A gura 3.1 ilustra o esquema do deslocamento GH em torno do ângulo crítico, com φ sendo o ângulo de incidência, n0 o índice de refração do meio linear e
n1 o índice de refração do meio não linear, com o meio linear opticamente
uma mistura entre o deslocamento angular e espacial, devido a uma parcela da distribuição do feixe sofrer re exão parcial, enquanto a outra parcela sofre re exão total. Consequentemente o feixe re etido representando pela seta preta continua apresentará um deslocamento GH lateral (∆) que não depende da propagação do feixe re etido e surge quando a distribuição do feixe ou parte da mesma sofre re exão total, como também um deslocamento GH angular (Θ) que depende da propagação do feixe re etido e surge quando a distribuição do feixe ou parte da mesma sofre re exão parcial. Este deslocamento é com relação a previsão da óptica geométrica, representado pela seta preta tracejada. O plano y - z representa o plano de incidência, onde o eixo z corresponde a direção de propagação do feixe. Restringimos nossa analise do deslocamento
Figura 3.1: Esquema do deslocamento GH em torno do ângulo crítico, com φ sendo o ângulo de incidência. O feixe é re etido entre o meio linear (n0)
e o não linear (n1), enquanto ∆ e Θ representa o deslocamento GH lateral e
angular, respectivamente.
GH observado na interface, localizado em z = ˜z = 0, onde o deslocamento GH é puramente lateral. Seja um feixe laser focalizado por uma lente com distância focal f, sendo que o plano focal localiza-se na fronteira entre o meio linear com o meio não linear. Devido ao deslocamento GH ocorrer apenas no plano de incidência, reduziremos nossa descrição a um feixe unidimensional.
A transformada de Fourier espacial realizada pela lente de focalização dá um espectro de Fourier no plano focal, com cada componente de onda plana do feixe tendo uma amplitude proporcional à transformada de Fourier do campo incidente na lente. No referencial do feixe, escrevemos a amplitude espectral do feixe na interface como:
A(ν)∝ exp−π2ν2w2
0 , (3.1)
onde ν é a frequência de Fourier, em que cada onda plana tem um vetor de onda que está associado com a frequência de Fourier ν. Esta relação entre o vetor de onda e a frequência de Fourier é dado por:
k= [ky, kz] = 2π ν, q λ−20 − ν2 . (3.2)
Por conveniência é de nido um novo sistema de coordenadas ˜y - ˜z que corres- ponde a uma rotação φ com relação ao sistema de coordenadas y - z. Neste novo sistema de coordenadas, o eixo ˜z é perpendicular a interface, tal que no sistema rotacionado o vetores de onda tornam-se:
˜ k=h˜ky, ˜kz i = 2π ˜ ν, q λ−20 − ˜ν2 , (3.3)
onde ˜ν é a frequência de Fourier no sistema rotacionado. A partir desta ro- tação, podemos escrever as componentes de vetor de onda neste novo sistema de coordenadas com relação as componentes de vetor de onda no sistema de coordenada do feixe incidente,
˜ ky ˜ kz = cos(φ) sin(φ) − sin(φ) cos(φ) ky kz . (3.4)
Considerando que o feixe focalizado seja da ordem 2πw0/λ ≈ 1500, o mesmo
obedece a aproximação paraxial, o que nos permite escrever a distribuição espectral no domínio espacial de frequência rotacionado como [74]:
˜
A(˜ν)∝ exp−π2ν˜2w2 0
(3.5) Então a distribuição de intensidade do feixe na interface é dado por:
I(˜ν) = 2Pw 2 0 λ2 0f2 exp−2π2ν˜2w2 0 , (3.6)
onde P é a potência do feixe e f é a distância focal da lente. Da condição de continuidade do campo entre os meios linear e não linear, o vetor de onda no meio não linear é dado por:
˜ q= [˜qy, ˜qz] = 2π ˜ ν, q λ−21 − ˜ν2 , (3.7)
onde λ1 = λ/n1. Conhecendo os vetores de onda ˜k e ˜q, podemos então utilizar
os coe cientes de Fresnell descritos pelas equações 1.18 em nosso modelo, r(s,p) = k˜z− n 2q˜ z ˜ kz+ n2q˜z , (3.8) t(s,p) = 2˜kz ˜ kz+ n2q˜z , (3.9)
no qual n = 1 corresponde a polarização s e n = n0/n1 a polarização p. A
intensidade do feixe transmitido no meio não linear é obtido por,
It(˜ν) = I(˜ν)× |t(s,p)|2. (3.10)
A intensidade do feixe transmitido (It(νin)) introduz uma variação no índice
efeito Kerr óptico auto-induzido, onde sua relação é dado por:
n1(˜ν) = n10+ nN LIt(˜ν) (3.11)
com n10 e nN L representando o termo linear e não linear do o índice de re-
fração, respectivamente. Descrever o índice de refração desta forma é mais condizente com o experimento, no entanto a referência [73], assumiu-se que a modi cação do índice de refração não linear é homogênea em todo o espectro de frequência espacial, o que apenas é valido ao descrever o feixe por uma onda plana. Em nosso modelo, aproximamos a modi cação do índice de refração do meio não-linear tal que seja igual ao da interface, ignorando assim os efei- tos de propagação do feixe transmitido dentro do meio não-linear. A partir desta modelagem, o espectro de intensidade Gaussiano do feixe irá introdu- zir uma dependência do índice de refração com a frequência espacial e por consequência, estas frequências νin que engloba o espectro do feixe incidente
experimentarão diferentes coe cientes de re exão e transmissão de Fresnel.
3.3 Resultados e Discussões
Em nossa analise numérica consideramos a interface dos meios entre sílica fun- dida (n0 = 1,47 com λ = 488 nm) e uma solução de Disperse Red 2 (n10= 1,37
e nN L =−2,1 × 10−6 cm2/W) [73], restringindo ao caso em que a mudança do
índice de refração do meio não linear é pequena em relação ao seu valor linear (n10− n1 n10) e também seja pequena em comparação à diferença entre os
índices de refração linear dos dois meios (n10− n1 n0− n10). Consideramos
que o feixe incidente é focalizado por uma lente com distância focal f = 5 cm, onde o raio mínimo da distribuição gaussiana do feixe é de w0 = 150 µm.
Para determinar o índice de refração n1 do meio não linear, fazemos o uso das
termos da potência do feixe P e da frequência espacial.
O comportamento qualitativo da re exão do feixe na interface não linear pode ser entendido na gura 3.2, que mostra o comportamento da amplitude e da fase (normalizada por π) dos coe cientes de Fresnel na representação de vetor de onda, com as curvas continuas referindo-se a polarização p e as tracejadas a polarização s. Enquanto o espectro do feixe incidente é representado pela curva preta tracejada. As guras 3.2(a), 3.2(b) e 3.2(c) corresponde ao caso em que o regime é linear, ou seja, P ≈ 0 e n1 ≈ n01. Faremos o uso da de nição
do ângulo crítico φc= arcsin(n0/n01)do regime linear e usaremos como forma
de referência para identi carmos qual a região o feixe incidente está localizado. Na gura 3.2(a) o ângulo de incidência está acima do ângulo crítico, de modo que toda distribuição do espectro do feixe incidente sofre re exão total (região de Artmann), como está ilustrado com o preenchimento em azul. Já em 3.2(b) o ângulo de incidência está abaixo do ângulo crítico, tal que todo o espectro do feixe incidente sofre re exão parcial e está ilustrado com o preenchimento com a cor laranja. Tanto na gura 3.2(a) e 3.2(b) toda a distribuição do feixe sofre re exão total e re exão parcial, respectivamente. Isso corresponde então que o feixe re etido apenas sofrerá um único tipo de deslocamento, onde em 3.2(a) será deslocamento GH lateral e 3.2(b) deslocamento GH angular. No entanto a gura 3.2(c) corresponde a incidência crítica (φ = φc). Observe que nesta
situação a transição entre a re exão parcial para re exão total ocorre no má- ximo da distribuição espectral do feixe, de modo que a metade da distribuição sofre re exão parcial, enquanto a outra metade sofre re exão total. Note que no regime linear a transição entre re exão parcial e total depende do ângulo de incidência, entretanto ao considerar o regime não linear com P = 50 mW na incidência crítica, ocorre uma modi cação referente a transição de re exão parcial para total como pode ser visto na gura 3.2(d). Isso é devido a não linearidade do meio, reduzindo o valor do índice de refração resultando em um
menor ângulo crítico efetivo e então maior parte da distribuição espectral do feixe incidente sofre re exão total. Além disso, observa-se uma mudança no comportamento da fase dos coe cientes de Fresnell no regime não linear, devido ao índice de refração do meio não linear depender da distribuição espectral do feixe transmitido. Portanto, a combinação destes dois efeitos observados no regime não linear contribui com a magnitude do deslocamento GH.
Figura 3.2: Amplitude e fase (normalizada por π) do coe ciente de re exão r(s,p)na representação de numero de onda k
y com o ângulo de incidência φ−φc
igual a (a) +0,2°, (b) −0,2°, e (c) 0,0°, todos no regime linear. Em (d), φ−φc=
0°, e a potência do feixe é P = 50 mW. As linhas laranja e azul correspondem a amplitude e fase, respectivamente; linha sólida (tracejada) é para polarização p (s).
Como foi observado na gura 3.2, no regime não linear ocorre uma mudança na transição entre re exão parcial e total, devido ao termo não linear do índice de refração ser negativo no qual produz uma redução no índice de refração no meio não linear. A partir desta observação, investigamos então o compor- tamento da amplitude e fase do coe ciente de re exão para a polarização p (comportamento análogo ocorre para a polarização s) para o caso em que toda
a distribuição espectral do feixe incidente sofre re exão parcial (φ−φc=−0,2°)
para alguns valores da potência do feixe incidente. A gura 3.3 apresenta o
Figura 3.3: (a) Amplitude e (b) fase (normalizado por π) do coe ciente de re exão para a polarização p na representação de numero de onda ky para uma
incidência angular φ − φc=−0,2° mostrada para várias potências de feixes. A
curva preta tracejada representa a amplitude espectral do feixe incidente comportamento da amplitude 3.3(a) e fase 3.3(b) do coe ciente de re exão para a polarização p na representação de vetor de onda ky para alguns valores
da potência de feixe incidente, enquanto a curva preta tracejada representa a amplitude espectral do feixe incidente. A partir das equações 3.11 e 3.10 nota-se que quanto maior for o valor da potência do feixe, menor será o ín- dice de refração do meio não linear, entretanto o mesmo não é homogêneo em termos de ky. Por causa desta não homogeneidade no índice de refração,
observa-se uma modi cação no coe ciente de re exão em torno da distribuição espectral do feixe incidente. Sendo que existe um valor crítico na potência do feixe incidente no qual esta modi cação é grande o su ciente para produzir uma transição entre re exão parcial e total. Na situação ilustrada na gura 3.3, a potência crítica corresponde à P ≈ 24,0 mW. A partir desta potência crítica, observa-se uma segunda região de transição de re exão parcial para to- tal, onde quanto maior for a potência do feixe com relação a potência crítica, maior será a janela desta transição, chegando ao limite corresponde a largura da distribuição espectral do feixe incidente. Mudança entre re exão total para re exão parcial já foi observada em uma interface não linear [72, 75, 76], no entanto estamos descrevendo um novo efeito que é justamente o contrário, onde observamos uma mudança de re exão parcial para re exão total. Sua origem é devido a não homogeneidade do índice de refração do meio não li- near no espaço ky, efeito este que não seria observado caso assumíssemos uma
dependência homogênea no índice de refração do meio não linear. O compor- tamento da fase nesta região de incidência deveria ser nulo. No entanto, para potências maior ou igual a potência crítica, surge uma fase diferente de zero como podemos ver na gura 3.3(b). Devido a esta fase, o feixe re etido sofrerá um deslocamento GH lateral em uma região que apenas o deslocamento GH angular é manifestado no regime linear.
Como foi mencionado na seção 1.4.4, o deslocamento GH é obtido a partir da intensidade do feixe re etido no qual obtêm da equação 1.58. Em nosso modelo, apenas estamos considerando uma única interface, mudando então apenas a representação do coe ciente de transmissão total, que corresponde apenas o coe ciente de re exão de Fresnel. Do mesmo modo que nos resulta- dos apresentados na seção 1.4.4, iremos analisar o deslocamento GH a partir da diferença do máximo de intensidade do feixe re etido entre a polarização p com a polarização s.
A gura 3.4 mostra o comportamento do deslocamento GH em função do ân- gulo de incidência relativo ao ângulo crítico para alguns valores da potência do feixe em incidente. O intervalo do ângulo de incidência φ−φc= [−0,04°, 0,04°]
refere-se a região crítica e como podemos veri car na gura 3.4(a) que ao consi- derar o meio no regime linear, o deslocamento GH para ângulos φ−φc<−0,04°
é igual a zero, pois nesta região toda a distribuição espectral do feixe incidente sofre re exão parcial, ou seja, o deslocamento GH é puramente angular. Como estamos analisando o deslocamento GH na interface, então o deslocamento GH angular não se manifesta. Já nas demais curvas da gura 3.4(a), é analisado o regime não linear, no qual há uma diminuição na magnitude do deslocamento GH no regime não linear com relação ao regime linear na região de re exão total, estando de acordo com o observado por [73]. Na região crítica, nota-se uma mudança signi cativa no comportamento do deslocamento GH, enquanto na região de re exão parcial é observado que o deslocamento GH é diferente de zero, pois a potência do feixe incidente é grande o su ciente para introduzir uma segunda região de re exão total, como foi mostrado e discutido na gura 3.3. Neste caso, observa-se um deslocamento GH lateral em uma região onde apenas se manifestaria deslocamento GH angular. Na gura 3.4(b) analisa- mos o comportamento do deslocamento GH relativo ao deslocamento GH no regime linear com os mesmo valores da potência do feixe incidente ilustrados na gura 3.4(a). Nota-se que o deslocamento GH relativo é negativo para ângulos de incidência acima do ângulo crítico, onde a magnitude do desloca- mento é signi cativo próximo de φc e tem forte dependência com a potência
do feixe incidente, enquanto na região de re exão total, não há uma forte de- pendência, ou seja, a in uência do meio não linear é pouco signi cativa no deslocamento GH relativo. Já para ângulos de incidência abaixo do ângulo do crítico o deslocamento GH relativo é positivo, devido ao surgimento de uma segunda transição de re exão parcial para total. Nesta região observa-se que
Figura 3.4: Em (a) deslocamento GH e em (b) deslocamento GH relativo ao deslocamento GH no regime linear em função do ângulo de incidência relativo ao ângulo crítico, para alguns valores da potência do feixe incidente.
a magnitude do deslocamento é grande o su ciente, chegando a ser da ordem do comprimento de onda.
Em seguida analisamos o comportamento do deslocamento GH relativo em função da potência do feixe incidente, para alguns ângulos de incidência, ver gura 3.5, onde os resultados mostram uma forte dependência com o ângulo de incidência. Para φ − φc < 0 observamos que a magnitude do desloca-
mento é positivo dentro do intervalo analisado da potência do feixe incidente, como também apresenta um comportamento não linear na magnitude do des- locamento em função da potência. Em destaque aos ângulos de incidência φ− φc=−0,10° e φ − φc =−0,20° observa-se uma transição nítida no deslo-
Figura 3.5: Deslocamento GH relativo em função da potência do feixe inci- dente.
camento GH relativo nulo para um deslocamento diferente de zero, para valores distintos da potência do feixe incidente. O que con rma para ângulos de inci- dência que está dentro da região de re exão parcial, teremos então um valor de potência crítica que corresponde a uma segunda transição entre a re exão parcial para re exão total. No entanto, está potência crítica não é observado para φ − φc = −0,05°, pois este ângulo de incidência se encontra dentro da
região crítica, de modo que uma pequena parcela da distribuição espectral do feixe sofre re exão total contribuindo então no deslocamento GH não linear. Neste ângulo de incidência, observamos a maior variação positiva do desloca- mento GH com a potência do feixe incidente, atingindo uma diferença relativa ≈ 1,3λ com P ≈ 8 mW. Em φ − φc = 0,00° , há um pequeno pico na curva
em potências baixas, mas a maior parte da curva mostra uma diminuição na magnitude à medida que a potência aumenta. Já acima de φc, o deslocamento
GH relativo apresenta uma diminuição monotônica simples na magnitude com o aumento da potência quanto maior for φ com relação a φc, de modo que
dentro da região de Artmann, o deslocamento GH relativo se torna menos sen- sível à potência do feixe. Este comportamento na região de Artmann está em concordância qualitativa com os resultados experimentais relatados em [73].
3.4 Considerações nais
Estudamos numericamente o deslocamento GH de um feixe gaussiano re etido em uma interface linear - não linear, onde é considerado o meio não linear do tipo Kerr negativo, restringindo ao caso em que a mudança do índice de refração do meio não linear é pequena em relação ao seu valor linear (n10−
n1 n10) e também seja pequena em comparação à diferença entre os índices
de refração linear dos dois meios (n10 − n1 n0 − n10). Identi camos um
novo regime de transição, onde o feixe incidente passa da condição de re exão parcial para re exão total, quando a potência do feixe incidente esteja acima de uma potência crítica. Nestas condições, observarmos deslocamento GH lateral em uma região em que no regime linear não ocorreria, como também vimos para ângulos de incidência abaixo do ângulo crítico, o deslocamento GH não linear experimenta um aumento signi cativo devido a transição de re exão parcial para total com ordem de grandeza maior que o comprimento de onda. Enquanto que na região de Artmann nosso resultado está em concordância qualitativa com os resultados experimentais relatados em [73].
Capítulo 4
Medição Fraca do deslocamento
Goos-Hänchen com luz
parcialmente coerente
Neste capítulo apresentamos a extensão do procedimento de medição fraca para feixes com grau de coerência espacial. A técnica de medição fraca surgiu na mecânica quântica, e foi estendida para a óptica, na qual é utilizada para ampli car efeitos que apresentam deslocamento, como é o caso do desloca- mento Goos-Hänchen, por exemplo. Inicialmente faremos uma breve revisão do precedimento de medição fraca do deslocamento Goos-Hänchen para feixe totalmente coerente, em seguida estendemos para o caso de um feixe parcial- mente coerente. Descreveremos a densidade espectral do campo parcialmente coerente re etido sob a medição fraca, analisando o comportamento do fator de ampli cação com relação ao grau de coerência espacial e obtendo a for- mula geral que descreve a relação entre o deslocamento GH com a medida ampli cada e por m uma simulação do experimento utilizando nosso modelo.
4.1 Introdução
O conceito de medida fraca surgiu na mecânica quântica e foi introduzido por Aharonov, Albert e Vaidman [44], em seguida algumas correções desta técnica foram feitas por Duck e seus colaboradores [77]. Duck e colaboradores também propuseram um análogo óptico ao procedimento de medição fraca e pouco de- pois foi realizado o primeiro experimento utilizando a técnica de medida fraca na óptica [43]. No experimento foi utilizado uma placa de cristal de quartzo birrefringente que separa espacialmente as duas polarizações da radiação laser por uma distância que é muito menor que o raio do feixe, correspondendo as- sim a uma medida fraca.
Merano e colaboradores foram os primeiros a realizar o experimento de me- dida fraca no contexto do deslocamento Goos-Hänchen no regime de re exão interna total [42]. Devido a magnitude do deslocamento GH ser da ordem do comprimento de onda no meio, a utilização da técnica de medição fraca con- tribui com a ampli cação deste efeito reduzindo as incertezas na medição. A partir deste trabalho, muitos outros experimentos [49, 50, 64, 68, 7880] foram realizados utilizando o procedimento de medição fraca.
No entanto o modelo descrito no trabalho do Merano sobre a técnica de me- dida fraca não funciona muito bem ao investigar o deslocamento GH na região crítica. A partir de um trabalho teórico de Maia e colaboradores [81], no qual o autores desenvolveram a correção da técnica considerando a dependência axial do feixe, Santana e colaboradores [64] mostraram experimentalmente a e ciência desta correção, onde a ampli cação da medida depende da cintura do feixe no plano de observação.