Modelo DEA

No decorrer das últimas décadas, o debate referente à segurança pública vem sendo cada vez mais discutido, tanto no Brasil quanto no mundo. O aumento das taxas de criminalidade está associado à violência com que alguns crimes são cometidos contra a pessoa e, por sua vez, contra seu patrimônio. A consequência disto, em último caso, acaba se tornando justificativa para este debate preocupante, cada vez mais presente na sociedade. Dessa forma, muito se discute sobre políticas de segurança pública que almejem reduzir ou amenizar este quadro que já está se tornando caótico, e o fator crítico deste quadro é que pouco se avança objetivamente em termos de políticas eficientes, sendo que em grande parte as políticas existentes são formatadas sob a égide aleatória do senso comum, sem qualquer fundamentação ou práticas de monitoramento e avaliação.

A complexidade do assunto em definir políticas eficazes de combate ao crime acaba se tornando o elemento nevrálgico de uma atuação mais eficiente e combativa. Não é fácil chegar a um consenso objetivo sobre tal temática. No entanto, a sensação de insegurança

presente na população acaba criando uma ansiedade por medidas de curto prazo que se não resolverem pelo menos amenizem este fenômeno social do crime. Neste sentido, o enfoque da eficiência dos agentes públicos envolvidos no combate direto à criminalidade acaba sendo um assunto de elementar importância para ser explorado e discutido. A identificação de fatores que, por sua vez, geram ineficiência acaba indicando medidas a serem tomadas para melhorar e combater a criminalidade.

A literatura vigente identifica Carrington et. al. (1997) como os autores pioneiros que calcularam o escore de eficiência técnica no combate à criminalidade da polícia para o Estado de New South Wales, Austrália, tendo investigado a possibilidade de variáveis socioeconômicas influenciarem esses escores. A análise da eficiência técnica é baseada na teoria da produção, na qual se define o conjunto de produção, cujos elementos são todas as combinações de insumos e produtos que compreendem as formas tecnologicamente viáveis de produzir (VARIAN, 2000). Outra frente de pesquisa a respeito de eficiência técnica foi desenvolvida por Sun (2002) nos distritos de Taipei, em Taiwan. Foi verificado se fatores sociais, tais como população entre 15-29 anos e tamanhos dos distritos, exerciam influência significativa nos escores de eficiência calculados no combate à criminalidade.

Belloni (2000) afirma que o critério de eficiência na produção está associado aos conceitos de racionalidade econômica e de produtividade material e internaliza a capacidade de organização de produzir um máximo de resultados com um mínimo de recursos. Dessa forma, para analisar a eficiência, faz-se necessário entender melhor o conceito das curvas de produção que visam a definir a relação entre insumos e produtos. As curvas de produção são base da análise de eficiência, pois as considerações em torno delas visam a definir relações entre insumos e produtos (KASSAI, 2002).Conforme Lins et al. (2000), a história da Análise Envoltória de Dados começa com a dissertação para obtenção de grau de PhD de Edward Rhodes, sob a supervisão W. W. Cooper, publicada em 1978. O uso de medidas de eficiência tem crescido robustamente nas últimas décadas, tornando-se hoje um dos principais eixos de estudo dos economistas (GOMES e BATISTA, 2004).

Neste contexto, as medidas de eficiência podem ser obtidas, por exemplo, de problemas simples, que internalizam poucos insumos e produtos. No entanto, em situações em que se constata que várias unidades utilizam múltiplos insumos e produzem vários produtos, o cálculo da eficiência técnica relativa de cada unidade se torna difícil e complexo,

conforme Gomes et al. (2004). Para solucionar essas dificuldades, podem-se obter, a partir de uma amostra de dados, fronteiras de eficiência, que servirão como referencial para as comparações entre as unidades. A literatura brasileira encontra em Mello et. al. (2005) a elaboração de cálculo de índices de eficiência no combate à criminalidade no Estado do Rio de Janeiro. Esta contribuição não apresentou resultados significativos sem um avanço na investigação dos possíveis determinantes daqueles índices. A DEA é aplicada sobre os dados de forma a construir uma fronteira eficiente, que seria formada por firmas mais eficientes, isto é, identificando uma melhor relação entre insumo e produto, definindo então a posição das demais firmas em relação a essa fronteira, e a teoria identificando a análise de envoltório porque nenhuma DMU pode ficar além da fronteira.

Sobre o método DEA, Silva (2006) informa que ele apresenta como vantagem maior facilidade em seu cálculo e também na representação por meio gráficos, tratando-se de um método não paramétrico que utiliza programação linear para construir uma fronteira de eficiência a partir de uma amostra de firmas ou unidades tomadores de decisão (DMU – Decision Making Unit), calculando índices individuais de ineficiência em relação a essa fronteira. As medidas de eficiência podem ser facilmente obtidas de problemas simples, que abrangem poucos insumos e produtos. Entretanto, em situações em que várias unidades utilizam múltiplos insumos e produzem vários produtos, o cálculo da eficiência relativa de cada unidade torna-se mais complexo. Para solucionar essas dificuldades, podem-se obter, a partir de uma amostra de dados, fronteiras eficientes, que servirão como referencial para as comparações entre as unidades (GOMES et. al., 2004).

Estas fronteiras podem ser estimadas por diferentes métodos paramétricos ou não paramétricos. As fronteiras estocásticas consistem em abordagens paramétricas, sendo estimadas por métodos econométricos, enquanto a análise envoltória de dados (DEA) é uma abordagem não paramétrica que envolve programação matemática em sua estimação. Nesse sentido, Charnes et. al. (1978) propuseram o primeiro modelo que ficou conhecido como Data Envelopment Analysis (DEA). A idéia central dessa técnica é encontrar a melhor DMU virtual para cada DMU real. Se a DMU virtual, que pode ser obtida pela combinação convexa de outras DMUs reais, conseguir produzir maiores quantidades de produtos utilizando a mesma ou menor quantidade de insumos, então a DMU real será ineficiente. As unidades eficientes que, quando combinadas, fornecem a DMU virtual para a unidade ineficiente são conhecidas como pares ou benchmarks daquela DMU.

Na literatura, as duas principais formas de calcular a eficiência técnica das DMUs são os modelos orientados a insumos e os modelos orientados a produto6. Os modelos orientados a insumos buscam identificar a ineficiência técnica das DMUs mediante redução proporcional na utilização dos insumos. Entretanto, podem-se também obter medidas de eficiência com o aumento proporcional na produção, mantendo-se as quantidades de insumos fixas, conhecidas como medidas de eficiência com orientação produto. Nos modelos com orientação ao insumo, a medida de eficiência (θ) é menor ou igual à unidade, indicando a máxima redução na utilização dos insumos, mantendo-se fixas as quantidades dos produtos. De maneira análoga, em um modelo com orientação ao produto, a medida de eficiência ( ) é maior ou igual à unidade, indicando a máxima expansão da produção, mantendo-se fixas as quantidades dos insumos. Como será demonstrado na próxima seção, no modelo DEA calculado existe apenas um insumo, o número de policiais militares em cada município (ou DMU), sendo coerente pensar que este insumo é fixo para cada unidade, e a variável que poderia ser objeto de análise seria a ―produção‖ realizada por este insumo. A seguir, é apresentado o modelo utilizado na DEA, que incorpora a pressuposição de retornos variáveis à escala e orientação ao produto.

Nos modelos com orientação produto,  assume um valor unitário apenas quando a DMU é eficiente, indicando que nesse caso não há possibilidade de expansão dos produtos, mantendo-se fixas as quantidades de insumos. O problema com orientação produto, pressupondo-se retornos constantes à escala, pode ser escrito da seguinte forma:

, ,  MAX sujeito a: (11) . 0 , 0 , 0           X x Y y i i

em que 1  e 1 é o aumento proporcional nos produtos que poderiam ser obtidos pela i-ésima DMU, mantendo-se constante a utilização de insumos. A medida de eficiência técnica seria dada por 1/, que varia de zero a um.

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Existem, também, os modelos mistos (mixed models), que não são descritos aqui, porém, para mais detalhes, consulte Charnes et al. (1994), Cooper et al. (2000) e Lins et al. (2000).

O modelo de retornos constantes à escala pode ser reformulado com o objetivo de possibilitar retornos variáveis às DMUs analisadas. Essa proposta foi inicialmente feita por Banker et. al. (1984), cujo modelo ficou conhecido como BCC, devido às iniciais dos nomes dos autores. A ideia é introduzir uma restrição de convexidade ao modelo CCR (retornos constantes) apresentado em (1). O modelo BCC, que pressupõe retornos variáveis à escala, pode ser representado pela seguinte notação algébrica:

, ,  MAX sujeito a: (12) . 0 1 , 0 , 0 1             N X x Y y i i

em que N1 é um vetor (n x 1) de algarismos unitários (1,...,1). Essa abordagem forma uma superfície convexa de planos em interseção, que envolve os dados de forma mais compacta do que a superfície formada pelo modelo com retornos constantes.