duas indústrias.
Quanto à dificuldade computacional de resolução de um problema deste tipo (SPDL com formulação de PIM), Luche e Morabito (2005) mostram aplicações práticas para problemas de seleção de processo em indústria de grãos eletrofundidos, tendo alcançado resultados ótimos com tempos computacionais relativamente baixos para as instâncias analisadas. Entretanto, convém lembrar que problemas DLSP com formulação de PIM são problemas NP-difíceis (Brüggemann & Jahnke, 2000).
Os modelos apresentados nesta seção constituem apenas um pequeno resumo sobre a quantidade de modelos determinísticos relacionados com planejamento da produção. Outros modelos que podem ser úteis para tratar estas questões podem ser encontrados em Johnson e Montgomery (1974), Williams (1978) Hax e Candea (1984), Winston (1991), Askin e Standridge (1993), Nahmias (1995), Hillier e Lieberman (1995), Drexl e Kimms (1997), Staggemeier e Clark (2001) e Karimi et al. (2003).
Uma opção para estender os modelos apresentados seria a utilização do artifício da programação de metas (goal programming), como pode ser visto em Munhoz (2000) e Munhoz e Morabito (2001). Este artifício consiste em uma extensão de modelos (geralmente de PL) que permite a resolução simultânea de um sistema com múltiplos objetivos em detrimento de um único objetivo. Entretanto, esta extensão acarreta dificuldades de tratamento quando os modelos são de PIM (Ravindra et al., 1987).
Outra opção seria a extensão do modelo determinístico para modelos estocásticos, que consideram as incertezas inerentes ao valor dos parâmetros de entrada, tais como os modelos em dois estágios, modelos baseados em restrição de chance e modelos estocásticos com distribuição de probabilidade (Joshi, 1995; Birge & Louveaux, 1997; Sen & Hingle, 1999; Diwekar, 2002; Sahinidis, 2004; Herroelen & Leus, 2005). Dentre os modelos estocásticos podemos destacar a otimização robusta como uma técnica promissora para os fins deste trabalho, devido à flexibilidade que esta técnica proporciona no tratamento do conservadorismo da análise, devido à possibilidade de tratar problemas de PIM sem agregar complexidade e devido à facilidade de aplicação em problemas com uma grande quantidade de variáveis reais (Bertsimas & Sim, 2003a; Bertsimas & Sim, 2003b; Bertsimas & Sim, 2004; Bertsimas et al., 2004).
No próximo capítulo apresentamos o desenvolvimento do modelo deste trabalho e ilustramos como a linguagem de modelagem GAMS pode ser usada para gerar parâmetros e para solucionar este tipo de modelo de otimização.