Nesta se¸c˜ao abordaremos a difus˜ao das part´ıculas nos dois modelos de pilhas de areia conservativas que comentamos na se¸c˜ao anterior. Comentamos que nestes modelos quando um s´ıtio ´e ativo, ele est´a apto a transferir part´ıculas para os seus primeiros vizinhos. Para iniciar o estudo da difus˜ao das part´ıculas, usaremos a equa¸c˜ao de difus˜ao usual que n˜ao leva em conta se no sistema existe fonte ou sorvedouro de part´ıculas, conforme est´a expressa na equa¸c˜ao 2.1:
∂̺ ∂t = D
∂2̺
∂t2 (2.1)
A solu¸c˜ao da equa¸c˜ao 2.1 ´e:
̺(t, x) ∝ e−(x−x0)
2
4Dt (2.2)
O denominador da equa¸c˜ao 2.2 ´e igual ao dobro do desvio quadr´atico m´edio que ´e proporcional a constante de difus˜ao D e comporta-se linearmente com o tempo, como podemos ver na equa¸c˜ao seguinte:
h[∆x]2i = 2Dt (2.3)
onde ∆x = x(t)−x(0). A partir deste resultado, nos modelos que definimos anteriormente, para cada part´ıcula j da rede temos um ∆xj, que iremos definir de maneira equivalente
em termos do n´umero de pulos dado pelas part´ıculas no tempo t para esquerda (h+j(t)), e para a direita (h−j (t)). Fica claro que h+j (0) = h−j (0) = 0. Desta forma, a varia¸c˜ao de
posi¸c˜ao para a part´ıcula fica:
∆xj(t) = h+j(t) − h−j (t) (2.4)
A rela¸c˜ao 2.4 conta toda a hist´oria da part´ıcula j desde a sua posi¸c˜ao inicial xj(0)
at´e a posi¸c˜ao xj(t), ou seja, a cada tempo t a part´ıcula j se difunde, e ∆xj muda por
±1, tal que h[∆xj(t)]2i = hh+j (t) + h−j (t)i ≡ hhj(t)i, isto ´e, o n´umero m´edio de pulos no
tempo t. A part´ıcula j sempre se origina de um s´ıtio ativo. Para um sistema com N = pL part´ıculas, o desvio quadr´atico da rede ser´a a m´edia sobre os desvios quadr´aticos de todas as part´ıculas. Desta forma a equa¸c˜ao 2.3 fica:
h[∆xj(t)]2i = 2Dt (2.5)
Nas nossas simula¸c˜oes, a configura¸c˜ao inicial consiste em distribuir aleatoriamente as N part´ıculas numa rede unidimensional de tamanho L, com a restri¸c˜ao de no m´aximo duas part´ıculas por s´ıtio no modelo II. Quando estudamos somente o parˆametro de ordem ρ nos preocupamos somente com a quantidade de part´ıculas em cada s´ıtio. J´a quando estudamos a difus˜ao, temos que saber quais part´ıculas est˜ao naquele s´ıtio, e isto faz com que nossas simula¸c˜oes agora sejam um pouco mais lentas em rela¸c˜ao ao primeiro estudo, pois temos que guardar a posi¸c˜ao e o deslocamento de todas as part´ıculas (∆xj),
para poder determinar D a partir da equa¸c˜ao 2.5. A identifica¸c˜ao das part´ıculas se d´a no momento da configura¸c˜ao inicial, e n˜ao muda durante a simula¸c˜ao. A dinˆamica dos modelos I e II consiste em sortear um dos NA s´ıtios ativos, e distribuir duas part´ıculas
para os seus primeiros vizinhos. As part´ıculas possuem a mesma probabilidade de ir para esquerda, ou para direita. No modelo I, um s´ıtio ativo tem zj part´ıculas, e a probabilidade
de uma part´ıcula ser escolhida ´e 2/zj. Neste caso obrigatoriamente, as duas part´ıculas
escolhidas se difundem para o local sorteado. J´a no modelo II, isso n˜ao acontece, pois temos restri¸c˜ao de altura, ou seja, no m´aximo duas part´ıculas por s´ıtio. Dependendo da ocupa¸c˜ao da vizinhan¸ca, a difus˜ao pode acontecer totalmente (as duas part´ıculas foram para o(s) s´ıtio(s) escolhido(s), parcialmente (uma das part´ıculas permaneceu no s´ıtio de origem), ou n˜ao acontecer (as duas part´ıculas permanecem no s´ıtio de origem). Na figura 2.1 mostramos uma configura¸c˜ao t´ıpica do modelo II. As part´ıculas em azul ou branco pertencem ao s´ıtio, e a cor vermelha indica que a part´ıcula n˜ao pode permancer naquele local e tem que voltar ao s´ıtio de origem. Quando as part´ıculas ficam na cor azul, o s´ıtio ´e ativo. A ocupa¸cao de s´ıtios pr´oximos s˜ao correlacionados, e o tempo de espera entre deslocamentos suscessivos de uma da part´ıcula n˜ao s˜ao independentes. Por estas raz˜oes, a rela¸c˜ao entre a quantidade de pulos e a fra¸c˜ao de s´ıtios ativos envolve efeitos sutis, diferente nos dois modelos estudados. Apesar disso ´e razo´avel esperar que para p → pc,
a rela¸c˜ao de escala da constante de difus˜ao e a fra¸c˜ao de s´ıtio ativos sejam parecidos, ou seja, devemos esperar que D e ρ sejam governados pelo mesmos expoentes cr´ıticos na transi¸c˜ao de fase.
Figura 2.1: Exemplo de uma configura¸c˜ao t´ıpica que acontece no modelo II. As part´ıculas em azul ou branco pertencem ao s´ıtio, e em vermelho indica uma configura¸c˜ao n˜ao permitida devido a restri¸c˜ao do modelo, logo o excesso ´e devolvido ao s´ıtio de origem. a) e b) Difus˜ao total. c) a e) Difus˜ao parcial. f) N˜ao ocorre difus˜ao.
Com as regras estabelecidas para a difus˜ao de part´ıculas na rede, simulamos os modelos I e II com condi¸c˜oes peri´odicas para redes de quatro tamanhos L = 6 250, 12 500, 25 000, e 50 000, usando oito amostras independentes para o menor tamanho, seis para L = 12 500, e quatro para os demais tamanhos. Usamos 11 valores diferentes de p, entre o pc e p = 2.
As simula¸c˜oes foram at´e um tempo m´aximo de 106 `a 6 × 109 para pontos pr´oximos do
ponto cr´ıtico. Tamb´em usamos caixas logar´ıtmicas na an´alise de dados.
Inicialmente, analisamos a evolu¸c˜ao temporal do deslocamento quadr´atico m´edio das part´ıculas, equa¸c˜ao 2.6.
h[∆xj(t)]2i ∝ tγ (2.6)
Este comportamento nos permite caracterizar o tipo de difus˜ao [101, 102]. A difus˜ao usual ´e quando o deslocamento quadr´atico ´e proporcional ao tempo (γ = 1), e n˜ao-linear (difus˜ao anˆomala) quando γ < 1, ou γ > 1. Neste caso temos o processo de difus˜ao anˆomala subdifusivo, ou superdifusivo, respectivamente. Para os dois modelos que estu- damos, analisamos a evolu¸c˜ao temporal do deslocamento quadr´atico usando trˆes valores diferentes de p (fizemos a m´edia sobre 4 amostras) para L = 50 000. O primeiro corres- ponde ao comportamento subdifusivo das part´ıculas no regime inicial (linha tracejada das figuras 2.2 e 2.3) que segue um comportamento com γ = 0, 86(1). Neste caso ocorre um crescimento lento do desvio quadr´atico m´edio, que se acentua quando p → pc, ou seja,
quanto mais pr´oximo do ponto cr´ıtico, maior o intervalo que ocorre a difus˜ao anˆomala. O segundo corresponde a regi˜ao estacion´aria, que comentaremos adiante, confirmando que h[∆xj(t)]2i cresce linearmente com t (linha cont´ınua das figuras 2.2 e 2.3), o que confirma
a rela¸c˜ao 2.5. O tempo de simula¸c˜ao para obter o comportamento linear de h[∆xj(t)]2i
Figura 2.2: Comportamento do deslocamento quadr´atico m´edio versus tempo no modelo I, para (da esquerda para direita) p = 1, 94894; 0, 95568; e 0, 94898. Temos dois comportamen- tos distintos, no in´ıcio, subdifusivo (linha tracejada), e no regime estacion´ario, linear (linha cont´ınua).
Figura 2.3: < (∆xj)2 > versus t no modelo II para (da esquerda para direita) p =
0, 95568; 0, 94898; e 1, 94898. Novamente, temos dois comportamentos distintos, subdifusivo (linha tracejada), e linear (linha cont´ınua).
Para estudar as propriedades cr´ıticas dos modelo citados anteriormente, obtemos os valores de D e ρ no regime estacion´ario, ou seja, intervalo delimitado pela reta na figura 2.4.
Figura 2.4: Comportamento de D e ρ versus t. O regime estacion´ario compreende a regi˜ao delimitada pela reta.
Os nossos dados confirmam que o tempo de regime estacion´ario de D ocorre depois do tempo de ρ, e que o desvio padr˜ao do primeiro ´e menor que o do segundo. Este regime corresponde a tempo longos quando estamos bem pr´oximos do ponto cr´ıtico, e devido a este fato, nas nossas simula¸c˜oes, sempre ap´os um determinado intervalo de tempo, guardamos as vari´aveis relevantes do programa em um arquivo com o objetivo de reiniciar a simula¸c˜ao. Isto acontece quando n˜ao tivermos s´ıtios ativos no sistema (ρ = 0), fato que acontece principalmente em pontos pr´oximos do ponto cr´ıtico. O arquivo tamb´em pode minimizar o preju´ızo numa eventual falta de energia el´etrica, ou problema no computador. Nas figuras 2.5 e 2.6, mostramos o comportamento da constante de difus˜ao D, e nas figuras 2.7 e 2.8, para ρ, em fun¸c˜ao de ∆ = p − pc, para os modelos I e II respectivamente.
Figura 2.5: Constante de difus˜ao D no regime estacion´ario versus ∆ = p − pc no modelo I para
os tamanho indicados.
Figura 2.7: Fra¸c˜ao de s´ıtios ativos ρ no regime estacion´ario versus ∆ no modelo I para os tamanhos indicados.
Na figura 2.6, D muda de comportamento quando p se aproxima de 2, ou seja, as part´ıculas tem mais dificuldade de se moverem com altas densidades. As figuras 2.5, 2.6, 2.7 e 2.8 mostram alguns aspectos interessantes, dentre os quais citamos os tamanhos que estudamos aqui, D colapsa (L → ∞) para o valor de ∆ ≥ 0.0025.
Observando a figura 2.9 perto da transi¸c˜ao, notamos que D e ρ s˜ao bastante parecidos no modelo I, enquanto que no modelo II s˜ao proporcionais. ´E evidente que nem ρ nem D podem ser caracterizados como uma lei de potˆencia simples, uma observa¸c˜ao j´a feita para o parˆametro de ordem no modelo II em [94].
Figura 2.9: ρ (s´ımbolos abertos) e D (s´ımbolos cheios) versus ∆ nos modelos I (quadrados) e II (circulos), para L = 50 000.
Para os tamanhos estudados neste trabalho, n˜ao existe uma diferen¸ca entre os tama- nhos para p − pc ≥ 0.0025, ou seja, n˜ao exibem efeitos de tamanho finito. Desde que
D(∆) e ρ(∆) n˜ao sigam uma simples lei de potˆencia, n˜ao existe possibilidade de manter o data colapso usando a t´ecnica tradicional de escalas de tamanho finitos, ou seja, plotando ρ∗ = Lβ/ν⊥ρ versus ∆∗ = L1/ν⊥∆. Como mencionado na referˆencia [94], um data colapso
pode ser somente alcan¸cado pr´oximo do ponto cr´ıtico, isto ´e, ∆ ≤ 0.0025. Nas figuras 2.10 e 2.11 mostramos o colapso de dados de D para os modelos I e II, respectivamente.
Figura 2.10: Constante de difus˜ao modificada D∗ = Lβ/ν⊥D versus distˆancia do ponto cr´ıtico
modificada ∆∗= L1/ν⊥∆ para o modelo I para os tamanhos indicados.
Figura 2.12: Fra¸c˜ao de s´ıtios ativos modificado ρ∗ = Lβ/ν⊥ρ versus distˆancia do ponto cr´ıtico
modificada ∆∗= L1/ν⊥∆ no modelo I para os tamanhos indicados.
Na tabela 2.1 mostramos os expoentes e os pontos cr´ıticos que melhor ajustaram os colapsos de D e ρ. Os valores dos expoentes cr´ıticos s˜ao consistentes com as melhores esti- mativas obtidas na referˆencia [94], como tamb´em os valores de pc, presente nas referˆencias
[98] para o modelo I, e [94], para o II.
Modelo β ν⊥ pc
I 0, 289 1, 35 0,9488 II 0, 285 1, 355 0,92976
Tabela 2.1: Tabela com os expoentes e pontos cr´ıticos usados nos colapsos de dados mostrados anteriormente.
A partir dos valores dos expoentes, podemos afirmar, com uma certa precis˜ao, que os modelos I e II pertencem a mesma classe de universalidade, e que D e ρ exibem as mesmas propriedades cr´ıticas.
Estudaremos o comportamento do h[∆x]2i, D e ρ no regime de tempos curtos no
ponto cr´ıtico pc. Inicialmente estudaremos o comportamento do deslocamento quadr´atico
m´edio neste regime (h[∆x]2i ∝ tγ) com esta densidade. Quando distribu´ımos aleatoria-
mente as part´ıculas na rede, temos um comportamento subdifusivo, ou seja, γ = 0, 86(1) como mostramos no in´ıcio desta se¸c˜ao. Quando iniciamos o sistema com apenas um s´ıtio ativo, obtemos um comportamento superdifusivo, ou seja, γ = 1, 95(1). Na figura 2.14 mostramos estes dois comportamentos, subdifusivo (linha cont´ınua) e superdifusivo (linha tracejada).
Figura 2.14: Deslocamento quadr´atico m´edio h[∆x]2i versus t para diferentes configura¸c˜oes iniciais. Distribuindo as part´ıculas aleatoriamente (linha cont´ınua), obtemos um comportamento subdifusivo, e com um s´ıtio ativo (linha tracejada), um comportamento superdifusivo.
A partir de agora, vamos fazer algo bem parecido com o que fizemos anteriormente para o ACDK e PC. Quando iniciamos o sistema distribuindo as part´ıculas aleatoriamente, o parˆametro de ordem exibe um decaimento seguindo uma lei de potˆencia, ρ ∼ t−β/νk,
no ponto cr´ıtico, antes de atingir o valor quase-estacion´ario, independente do tamanho utilizado. ´E interessante saber se D e ρ exibem comportamentos similares, nos modelos estudados. Nossos resultados para L = 50 000, mostrados na figura 2.15, confirmam que ρ e D decaem com o expoente β/νk = 0, 153(5) para o modelo II. No modelo I tamb´em
Figura 2.15: Decaimento inicial da Fra¸c˜ao de s´ıtios ativos (quadrado) e da constante de difus˜ao (c´ırculo) no ponto cr´ıtico para o modelo II quando distribu´ımos as part´ıculas aleatoriamente para L = 50 000.
Tamb´em simulamos a propaga¸c˜ao de atividade no tempo. Neste caso a configura¸c˜ao inicial possui somente um s´ıtio ativo (duas part´ıculas), e as N −2 restantes s˜ao distribu´ıdas aleatoriamente somente em s´ıtios vazios na rede. No PC e ACDK, iniciando com um s´ıtio ativo, o parˆametro de ordem cresce seguindo uma lei de potˆencia (ρ(t) ∼ tθ). Nas pilhas
de areia para esta configura¸c˜ao inicial, D and ρ seguem aproximadamente a mesma lei de potˆencia, com um expoente θ = 0, 35(1), como ´e mostrado na figura 2.16 para o modelo II. Resultado an´alogo tamb´em obtemos no modelo I.
Figura 2.16: Crescimento inicial da fra¸c˜ao de s´ıtios ativos (quadrados) e da constante de difus˜ao (c´ırculos) no ponto cr´ıtico para o modelo II quando iniciamos com um s´ıtio ativo para L = 50 000.
Mostramos no cap´ıtulo 1 que o expoente de crescimento se relaciona com o tripleto (β; νk; ν⊥) atrav´es da rela¸c˜ao θ = 1z− 2νβ
k, onde z =
νk
ν⊥. Usando os valores anteriormente,
e z = 1.50(4) obtido na referˆencia [94], isto nos fornece um valor de θ = 0, 36(3), que ´e consistente com nossa estimativa num´erica.
2.4
Conclus˜oes
Mostramos neste cap´ıtulo um aspecto das pilhas de areia que tem recebido pouca aten¸c˜ao na literatura, a difus˜ao de part´ıculas nos modelos N˜ao-restrito e Restrito das pilhas de areia conservativas cuja dinˆamica envolve a transferˆencia de part´ıculas entre os seus primeiros vizinhos. Os resultados das nossas simula¸c˜oes Monte Carlo mostraram que a contante de difus˜ao D, definida atrav´es da rela¸c˜ao h(∆x)2i = 2Dt, onde ∆x ´e o desloca-
mento de cada gr˜ao, possui um comportamento de escala similar ao do parˆametro de ordem ρ, ou seja, a constante de difus˜ao pode ser usada para estudar as propriedades cr´ıticas desses modelos. Tamb´em estudamos o comportamento do deslocamento quadr´atico da posi¸c˜ao no tempo e observamos que a configura¸c˜ao inicial e o valor de p influencia no comportamento desta vari´avel, de modo que podemos ter uma difus˜ao anˆomala no regime inicial, e difus˜ao normal no regime estacion´ario. Nossos resultados confirmam que ambos os modelos pertencem a classe de universalidade da PDC, conforme j´a previa os resulta- dos num´ericos atrav´es da equa¸c˜ao de Langevin. Parte destes resultados foi publicado no peri´odico ”The European Physical Jounal B”[103].
Cap´ıtulo 3
Percola¸c˜ao Geogr´afica
3.1
Introdu¸c˜ao
Fractal ´e uma id´eia bastante difundida nos dias atuais com aplica¸c˜oes nas mais diver- sas ´areas da ciˆencia. No in´ıcio do s´eculo XX, ele foi definido num contexto puramente matem´atico que ia al´em das curvas e superf´ıcies regulares da Geometria Euclideana. A palavra fractal tem origem no latim que significa irregular ou quebrado [102, 104], e sua defini¸c˜ao formal foi criada pelo matem´atico francˆes B. B. Mandelbrot [102, 105], que mostrou a relevˆancia da Geometria Fractal na natureza, presente no formato das nuvens, montanhas, rios, litorais, ´arvores, sistema circulat´orio, tecido pulmonar, relevos, bacias hidrogr´aficas, etc. Quando observamos estas estruturas, notamos que elas cont´em formas irregulares, e ´e justamente estas formas que iremos estudar no cap´ıtulo desta tese, ou seja, a geometria fractal das linhas divis´orias ou fronteiras que est˜ao presentes em estruturas artificiais e naturais. As linhas divis´orias se aplicam em v´arias ´areas, como iremos co- mentar adiante. Uma das aplica¸c˜oes das linhas divis´orias s˜ao as fronteiras geogr´aficas de pa´ıses, estados ou cidades, que usam, em muitos casos, estruturas naturais, por exemplo, o Rio S˜ao Francisco, antes de chegar no oceano Atlˆantico divide parte dos estados de Pernambuco (PE) e Bahia (BA), e os estados de Sergipe (SE) e Alagoas (AL) na regi˜ao Nordeste do Brasil, como podemos ver na figura 3.1,
Figura 3.1: Parte da Bacia do Rio S˜ao Francisco na regi˜ao Nordeste do Brasil. Este rio separa parte do estado de Pernambuco (PE) e Bahia (BA), e os estados de Sergipe (SE) e Alagoas (AL).
Um dos trabalhos pioneiros em rela¸c˜ao ao estudo de fronteiras foi feito pelo inglˆes L. Richardson em 1961 na tentativa de medir o comprimento de v´arias costas mar´ıtimas, incluindo a costa da Inglaterra, e ele percebeu que o comprimento aparente da costa parecia crescer sempre que o comprimento do instrumento de medida era reduzido, como podemos ver na figura 3.2. Em 1967, Mandelbrot publicou o trabalho ”How Long Is
the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension” [106], onde
discute os resultados de Richardson mostrando que as costas e outras fronteiras geogr´aficas possuem caracter´ısticas auto-similares.
Tamb´em podemos usar as linhas divis´orias como divisor de ´agua numa montanha, onde a ´agua pode ir para diferentes rios e/ou mares. ´E o que acontece, por exemplo, nas cordilheiras do Andes na Am´erica do Sul, quando as suas geleiras come¸cam a se derreter uma gota de ´agua pode parar no oceano Atlˆantico, ou no Pac´ıfico. Al´em de aplica¸c˜oes na geografia, as linhas divis´orias tamb´em se aplicam na Geomorfologia re- presentando uma fun¸c˜ao importante no manejo de ´agua [107, 108, 109], deslizamento de terra [110, 111, 112, 113], e na preven¸c˜ao de enchentes [112, 114, 115]. Tamb´em temos aplica¸c˜oes importantes em ´areas aparentemente n˜ao correlaciondas tais como pro- cessamento de imagens [116, 117, 118], e na Medicina [119, 120, 121, 122, 123]. J´a no processamento de imagens existe um grande interesse no desenvolvimento de algoritmos eficientes com o objetivo de simplificar e/ou mudar a representa¸c˜ao da visualiza¸c˜ao destas imagens atrav´es de segmenta¸c˜ao, por exemplo, divide-se a imagem em pequenos quadra- dos (conjunto de pixels, tamb´em conhecidos como superpixels). O resultado s˜ao formas e fronteiras mais evidentes, atrav´es de caracter´ısticas visuais como cor, intensidade ou textura. Desta forma diferenciamos com mais facilidade regi˜oes adjacentes [118]. Mui- tos m´etodos usam essa forma de visualiza¸c˜ao tais como ”clustering”, histogramas [124], ”edge-detection”[125], crescimento de regi˜oes [116], curvas de n´ıveis [126], e tamb´em na topologia com transforma¸c˜ao da imagem em escalas de cores atrav´es da eleva¸c˜ao digital de imagens (DEM - Digital Elevation Maps), ou seja, cada intervalo de altura tem uma respectiva cor, como podemos ver na figura 3.3 as diferentes alturas deste relevo artificial em rela¸c˜ao a uma altura padr˜ao.
Ge´ografos e geomorfologistas estudam as linhas divis´orias h´a muito tempo. Proprieda- des fractais tamb´em foram observados nas fronteiras [127], mas os estudos foram restritos `a sistemas pequenos e os resultados foram inconclusivos. Apesar destas linhas encon- trarem aplica¸c˜oes nas mais distintas ´areas, at´e o momento n˜ao t´ınhamos nenhum estudo te´orico ou num´erico sobre o assunto. Para estudar estas linhas, desenvolvemos um modelo inspirado na teoria da Percola¸c˜ao que chamamos de ”Percola¸c˜ao Geogr´afica” (PG). Apresentamos este novo modelo na pr´oxima se¸c˜ao, e nas se¸c˜oes seguintes, mostraremos o algoritmo usado, e logo ap´os mostraremos os nossos resultados em 2-D e 3-D, e compara- mos com dados reais (Alpes e Himalaia) para o caso bidimensional.
Figura 3.3: Relevo artificial criado no software Surfer a partir dos dados percola¸c˜ao Geogr´afica em 3-D. As cores representam diferentes alturas em rela¸c˜ao a uma altura de referˆencia.