Desvio de feixes ópticos : o efeito Goos-Hänchen

INSTITUTO DE FÍSICA GLEB WATAGHIN

OCTAVIO JOSÉ SANTOS DE SANTANA

Desvio de feixes ópticos: o efeito Goos-Hänchen

CAMPINAS 2019

Desvio de feixes ópticos: o efeito Goos-Hänchen

Tese apresentada ao Instituto de Física da Uni-versidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do tí-tulo de Doutor em Ciências.

Orientador: Prof. Dr. Luís Eduardo Evangelista de Araujo

ESTE TRABALHO CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA TESE DEFENDIDA PELO ALUNO OCTAVIO JOSÉ SANTOS DE SANTANA E ORIENTADA PELO PROF. DR. LUIS EDUARDO EVANGELISTA DE ARAUJO.

CAMPINAS 2019

Biblioteca do Instituto de Física Gleb Wataghin Lucimeire de Oliveira Silva da Rocha - CRB 8/9174

Santana, Octavio José Santos de,

Sa59d SanDesvio de feixes ópticos : o efeito Goos-Hänchen / Octavio José Santos de Santana. – Campinas, SP : [s.n.], 2019.

SanOrientador: Luís Eduardo Evangelista de Araujo.

SanTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física Gleb Wataghin.

San1. Goos-Hänchen, Deslocamento. 2. Ótica. 3. Medida fraca. I. Araujo, Luís Eduardo Evangelista de, 1971-. II. Universidade Estadual de Campinas.

Instituto de Física Gleb Wataghin. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Deviation of optical beams : the Goos-Hänchen effect Palavras-chave em inglês:

Goos-Hänchen shift Optics

Weak measurement

Área de concentração: Física Titulação: Doutor em Ciências Banca examinadora:

Luís Eduardo Evangelista de Araujo [Orientador] Lázaro Aurélio Padilha Junior

José Antonio Roversi José Roberto Rios Leite Sérgio Ricardo Muniz

Data de defesa: 24-04-2019

Programa de Pós-Graduação: Física

Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)

- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0002-9504-9119

- Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/0691423946327059

OCTAVIO JOSÉ SANTOS DE SANTANA RA: 144594 APRESENTADA E

APROVADA AO INSTITUTO DE FÍSICA “GLEB WATAGHIN”, DA UNIVERSIDADE

ESTADUAL DE CAMPINAS, EM 24/04/2019.

COMISSÃO JULGADORA:

- Prof. Dr. Luis Eduardo Evangelista de Araujo - (Orientador) - IFGW/Unicamp

- Prof. Dr. Lázaro Aurélio Padilha Júnior - IFGW/Unicamp

- Prof. Dr. José Antonio Roversi - IFGW/Unicamp

- Prof. Dr. José Roberto Rios Leite – Universidade Federal do Pernambuco

- Prof. Dr. Sérgio Ricardo Muniz – Universidade de São Paulo – Campus São Carlos

A Ata de Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no

processo de vida acadêmica do aluno.

CAMPINAS

2019

Gostaria de agradecer a Deus por todos os momentos maravilhosos que tenho tido em minha vida. Por todos os momentos felizes e porque não os tristes? Muitas coisas aprendi com eles, muitos valores guardei e muitas vitórias conquistei.

Aos meus pais José (in memoria) e Valdira acreditando sempre em meu potencial e nunca deixando que eu desanimasse nos momentos difíceis em minha vida, em especial minha mãe, minha maior bênção que dos céus eu recebi na minha vida, obrigado por tudo, e principalmente pelo seu amor dedicado!

À minha família.

Ao meu orientador Luís Eduardo Evangelista de Araújo pela oportuni-dade de iniciar um novo trabalho de pesquisa no grupo GLA, pela paciência e pelo otimismo. Por ter me ensinado a ser paciente e persistente, nunca desanimando perante os obstáculos.

A todos os professores do IFGW que de alguma forma contribuíram em minha formação.

À minha noiva Nathalia pelo constante apoio, pelas palavras de incen-tivo e ações. Dizer obrigado às vezes não é suciente para agradecer a tão amável e gentil pessoa que nos momentos de nossas vidas, aqueles mais difí-ceis, nos estende a mão amiga e nos oferece amparo. Estou agradecido a você e não sei neste instante como retribuir tanto carinho, mas é claro que encontrarei uma maneira de fazê-lo. Obrigado meu anjo.

Aos meus amigos de SERGIPE (minha terrinha querida) que sempre entenderam minha ausência.

decer a todos eles constituiria uma lista muito longa de ser editada. Assim, a todos os que de uma forma ou de outra zeram parte nesta jornada, muito obrigado. Ao IFGW/DEQ e seus funcionários.

O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aper-feiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Fi-nanciamento 001.

Resumo

O efeito Goos-Hänchen (GH) refere-se ao deslocamento paralelo ao plano de incidência do feixe reetido com relação a previsão da óptica geométrica. Este efeito é da ordem do comprimento de onda, e pode ser tanto um deslocamento lateral, deslocamento angular ou a composição entre eles e sua distinção de-pende do feixe sofrer reexão parcial ou total. Nesta tese estudamos o efeito Goos-Hänchen experimental e numérico na região crítica, ou seja, quando parte da distribuição deste feixe sofre reexão parcial e a outra parte sofre reexão total. Investigamos experimentalmente a distinção do comportamento do des-locamento quando a medida é realizada pelo máximo e pelo centroide da inten-sidade do feixe reetido, no qual mostramos que a magnitude do deslocamento é afetada pelo comprimento de onda, a largura do feixe e o efeito de propaga-ção do feixe reetido. Construímos o modelo que descreve o deslocamento GH quando o feixe é reetido em uma interface não linear, discutindo a inuência da potência do feixe incidente na magnitude do deslocamento GH. Estendemos a técnica de medição fraca para feixes com grau de coerência espacial, utili-zando a do modelo Gauss-Shell que descreve feixes parcialmente coerente, onde mostramos que o grau de coerência espacial inuência a medida amplica, no entanto ainda assim é possível utilizar este método para medir deslocamento de feixes ópticos que sejam parcialmente coerentes.

Abstract

The Goos-Hänchen (GH) eect refers to the shift parallel to the plane of inci-dence of the reected beam in relation to the prediction of geometric optics. This eect is of the order of the wavelength, and can be either a lateral shift, an angular shift or the composition between them and their distinction de-pends on whether the beam undergoes partial or total reection. In this thesis we study the experimental and numerical Goos-Hänchen eect in the critical region, that is, when part of the distribution of this beam undergoes partial reection and the other part undergoes total reection. We investigate exper-imentally the distinction of the behavior of the shift when the measurement is performed by the maximum and the centroid of the intensity of the reected beam, in which we show that the magnitude of the shift is aected by the wavelength, the beam width and the propagation eect of the reected beam. We construct the model that describes the GH shift when the beam is reected in a nonlinear interface, discussing the inuence of the power of the incident beam on the magnitude of the GH shift. We extend the weak measurement technique to beams with a degree of spatial coherence using the Gauss-Shell model that describes partially coherent beams, where we show that the degree of spatial coherence inuences the measurement amplies, however it is still possible to use this method to measure the shift of optical beams that are partially coherent.

Lista de Figuras

1 Ilustração do deslocamento Goos-Hänchen (GH) e Imbert-Fedorov (IF), onde o deslocamento longitudinal e perpendicular ao plano de incidência representa o deslocamento GH e IF, respectivamente. 19 1.1 Ilustração da onda plana incidente no limite de separação entre

dois meios ópticos diferentes. . . 27 1.2 Reectância entre os meios ar-vidro em (a) e entre meios

vidro-ar em (b). Curva em azul continuo e lvidro-aranja tracejado repre-sentam as polarização s e polarização p, respectivamente. . . 31 1.3 Mudança de fase para a polarização s em azul contínuo e

polari-zação p em laranja tracejado para ângulos de indicência maiores que o ângulo crítico. . . 31 1.4 Um feixe de radiação eletromagnética incidente é totalmente

reetido (linha preta continua) e deslocado com relação a pre-visão da óptica geométrica (linha preta tracejada) na interface entre dois meios com índices de refração (n1 e n2),

respecti-vamente. Há um deslocamento S ao longo da superfície que separa os dois meios e D indica o deslocamento medido por Goos-Hänchen [3,6]. O ângulo de incidência é indicado por φ. . 34 1.5 Deslocamento GH com polarização s em azul e polarização p

em laranja em função do ângulo de incidência. Com λo = 633

nm, n−1 _{= 1,515 e φ}

são da óptica geométrica (o.g.) representado pela seta preta tracejada. Na região crítica, o deslocamento CGH (∆CGH) é a

mistura do deslocamento lateral (∆) e angular (Θ). . . 37

1.7 Amplitude e fase (normalizado por π) dos coecientes de Fres-nell em função do ângulo de incidência relativo ao ângulo crítico. As curvas em vermelho e azul corresponde a amplitude e fase, onde a polarização p (curvas continuas) e a polarização s (cur-vas tracejadas). As distribuições gaussianas representadas pela curva tracejada preta, ilustra o feixe incidente em três ângulos de incidência distintos, no qual o ângulo de incidência é com respeita ao máximo de intensidade do feixe. . . 38

1.8 Esquema da propagação do campo elétrico em toda a extensão do prisma. Com ~Ein propagando no espaço livre, ~Elpropagando

no dielétrico, ~El propagando no dielétrico e após sofrer o

des-locamento GH, ~Eout propagando no espaço livre e após sofrer o

deslocamento GH e ~Eog corresponde a direção de propagação do

campo pela óptica geométrica. . . 40

1.9 Esquema do diagrama de eixos na prisma. Com z eixo de en-trada e incidência normal na borda à esquerda (ar-vidro ou 1) zin, abaixo (vidro-ar ou 2) z* e à direita (vidro-ar ou 3) zout.

ção do ângulo de incidência relativo ao ângulo crítico. A curva numérica para wo = 150,4 µm, λ = 633 nm e n = 1,515 e z = 25

cm está representada pela curva tracejada azul e amarelo con-tinuo, referente ao deslocamento GH do máximo e centroide da intensidade do feixe reetido, respectivamente. A curva analí-tica descrita por Artmann é representa pela curva tracejada e pontilhada verde. . . 47 2.1 Arranjo experimental: L1,2,3 são as lentes, P é o polarizador

montado em um estágio de rotação. O feixe reetido pelo prisma é monitorado por uma câmera CCD. . . 51 2.2 Ilustração da seleção da região ROI (do inglês region of interest)

utilizada no procedimento de medição do deslocamento CGH. Em (a) e (b) corresponde a imagem e a região de interesse (cir-culo vermelho tracejado) para a medição da posição do máximo de intensidade em (a) e do centroide em (b) do feixe reetido. . 52 2.3 Imagens e linhas do perl de intensidade do feixe. (a) Imagens

do perl de intensidade do feixe, com todas em mesma escala e em (b) corresponde ao perl do feixe em 1 dimensão, sendo as linhas vermelhas o melhor ajuste da gaussiana aos dados. . . 54 2.4 Comparação dos resultados experimentais. Em (a) corresponde

a medida experimental sem usar a câmera CCD como leitura do ângulo de incidência e em (b) usando a CCD como leitura do ân-gulo de incidência. As curvas continuas e tracejadas corresponde a solução numérica para posição do máximo e do centroide do feixe, respectivamente. Os círculos e triângulos corresponde ao resultado experimental do deslocamento CGH referente a posi-ção do máximo e do centroide do feixe, respectivamente. . . 55

tivo a θc, onde (a) z = 0, (b) z = 11 cm e (c) z = 25 cm. Sendo

θ o ângulo de incidência na face frontal do prisma. As curvas continuas e tracejadas correspondem a solução numérica para posição do máximo e do centroide do feixe, respectivamente. Os círculos vermelhos e triângulos azuis corresponde ao resul-tado experimental do deslocamento CGH referente à posição do máximo e do centroide do feixe, respectivamente. . . 57

2.6 Deslocamento CGH em função do ângulo de incidência θ re-lativa a θc, para (a) w0 = 126 µm, (b) w0 = 169 µm e (c)

w0 = 243 µm; com z = 25 cm e λ = 633 nm. Sendo θ é o

ângulo de incidência na face frontal do prisma. A curva sólida corresponde a predição numérica e os círculos vermelhos são os dados experimentais. . . 59

2.7 Deslocamento GH em função da propagação do feixe. Em (a) corresponde ao deslocamento GH referente ao centroide e em (b) ao máximo de intensidade do feixe. As curvas refere-se as previsões numéricas e os símbolos os resultados experimentais com φ−φcigual a: (i) 0,36°, (ii) 0,07°, (iii) 0,03°, (iv) 0,00° e (v)

−0,20°. Com φ o ângulo de incidência na hipotenusa do prisma (interface de reexão vidro-ar). Sendo que em (i) toda a distri-buição do feixe é totalmente reetido, enquanto em (v) toda a distribuição do feixe é parcialmente reetido. O destaque mos-tra a previsão teórica do deslocamento GH para a polarização s e p ao longo da propagação com φ − φc= 0,07°. . . 61

φ sendo o ângulo de incidência. O feixe é reetido entre o meio linear (n0) e o não linear (n1), enquanto ∆ e Θ representa o

deslocamento GH lateral e angular, respectivamente. . . 66 3.2 Amplitude e fase (normalizada por π) do coeciente de reexão

r(s,p) _{na representação de numero de onda k}

y com o ângulo de

incidência φ−φcigual a (a) +0,2°, (b) −0,2°, e (c) 0,0°, todos no

regime linear. Em (d), φ−φc = 0°, e a potência do feixe é P = 50

mW. As linhas laranja e azul correspondem a amplitude e fase, respectivamente; linha sólida (tracejada) é para polarização p (s). 71 3.3 (a) Amplitude e (b) fase (normalizado por π) do coeciente de

reexão para a polarização p na representação de numero de onda ky para uma incidência angular φ − φc =−0,2° mostrada

para várias potências de feixes. A curva preta tracejada repre-senta a amplitude espectral do feixe incidente . . . 72 3.4 Em (a) deslocamento GH e em (b) deslocamento GH relativo

ao deslocamento GH no regime linear em função do ângulo de incidência relativo ao ângulo crítico, para alguns valores da po-tência do feixe incidente. . . 75 3.5 Deslocamento GH relativo em função da potência do feixe

inci-dente. . . 76 4.1 Arranjo experimental típico para medição fraca do deslocamento

GH; com L lente, P1 e P2 polarizadores linear, λ/2 (λ/4) placa

de meio (um quarto) de onda e a câmera CCD. . . 80 4.2 Intensidade normalizada da seção transversal do feixe para ∆GH =

feixe para quatro graus de coerência. (a) γ → ∞, (b) γ = 5, (c) γ = 1,5 e (d) γ = 0,5. As guras na primeira linha refere-se à  = 0, e as da segunda linha refere-se  = −0,01 rad (curva vermelha continua) e  = +0,01 rad (curva azul tracejado). . . . 88 4.4 Comportamento da medida amplica para a posição do máximo

(a) e do centroide (b) do feixe com (i) γ = 0,2, (ii) γ = 0,5, (iii) γ = 0,7, (iv) γ = 1,0 e (v) γ → ∞. . . 91 4.5 Fator de amplicação A em função do grau de coerência espacial

γ e do deslocamento GH ∆_GH. . . 93 4.6 (a) Solução analítica ∆(±)

GHem função do deslocamento GH (∆GH)

para γ = 1. Os quadrados sem preenchimento corresponde à ∆GH. Em (b) apresenta a distribuição da intensidade do feixe. . 95

4.7 (a) Simulação do deslocamento GH em função do ângulo de incidência θ relativo ao ângulo crítico θc. Os quadrados sem

preenchimento correspondem alguns pontos da curva numérica (curva preta tracejada). (b) Simulação da medida fraca (∆X) realizada pelo experimentalista com base nos dados correspon-dentes aos quadrados sem preenchimento. (c) Estimativa do deslocamento ∆±

GH, onde substituímos os dados obtidos em (b)

na equação 4.22. Os quadrados sem preenchimento correspon-dem a mesma solução ∆GH da gura (a). . . 97

Sumário

Introdução 17

1 Deslocamento Goos-Hänchen 25

1.1 Coecientes de Fresnel . . . 25

1.2 Deslocamento Goos-Hänchen: Descrição de Artmann . . . 32

1.3 Representação do deslocamento Goos-Hänchen . . . 36

1.4 Deslocamento Goos-Hänchen de um feixe gaussiano . . . 39

1.4.1 Descrição e propagação do feixe gaussiano . . . 40

1.4.2 A fase espacial do feixe de saída . . . 41

1.4.3 Coeciente de transmissão total . . . 44

1.4.4 Intensidade do feixe de saída . . . 46

1.5 Considerações nais . . . 48

2 Deslocamento Goos-Hänchen composto e a trajetória não-linear do feixe reetido 49 2.1 Experimento . . . 50

2.1.1 Montagem experimental . . . 50

2.1.2 Procedimento experimental . . . 51

2.2 Resultados e Discussões . . . 56

2.3 Considerações nais . . . 62

3 Deslocamento Goos-Hänchen em meios opticamente não line-ares 64 3.1 Introdução . . . 64

3.2 Modelo . . . 65

3.3 Resultados e Discussões . . . 69

3.4 Considerações nais . . . 77

4 Medição Fraca do deslocamento Goos-Hänchen com luz par-cialmente coerente 78 4.1 Introdução . . . 79

4.2 Medição fraca com luz coerente . . . 80

4.3 Medição fraca com luz parcialmente coerente . . . 85

4.3.1 Densidade espectral do campo parcialmente coerente reetido . . . 85

4.3.2 Fator de amplicação . . . 90

4.3.3 Solução analítica . . . 93

4.3.4 Simulação do experimento de medida fraca . . . 96

4.4 Considerações nais . . . 98

5 Conclusões e Perspectivas 100

Introdução

A reexão e transmissão da luz em uma interface plana é um dos processos ópticos mais básicos e está presente em praticamente todos os sistemas ópticos. A interação de uma onda plana em uma interface é descrita pelas conhecidas lei de reexão e lei de Snell que está relacionado com os vetores de onda e os coecientes de Fresnel, que relaciona com as amplitudes de polarização das ondas incidentes e secundarias [1]. E é com elas que é feita toda a descrição da óptica geométrica.

Newton em sua obra intitulada Optiks teve uma ampla contribuição sobre os fenômenos luminosos; ele foi o primeiro a supor que o centro de um feixe reetido deve apresentar um pequeno deslocamento no plano de incidência em relação à sua posição descrita pela óptica geométrica [2]. Mais de dois sécu-los depois, em 1947 Fritz Goos e Hilda Hänchen (GH) [3] foram capazes de medir quantitativamente esse deslocamento no regime de micro-ondas. O des-locamento GH, como cou conhecido tal efeito, ocorre quando uma onda com seção transversal nita é totalmente reetida internamente em uma interface de dois meios com índices de refração diferentes (n1 > n2), ou seja, de um meio

opticamente mais denso para um menos denso. Este deslocamento lateral pode ser explicado no sentido mais simples, como o resultado da propagação de uma onda evanescente paralela à interface, ou como um deslocamento da onda de um intervalo de tempo que pode ser interpretado como o tempo de retardo associado com o processo de espalhamento [4].

Logo depois de Goos e Hänchen terem terminado o seu primeiro trabalho, Kurt Artmann [5] propôs um modelo do fenômeno. Sua contribuição foi de tal relevância que atualmente na literatura se denomina regime de Artmann regiões de ângulo de incidência onde seu modelo é valido. Ele partiu das equa-ções de Fresnel-Maxwell, considerando apenas a expressão matemática para o feixe incidente e totalmente reetido. A partir do termo de fase que surge nos coecientes de reexão para o caso de reexão interna total, ele foi ca-paz de explicar o deslocamento observado por Goos e Hänchen. Com base em seu modelo, Artmann obteve duas expressões para o deslocamento da luz: uma para quando a polarização da luz é paralela ao plano de incidência (onda p) e outra para quando a polarização é perpendicular ao plano de incidência (onda s). Com os resultados previstos por Artmann, Goos e Hänchen zeram novas medições [6] e conrmaram o fato de que havia uma dependência do deslocamento com a polarização da luz. Vários meses depois, Fragstein [7] publicou outra teoria baseada nos trabalhos muito importantes de Picht [8] e de Schaefer e Pich [9]. Fragstein fez todo o tratamento por uxo de energia e considerando uma onda plana nita de largura arbitrária. Ao fazer as aproxi-mações contidas na teoria de Schaefer e Pich, Fragstein encontrou as mesmas expressões que descreve o deslocamento GH que haviam sido encontradas por Artmann. Hora [10] aplicou o tratamento desenvolvido por Artmann em Mecâ-nica Quântica para um feixe de partículas totalmente reetido em uma barreira de potencial e obteve uma expressão para o deslocamento com a mesma apro-ximação e posteriormente Renard [11] ampliou o tratamento de Hora com o princípio de conservação de partículas e obteve a expressão geral descrita por Artmann.

Mais tarde o deslocamento GH foi previsto para reexão parcial da luz, o que até então acreditava-se que tal efeito acontece quando a luz é totalmente

ree-tido. Este efeito cou conhecido como deslocamento GH angular foi previsto para o caso de reexão parcial e transmissão [1214], que também é conhecido como ltragem de Fresnel [15,16]. O primeiro experimento a detectar desvios angulares no regime óptico foi descrito por Woerdman e colaboradores [17]. Também é possível que o deslocamento seja perpendicular ao plano de incidên-cia, este efeito é conhecido como o deslocamento Imbert-Fedorov (IF) [18,19]. Fedorov supôs que o deslocamento do feixe reetido perpendicular ao plano de incidência também deveria ocorrer, enquanto Imbert fez todo o tratamento teó-rico sobre tal efeito. Deslocamento IF angular também já foi previsto [20,21], bem como o efeito spin hall da luz (SHEL) [22]. Este último conecta-se ao deslocamento IF devido a separação ortogonal ao plano de incidência das duas componentes de spin para um feixe reetido ou transmitido. A distinção entre tais deslocamentos vem da polarização do feixe incidente, enquanto o deslo-camento GH ocorre para polarização linear, o deslodeslo-camento IF ocorre para polarizações circulares ou elípticas. A Figura 1 ilustra o deslocamento GH (em azul) e IF (em vermelho), onde o plano de incidência é xy. Um

tuto-Figura 1: Ilustração do deslocamento Goos-Hänchen (GH) e Imbert-Fedorov (IF), onde o deslocamento longitudinal e perpendicular ao plano de incidência representa o deslocamento GH e IF, respectivamente.

rial descrevendo os efeitos GH e IF em uma interface dielétrica é apresentado na referência [23]. Estes efeitos também foram observados ou previstos para

cristais fotônicos, guias de onda e ressonadores [16, 24, 25]. Também foram observados para feixes com um grau parcial de coerência espacial [26, 27], luz com momento angular orbital [2830], além de terem sido observadas em ondas de matéria [31, 32] e em ondas sonoras [33]. Dualidade entre o deslocamento espacial e angular da luz reetida também já foi observado e surge quando uma das interfaces apresenta perdas [34]. Aplicações do efeito GH, são encontrados em guias de onda óptico [35], microscopia óptica [36], sensor de temperatura de alta sensibilidade [37, 38] e detecção de vapores químicos com alta sensibi-lidade [39].

Medir o deslocamento GH é bastante desaador, devido a magnitude do deslo-camento lateral ser da ordem do comprimento de onda óptico e o deslodeslo-camento angular ser menor do que a divergência natural do feixe de luz. Goos e Hänchen conseguiram realizar tal façanha pois eles utilizaram uma fonte eletromagnética com comprimento de onda da ordem de micrometro, onde a onda eletromag-nética se propagava por um tubo dielétrico no qual sofria múltiplas reexões interna total [3, 6]. O procedimento experimental mais utilizado atualmente em medidas do deslocamento óptico, é utilizando um detector de quadrante sensível à posição, onde é mensurada a posição do centroide do feixe. Este procedimento tem como vantagens: medida direta, precisa e insensível a utu-ação de intensidade. Por outro lado, apresenta como desvantagem: trabalhoso e mede o desvio para um ponto (centroide) [17, 40]. Método interferométrico usa a interferência entre as componentes de polarização p e s do feixe. Mede o deslocamento GH ao longo de todo o feixe, pode ser adaptado para incluir re-exões múltiplas para aumentar o deslocamento GH quando pequeno, simples de montar, muito preciso [41], porém está limitado a medir o deslocamento do centroide do feixe. Um procedimento de medida que ganhou bastante destaque na literatura nos últimos anos, foi a técnica de medição fraca, que foi realizada pela primeira vez para medir o deslocamento GH [42]. Esta técnica descrita

em [42] é uma analogia óptica [43] ao conceito de medição fraca quântica intro-duzida em [44], e tem como propósito amplicar e detectar fenômenos muito pequenos. Aplicações experimentais desta teoria têm atraído bastante atenção dos físicos pelos seus resultados surpreendentes. A medida direta da função de onda [45] e a obtenção da trajetória do fóton simples em um interferômetro de Young [46] são exemplos em Teoria Quântica. Em óptica, o efeito de medida fraca foi observado no deslocamento GH [42], efeito Imbert-Fedorov (IF) [47], efeito spin hall da luz (SHEL) [22,48], desvio angular do feixe reetido [49,50]. Recentes trabalhos mostram que há uma diferença entre o deslocamento GH referente ao máximo e o centroide do feixe reetido [51, 52]. Essa diferença é observada quando a incidência está dentro de uma região crítica, ou seja, quando uma parcela da distribuição do feixe incidente sofre reexão parcial, enquanto a outra parcela sofre reexão total. Essa transição entre reexão parcial e total, introduz uma leve deformação no perl espacial do feixe ree-tido, ocasionando nesta distinção entre medir o deslocamento GH com relação ao máximo e centroide da intensidade do feixe reetido. Enquanto na região de incidência no qual toda a distribuição do feixe sofre reexão parcial ou re-exão total, não há essa distinção entre medir o deslocamento GH referente ao máximo ou ao centroide. Poucos trabalhos experimentais exploram esta região de incidência crítica, e com a grande maioria desses trabalhos correspondem a região de microondas [5355] e do infravermelho médio [56]. Existe apenas um único trabalho na região do visível [57], mas com péssima concordância entre teoria e experimento. Nosso trabalho abrange a investigação experimen-tal e teórica do deslocamento GH na região crítica e o efeito de propagação do feixe reetido. Investigamos experimentalmente a distinção do deslocamento GH referente ao máximo e o centroide da intensidade do feixe reetido, e a trajetória do feixe reetido. Desenvolvemos também um modelo teórico do deslocamento GH lateral para meios não lineares e estendemos a técnica de

medição fraca do deslocamento GH para feixes parcialmente coerentes.

Esta tese está dividida da seguinte forma: No capítulo 1 apresentaremos uma breve revisão do deslocamento Goos-Hänchen, descrevendo os coecientes de Fresnel, exemplicando os casos de reexão parcial e reexão total; em seguida ilustramos o deslocamento GH e quais condições ocorre o deslocamento lateral e o deslocamento angular; apresentamos a teoria formulada por Artmann que explica os resultados experimentais de Goos-Hänchen e por m um tratamento do deslocamento GH para um feixe laser real, modelado por uma distribuição gaussiana. O capítulo 2, refere-se o deslocamento GH na região crítica e a tra-jetória não linear do feixe reetido. Apresentamos a montagem experimental e o procedimento experimental para realizar tais medidas, em seguida apresen-tamos nossas contribuições do deslocamento GH na região crítica, mostrando que existe uma diferença entre medir o deslocamento GH do máximo e do cen-troide da intensidade do feixe reetido, com resultados experimentais inéditos referente a trajetórias não lineares do máximo de intensidade do feixe reetido com relação a previsão da óptica geométrica. No capítulo 3, apresentamos o deslocamento GH em meios não lineares, onde descrevemos o modelo do deslo-camento GH para meios não lineares, no qual consideremos que a distribuição do perl de intensidade do feixe introduz também uma distribuição no índice de refração no meio não linear. Por consequência, observamos numericamente uma dependência nos coecientes de Fresnel com a potência do feixe, e identi-camos um novo regime de transição em que o feixe reetido passa da condição de reexão parcial para reexão total. Em seguida analisamos numericamente a dependência do deslocamento GH lateral em termos da potência do feixe incidente, mostrando a possibilidade de aumentar ou diminuiu a magnitude do deslocamento GH lateral em termos da potência do feixe. O capítulo 4 refere-se ao desenvolvimento da técnica de medição fraca para o deslocamento GH com luz parcialmente coerente, onde revisamos a técnica de medição fraca

para feixes coerentes, em seguida a partir do modelo Gauss-Schell que descreve um feixe parcialmente coerente, estendemos a técnica de medição fraca para feixes parcialmente coerente. Mostramos que a amplicação do deslocamento GH depende o grau de coerência espacial da luz afeta na amplicação, no en-tanto ainda é possível realizar tal medida. Por m, o capítulo 5 aborda as conclusões do nosso trabalho, assim como perspectivas futuras.

Publicações

ˆ SANTANA, OCTÁVIO J. S.; DE ARAUJO, LUÍS E. E. . Nonlinear Goos-Hänchen shift of an optical beam near and below critical incidence. OPTICS LETTERS (Submetido).

ˆ SANTANA, OCTÁVIO J. S.; DE ARAUJO, LUÍS E. E. . Oscillatory trajectory of an optical beam propagating in free space. OPTICS LET-TERS, v. 44, p. 646, 2019.

ˆ SANTANA, OCTÁVIO J. S.; DE ARAUJO, LUÍS E. E. . Weak mea-surement of the Goos-Hänchen shift of partially coherent light beams. Journal of the Optical Society of America B, v. 36, p. 533, 2019.

ˆ SANTANA, OCTÁVIO J. S.; DE ARAUJO, LUÍS E. E. . Direct mea-surement of the composite Goos-Hänchen shift of an optical beam. OP-TICS LETTERS, v. 43, p. 4037-4037, 2018.

ˆ PITA, JULIÁN L. ; ALDAYA, IVAN ; SANTANA, OCTÁVIO J. S. ; DE ARAUJO, LUÍS E. E. ; DAINESE, PAULO ; GABRIELLI, LUCAS H. . Side-lobe level reduction in bio-inspired optical phased-array antennas. OPTICS EXPRESS, v. 25, p. 30105, 2017.

Capítulo 1

Deslocamento Goos-Hänchen

Este capítulo aborda o efeito Goos-Hänchen (GH) de forma geral. Iniciaremos com a descrição dos coecientes de Fresnel referente a uma onda incidente linearmente polarizada com o seu vetor de polarização perpendicular ao plano de incidência (onda s ou polarização s) e também para o vetor de polarização paralelo ao ao plano de incidência (onda p ou polarização p). Em seguida ilustraremos o deslocamento GH e em quais condições ocorre o deslocamento lateral e angular. Descreveremos o tratamento de Artmann do deslocamento GH na condições de reexão interna total e por m faremos um tratamento rigoroso considerando um feixe real modelado por uma distribuição gaussiana, propagando-se por toda a extensão de um prisma,tal que a descrição do modelo seja o mais próximo do arranjo experimental.

1.1 Coecientes de Fresnel

O comportamento das ondas eletromagnéticas é descrido pela equações de Maxwell. Considerando um meio dielétrico, livre de cargas e correntes, as

equações de Maxwell na forma diferencial são escritas na seguinte forma [58], ∇ · E = 0 (1.1) ∇ · H = 0 (1.2) ∇ × E = −µ∂_∂tH (1.3) ∇ × H = ε∂E ∂t (1.4)

onde o meio está caracterizado por ε e µ que são a permissividade elétrica e a permeabilidade magnética, respectivamente.

O fenômeno de reexão e transmissão da luz da teoria eletromagnética é bas-tante discutido nos livros textos, onde o caso mais trivial de investigar é con-siderando uma onda plana incidente no plano de separação entre dois meios opticamente distintos, como ilustrado na gura 1.1. Por consequência haverá uma onda reetida e outra transmitida, em que a dependência espaço-temporal dessas três ondas, além de fatores constantes de amplitude, é dada pela ex-pressão complexa:

exp [i (k · r − ωt)] onda incidente (1.5a)

exp [i (k0_{· r − ωt)]} onda reetida (1.5b) exp [i (k00_{· r − ωt)]} onda transmitida (1.5c) A existência da condição de contorno, condições estas que devem ser obedeci-das em todos os pontos do plano e a qualquer instante de tempo. Sabendo-se que a variação espacial e temporal de todos os campos devem ser a mesma no plano de separação entre os meios, então devemos ter todos os fatores de fases das equações 1.5 iguais a zero no plano de separação dos meios, isso implique

Figura 1.1: Ilustração da onda plana incidente no limite de separação entre dois meios ópticos diferentes.

que,

k · r = k0

· r = k00· r (1.6)

Esta equação informa que todas os três vetores de onda k, k0 _{e k}00 _são

coplana-res, e que suas projeções no plano de fronteira são todas iguais. Portanto, ao analisar as componentes paralelo ao plano da fronteira entre os meios, obtemos a seguinte relação,

k sin φ = k0

sin φ0 =k00sin φ00 (1.7)

Uma vez que a onda incidente e a onda reetida estão no mesmo meio, ou seja, k = k0 _{então os ângulos de incidência e reetido são iguais (φ = φ}0_{), o}

e a onda transmitida é dado por: sin φ sin φ00 = k00 k = n2 n1 , (1.8)

correspondendo a conhecida lei de Snell. Para obtermos as amplitudes de ree-xão e transmissão da onda, é conveniente considerar duas situações separadas, uma quando o vetor de polarização é perpendicular ao plano de incidência (onda s ou polarização s) e a outra quando o vetor de polarização é paralelo ao plano de incidência (onda p ou polarização p).

A partir da conguração ilustrada na gura 1.1, podemos representar os cam-pos incidente, reetido e transmitido por:

A(˜y, ˜z) = Aiexp (ikyy + ik˜ zz˜− iωt) ˆ˜x, incidente (1.9)

A(˜y, ˜z) = Arexp (ikyy˜− ikzz˜− iωt) ˆ˜x, reetido

A(˜y, ˜z) = Atexp (iqyy + iq˜ zz˜− iωt) ˆ˜x, transmitido

onde o campo A representa o campo elétrico E quando a polarização for s, enquanto para a polarização p o campo A representa o campo magnético H. Sendo que as componentes dos vetores de onda em cada meio é denida por:

{ky, kz} = {n1k0sin φ, n1k0cos φ} , (1.10)

{qy, qz} = {n2k0sin φ00, n2k0cos φ00} , (1.11)

com n1(2) refere-se ao índice de refração no meio 1(2) e k0 ao número de onda

no vácuo. Aplicando as condições de contorno na interface para os campos tangentes a superfície, no qual para a polarização s o campo magnético é

obtido utilizando a equação de Maxwell 1.3, H(˜y, ˜z) = −(i/ω)∂E

∂ ˜z ˆ˜y, (1.12)

e para a polarização p, o campo elétrico é obtido utilizando a equação de Maxwell 1.4,

E(˜y, ˜z) = (i/ωε)∂H

∂ ˜z ˆ˜y. (1.13)

Considerando que o plano de separação entre as interfaces corresponde à ˜z = z0. Assim as condições no contorno referentes a polarização s são dadas por,

Eiexp (ikzz0) + Erexp (−ikzz0) = Etexp (iqzz0) , (1.14)

Eiexp (ikzz0)− Erexp (−ikzz0) = (qz/kz)Etexp (iqzz0) , (1.15)

enquanto para a polarização p,

Hiexp (ikzz0) + Hrexp (−ikzz0) = Htexp (iqzz0) , (1.16)

Hiexp (ikzz0)− Hrexp (−ikzz0) =

 n2 1qz n2 2kz  Htexp (iqzz0) . (1.17)

A partir destas relações obtidas pelas condições de contorno, obtemos então os coecientes de Fresnel na representação de vetores de onda,

rs = Er Ei =  kz− qz kz+ qz 

exp [2ikzz0] , (1.18a)

rp = Hr Hi =  n 2 2kz− n21qz n2 2kz+ n21qz  exp [2ikzz0] , (1.18b) ts= Et Ei =  2kz kz+ qz  exp [i(kz− qz)z0] , (1.18c) tp = Ht Hi =  2n2 2kz n2 2kz+ n21qz  exp [i(kz− qz)z0] . (1.18d)

Substituindo as equações 1.10 e 1.11 nos coecientes de Fresnel 1.18, re-escrevemos os coecientes de Fresnel em termos do ângulo de incidência e transmissão [59],

rs =

 n1cos φ− n2cos φ00

n1cos φ + n2cos φ00



exp [2in1k0z0cos φ] , (1.19a)

rp =

 n2cos φ− n1cos φ00

n2cos φ + n1cos φ00



exp [2in1k0z0cos φ] , (1.19b)

ts =



2n1cos φ

n1cos φ + n2cos φ00



exp [ik0z0(n1cos φ− n2cos φ00)] , (1.19c)

tp =



2n2cos φ

n2cos φ + n1cos φ00



exp [ik0z0(n1cos φ− n2cos φ00)] .(1.19d)

O termo na exponencial nos coecientes de Fresnel, corresponde a um termo de fase geométrica. É a partir dele que se determina a posição da saída da onda eletromagnética em meios para diversas formas geométricas.

A partir das equações 1.19, vamos analisar o comportamento dos coecien-tes de reexão em função do ângulo de incidência, para o caso particular onde o plano de separação entre os meios localiza em ˜z = 0. A Figura 1.2 apre-senta a reectância (R2) do campo elétrico para a polarização s em azul e

polarização p em laranja tracejado em função do ângulo de incidência, refe-rente ao meios ar-vidro na Figura 1.2(a) e vidro-ar na Figura 1.2(b). Nestas guras podemos notar que a luz pode ser parcialmente reetida (R2 _{< 1) ou}

totalmente reetida (R2 = 1). O caso de reexão parcial ocorre para

qual-quer valor do ângulo de incidência quando n1/n2 > 1 ou para um ângulo de

incidência menor que o ângulo crítico (φc = sin−1(n2/n1)) quando n2/n1 < 1.

Nestes casos o coeciente de Fresnel é real. Quando o ângulo de incidência é maior que o ângulo crítico, a reexão é total. Porém, os coecientes de Fresnel, embora tenham o módulo da amplitude unitário, estes apresentam um termo da fase diferente de zero. Essa fase difere para a polarização s e polarização p, o que implica que pode haver uma mudança de estado de polarização do

campo elétrico reetido com relação ao campo elétrico incidente. A Figura 1.3 0 20 40 60 80 φ (graus) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 R efle ct ˆan ci a n1= 1.0 e n2= 1.515 s p (a) 0 20 40 60 80 φ (graus) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 R efle ct ˆan ci a ← φc n1= 1.515 e n2= 1.0 s p (b)

Figura 1.2: Reectância entre os meios ar-vidro em (a) e entre meios vidro-ar em (b). Curva em azul continuo e laranja tracejado representam as polarização s e polarização p, respectivamente.

mostra o gráco da mudança de fase da polarização s em azul e polarização p em laranja tracejado em função do ângulo de incidência. Note que a fase para ambas polarizações é nula abaixo do ângulo crítico, representando a situação em que os coecientes de reexão de Fresnel são puramente reais.

40 50 60 70 80 90

φ (graus)

F

as

e/

π

← φ

Figura 1.3: Mudança de fase para a polarização s em azul contínuo e polari-zação p em laranja tracejado para ângulos de indicência maiores que o ângulo crítico.

1.2 Deslocamento Goos-Hänchen: Descrição de

Artmann

O deslocamento GH foi discutido pela primeira vez no contexto de reexão interna total da radiação eletromagnética. Em seu trabalho [5] Artmann ex-plicou os resultados experimentais obtidos por Goos e Hänchen, como também mostrou que a magnitude do deslocamento depende do comprimento de onda e da polarização da onda eletromagnética. O deslocamento GH está relacionado com a fase dos coecientes de reexão de Fresnel para ondas planas incidente sobre uma interface com um ângulo de incidência igual a φ. A gura 1.4 ilustra o que ocorre com a onda quando a condição de reexão total é satisfeita. Um feixe laser pode ser representado por uma superposição de ondas planas, sendo que cada onda plana tem seu próprio vetor de onda. Artmann em seu trabalho considera apenas a contribuição de duas ondas, para explicar os resultados de Goos-Hänchen. Sabemos que na condição de reexão total, o coeciente de reexão de Fresnel apresenta um termo de fase diferente de zero, tal que, pode-mos escreve-lo na seguinte forma r(s,p) = exp iϕ(s,p)

. Então a onda reetida corresponde à,

ei[k1yy+ϕ˜ (s,p)], (1.20)

enquanto uma segunda onda ligeiramente diferente com ângulo de incidência φ + ∆φequivalente a onda incidente com a componente de vetor de onda k1y+

∆k1y, contribui na fase do coeciente de reexão de Fresnel por, ϕ(s,p)+∆ϕ(s,p).

Portanto esta onda secundaria é descrita como,

tal que a sobreposição destas duas ondas resulta em, ψ = ei(k1yy+ϕ˜ (s,p)) + ei[(k1y+∆k1y)y+ϕ˜ (s,p)+∆ϕ(s,p)], = ei(k1yy+ϕ˜ (s,p)) h 1 + ei(∆k1yy+∆ϕ˜ (s,p)) i , (1.22)

veja que considerando apenas estas duas ondas elementares nota-se que a pe-quena diferença ∆k1y em ˜y, produz uma leve mudança na direção de

propaga-ção da onda resultante. Assim, a posipropaga-ção do máximo da onda resultante pode ser visto nos pontos que satisfaz a seguinte relação,

∆k1yy + ∆ϕ˜ (s,p) = 2πl, (1.23)

sendo l múltiplos inteiros. Enquanto a previsão da óptica geométrica, a mu-dança de fase ϕ é independente do ângulo de incidência φ, ou seja, ∆ϕ(s,p) = 0.

Então a posição ˜yop máxima da onda resultante é,

∆k1yy˜op= 2πl, (1.24)

Portanto o deslocamento lateral é descrito a partir da diferença de fase entre o feixe real com a previsão da óptica geométrica, dado por:

S = ˜y_{− ˜y}op=−

∆ϕ(s,p)

∆k1y

, (1.25)

No caso limite o deslocamento é,

S =₋dϕ(s,p) dk1y

, (1.26)

No entanto o deslocamento S corresponde ao deslocamento ao longo da su-perfície, enquanto que D ilustrado na gura 1.4 corresponde ao deslocamento medido por Goos-Hänchen [3,6]. Note-se que D = S cos φ.

Figura 1.4: Um feixe de radiação eletromagnética incidente é totalmente re-etido (linha preta continua) e deslocado com relação a previsão da óptica geométrica (linha preta tracejada) na interface entre dois meios com índices de refração (n1 e n2), respectivamente. Há um deslocamento S ao longo da

superfície que separa os dois meios e D indica o deslocamento medido por Goos-Hänchen [3,6]. O ângulo de incidência é indicado por φ.

Considerando a denição dos eixos na Figura 1.4, o número de onda no eixo ˜

y é dado como k1y = k1sin(φ), onde k1 = 2π/λ1 é o numero de onda total

no meio 1. Então podemos escrever o deslocamento em função do ângulo de incidência, descrito por:

S(φ) =−dϕ(s,p) dk1y =− 1 k1cos(φ) dϕ(s,p) dφ . (1.27)

Um tratamento simples na obtenção dos resultados de Artmann, é utilizar o método de fase estacionária (MFS) a partir da diferença de fase do feixe real com o previsto pela óptica geométrica. Em resumo, o MFS signica obter a posição do máximo de alguma função descrita na forma F = feg_{, tal que sua}

posição máxima é obtida simplesmente derivando a função g. O tratamento rigoroso e detalhado do método de fase estacionária (MFS) pode ser encon-trado em [60] e aplicado para o caso de um prisma com geometria retangular no artigo [61].

GH correspondente a polarização s e polarização p é dado por: Ds(φ) = S(φ) cos(φ) =− 1 k1 dϕs dφ = λ1 π sin(φ) psin2_{(φ)− n}2, (1.28) Dp(φ) = S(φ) cos(φ) =− 1 k1 dϕp dφ = n2 sin2_{(φ)(1 + n}2_{)− n}2Ds(φ),(1.29)

sendo φ o ângulo de incidência, n = n2/n1 a razão entre os índices de refração

do meio 2 com o meio 1 e λ1 comprimento de onda no meio 1. A relação do

comprimento de onda no meio 1 com o do vácuo é dada por λ1 = λo/n1. A

Fi-41.0 41.5 42.0 42.5 43.0 43.5 44.0 φ (graus) 0 2 4 6 8 10 D es lo ca m en to G H (µ m ) ← φc s p

Figura 1.5: Deslocamento GH com polarização s em azul e polarização p em laranja em função do ângulo de incidência. Com λo = 633 nm, n−1 = 1,515 e

φc= 41,3°.

gura 1.5 apresenta o comportamento do deslocamento GH para a polarização s (equação 1.28) em azul e polarização p (equação 1.29) em laranja em função do ângulo de incidência. A linha tracejada e pontilhada em preto demarca o ângulo crítico para reexão interna total, considerando o comprimento de onda λo = 633 nm e a interface vidro-ar (nvidro = 1,515 e nar = 1,0). Note

que quando φ ≈ φc as equações analíticas 1.28 e 1.29 divergem. Isto vem do

fato que quando φ ≈ φc temos que o termo sin2(φ) ≈ n2. Por muitos anos

de incidência acima do ângulo crítico. Após algumas décadas outros autores estudaram o mesmo problema estudado por Artmann, mas considerando um feixe laser realístico modelado por uma distribuição gaussiana, observando que o deslocamento GH também ocorre em torno do ângulo crítico e que além disso existe um ângulo de incidência em que o deslocamento é máximo [62,63]. Além do deslocamento lateral da luz, existe o deslocamento angular que surge quando a luz é parcialmente reetida. Este desvio foi observado experimental-mente por [17] na interface ar-vidro. Em meios com perdas é possível observar o efeito dual entre o deslocamento GH lateral e angular após a luz ser reetida e foi observado por [34] utilizando uma interface ar-metal, como também em regiões em torno do ângulo crítico [56,6365].

A partir dos coecientes de Fresnel é possível determinar o deslocamento GH lateral e angular [34]. D(s,p)(φ) = ∂ ln r(s,p) ∂φ = 1 R(s,p) ∂R(s,p) ∂φ +i ∂ϕ(s,p) ∂φ , (1.30)

onde R(s,p) e ϕ(s,p) representa o termo de amplitude e fase do coeciente de

Fresnel. O deslocamento angular e o deslocamento lateral correspondem ao termo real e imaginário da equação 1.30, respectivamente. A demonstração rigorosa da equação 1.30 usando o formalismo de óptica clássica e considerando que a onda incidente é focalizada pode ser vista na referência [66].

1.3 Representação do deslocamento Goos-Hänchen

A gura 1.6 ilustra o efeito do deslocamento GH, com relação a previsão da óptica geométrica representado pela seta preta tracejada. Nela observamos um

deslocamento lateral (∆) ao plano de incidência, no qual ocorre quando toda a distribuição do feixe está sofrendo reexão total, como também observa-se um deslocamento angular (Θ), que é manifestado quando toda a distribuição do feixe está sofrendo reexão parcial. Na região critica, ou seja, em torno

Figura 1.6: Ilustração o efeito do deslocamento GH, com relação a previsão da óptica geométrica (o.g.) representado pela seta preta tracejada. Na região crítica, o deslocamento CGH (∆CGH) é a mistura do deslocamento lateral (∆)

e angular (Θ).

do ângulo crítico, o feixe reetido é deslocado como uma combinação entre o deslocamento lateral e o angular, conhecido como composição Goos-Hänchen (CGH) (do inglês composite Goos-Hänchen), que está representado por ∆CGH

na gura 1.6. Esta região critica é denida como, −_πnwλ 0 < φ− φc< λ πnw0 , (1.31)

onde φ é a ângulo de incidência na interface de reexão, φc o ângulo crítico, n

o índice de refração do meio de incidência, λ o comprimento de onda no vácuo e w0 é o raio mínimo do feixe.

Quando consideramos um feixe laser com cintura nita, temos então que este feixe pode ser descrito como uma combinação linear de onda planas, onde cada onda plana tem associada a ela um vetor de onda ligeiramente diferente,

distribuídos em torno de um vetor de onda central com amplitude gaussiana. Nessa situação, cada vetor de onda contido no feixe laser sente um coeciente de Fresnel diferente. A gura 1.7 apresenta o comportamento da amplitude e fase (normalizado por π) dos coecientes de Fresnel em função do ângulo de incidência relativo ao ângulo crítico, e a partir dela podemos interpretar o signicado físico do deslocamento GH. As curvas em vermelho e azul corres-pondem a amplitude e a fase do coecientes de Fresnell, sendo que a polariza-ção p está representado pelas curvas continuas e a polarizapolariza-ção s pelas curvas tracejadas. As distribuições gaussianas são representadas pela curva tracejada preta e ilustram o feixe incidente em três ângulos de incidência distintos. Estas

0.15 0.45
1
0.75
0.5
0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 A m p li tu d e -c P h a s e 0.00 -0.16 -0.32 -0.48 -0.64 0.16 0.32 0.48 0.64

Fase/

Re

ect

ância

Figura 1.7: Amplitude e fase (normalizado por π) dos coecientes de Fresnell em função do ângulo de incidência relativo ao ângulo crítico. As curvas em vermelho e azul corresponde a amplitude e fase, onde a polarização p (curvas continuas) e a polarização s (curvas tracejadas). As distribuições gaussianas representadas pela curva tracejada preta, ilustra o feixe incidente em três ân-gulos de incidência distintos, no qual o ângulo de incidência é com respeita ao máximo de intensidade do feixe.

distribuições gaussiana pode ser interpretada como uma combinação linear de varias ondas planas com ângulos de incidência distintos, mas contidos dentro do intervalo referente a abertura angular do feixe. A distribuição gaussiana

com preenchimento azul (vermelho), corresponde ao caso em que a reexão é total (parcial), no qual o feixe reetido sofre um deslocamento lateral (angu-lar). O deslocamento lateral é devido a contribuição da fase adicional que surge nos coecientes de Fresnel contribuindo na mudança da direção de propaga-ção do feixe reetido com relapropaga-ção a descripropaga-ção da óptica geométrica. Enquanto o deslocamento angular é devido a cada onda plana reetir com amplitudes distintas, ocasionando em uma leve deformação na distribuição de intensidade do feixe reetido. Na região em torno do ângulo crítico ocorre uma mistura entre o deslocamento angular e lateral, devido a uma parte do feixe sofrer reexão parcial, enquanto a outra parte sofre reexão total. Esta região apre-senta uma rica quantidade de fenômenos físicos inéditos, que foram observados experimentalmente e será discutido nos próximos capítulos da tese.

1.4 Deslocamento Goos-Hänchen de um feixe

gaussiano

Nesta seção faremos todo o tratamento teórico do deslocamento GH de um feixe modelado por uma distribuição gaussiana. Também trataremos o efeito de propagação do feixe em toda a extensão de um prisma, considerando os efeitos de transmissão e reexão de feixe em cada interface. A gura 1.8 ilustra a propagação do campo elétrico em toda a extensão do prisma, tal que ~

Ein representa o campo elétrico de entrada ou feixe de entrada propagando no

espaço livre, ~El e ~Er representa a propagação do campo elétrico no dielétrico

antes e após o deslocamento GH, respectivamente, ~Eout representa o campo

elétrico de saída ou feixe de saída no espaço livre após sofrer o deslocamento GH e ~Eog o feixe de saída descrito pela óptica geométrica.

Figura 1.8: Esquema da propagação do campo elétrico em toda a extensão do prisma. Com ~Ein propagando no espaço livre, ~El propagando no dielétrico, ~El

propagando no dielétrico e após sofrer o deslocamento GH, ~Eout propagando

no espaço livre e após sofrer o deslocamento GH e ~Eog corresponde a direção

de propagação do campo pela óptica geométrica.

1.4.1 Descrição e propagação do feixe gaussiano

Vamos considerar inicialmente um feixe gaussiano propagando pelo espaço li-vre. Um feixe gaussiano pode ser descrito como sendo formado pela superposi-ção de um número innito de ondas planas, constituídas por diferentes vetores de onda ~k. A amplitude das componentes espectrais do campo elétrico é dada pela distribuição escalar:

G(~k) = exp  −(k 2 x+ k2y)w20 4  δ kz− (k2− k2x− k2y)1/2
, (1.32)

onde w0 é o raio da cintura do feixe, k = 2π/λ é o número de onda

correspon-dente ao vetor de onda central em torno do qual as diversas componentes ~k estão distribuídas e λ o comprimento de onda. A amplitude do campo elétrico é então dada por:

E_in(~r) = Eow 2 0 4π Z d~k G(~k) exp[i~k · ~r], = Eow 2 0 4π Z dkxdkyexp  −(k 2 x+ k2y)w20 4  Ö exp i kxx + kyy + (k2 − k2x− k2y)1/2z
 , (1.33)

com Eo = E(~r = 0). Estamos considerando que o campo elétrico é

monocro-mático com frequência ω, e a sua dependência temporal exp [iωt] será supri-mida. Na aproximação paraxial, o campo elétrico descreve o feixe gaussiano propagando na direção de z, é escrito como [63],

Ein(~r) ≈ Eow 2 0 4πexp(ikz) Z dkxdkyexp  −(k 2 x+ ky2)w20 4  Ö exp  i  kxx + kyy− k2 x+ ky2 2k z  , ≈ Eo w 2 0 w2 0+ 2i(z/k) exp(ikz) exp  − x 2_{+ y}2 w2 0+ 2i(z/k)  . (1.34) A intensidade, I(~r) ∝ |E(~r)|2 _{para o campo elétrico de entrada é então dado}

por: I_in(~r) _{≈ I}o  w 0 w(z) 2 exp  −2x 2_{+ y}2 w2_(z)  , (1.35) onde w(z) = w0 " 1 + λz πw2 0 2#1/2 . (1.36)

A equação 1.36 representa o raio da cintura do feixe no plano z, tal que w0 é

a cintura mínima do feixe.

1.4.2 A fase espacial do feixe de saída

A fase espacial do campo elétrico de saída é determinada pela direção de propagação do campo elétrico (ϕout = ~k· ~r). Por conveniência são denidos

novos eixos de coordenadas, como é visto na Figura 1.9. O plano de incidência é y − z sendo z a direção de propagação do feixe de entrada, enquanto os novos eixos representam uma rotação do plano y −z onde os eixos zin, z* e zout

ou 2) e normal a interface (vidro-ar ou 3), respectivamente. Denindo θ como

Figura 1.9: Esquema do diagrama de eixos na prisma. Com z eixo de entrada e incidência normal na borda à esquerda (ar-vidro ou 1) zin, abaixo (vidro-ar

ou 2) z* e à direita (vidro-ar ou 3) zout. Figura reproduzida de [63].

o ângulo de incidência e usando R(θ) como a matriz rotação: R(θ) =   cos θ _{− sin θ} sin θ cos θ  , (1.37)

podemos relacionar as coordenadas referente ao feixe de saída com as outras coordenadas por:   y_out z_out   = R  3π 4    y_* z_*  = R π 2    y_in z_in   = Rπ 2 − θ    y z  . (1.38)

Contudo, podemos determinar a fase espacial em cada interface com relação ao ângulo de incidência. Para o feixe de entrada a fase espacial é denida como: ϕ_in = ~k_{· ~r = ~kin· ~rin}, (1.39)

onde ~rin = (x, yin, zin) é obtido a partir da equação 1.38 e ~kin é dado por: k_in= kxin e   ky_in kzin  = R (−θ)   ky kz  , (1.40)

levando em conta que a descontinuidade é ao longo do eixo zin (esta

descon-tinuidade vem do fato que o feixe esta passando de um meio para outro, tal que k = nq onde n representa o índice de refração do vidro e q o número de onda total no vidro), as componentes xin = xe yin do número de onda não se

alteram quando o feixe atravessa a primeira interface. (qx, qyin) = (kx, kyin)⇒ qzin = n2k2− kx2− ky2in

1/2

, (1.41)

enquanto a segunda interface (hipotenusa do prisma) antes do deslocamento GH,

ϕ_l= ~q_{in· ~rin}= ~q∗· ~r∗, (1.42)

onde ~r∗ = (x, y∗, z∗)e ~q∗ é dado por:

qx∗ = qx e   qy∗ qz∗  = R  −π₄   qyin qzin  . (1.43)

A fase espacial do feixe reetido na segunda interface, ou seja, após o desloca-mento GH, é dada pela equação 1.42, mas mudando z∗ por −z∗, temos:

ϕ_r= qx∗x∗+ qy∗y∗− qz∗z∗ = ~qout· ~rout, (1.44)

onde ~rout = (x, yout, zout)e ~qout é dado por:

qxout = qx e   qyout qzout  = R  3π 4    qy∗ −qz∗  =   −qyin qz_in  . (1.45)

Em resumo, a equação 1.46 mostra a relação entre as componentes do número de onda referente às coordenadas denida na equação 1.38

(kx, kyout) = (kx, qyout) = (kx,−qyin) = (kx,−kyin)

kzout = kzin. (1.46)

Finalmente a fase espacial do feixe de saída é dada por: ϕ_out = ~k_{out· ~rout} = kxx− kyinyout+ kzinzout

= kxx + (kzcos 2θ− kysin 2θ) y + (kycos 2θ− kzsin 2θ) z.(1.47)

1.4.3 Coeciente de transmissão total

Escolhendo o eixo ain= 0(isto implica a∗ = a/21/2e aout = b−a) e sabendo que

qzout = qz_in e kzout = kz_in da equação 1.46, obtemos a expressão do coeciente

de transmissão total, no qual, leva em conta a contribuição dos coecientes de Fresnel obtidos na equação 1.18 em cada interface do prisma considerando os seus respectivos vetores de onda em cada interface. Para a polarização s, tem que: t(s)= t(s)_in r∗(s)t (s) out = _(k4kzinqzin z_in + qz_in)2 qz∗− kz∗ qz∗+ kz∗

exp [iψout] , (1.48)

e o coeciente de transmissão total para a polarização p, t(p) = t(p)_in r(p)∗ t (p) out = 4n 2_k z_inqz_in (n2_k zin + qzin)2 qz∗ − n 2_k z∗ qz∗+ n2kz∗

exp [iψ_out] , (1.49) com,

ψ_out = 21/2qz∗a + (qz_in − kz_in)(b− a), (1.50)

sendo a fase do coeciente de transmissão total, a qual depende da geometria do prisma e n é o índice de refração do prisma.

Conhecendo a fase espacial e a fase do coeciente de transmissão total, po-demos calcular o caminho geométrico usando o método da fase estacionária (MFS). Então, ao impor que a derivada da fase seja zero no centro da distri-buição gaussiana do feixe de entrada, obtemos que:

 ∂ϕ_in ∂kx ,∂ϕin ∂ky  (kx=0,ky=0) ={0, 0} ⇒ {xmax, ymax}_in ={0, 0} . (1.51)

Enquanto para o feixe de saída, a fase do campo é dada pela fase espacial ϕout

que obtemos da equação 1.47 e pela fase ψout do coeciente de transmissão

total descrita da equação 1.50. Usando MFS encontramos:  ∂(ϕ_out+ ψ_out) ∂kx  (0,0) = 0_{⇒ xmaxout} = 0, (1.52)  ∂(ϕ_out+ ψout) ∂ky  (0,0)

= 0⇒ zmaxoutcos 2θ− ymaxoutsin 2θ = d,(1.53)

onde

d = a (cos θ + sin θ) + b sin θ p cos θ

n2_{− sin}2_θ − 1

!

. (1.54)

A equação 1.53 apresenta a posição da intensidade máxima do feixe de saída descrito pela óptica geométrica.

Na condição de reexão interna total, surge uma fase adicional não prevista pela óptica geométrica devido ao coeciente de reexão referente a hipotenusa do prisma, interface no qual ocorre o deslocamento GH.

n φ(s)_GH, φ(p)_GHo =  Arg qz∗− kz∗ qz∗+ kz∗  ,Arg qz∗ − n 2_k z∗ qz∗ + n2kz∗  , = ₋₂  tan−1  |kz∗| qz∗  , tan−1 n 2_|k z∗| qz∗  . (1.55)

Este termo de fase é o mesmo discutido na gura 1.3, e ao fazer sua derivada. ( ∂φ(s)_GH ∂ky ,∂φ (p) GH ∂ky ) (0,0) = 2 |kz∗| ∂qz∗ ∂ky  1, n 2_k2 k2_{+ (n}2_{+ 1)|k} z∗|2  , (1.56)

obtém a expressão analítica do deslocamento GH obtido por Artmann descrito nas equações 1.28 e 1.29. {Ds, Dp} = − ( ∂φ(s)_GH ∂ky ,∂φ (p) GH ∂ky ) (0,0) . (1.57)

1.4.4 Intensidade do feixe de saída

A partir da descrição da amplitude do campo elétrico do feixe incidente, po-demos obter a amplitude do campo elétrico do feixe de saída ao propagar por toda a extensão do prisma, no qual leva a contribuição do coeciente de transmissão total. E_out(s,p)(~r) = Eo ω2 o 4π Z dkxdkyt(s,p)exp  −(k 2 x+ ky2)ω2o 4 

× exph−i~kout· ~rout

i

. (1.58)

Conhecendo a intensidade do feixe de saída a partir da equação 1.58, obte-mos numericamente o deslocamento GH para a polarização p e polarização s com relação a previsão da óptica geométrica. A gura 1.10 apresenta o comportamento da diferença entre o deslocamento GH para a polarização p e polarização s em função do ângulo de incidência relativo ao ângulo crítico. As curvas referentes à linha tracejada azul e continua em amarelo, representam o deslocamento GH para a posição do máximo e centroide da intensidade do feixe de saída, respectivamente. Os parâmetros utilizados, foram wo = 150,0

µm, λ = 633 nm, n = 1,515, z = 25 cm, onde z indica a posição na qual está sendo feita a medida sendo que z = 0 refere-se a posição onde ocorre o

deslo-camento GH, ou seja, na hipotenusa do prisma. Enquanto a curva tracejada e pontilhada em verde representa a curva analítica descrita por Artmann. Como

−0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3

θ

_{− θ}

(graus)

D

es

lo

ca

m

en

to

G

H

(µ

m

)

Figura 1.10: Diferença entre o deslocamento GH para a onda p e s em função do ângulo de incidência relativo ao ângulo crítico. A curva numérica para wo = 150,4 µm, λ = 633 nm e n = 1,515 e z = 25 cm está representada pela

curva tracejada azul e amarelo continuo, referente ao deslocamento GH do máximo e centroide da intensidade do feixe reetido, respectivamente. A curva analítica descrita por Artmann é representa pela curva tracejada e pontilhada verde.

já é conhecido na literatura [62, 63], a gura 1.10 mostra que, ao contrário da previsão de Artmann, o deslocamento GH próximo do ângulo crítico para re-exão interna total não divergem, além de que existe um ângulo para o qual o deslocamento GH é máximo, tanto para o deslocamento GH referente ao máximo e centroide da intensidade do feixe reetido. Enquanto para ângulos sucientemente maiores que o ângulo crítico os resultados numéricos e analí-tico convergem para o mesmo valor do deslocamento GH, sendo esta região denominada como região de Artmann.

deslocamento GH referente ao máximo e ao centroide são distintos. Essa dife-rença de efeitos, como também as oscilações para o máximo foram exploradas por [51,52] numericamente e nós fomos os primeiros a observar experimental-mente tais efeitos [65,67]. Estes efeitos são discutidos em detalhes no próximo capitulo.

1.5 Considerações nais

Aqui apresentamos uma breve introdução dos coecientes de Fresnel mostrando que estes dependem da polarização e do meio de propagação. Mencionamos em quais condições a reexão é parcial ou total, mostrando que na condição de reexão total os coecientes de Fresnel apresentam uma fase diferente de zero. Esta fase difere para cada estado de polarização podendo haver uma mudança na polarização da onda reetida. Ilustramos o deslocamento GH e explicamos em quais condições ocorre o deslocamento lateral, angular e quando ocorre a composição entre os dois deslocamentos. Descrevemos o tratamento feito por Artmann, que explica os resultados experimentais de Goos e Hänchen para o caso de reexão interna total. Em seguida descrevemos o modelo usado em nossos resultados experimentais, no qual é considerada a contribuição de cada interface do prisma, como também a sua geometria. A partir deste modelo analisamos o comportamento do deslocamento GH um função do ângulo de incidência relativa ao ângulo crítico e comparamos os resultados numéricos referentes a posição do centroide e do máximo do feixe, como também compa-ramos com a formula analítica de Artmann, mostrando que as duas abordagens convergem ao mesmo resultado do modelo de Artmann. No entanto na região em torno do ângulo crítico os resultados são distintos.

Capítulo 2

Deslocamento Goos-Hänchen

composto e a trajetória não-linear

do feixe reetido

Neste capítulo vamos apresentar o estudo do deslocamento Goos-Hänchen na região em torno do ângulo crítico. Está região é pouco explorada devido a necessidade de experimentos com alta resolução e apresenta fenômenos físi-cos não observados experimentalmente na literatura de deslocamento de feixes ópticos. Nossa contribuição foi investigar experimentalmente o deslocamento Goos-Hänchen composto (CGH) de um feixe laser com distribuição gaussiano no regime do visível e no infra vermelho próximo. Utilizando um novo método de medida para deslocamento de feixes com base em analise de imagens, mos-tramos que este método é de fácil uso e preciso. A partir dos nossos resultados experimentais, conrmamos que nesta região a magnitude e o comportamento do deslocamento CGH referente a posição do máximo e do centroide da in-tensidade do feixe reetido são distintas, vericando que a magnitude do des-locamento é inuenciada pelo comprimento de onda, pela cintura mínima do feixe e a posição na qual é feita a medida em função do ângulo de incidência.

E por m, observamos experimentalmente pela primeira vez na literatura, a trajetória não linear e oscilação não linear do máximo de intensidade do feixe reetido para ângulos de incidência em torno do ângulo crítico.

2.1 Experimento

2.1.1 Montagem experimental

A gura 2.1(a) ilustra o arranjo experimental. Foi utilizado nesta etapa do experimento dois lasers, um laser de diodo (843 nm) e outro He-Ne (633 nm), que é acoplado a uma bra óptica, que tem duas funcionalidades. Fazer uma limpeza espacial no perl transversal do feixe, produzindo um feixe Gaussiano e manter a estabilidade espacial do feixe. O feixe que sai da bra óptica, passa por um telescópio formado pelas lentes L1 (f1 = 20cm) e L2. Enquanto o feixe

é focalizado pela lente L3 (f3 = 50cm). Algumas lentes de comprimento focal

foram utilizadas em L2, de modo que tínhamos diferentes cinturas minímas w0

do feixe no plano focal da lente L3. Um prisma 45°- 90°- 45° NBK7 é inserido

na posição focal da lente L3, com índice de refração de n = 1,5150 para 633

nm e n = 1,5101 para 843 nm. As faces laterias do prisma são revestidas por um lme anti-reetor, de modo a minimizar as múltiplas reexões inter-nas, com exceção da face referente a hipotenusa do prisma, no qual ocorre o efeito do deslocamento Goos-Hänchen. O prisma é montado em um estágio de rotação de alta precisão, equipado com um micrometro e uma escala de vernier com resolução de 5 arcmin. Sendo que a leitura do ângulo de incidên-cia é com relação a primeira interface do prisma e que denotamos por θ ao descrever o deslocamento GH de um feixe gaussiano na seção 1.4, enquanto φ denotamos o ângulo de incidência na hipotenusa do prisma, no qual onde ocorre o deslocamento GH. A relação entre eles para a geometria do prisma é, θ = sin−1[n sin (φ + π/4)], com n o índice de refração no prisma. A

polariza-ção do feixe é denida por um polarizador P que tem um razão de extinpolariza-ção de 100.000:1 e está montado em um estágio de rotação com resolução de 1°. O feixe reetido na hipotenusa do prisma propaga uma curta distância é ob-servado por uma câmera CCD (COHU 4812) sem uma lente de imageamento, com 754 × 484 pixels, onde o tamanho de cada pixel corresponde à 11,5 µm.

Figura 2.1: Arranjo experimental: L1,2,3 são as lentes, P é o polarizador

mon-tado em um estágio de rotação. O feixe reetido pelo prisma é monitorado por uma câmera CCD.

2.1.2 Procedimento experimental

Inicialmente selecionamos manualmente o ângulo de incidência do feixe, com a leitura do vernier. Em seguida é selecionado a polarização do feixe com o polarizador que está localizado antes do prisma, com a polarização linear s ou p. Após vericar que a incidência do feixe reetido seja normal com a câmera, é medida a posição do feixe.

A câmera monitora a posição do máximo e do centroide do perl espacial da intensidade do feixe com um analisador em tempo real, utilizando um soft-ware comercial (Spiricon LBA-PC). Este softsoft-ware determina a posição do feixe com uma resolução de 0,01 µm. Através dele é possível medir a posição da

in-(a) (b)

Figura 2.2: Ilustração da seleção da região ROI (do inglês region of interest) utilizada no procedimento de medição do deslocamento CGH. Em (a) e (b) corresponde a imagem e a região de interesse (circulo vermelho tracejado) para a medição da posição do máximo de intensidade em (a) e do centroide em (b) do feixe reetido.

tensidade máxima do feixe, como também a posição do centroide do feixe com uma ótima resolução. No entanto, não realizamos diretamente a medida do pixel mais intenso, devido a incertezas na medição ocasionadas por arranhões e partículas de poeira nos componentes ópticos. Este problema é contornado, quando selecionamos uma pequena região (ROI do inglês region of interest) centrada no máximo de intensidade do feixe e então é feita a medida da posi-ção do centroide referente a uma pequena porposi-ção do feixe, como pode ser visto na gura 2.2(a). Está pequena porção do ROI corresponde a um diâmetro de 150,0 µm (menor valor permitido pelo software), enquanto para a medição da posição do centroide do feixe é expandido o ROI de modo a englobar toda porção do feixe, como é ilustrado na gura 2.2(b).

Como a câmera tem uma alta taxa de aquisição na posição do feixe, o que medimos é referente a média da posição do feixe para 100 medidas. Em se-guida é mudado a polarização do feixe incidente com o polarizador, e então novamente é realizado a medida da posição média do feixe. Este procedimento de medida é repetido 5 vezes para cada polarização, tal que calcula-se a média