4.3 Análise da força de avanço e da força transversal
5.1.1 Modelo para o torque: ferramenta só com pino
Para a ferramenta só com pino (projeto experimental A), durante a fase de entrada da ferramenta na peça, a tensão de escoamento por cisalhamento local do material τl é proposta por:
τl = Ae−Bω (5.4)
e o fator geométrico G é determinado por:
G = Z hp 0 Z 2π 0 r (rdθdl) + Z rp 0 Z 2π 0 r (rdθdr) (5.5)
onde A e B são os parâmetros a estimar (A em Pa e B em rpm−1), ω é a rotação em rpm, hp é a altura do pino em m e rp é o raio do pino em m.
Tendo em vista que o estudo da ferramenta só com pino considera unicamente a fase de entrada da ferramenta na peça, a velocidade de soldagem, vs, é substituída pela velocidade de penetração da ferramenta na peça, vp em mm/min na Eq. 5.2.
Para realizar a estimativa dos parâmetros do modelo do torque foram analisa- dos os coe cientes de sensibilidade, os quais representam a variação do torque com relação à variação de cada um dos parâmetros do modelo. Os coe cientes foram calculados analiticamente, segundo a Eq. 2.41, para cada parâmetro do modelo. Os resultados são apresentados na Tabela 5.1, na qual se observa que possivelmente existe dependência linear, DL entre os parâmetros A e B.
Tabela 5.1: Coe cientes de sensibilidade obtidos de forma analítica Parâmetros do modelo Coe cientes de sensibilidade Dependência linear
A JA= ∂M ∂A = e −Bω G Possível DL em relação a JB B JB = ∂M ∂B = −ωAe −BωG Possível DL em relação a J A C JC = ∂M ∂C = vp Linearmente independente Para facilitar a análise da magnitude dos coe cientes de sensibilidade foram usa- dos os coe cientes de sensibilidade reduzidos, obtidos pela Eq. 5.6 [70], os quais têm as mesmas unidades da variável medida e, portanto, permitem identi car com maior clareza a viabilidade dos parâmetros a serem estimados segundo os valores absolutos dos coe cientes de sensibilidade. A análise foi realizada para cinco velocidades de penetração: 2, 4, 6, 8 e 10 mm/min.
Xij = PjJij (5.6)
A Figura 5.2 (a) mostra a variação dos coe cientes de sensibilidade reduzidos com a rotação, para uma velocidade de penetração de 10 mm/min. Observa-se que o coe ciente de sensibilidade JA, que corresponde ao parâmetro A, apresenta o maior valor absoluto. Adicionalmente, os coe cientes de sensibilidade JA e JB mostram um comportamento similar o que indica uma proximidade à dependência linear entre eles. A Figura 5.2 (b) mostra a relação entre JA e JB em função da rotação, que con rma que a partir de 200 rpm a correlação entre estes coe cientes tende a ser constante, indicando dependência linear entre eles.
A dependência linear indica que nem todos os parâmetros podem ser estima- dos simultaneamente para evitar problemas com a singularidade da matriz de sensibilidade. Com base na dependência linear observada entre os coe cientes de sensibilidade e os seus valores absolutos, foram selecionados os parâmetros A e C
para serem estimados e garantir a independência linear entre as colunas da matriz de sensibilidade, bem como coe cientes de sensibilidade com valores absolutos altos.
A pesar da baixa magnitude e do comportamento constante do coe ciente de sensibilidade JC, o parâmetro C foi selecionado como um parâmetro a ser estimado por tratar-se de um parâmetro totalmente desconhecido e que pode aportar infor- mação em quanto à contribuição das velocidades de soldagem ou de penetração no calculo do torque. A baixa magnitude de JC é esperada já que, como foi observado nos resultados experimentais, as velocidades de penetração e/ou de soldagem têm pouca in uência no comportamento do torque.
a)
b)
Figura 5.2: a) Coe cientes de sensibilidade reduzidos em função da rotação para uma vp de 10 mm/min, b) Relação entre os coe cientes de sensibilidade JA e JB em função da rotação.
A Figura 5.3 mostra os resultados do D − optimal design para frequência variável e frequência xa, considerando unicamente os coe cientes de sensibilidade correspondentes aos parâmetros a serem estimados, JA e JC, e as cinco velocidades de penetração mencionadas anteriormente. Nos dois casos, de frequência variável e de frequência xa, observa-se que o valor do determinante da matriz JTJ é maior para maiores velocidades de penetração. A análise por frequência variável indica que o máximo valor do determinante da matriz JTJ corresponde a uma rotação de 3000 rpm e, portanto, uma faixa ótima para estudar a in uência da velocidade de rotação no comportamento do torque se situa entre 0 e 3000 rpm. Segundo a análise por frequência xa, onde a quantidade de medições corresponde ao mesmo valor da rotação, a quantidade de medições ótima é de 2000 amostras.
a)
b)
Figura 5.3: D−optimal design para diferentes velocidades de penetração, a) análise por frequência variável e b) análise por frequência xa
Devido à necessidade de um elevado número de medições para estimar os parâmetros do modelo do torque através da metodologia do problema inverso e à complexidade experimental de obter dados para uma faixa ampla de velocidades de rotação, foi usada a curva do ajuste experimental dos dados.
Foi usado o método de Levenberg-Marquardt para estimativa de parâmetros descrito na Eq. 2.40. O parâmetro de amortecimento µ foi assumido como 0,001 para a primeira iteração (k = 1), e para as iterações seguintes foi calculado segundo a Eq. 5.7 [67] e a matriz Ω foi assumida como a matriz identidade. A programação foi realizada no software Matlab.
(
S( ~Pk+1) > S( ~Pk) → substituir µk por 10µk
S( ~Pk+1) < S( ~Pk) → substituir µk por 0, 1µk (5.7)
Foi utilizado o critério de parada apresentado na seguinte expressão [72], com uma tolerância de 10−4. ( ~P k+1− ~Pk)/ ~Pk < (5.8)
Os valores iniciais dos parâmetros a serem estimados foram obtidos dos resulta- dos experimentais. O parâmetro B foi calculado para cada conjunto experimental em função da área de contato, ac entre a ferramenta e a peça e a velocidade de penetração, segundo a Eq. 5.9, que foi obtida a partir dos dados experimentais. Na Figura 5.4 são apresentados os dados experimentais e calculados do parâmetro B.
B = −(0, 481)acvp + (4, 176)ac− 0, 0013 (5.9) A Figura 5.5 mostra o modelo do torque com os parâmetros estimados e os da- dos experimentais para a ferramenta com um diâmetro de pino de 4,5 mm e uma velocidade de penetração de 6 mm/min. Os valores dos parâmetros estimados para cada conjunto experimental são apresentados na Tabela 5.2. Os altos valores do des- vio padrão obtidos na estimativa do parâmetro C, estão relacionados com a baixa magnitude do coe ciente de sensibilidade JC, que indica que grandes variações no valor do parâmetro C produzem pequenas mudanças no valor do torque. Este com- portamento foi observado nos resultados experimentais que mostraram uma baixa in uência da velocidade de penetração sobre o torque.
Figura 5.4: Comparação entre os dados experimentais e os valores calculados para o parâmetro B da ferramenta só com pino
Figura 5.5: Modelo com os parâmetros estimados e os dados experimentais para o pino de 4,5 mm de diâmetro e uma velocidade de penetração de 6 mm/min
A partir dos valores estimados, foram obtidas as Eqs. 5.10 e 5.11 para calcular os parâmetros A e C, respectivamente, em função dos fatores do projeto experimental. O parâmetro A varia em função da área de contato e da velocidade de penetração e o parâmetro C em função apenas da área de contato.
Tabela 5.2: Parâmetros estimados via problema inverso: ferramenta só com pino
dp vp Parâmetro Valor Desvio Intervalo de con ança
(mm) v(mm/min) estimado padrão (99%)
4,5 4 A 1,10×108 3,47×106 1,01×108 1,18×108 6 1,24×108 3,91×106 1,13×108 1,30×108 8 1,29×108 4,09×106 1,19×108 1,40×108 5 4 1,06×108 3,34×106 9,70×107 1,14×108 6 1,07×108 3,40×106 9,86×107 1,16×108 8 1,12×108 3,53×106 1,03×108 1,21×108 5,5 4 7,49×107 2,37×106 6,88×107 8,11×107 6 8,74×107 2,77×106 8,03×107 9,45×107 8 9,95×107 3,15×106 9,14×107 1,08×108 6 4 6,71×107 2,12×106 6,16×107 7,25×107 6 7,76×107 2,45×106 7,12×107 8,39×107 8 7,96×107 2,52×106 7,31×107 8,61×107 4,5 4 C -1,90×10−2 4,97×10−2 -1,47×10−1 1,09×10−1 6 -1,15×10−2 3,73×10−2 -1,00×10−1 8,00×10−2 8 -6,91×10−3 2,92×10−2 -8,20×10−2 6,82×10−2 5 4 -5,44×10−2 6,10×10−2 -2,11×10−1 1,03×10−1 6 7,51×10−2 4,10×10−2 -3,05×10−2 1,81×10−1 8 -9,86×10−3 3,17×10−2 -9,16×10−2 7,18×10−2 5,5 4 5,01×10−2 5,40×10−2 -8,91×10−2 1,89×10−1 6 -3,75×10−2 4,14×10−2 -1,44×10−1 6,90×10−2 8 -1,35×10−2 3,49×10−2 -1,03×10−1 7,64×10−2 6 4 1,90×10−2 5,94×10−2 -1,34×10−1 1,72×10−1 6 5,20×10−2 4,49×10−2 -6,36×10−2 1,68×10−1 8 6,68×10−2 3,38×10−2 -2,04×10−2 1,54×10−1 A = −(6, 8 × 109)vpac− (1, 487 × 1012)ac+ (4, 52 × 106)vp+ 2.048 × 108 (5.10) C = (1, 657 × 103)ac− 0, 1 (5.11) A Figura 5.6 apresenta os dados experimentais e modelados do torque em função da rotação, para todos os diâmetros de pino e uma velocidade de penetração de 4 mm/min. Em todos os casos encontrou-se que o modelo apresenta uma boa concordância com os dados experimentais. A diferença relativa entre o valor experimental do torque e o valor calculado, para todos os dados experimentais são apresentados na Tabela 5.3. A Tabela mostra que com exceção de quatro dados, que
apresentam erros de 10,68, 11,41, 11,97 e 12,59 %, todos os erros são menores do que 10 %. A variação nos valores do erro é atribuída à dispersão dos dados experimentais.
Figura 5.6: Comparação entre os dados experimentais e os valores calculados do torque para a ferramenta só com pino.
Tabela 5.3: Diferença relativa do modelo do torque para a ferramenta só com pino Vel. penetração Rotação Diferença relativa (%)
(mm/min) (rpm) dp=4,5 (mm) dp=5 (mm) dp=5,5 (mm) dp=6 (mm) 4 600 2,72 6,04 4,65 1,73 900 3,26 1,78 11,97 3,45 1200 1,16 6,58 7,57 3,53 1500 6,11 0,24 3,29 0,03 6 600 6,028 6,96 0,98 5,96 900 1,58 0,6 10,68 0,55 1200 2,34 1,65 11,41 0,36 1500 6,13 9,84 4,26 3,78 8 600 5,22 4,29 0,35 7,00 900 1,75 4,64 9,44 4,61 1200 1,8 0,36 12,59 1,69 1500 7,51 7,1 7,13 6,48