Modelos com Correlações

Conforme vimos na seção anterior, a DA é um processo completamente descor- relacionado, ou seja, a partícula é depositada no sítio sorteado, independentemente das alturas dos sítios vizinhos. Uma maneira de introduzir correlações no sistema é permitir a relaxação superficial: sorteamos um sítio i, depositamos uma partícula e permitimos que ela relaxe, procurando a posição de menor altura, dentre os primeiros vizinhos do sítio sorteado (i + 1, i − 1). Se o sítio sorteado for um mínimo local, ou se hi = hi−1 = hi+1, a partícula é fixada imediatamente.

Esse modelo é conhecido como Deposição Aleatória com Relaxação Superficial (DARS) e sua dinâmica faz com que o perfil gerado seja mais suave ao longo do processo como pode ser observado na figura 15. O modelo em rede da DARS foi introduzido por Family [39] como uma representação simplificada de processos de deposição de vapor em substratos com baixas temperaturas.

Outro processo correlacionado é a Deposição Aleatória com Recusa (DAR) que foi introduzido por Kim e Kosterlitz [40] em 1989 e consiste em evaporar imediatamente a partícula que foi depositada em um sítio que corresponde a um máximo local.

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Figura 15: Perfis gerados pela DARS. A cada 10 camadas depositadas a cor das partículas é trocada. Note que os perfis são bem mais suaves que na DA e novamente ocorre a conservação da altura média [1].

diferença de alturas. A regra de evolução é a seguinte: escolhemos um sítio i ao acaso e, quando a condição de restrição da diferença de alturas entre o sítio escolhido e seus vizinhos,

|∆h| ≤ M, (M > 0)

(onde M é a maior diferença de altura permitida entre sítios vizinhos), for satisfeita, uma partícula é depositada na coluna do sítio sorteado, hi → hi+ 1. Caso contrário,

essa partícula é recusada. Neste modelo, a diferença de alturas encontrada na inter- face fica restrita pelo valor do parâmetro M , o que leva a uma suavização da interface para pequenos valores de M . Para M → ∞, esse modelo torna-se o de deposição aleatória [32].

O modelo DAR apresenta uma interface muito mais lisa que as obtidas no mo- delo de deposição aleatória para tempos longos, de forma que, para tempos iniciais, quando as diferenças de alturas são menores que o parâmetro M , a deposição ocorre obedecendo as restrições do parâmetro M diferente da deposição aleatória. Após um tempo característico tc, a restrição na diferença de alturas governa o processo de

DAR, levando ao aparecimento de correlações entre sítios [32]. É importante destacar também que altura média da interface cresce com uma velocidade inferior à taxa de deposição, pois as partículas podem evaporar antes de serem depositadas.

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rede e solta-se uma partícula, que cai verticalmente em direção ao substrato e se fixa imediatamente ao alcançar o agregado. Essa regra de evolução permite que partículas se fixem lateralmente à interface, formando lacunas, como pode ser visto na figura 16 [32]. A rugosidade possui o mesmo comportamento observado na DAR, porém a estrutura produzida por esta dinâmica não é compacta e a velocidade de crescimento supera a taxa de deposição de partículas [12].

Figura 16: Perfil gerado pela deposição de 35000 partículas sobre um substrato de tamanho L = 200, utilizando a dinâmica de DB. A cada 2500 partículas depositadas, sua cor é trocada. Podemos observar que a estrutura produzida não é compacta. Retirada de [13].

O último modelo tratado é a Deposição Aleatória com Difusão (DAD) ilustrado na figura 17. Ele foi proposto por Wolf e Villain [41] em 1990, com o objetivo de des- crever processos de deposição de vapor nos quais as forças de ligação na superfície são predominantes. Das Sarma e Tamborenea [42], independentemente, propuseram em 1991 um modelo similar ao de Wolf-Villain, no qual a partícula procura apenas aumentar o seu número de ligações.

Nesse modelo a partícula é depositada aleatoriamente numa posição i e procura, dentre os sítios i, i + 1, i − 1, maximizar seu número de ligações com a interface, difundindo para o sítio vizinho com o maior número de ligação, como mostra a figura 18 à esquerda. Dessa forma a partícula escolhe um mínimo local onde fixa-se per-

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Figura 17: Perfil típico produzido pelo processo de DAD num substrato de tamanho L = 120. Podemos observar que esta dinâmica gera degraus, com grandes diferenças de altura entre primeiros vizinhos. Retirado de [41].

manentemente [12, 32]. Já no modelo Das Sarma e Tamborenea (DT) as partículas adicionadas ao acaso procuram aumentar seu número de ligações difundindo para a vizinhança somente quando possuem apenas uma ligação - figura 18, à direita. Em ambos os modelos, quando as partículas não conseguem maximizar ou aumentar seu número de ligações, elas permanecem fixas ao sítio de deposição. A deposição aleatória com difusão gera perfis de altura muito mais suaves que o modelo de de- posição aleatória.

Em geral, nos modelos SOS (solid-on-solid ) onde a difusão superficial é um dos mecanismos físicos responsáveis pela suavização da interface, a evaporação de ma- terial e a formação de lacunas (no interior da interface) são desprezadas. Como mo- delos que seguem tais premissas podemos citar Wolf e Villain (WV) [41], Das Sarma e Tamborenea (DT) [42], DAR, DARS entre outros.

A morfologia das interfaces geradas por esses modelos surpreende. Nelas, ao contrário do esperado, aparecem platôs e vales separados por grandes degraus (figura 19) [32].

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Figura 18: À esquerda temos a evolução para o modelo de Wolf-Villain e à direita para Das Sarma-Tamborenea. Retirado de [32].

Figura 19: Perfil gerado para os modelos de WV, à esquerda e DT, à direita. As partículas depositadas difundem para maximizar ou aumentar o número de ligações logo após a deposição. Retirado de [32].

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EQUAÇÕES ESTOCÁSTICAS DE

CRESCIMENTO

O estudo dos modelos de deposição descritos no capítulo 4 pode ser realizado de duas maneiras: implementando um algoritmo computacional que simule suas princi- pais características ou utilizando uma abordagem de equações diferenciais estocásti- cas, conhecidas como equações de Langevin, que fornecerão os diferentes expoentes críticos de cada modelo. Cada termo da equação estocástica deve ser relacionado a um processo físico presente durante a evolução da interface [32]. Além disso, cada termo define uma classe de universalidade e, quando aparece mais que um termo em uma equação, dizemos em geral que a UC dessa é a do termo dominante [32]. Utilizaremos o caso simples da DA para introduzir o método que, em seguida, será generalizado para os outros modelos, a partir de princípios de simetria.