A teoria da Percola¸c˜ao foi formulada em 1957 por Broadbent e Hammersley para estudar as m´ascaras usadas pelos mineiros na Inglaterra [128]. Desde ent˜ao a percola¸c˜ao tem encontrado aplica¸c˜oes nas mais diversas ´areas como reservat´orios de petr´oleo [129], fogo na floresta [130], propaga¸c˜ao de epidemias [69], na Qu´ımica e na Biologia [131, 132, 133], etc. Estas in´umeras aplica¸c˜oes s˜ao devido a sua simplicidade de representar fenˆomenos cr´ıticos em sistemas desordenados, ou seja, quando preenchemos uma rede, os s´ıtios podem ficar ocupados (1) ou n˜ao (0), que ´e atribu´ıdo `a representa¸c˜oes f´ısicas, qu´ımicas, ou representa¸c˜oes biol´ogicas [130]. Qualquer sistema com estrutura espacial onde a aleatoriedade esteja presente, a teoria da percola¸c˜ao pode ser aplicada [134]. Um dos objetivos desta teoria ´e determinar a probabilidade de grandes aglomerados que podem ligar as extremidades opostas do sistema. Podemos representar o sistema por uma rede geom´etrica. Dos v´arios tipos de percola¸c˜ao, o mais simples ´e a percola¸c˜ao por s´ıtios, onde a conex˜ao ocorre pela uni˜ao dos primeiros vizinhos ocupados que atravessa o sistema de uma extremidade a outra. A percola¸c˜ao ´e isotr´opica, quando ela ligar as extremidades opostas da rede, independente da dire¸c˜ao, e ´e direcionada, como o pr´oprio nome sugere,
temos uma dire¸c˜ao preferencial como o que ocorre num meio poroso (esponja) sendo atravessado pela ´agua devido `a for¸ca da gravidade. Se o meio possui poucos poros, isto ´e, estado subcr´ıtico, dizemos que a esponja ´e imperme´avel. Caso contr´ario, supercr´ıtico, ´e dita perme´avel. Na figura 3.4 podemos ver a redes de mesmo tamanho com probabilidades diferentes de preenchimento, para o caso 2-D da percola¸c˜ao por s´ıtios. Notamos que existe um valor cr´ıtico de probabilidade de preenchimento tal que forma um aglomerado que liga uma extremidade a outra, fazendo o sistema fluir (percolar). O aglomerado de percola¸c˜ao, em p = pc, cont´em subestruturas fractais, tais como o pr´oprio aglomerado
de percola¸c˜ao, o ”backbone”, per´ımetro externo, entre outros que s˜ao caracterizados por diferentes dimens˜oes fractais. Para obter um valor preciso de pc, temos que trabalhar
com sistemas de tamanhos diferentes, fazer uma estat´ıstica usando v´arias amostras e um colapso de dados. A estimativa mais precisa de pc para rede quadrada ´e 0, 59273(6)[104,
135].
Figura 3.4: Redes bidimensionais com diferentes valores de probabilidade de preenchimento. No limite de L → ∞, a percola¸c˜ao sempre existir´a com probabilidade 1 para p > pc.
Em ambos os casos, direcionado e isotr´opico, o parˆametro de ordem P∞ ´e a probabi-
lidade de um s´ıtio escolhido aleatoriamente perten¸ca ao cluster infinito [1]. Em resumo a formula¸c˜ao padr˜ao da teoria da percola¸c˜ao ´e apresentada da seguinte forma para o caso bidimensional: Imagine uma rede quadrada, com L2 s´ıtios onde ocupamos aleatoriamente
com probabilidade p, ou vazios com probabilidade 1 − p. Dois s´ıtios ocupados pertencem ao mesmo aglomerado se existe alguma liga¸c˜ao entre eles, ou seja, se eles forem primeiros vizinhos. Para valor pequeno de p, temos muitos aglomerado de tamanho pequeno, e se p
vai aumentando, ou seja, o n´umero de s´ıtios ocupados vai aumentando, ocorre o contr´ario. O limiar de percola¸c˜ao pc depende se a percola¸c˜ao ´e por liga¸c˜ao, ou por s´ıtio, do tipo de
rede, e da sua dimens˜ao.
Uma maneira alternativa para estudar o mesmo problema foi proposta por Hansen e Hinrichsen [26, 27, 28, 29, 30]. Supomos uma sequˆencia de N n´umeros reais pi, cujo
dom´ınio ´e [0, 1], e segue uma distribui¸c˜ao de probabilidade uniforme, usada para preencher a rede quadrada de tamanho L. Quando terminamos de preencher a rede, cada s´ıtio possui valor de pi, e vamos orden´a-los de maneira crescente, guardando a sua localiza¸c˜ao. Quando
terminamos a ordena¸c˜ao, teremos p1 ≤ p2 ≤ p3 ≤ ... ≤ pk ≤ ... ≤ pN. Ao lan¸carmos
cada um destes s´ıtios na rede, fazemos o teste se o sistema percola ou n˜ao. Se o s´ıtio pk
´e o s´ıtio que faz o sistema percolar, seu valor para distribui¸c˜ao uniforme confere com o da formula¸c˜ao padr˜ao (pk ≈ 0, 59), no limite de tamanho infinito. Este s´ıtio (n´umero)
permite que o sistema percole pela primeira vez (limiar de percola¸c˜ao), e ´e chamado de s´ıtio percolante (red bond). Quando retiramos este s´ıtio da rede, a percola¸c˜ao deixa de existir.
Inspirado neste fato e modelo, propomos um novo modelo para estudar linhas divis´orias e relevos a partir da percola¸c˜ao, que chamaremos de ”Percola¸c˜ao Geogr´afica”. Este modelo funciona da seguinte forma, usando o m´etodo de Hansen e Hinrichsen, colocamos os s´ıtios de maneira crescente, e procuramos o s´ıtio, cuja probabilidade ´e pk1, que faz
o sistema percolar pela primeira vez. Quando encontramos este s´ıtio (s´ıtio percolante), retiramos ele do sistema, guardando a sua localiza¸c˜ao, e imediatamente o sistema deixa de percolar. Procuramos na lista o pr´oximo s´ıtio (pk2) que faz o sistema percolar. ´E
obvio que (pk2 ≥ pk1). Retiramos o segundo s´ıtio, e procuramos o terceiro (pk3), como
podemos ver na figura 3.5 que mostra a evolu¸c˜ao da Percola¸c˜ao Geogr´afica Direcionada por s´ıtio (PGDS) em 2-D. Neste caso o sistema s´o pode percolar numa dire¸c˜ao, e na outra, usamos condi¸c˜oes peri´odicas. Nesta figura, os s´ıtios vermelhos correspondem aos s´ıtios percolantes, a cor branca corresponde `a s´ıtios vazios, e as demais cores, aglomerados de s´ıtios ativos.
Figura 3.5: Evolu¸c˜ao da Percola¸c˜ao Geogr´afica, onde a cor vermelha corresponde aos s´ıtios percolantes.
Fazemos isso at´e preencher a rede (pN), e no final obtemos uma estrutura formada por
esses s´ıtios que fizeram o sistema percolar em algum instante (s´ıtios percolantes), como podemos ver na figura 3.6
Figura 3.6: Estrutura final formada na Percola¸c˜ao Geogr´afica.
Um fato bastante interessante ´e que a estrutura formada pela PGDS ´e um fractal cujos s´ıtios se conectam por primeiros e segundos vizinhos. Se observarmos esta estrutura, ela ´e uma linha divis´oria que divide, neste caso, a rede em duas regi˜oes, que pode ser, por exemplo, uma cordilheira, como mostrado na figura 3.7.
Figura 3.7: Exemplo de uma cordlheira artificial formada a da partir Percola¸c˜ao Geogr´afica.
Se ao inv´es da percola¸c˜ao direcionada, usarmos a percola¸c˜ao isotr´opica, ou seja, o sistema percola nas duas dire¸c˜oes, neste caso a percola¸c˜ao geogr´afica divide a rede em quatro regi˜oes, como podemos ver na figura 3.8
Figura 3.8: Estrutura final da Percola¸c˜ao Geogr´afica Isotr´opica por s´ıtios. Neste caso o sistema pode percolar nas duas dire¸c˜oes, e no final divide a regi˜ao em quatro partes.
Tamb´em estudamos o caso tridimensional da PGDS, no qual o sistema percola em duas dire¸c˜oes, e na outra usamos usamos condi¸c˜oes de contorno. A estrutura que obtemos ´e um relevo no espa¸co com v´arias alturas (valores de p), como foi mostrado anteriormente na figura 3.3, e que possui semelhan¸cas com relevos reais, como podemos ver na figura 3.9.
Figura 3.9: Fotografia de um relevo real.
A estrutura obtida numericamente atrav´es da PG em duas dimens˜oes possui v´arias semelhan¸cas com estruturas reais, e esta ´e a grande vantagem deste modelo. Nesta tese estudaremos o caso bidimensional e tridimensional da PGDS, com condi¸c˜oes de contorno peri´odicas. Na pr´oxima se¸c˜ao, comentaremos o algoritmo que usamos para este modelo, e na se¸c˜ao seguinte mostraremos os nossos resultados.