AUTÔMATO CELULAR COM PROBABILIDADES DE TRANSIÇÃO DEPENDENTES DA ALTURA PARA O ESTUDO DO CRESCIMENTO DE SUPERFÍCIES

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Marcela Richele Ferreira

AUTÔMATO CELULAR COM

PROBABILIDADES DE TRANSIÇÃO

DEPENDENTES DA ALTURA PARA O ESTUDO

DO CRESCIMENTO DE SUPERFÍCIES

Dissertação submetida ao Programa de Pós-graduação em Modelagem Matemá-tica e Computacional - DPPG/CEFET-MG, como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática e Computacional.

Área de concentração:

Métodos Matemáticos Aplicados

Orientador:

Prof. Dr. Allbens Atman Picardi Faria

DPPG-CEFET-MG

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL DO CEFET-MG

Belo Horizonte – MG Dezembro, 2009

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Livros Grátis

http://www.livrosgratis.com.br

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Agradecimentos

A realização deste trabalho só foi possível mediante a contribuição de muitas pes-soas. A elas, gostaria de deixar algumas palavras de reconhecimento.

Inicialmente, agradeço ao professor Allbens, pela confiança, orientação, paciência e amizade;

Aos meus pais, pela dedicação, proteção e apoio sem os quais esse momento não seria possível;

Aos meus irmãos, Ricardo, Belle e Mi, pelo amor e apoio fraterno;

Ao meu namorado, Rogério, pela paciência, carinho e compreensão nos momen-tos difíceis;

Aos colegas do CEFET-MG pela amizade, companheirismo e momentos de des-contração;

Aos demais amigos e familiares pelo incentivo e amizade, mesmo com o abandono que o mestrado exige;

Aos professores e funcionários do CEFET-MG pelos diversos auxílios; Ao CEFET-MG pelo suporte financeiro.

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Resumo

Modelos de deposição de partículas têm atraído grande interesse dos pesquisa-dores ao longo dos anos tanto em abordagens utilizando simulações, como em ex-perimentos desenvolvidos para aplicá-los. Atenção particular tem sido dedicada ao estudo de equações contínuas de crescimento estocásticas. Embora um panorama de classes de universalidade (UC) já tenha sido proposto, baseado nas simetrias das equações de crescimento, a associação de um modelo de deposição específico, ou um dado experimento, a uma UC é ainda uma tarefa muito difícil. Neste trabalho, propomos um novo modelo de Autômato Celular Probabilístico (PCA) onde as proba-bilidades de transição dependem do perfil local das alturas. Deste modo, as regras de transição consideradas são definidas de acordo com as interações entre três vizinhos: as diferenças de altura à direita e à esquerda do sítio central são usadas para cons-truir os parâmetros de simulação ri e li: ri(t) = hi(t) − hi+1(t)e li(t) = hi(t) − hi−1(t),

onde hi(t)é a altura do sítio i no tempo t. Com essa definição temos seis parâmetros:

três deles são mantidos fixos e os outros são usados como parâmetros de controle. Dependendo dos valores dos parâmetros obtemos morfologias diferentes e expoentes críticos em diferentes UC’s.

PALAVRAS-CHAVE: Autômatos Celulares Probabilísticos; Fractais; Modelos de De-posição; Superfície Rugosa.

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Abstract

Particle deposition models have attracted great interest in the last years. Simula-tions and experimental approaches have been developed to study them, and particular attention has been paid to the study of continuous stochastic growth equations, dis-crete deposition models and analysis of experimental data. Although a panorama of universality classes (UC) has already been proposed, based on the symmetries of the stochastic growth equations, the association of a specific deposition model or a particular experiment to an UC still is a very difficult task. In this work, we propose a new probabilistic cellular automata where the transition probabilities depend on the local height profile. Thus, the probabilities are defined according to the interactions between three neighbours; the difference of height to the right and to the left of the central site are used to draw the simulation parameters ri e li: ri(t) = hi(t) − hi+1(t)

and li(t) = hi(t) − hi−1(t), respectively, where hi(t)is the height of the site i at time t.

Three of them are kept steady and the others are employed as control parameters. De-pending on the values of the parameters, different morphologies and critical exponents, which determine various UC’s, are obtained.

KEY–WORDS: Probabilistic Cellular Automata; Fractals; Deposition Model; Surface Roughening.

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Lista de Figuras

1 Triângulo de Pascal . . . p. 16 2 Estados possíveis de um DCA . . . p. 18 3 Regra 90 . . . p. 19 4 Representação da Regra 90 . . . p. 20 5 Padrões espácio-temporais . . . p. 21 6 Percolação . . . p. 25 7 Percolação Direcioada . . . p. 27 8 Percolação Direcionada Compacta . . . p. 28 9 Exemplos de Fractais . . . p. 29 10 Estrutura Fractal . . . p. 31 11 Função auto-afim . . . p. 34 12 Conjunto de Cantor . . . p. 35 13 Triângulo de Sierpinski . . . p. 36 14 Deposição Aleatória . . . p. 41 15 Deposição Aleatória com Relaxação Superficial . . . p. 42 16 Deposição Balística . . . p. 43 17 Deposição Aleatória com Difusão . . . p. 44 18 Modelo de Wolf-Villain . . . p. 45 19 Perfil gerado para os modelos de WV . . . p. 45 20 Obtenção de uma curva auto-afim . . . p. 47 21 Comportamento temporal da rugosidade . . . p. 48 22 Variação da rugosidade de acordo com o tamanho do sistema . . . . p. 49

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23 Determinando o valor de α . . . p. 50 24 Determinando o valor de z . . . p. 51 25 Anel de L sítios . . . p. 61 26 Representação de Interfaces . . . p. 62 27 Novo modelo de PCA . . . p. 63 28 Evolução da Rugosidade . . . p. 65 29 Evolução da rugosidade para probabilidade fixa . . . p. 66 30 Expoente de rugosidade . . . p. 67 31 Expoente dinâmico . . . p. 68 32 Processo de Colapso . . . p. 69 33 Diagrama de Fase . . . p. 69 34 Mapeamento das UC’s . . . p. 70 35 Diagrama de Fase com βw determinado . . . p. 70

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Lista de Abreviaturas e Siglas

CA Autômato Celular

CDP Percolação Direcionada Compacta d Dimensão Euclidiana

dt Dimensão Topológica DA Deposição Aleatória

DAD Deposição Aleatória com Difusão DAR Deposição Aleatória com Recusa

DARS Deposição Aleatória com Relaxação Superficial DB Deposição Balística

DCA Autômato Celular Determinístico DKCA Autômato Celular de Domany-Kinzel DP Percolação Direcionada

DT Das Sarma e Tamborenea EW Edwards Wilkinson

H Expoente de Hust KK Kim e Kosterlitz

KPZ Kardar, Parisi e Zhang

PCA Autômato Celular Probabilístico SOS solid-on-solid

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Sumário

1 INTRODUÇÃO p. 11

2 AUTÔMATOS CELULARES p. 15

2.1 Definições . . . . p. 16

2.2 Autômatos Celulares Determinísticos . . . . p. 17

2.3 Autômatos Celulares Probabilísticos . . . . p. 22

2.4 Percolação . . . . p. 24

3 GEOMETRIA FRACTAL p. 29

3.1 Definição . . . . p. 29 3.2 Dimensão Fractal . . . . p. 30

3.3 Auto-similaridade e Auto-afinidade . . . p. 32

4 CRESCIMENTO DE INTERFACES RUGOSAS p. 37

4.1 Geometria de Superfícies Rugosas . . . . p. 37

4.2 Modelos Discretos . . . . p. 40 4.2.1 Deposição Aleatória . . . . p. 40 4.2.2 Modelos com Correlações . . . . p. 41

5 EQUAÇÕES ESTOCÁSTICAS DE CRESCIMENTO p. 46

5.1 Leis de Escala e de Potência . . . . p. 46

5.2 Equações Estocásticas de Crescimento . . . . p. 51

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5.4 Equações Lineares . . . . p. 54

5.5 Equações Não-lineares . . . p. 57

5.6 Classes de Universalidade . . . p. 58

6 APLICAÇÃO: PCA DEPENDENTE DO PERFIL DE ALTURAS p. 60

6.1 Modelo . . . . p. 61 6.2 Metodologia . . . . p. 63 6.3 Resultados . . . . p. 65 7 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS p. 72 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS p. 73 Anexo A -- PROGRAMA p. 76

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1 INTRODUÇÃO

Desde sua origem, em meados do século XIX, a Física Estatística tem desempe-nhado um papel fundamental na descrição, compreensão e concepção dos fenômenos naturais. Originalmente criada para tratar sistemas onde o número de variáveis era ex-cessivamente grande, a disciplina experimentou um notável desenvolvimento a partir da segunda metade do século XX, devido em grande parte ao advento dos computa-dores. Desde então, a Mecânica Estatística tornou-se a principal ferramenta para lidar com a complexidade em diversos sistemas, e a Simulação Computacional se firmou como uma nova ênfase na Física, ao lado da Teoria e do Experimento [1].

Nas últimas décadas do século XX cresceu o interesse pela dinâmica de sistemas complexos. Uma das propriedades marcantes de tais sistemas é a presença de leis de escala e leis de potência que são observadas em diversos contextos. Conceitos como criticalidade auto-organizada, auto-similaridade, fractais e leis de potência passaram a fazer parte da linguagem da física contemporânea.

Os fenômenos críticos, que ocorrem geralmente em sistemas que se encontram fora do equilíbrio, apresentam comportamento singular na região crítica, com divergên-cias assintóticas caracterizadas por expoentes críticos. O comportamento das gran-dezas termodinâmicas próximas a um ponto crítico apresenta caráter universal, ca-racterizado pelos mesmos valores de expoentes críticos [2] e várias técnicas foram desenvolvidas para se estudar a vizinhança desses pontos críticos. Os resultados das experiências, bem como diversos outros resultados teóricos, apontavam para a exis-tência de classes de universalidade, definidas por alguns poucos expoentes críticos diferentes dos valores clássicos [3].

Na década de 1970 essas idéias foram incorporadas na teoria do grupo de renor-malização, proposta por Kenneth Wilson. Foram então justificadas as leis de escala e a universalidade dos expoentes críticos, trabalho que rendeu um prêmio Nobel a Wil-son. A universalidade e o caráter peculiar da criticalidade são fatos bem conhecidos

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1 INTRODUÇÃO 12

da física há mais de um século [2].

Trabalhos teóricos em criticalidade utilizam modelos simples que podem ser es-tudados analiticamente ou via simulações computacionais. Entender o estado crítico em sistemas que pertencem a determinada classe leva-nos à compreensão de todos os demais sistemas dessa classe, pois o princípio da universalidade permite-nos sele-cionar os modelos matemáticos mais simples possíveis, desde que consigam abranger todas as características essenciais aos fenômenos. Esses modelos levam a leis de escala que revelam ordem e simplicidade por trás da complexidade, e também conec-tam pequenas e grandes flutuações. Eventos raros não precisam ter causa específica e podem aparecer a qualquer momento; o que causa um pequeno efeito em uma ocasião pode iniciar uma mudança devastadora em outra situação [2].

É natural pensar que, para se atingir pontos críticos, seja necessária alguma in-tervenção externa. Porém, às vezes essa criticalidade é atingida espontaneamente pela natureza, fenômeno denominado criticalidade auto-organizada. Esta parece sur-gir quando as partes de um sistema afastam-se lentamente do estado de equilíbrio, e onde as ações de cada parte individual são dominadas pelas interações com as de-mais partes do sistema. Como exemplo, podemos citar preços de mercadorias, que parecem se comportar desordenadamente em um curto prazo, embora tendências se-jam comuns quando o horizonte de tempo observado é longo. Diante disso, um certo economista de Harvard, chamado Hendrik Houtahkker, recorreu a uma distribuição gaussiana para estudar oito anos de variações no preço do algodão [2]. Ele constatou que a curva não se ajusta perfeitamente à distribuição normal. Estranhamente, ela se alonga em vez de cair rapidamente. Após um seminário no Departamento de Econo-mia de Harvard, Benoit Mandelbrot reconheceu que sua figura apresentada era bem parecida com a curva exposta por Houtahkker. Mandelbrot resolveu então estudar a mesma base de dados para mais de um século do preço do algodão e percebeu que havia simetria em pequenas e grandes escalas. Variações diárias assemelhavam-se a variações mensais. Isto sugeria que as sequências de variações independem da escala, indicando a presença de leis de potência, descobrindo-se assim um padrão onde se pensava existir apenas aleatoriedade. Mandelbrot concluiu que algo como o "Conjunto de Cantor” poderia capturar o que estava ocorrendo com o preço do algo-dão, mostrando que não havia escala característica. Era até então incomum observar um conjunto levando-se em conta sua dimensão. Na visão euclidiana, um cubo tem dimensão 3 porque apresenta largura, comprimento e altura; uma folha de papel pos-sui dimensão 2 porque tem largura e comprimento; um fio tem dimensão 1 por apenas

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ter comprimento; e um ponto tem dimensão 0 pois não apresenta nenhuma dessas características. Mas quando se pensa em outras formas da natureza como o contorno de uma folha de árvore, do litoral, de uma montanha, de um fragmento de rocha, a geometria euclidiana não parece ser adequada para uma boa descrição. Afinal, como Mandelbrot observa, "nuvens não são esferas e montanhas não são cones" [4].

Em um artigo intitulado "How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension" [5], Mandelbrot discute como mensurar formas irregulares como o litoral. Ele foi além das dimensões inteiras 0, 1, 2 e 3, e utilizou dimensões fracionárias. Daí surgiu o conceito de fractal. Mandelbrot descobriu que esse grau de irregularidade permanecia constante, no litoral britânico, qualquer que fosse a escala utilizada. Isto significa que, seja de perto ou de longe, os padrões de forma são os mesmos. Exatamente como nos preços do algodão, havia um padrão na irregulari-dade. Esta é uma das principais características dos fractais: a auto-semelhança [4].

O estudo de algumas dessas formas irregulares complexas só foi possível através de modelos computacionais. A importância do uso de modelos aparece como uma forma de representar, explicar e entender o mundo ao nosso redor. No decorrer da história, foram criados muitos modelos de madeira, papel, metal, expressões matemáti-cas e sistemas teóricos. Recentemente, os computadores têm fornecido um novo meio para construir, analisar e descrever modelos mais sofisticados e complexos, incapazes de serem produzidos com os materiais postos à disposição pela natureza e pela ciên-cia. A simulação, podendo ser denominada como um tipo de modelagem que utiliza eventos probabilísticos e aleatórios, reflete importantes aspectos do mundo ao nosso redor. Por suas propriedades, ela possibilita algumas explorações que são difíceis de realizar através de modelos analíticos e impossíveis de demonstrar com protótipos, tais como a interdependência (equilíbrio) entre populações diferentes, habitantes de um mesmo ecossistema, e a sua variabilidade em função de agentes, internos ou externos ao sistema [6].

A simulação vem se apresentando como uma alternativa interessante para ajudar a compreender os fenômenos de nosso universo. Assim, uma das vertentes mais interessantes da simulação, atualmente em destaque, é a busca pela criação de mo-delos úteis na exploração de sistemas complexos. Frente a esse desafio, propomos um novo modelo de autômato celular probabilístico unidimensional, com condições de fronteira periódicas onde as probabilidades de transição dependem do perfil local das alturas. O modelo estudado é um processo Markoviano de tempo discreto em que a

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regra para atualizar o sistema é dada por probabilidades de transição dependentes do perfil de altura local, fornecido por uma representação de interfaces. Como modelos matemáticos, os autômatos celulares são usados em vários problemas, com destaque para investigação da auto-organização de sistemas dinâmicos em física estatística.

Essa dissertação foi dividida em seis capítulos. No capítulo 2 apresentamos os autômatos celulares, uma classe de modelos computacionais que possui uma vasta aplicação e no qual se concentra a maior parte das contribuições deste trabalho. Intro-duzimos os conceitos básicos apresentando suas definições, principais características e algumas aplicações.

No capítulo 3 faremos um breve apanhado desta "nova” geometria - Geometria Fractal - que é capaz de descrever com alto grau de fidelidade as diversas estruturas encontradas na natureza.

No capítulo 4 apresentaremos um breve estudo dos modelos de crescimento de superfícies por deposição de partículas, apresentando algumas técnicas utilizadas em suas caracterização. Mostramos que a rugosidade das superfícies geradas possuem propriedades de escala universais, as quais podem ser associadas a expoentes críti-cos que governam o comportamento do sistema e caracterizam as diferentes classes de universalidade associadas ao crescimento de superfícies.

No capítulo 5 apresentaremos um breve estudo analítico das equações contínuas de crescimento, finalizando com um panorama de classes de universalidade, que nos será útil para o desenvolvimento do nosso trabalho.

No capítulo 6 apresentamos as contribuições originais deste trabalho, com apli-cações dos conceitos discutidos nos capítulos precedentes. Exploramos as diferentes classes de universalidade para deposição de partículas no crescimento de superfí-cies rugosas utilizando um mapeamento de autômato celular em um crescimento de interfaces.

Finalmente, apresentamos nossas conclusões deste trabalho e apontamos algu-mas perspectivas prováveis de continuidade do mesmo.

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2 AUTÔMATOS CELULARES

No final da década de 60 surgiram novas técnicas computacionais que viriam a ser utilizadas na modelagem matemática de sistemas complexos. Como exemplo desses sistemas, podemos citar o crescimento de superfícies rugosas, que tem imposto vários desafios, já que um grande número de experimentos e simulações são realizados na tentativa de compreender melhor o seu comportamento. Das técnicas computacionais utilizadas para atacar esse problema, uma se destaca por sua simplicidade: os autô-matos celulares (CA). Eles surgiram quando Stanislaw Ulam trabalhava no Laborató-rio Nacional de Los Alamos (Novo México) estudando o crescimento de cristais. Na mesma época, John von Neumann trabalhava tendo como foco a auto-reprodução celular [7]. A idéia inicial era a capacidade de uma máquina produzir cópias idênticas à matriz. Esses dois matemáticos estão entre os maiores colaboradores para o de-senvolvimento das tecnologias da época e, do ponto de vista teórico, introduziram os CA’s.

Os autômatos celulares são modelos computacionais onde o tempo e o espaço são ambos discretizados e a evolução do sistema obedece a regras específicas. Esses modelos permitem estudar sistemas de grande tamanho em um tempo aceitável e a um custo computacional relativamente baixo [8]. Eles podem ser suficientemente sim-ples para permitir uma análise matemática mais detalhada, e complexos o bastante para descrever uma vasta variedade de fenômenos não triviais. As regras que deter-minam a evolução temporal de um CA são locais, dependendo apenas do estado da vizinhança de um dado sítio e do seu próprio estado [9]. Tais regras podem ser deter-minísticas ou probabilísticas. Neste capítulo, inicialmente, introduziremos os aspectos gerais que definem um CA e, em seguida, abordaremos alguns exemplos de autô-matos celulares determinísticos (DCA) e autôautô-matos celulares probabilísticos (PCA) para evidenciar suas características fundamentais. Finalmente, faremos uma ligação da abordagem feita a PCA’s, utilizados neste trabalho, com o modelo que apresentare-mos no capítulo 6.

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2.1 Definições 16

2.1 Definições

Os CA’s são idealizações matemáticas de sistemas físicos nas quais o espaço, o tempo e o número de estados são quantidades discretas. Receberam outros nomes como "estruturas celulares", "autômatos de mosaico", "estruturas homogêneas” e "ar-ranjos iterativos" [10]. Se considerarmos o algoritmo utilizado para obter os coefi-cientes de uma expansão binomial, o conhecido "Triângulo de Pascal", este pode ser considerado o protótipo de um CA, como pode ser observado na figura 1 [1].

Figura 1: Triângulo de Pascal: na primeira figura colorimos os coeficientes ímpares de preto e os pares de branco, revelando a estrutura do triângulo de Sierpinski; na seguinte, reproduzimos o mais antigo triângulo de Pascal, datado de 1303. Retirada de [11].

O interesse nessas estruturas tem crescido enormemente nos últimos anos, prin-cipalmente devido ao seu sucesso em descrever uma vasta gama de fenômenos nos mais variados sistemas, pertencentes a diferentes áreas do conhecimento [9]. Eles apresentam diversas aplicações em diferentes ramos da ciência e tecnologia, tais como a física fora do equilíbrio, dinâmica de populações, computação, biologia, geo-logia, etc. CA’s foram usados para modelar desde a evolução de galáxias espirais até sistemas biológicos [9].

Um dos CA’s bi-dimensionais mais conhecido é o "Jogo da Vida", desenvolvido pelo matemático John Horton Conway em 1970. Ele simula o processo de evolução de células biológicas que possuem dois estados (vivo e morto) e oito vizinhos que obedecem as seguintes regras [7]:

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2.2 Autômatos Celulares Determinísticos 17

• uma célula viva com mais do que três vizinhos vivos, morre por superpopulação. • uma célula viva com dois ou três vizinhos vivos, sobrevive no próximo instante

de tempo.

• em uma célula vazia com exatamente três vizinhos vivos, ocorre um nascimento.

Durante a evolução ou mudança de comportamento no "Jogo da Vida", pode-se notar grupos de células chamadas "piscantes". Essas células apresentam-se como blocos que alteram constantemente entre dois estados de acordo com as regras. Caso estes blocos não sejam tocados, irão piscar para sempre. Isso é chamado de "sistema periódico". Outra estrutura encontrada são os "gliders", que deslizam pelo CA em diagonal e continuam fazendo isto, até que esbarrem em uma célula viva.

O resultado final do Jogo da Vida é quase sempre constituído por estruturas lo-calizadas, "gliders"e "piscantes", que oscilam periodicamente ao longo do tempo e, a partir de qualquer configuração inicial, podem alcançar três estados possíveis [7]:

• Extinção: todas as células morrem;

• Estabilidade: a evolução do sistema converge para um estado permanente; • Oscilação: o sistema entra em uma fase oscilante.

Após estabelecermos as definições fundamentais, vamos considerar alguns exem-plos de CA’s. Na seção 2.2 faremos uma breve análise dos DCA’s através dos CA’s elementares (ou CA’s de Wolfram) que, apesar da enorme simplicidade de sua cons-trução, são capazes de exibir comportamentos complexos, produzir estruturas fractais e apresentar os elementos essenciais para a ocorrência de um regime caótico. Na seção 2.3, apresentaremos as principais características de um PCA.

2.2 Autômatos Celulares Determinísticos

Após terem sido propostos por von Neumann na década de 1960, os DCA’s só vieram a ser estudados sistematicamente na física em 1983 por Wolfram, que defende a idéia de que todas as leis da natureza podem ser modeladas via autômatos celulares [10]. Devido a sua simplicidade, os CA’s permitem análises matemáticas detalhadas de fenômenos complicados e são facilmente transformados em modelos simples para

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descreverem uma grande variedade de sistemas físicos, químicos, biológicos, dentre outros [10].

O CA elementar unidimensional de Wolfram é um dos mais simples. Consiste em uma rede regular unidimensional, finita em extensão, onde uma variável discreta 0 ou 1 (base 2) está associada a cada sítio. Em passos de tempo discretos, o sistema evolui segundo regras locais fixas que associam o estado de um sítio no instante t com seu próprio estado e os estados de seus L primeiros vizinhos (à esquerda e à direita) no instante de tempo anterior t − 1. Em um dado instante, o estado de um CA é completamente especificado pelo conjunto dos estados de todos os sítios que o compõem [8, 12]. Estado 0

→

0x22 + 0x21 + 0x20

→

000 Estado 1

→

0x22 + 0x21 + 1x20

→

001 Estado 2

→

0x22 + 1x21 + 0x20

→

010 Estado 3

→

0x22 + 1x21 + 1x20

→

011 Estado 4

→

1x22 + 0x21 + 0x20

→

100 Estado 5

→

1x22 + 0x21 + 1x20

→

101 Estado 6

→

1x22 + 1x21 + 0x20

→

110 Estado 7

→

1x22 + 1x21 + 1x20

→

111

Figura 2: Tabela de estados possíveis para os três sítios adjacentes em um autômato celular elementar.

Definimos a vizinhança do sítio i no instante t como sendo o estado do próprio sítio somado a suas adjacências, i + 1 e i − 1, nesse mesmo instante de tempo. Assim, a evolução deste sítio depende deterministicamente dos estados dos três sítios citados. Como estamos considerando somente os estados dos primeiros vizinhos e do próprio sítio, teremos 23 _{= 8}_{combinações possíveis para uma vizinhança, que é a}

represen-tação de cada estado na base 2, isto é, o estado 0 corresponde à configuração 000, o estado 1, 001, e assim sucessivamente até o estado 7, 111, como pode ser observado na figura 2.

Dessa forma, um CA unidimensional cuja vizinhança consiste de três vizinhos é representado por um número binário de oito dígitos, possuindo assim, 28 _{= 256}

dife-rentes regras que determinarão sua evolução. Porém, se considerarmos os seguintes argumentos [13]:

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• Ausência de Fontes: A vizinhança 000 evolui para o estado 0, 000 → 0, no próximo passo de tempo, o que faz com que um estado com vizinhança identi-camente nula permaneça inalterado.

• Simetria de Reflexão: Os estados inicias 1(001) e 4(100), ou, 3(011) e 6(110) mapeiam para o mesmo estado, apresentando uma simetria de reflexão que irá garantir a homogeneidade na evolução do CA;

Teremos, dessa forma, somente 25 _{= 32} _{regras consideradas válidas, conhecidas}

como regras legais.

As regras dos CA’s de uma dimensão podem ser classificadas em três tipos [10]:

• Legal - Uma regra é "legal” se apresenta ausência de fontes e simetria de re-flexão.

• Totalística - Uma regra é "totalística” se xt+1_i depende somente da soma de xt i

sobre as posições da vizinhança. Por exemplo, xt+1

i = f (x t

i−1+ xti + xti+1). Das

32regras legais apenas 8 são totalísticas.

• Periférica - Uma regra é "periférica” se não depender do estado da posição i. Por exemplo, xt+1_i = f (xt

i−1, xti+1).

Vejamos a regra legal 90 na figura 3 e sua representação na figura 4, que é um exemplo dessa classe de DCA, conhecida como "complexa” ou "caótica” e que fornece um padrão não trivial.

000 001 010 011 100 101 110 111

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

0 1 0 1 1 0 1 0

0x20 _1x21 _0x22 _1x23 _1x24 _0x25 _1x26 _0x27 _{= Regra 90}

Figura 3: Regra 90: Possível regra local para a evolução de um CA elementar. Na primeira linha mostramos cada uma das 23 _{= 8} _{combinações possíveis para uma}

vizinhança de três sítios de estados binários e, na linha de baixo o valor do sítio central no passo de tempo subsequente. Essa regra pode ser vista como um número binário de oito dígitos, 01011010, cujo valor na representação decimal é 90.

Este processo é semelhante ao crescimento de um cristal a partir de uma semente microscópica [8]. Porém nem todos os CA’s se comportam como o mostrado na figura 4. Alguns conduzem a um estado final onde todos os sítios ficam nulos imediatamente

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(regras 0 e 60) ou onde todos os sítios permanecem inalterados (regras 4 e 36). Al-guns, como por exemplo, os CA’s 50 e 122, copiam o estado 1 e geram uma estrutura uniforme, onde o estado 1 do sítio inicial é expandido em cada direção em cada passo de tempo. Os CA’s caóticos não tendem para um estado uniforme e fornecem, no limite de tempo infinito, uma configuração auto-similar.

Figura 4: Representação da Regra 90: À esquerda temos padrões espácio-temporais produzidos pela regra a partir de um estado inicial aleatório e à direita a evolução temporal dos oito primeiros passos de tempo cujo o estado inicial é composto por um sítio central no estado 1 e os outros no estado 0.

As condições iniciais de um DCA podem ser aleatórias e sua evolução é irrever-sível, podendo gerar estados homogêneos ou padrões auto-semelhantes [10].

Wolfram [15] classificou os padrões obtidos nesses modelos basicamente em qua-tro tipos [1, 12]:

• Evolução para estado homogêneo: Após um número finito de passos de tempo, o sistema atinge um estado homogêneo, no qual todos os sítios possuem o mesmo valor. Porém, partindo de certas configurações iniciais excepcionais, o sistema pode não evoluir para esse estado, ingressando em ciclos não-triviais. Todavia, a fração dessas configurações excepcionais decai rapidamente à me-dida que o tamanho do sistema aumenta.

• Evolução para estados periódicos: Os padrões gerados são constituídos por estruturas periódicas persistentes, com períodos tipicamente curtos.

• Evolução para padrão caótico: As regras pertencentes a essa classe pos-suem forte dependência das condições iniciais, apresentando uma grande ins-tabilidade com relação a pequenas variações nos estados iniciais. Esse com-portamento caótico pode ser identificado observando-se a evolução de um CA definido pela medida da diferença entre ele e sua cópia, sobre a qual se aplica um dano, que pode ser, por exemplo, a alteração do estado de um sítio.

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Figura 5: Padrões espácio-temporais característicos, típicos em cada uma das quatro classes de Wolfram. A figura (a) indica a evolução para o estado homogêneo, a figura (b) evoluiu para o estado periódico, (c) levou a um padrão caótico e (d) evoluiu para estruturas complexas localizadas. Retirada de [14].

• Evolução para estruturas complexas localizadas: O autor considera a pos-sibilidade de que as regras pertencentes a essa classe possam apresentar a propriedade de computação universal - configurações iniciais adequadas podem especificar procedimentos algorítmicos arbitrários, fazendo com que o sistema funcione como um computador para aplicações gerais, capaz de avaliar qual-quer função computável.

Wolfram foi o primeiro a demonstrar que um CA pode exibir comportamento com-plexo mesmo com regras locais simples. Sua classificação demonstra que tais regras podem levar a uma espécie de auto-organização, o que contribui inicialmente para uma maior compreensão do fenômeno de formação espontânea de padrões [16].

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2.3 Autômatos Celulares Probabilísticos 22

2.3 Autômatos Celulares Probabilísticos

Os Autômatos Celulares Probabilísticos (PCA), também conhecidos como Autô-matos Celulares Estocásticos, são sistemas descritos por um conjunto de variáveis discretas definidas em uma rede, onde os estados de cada sítio são atualizados de forma síncrona e que obedecem a regras probabilísticas, dependendo apenas do es-tado de seus vizinhos no passo de tempo anterior (processo Markoviano discreto). Também podem ser classificados como sistemas irreversíveis, uma vez que a atuali-zação síncrona do sistema dificulta-nos escrever uma equação analítica para um PCA, mas podemos descrever a evolução temporal do sistema através de sua distribuição de probabilidades [1].

Os PCA’s têm sido amplamente utilizados para simular os mais variados sistemas, abrangendo disciplinas diversas como biologia, computação, física, ciências sociais, etc. De um modo geral, eles apresentam grande sucesso em descrever fenômenos em todas estas áreas, caracterizando-se como um dos modelos fundamentais para des-crever sistemas complexos [1]. Eles podem modelar reações químicas, crescimento de cristais, turbulência, problemas biológicos ou outros processos não-lineares fora do equilíbrio, como também podem ser mapeados em modelos de Mecânica Estatística (1 + 1)dimensionais1_{. Os PCA’s podem exibir, mesmo em uma dimensão, transição}

de fase contínua com expoentes críticos universais e leis de escala [17].

Como um exemplo de PCA temos o autômato celular de Domany-Kinzel (DKCA) introduzido em 1984 [17]. Este PCA é especialmente útil no estudo de catálise em reações químicas e percolação direcionada em redes quadradas [18]. O DKCA con-siste de uma rede unidimensional com N sítios, sendo que estes variam de i = 1, 2, 3, ...N, com condições de contorno periódicas. Cada sítio i da rede possui dois estados possíveis σi = 0ou σi = 1, tal como nos CA’s estudados por Wolfram [9]. Os

autores introduziram taxas de transição probabilísticas, ωi(σi|σ

0 ) = ωDK(σi|σ 0 i−1, σ 0 i+1)

e que assumem uma forma totalística, ou seja, dependem exclusivamente da soma entre os estados de sua vizinhança [17],

p0 ≡ ω(1|00) = 0; (2.1)

(24)

A evolução temporal deste autômato depende dos valores das probabilidades condicionais. Dependendo dos valores destas probabilidades e lembrando que, por definição, toda probabilidade é normalizada, a evolução temporal (t → ∞) conduz a um estado homogêneo onde todos os sítios estão no estado 0 (conhecido como fase congelada) ou a um estado que possui uma fração finita de sítios intercalados no estado 1 (fase ativa). Desse modo, o DKCA apresenta uma transição de fase contínua entre as fases congelada e ativa mesmo para d=1, caracterizada por um ex-poente crítico universal associado a um parâmetro de ordem definido como a fração de sítios no estado 1 [18]. Dentro da fase ativa, existe uma região que é sensível às condições iniciais (fase caótica), ou seja, dados dois autômatos sujeitos à mesma regra de evolução e à mesma sequência de números aleatórios, mas com estados iniciais diferindo apenas no estado de um único sítio, atingirão, após um tempo su-ficientemente longo irão atingir estados completamente diferentes. Ao contrário, na fase ativa não caótica, esta pequena diferença não conduz a estados finais muito dife-rentes [18].

O DKCA é um dos modelos mais estudados na Mecânica Estatística Fora do Equi-líbrio, possuindo todos os elementos básicos para a irreversibilidade [17]. O modelo possui regras locais de curto alcance, tal como o modelo de Ising, mas diferencia-se exatamente por possuir uma transição de fase em d = 1 [1]. Essa transição pode ser estudada fixando-se o valor de p2 e variando-se o parâmetro de p1. O parâmetro de

ordem do modelo é a densidade de sítios ativos, ρ, que, na criticalidade, apresenta um comportamento do tipo lei de potência.

ρ ∝ (p1− p1c)β, quando p1 → p+1c , (2.4)

onde p1c é o valor crítico do parâmetro p1 e β ' 0, 273 é o mesmo valor encontrado

na classe de universalidade da percolação direcionada (DP), que apresentaremos na seção 5.6. Esse valor é encontrado ao longo de toda a linha de transição para o estado

(25)

2.4 Percolação 24

absorvente2 _{no DKCA, exceto no ponto terminal (p}

2 = 1, p1 = 1₂)[17]. Nesse ponto,

o sistema pertence à classe de percolação direcionada compacta (CDP) e β = 0, indicando uma transição descontínua. Os expoentes críticos da classe DP não são conhecidos exatamente, enquanto a classe CDP possui resultados exatos [20]. O DKCA também apresenta uma fase caótica, associada ao espalhamento de danos envolvendo um par de autômatos [18].

2.4 Percolação

O modelo de percolação é um fenômeno físico que pode ser visto como um pro-cesso dinâmico para a conectividade em meios porosos [21]. Do mesmo modo que a difusão, a percolação pode ser descrita por modelos estocásticos, porém há uma diferença essencial quanto à localização da aleatoriedade: enquanto na difusão um fluido aleatório propaga-se em um meio determinístico, na percolação um fluido deter-minístico escoa em um meio aleatório [22]. Considerando um fluido deterdeter-minístico, os modelos para percolação concentram-se em descrever o meio poroso e este é definido como sendo um material sólido possuindo um certo número de pequenas cavidades (poros) em pontos escolhidos aleatoriamente. A concentração de cavidades define se há ou não a percolação. Se o número de cavidades for suficientemente grande, elas estarão interligadas e o meio se tornará permeável à passagem de um fluido. Entretanto, se o número delas for muito pequeno, elas estarão isoladas impedindo a passagem do fluido [22].

Um modelo simples para a percolação é constituído por uma rede em que cada sítio simboliza um poro e a conectividade desta rede (a ligação entre os sítios) ocorre somente em pontos específicos. Dessa forma, em um bloco sólido formam-se canais que permitem a criação de uma passagem entre sítios vizinhos, mas não entre sítios que não sejam vizinhos como ilustra a figura 6 [21]. Cada sítio do retículo pode estar em um de dois estados: ocupado, significando a presença de uma cavidade, ou vazio, significando a ausência de uma cavidade. A probabilidade de um sítio ser ocupado independe de os outros sítios estarem ocupados ou não. Um estado é construído de tal forma que cada sítio é ocupado com uma probabilidade p estabelecida e que é interpretada como a concentração de sítios ocupados. O problema básico da perco-lação é determinar qual é a concentração mínima de sítios ocupados para haver um

2_{Estado Absorvente: Um estado de uma cadeia de Markov é um estado absorvente se, uma vez}

(26)

estado percolativo [23].

Figura 6: Ilustração da percolação isotrópica por ligações. Retirada de [21]. Uma configuração é definida pelo conjunto de sítios ocupados. Se a cada sítio i associarmos uma variável aleatória ηi que toma o valor 1 quando o sítio i estiver

ocupado e o valor 0 quando ele estiver vazio, então uma configuração é definida por (η1, η2, η3, ..., ηN) = η, onde N é o número total de sítios do reticulado. A probabilidade

de que ηi assuma o valor 1 ou 0 é p, ou q = 1 − p, respectivamente. Tendo em vista

que as variáveis aleatórias são independentes, a probabilidade P (η) da configuração é [23]

P (η) = pnqN −n, (2.5)

onde n é o número de sítios ocupados da configuração η. A média de uma função de estado f (η) = f (η1, η2, η3, ..., ηN)é dada por

hf (η)i =X

η

f (η)P (η). (2.6)

(27)

hni = pN (2.7)

de modo que p = hni_N , o que nos permite interpretar a probabilidade p como a concen-tração de sítios ocupados [23].

Denominamos por limite de percolação o limiar que separa dois comportamentos distintos do sistema; acima deste limite uma fase percola por todo o sistema enquanto abaixo dele não há percolação. Considerando-se sistemas discretos, pode-se classi-ficar em quatro os tipos de percolação [22]:

• Percolação de sítios - neste caso, cada sítio possui uma probabilidade p de estar ocupado, e 1 − p de estar vazio. Cada sítio é estatisticamente independente dos outros e existe um valor crítico, pc, acima do qual uma fase percola por todo

o sistema, correspondendo ao "aglomerado infinito” formado pela união de sítios ocupados primeiros vizinhos entre si.

• Percolação de ligações - neste caso, a ligação entre dois sítios estará presente com probabilidade pb e ausente com probabilidade 1 − pb; as ligações são

idên-ticas entre si e estatisticamente independentes. Acima de pc

b, há um caminho de

ligações presentes conectando sítios primeiros vizinhos que se estende por todo o sistema.

• Percolação de sítios e ligações - este caso é a combinação dos dois casos considerados acima.

• Percolação direcionada - pode ser definida do mesmo modo que a percolação de sítios, ligações, ou de sítios e ligações, porém as conexões só são permitidas se possuírem uma orientação pré-definida.

Enquanto a percolação de sítios é adequada ao estudo de processos de contágio ou para modelar sistemas absorventes, os outros tipos de percolação são mais ade-quados à descrição de fenômenos de transporte [24]. O modelo de DP é largamente utilizado e suas aplicações se estendem desde fenômenos de invasão de um fluido em um meio poroso até redes neurais [25], incêndios em florestas, propagação de doenças, impurezas em sólidos, formação de galáxias [26]. Acredita-se que várias transições de fase estão dentro desta classe; em particular, todos os modelos que possuem transições para um estado absorvente, como o modelo de Domany-Kinzel citado na seção 2.3 [20].

(28)

A percolação direcionada obedece uma determinada orientação pré-definida, como pode ser observado na figura 7, e é construída considerando um reticulado composto por camadas com um certo número de sítios em cada uma delas. Os sítios de de-terminada camada estão ligados a sítios vizinhos da camada superior e da camada inferior, mas não a sítios da mesma camada. Eles podem estar ativos (ocupados) com probabilidade p ou inativos (vazios) com probabilidade 1 − p. A definição para a conexão entre dois sítios quaisquer e, em particular, entre dois sítios vizinhos é [1,23]:

• Dois sítios vizinhos estão conectados se eles estiverem ativos e se a ligação entre eles estiver intacta.

• Dois sítios quaisquer estão conectados se houver pelo menos um caminho entre eles formado por pares de sítios vizinhos conectados e que seja sempre ascen-dente ou descenascen-dente.

Figura 7: Ilustração do processo de percolação direcionada por ligações. Note que neste caso, existe uma direção privilegiada. Retirada de [21].

A Percolação Direcionada Compacta (CDP), além de obedecer uma determinada orientação pré-definida, corresponde a um conjunto compacto de extensão infinita na direção de um dos eixos [27] como pode ser observado na figura 8 e de acordo com Mendes [28]:

(29)

The essential difference between DP and CDP is that in the latter, tran-sitions from wet to dry cannot occur within a string of 1s; the evolution of a string of 1s is governed by a pair of random walks at its ends.

Figura 8: Ilustração do processo de percolação direcionada compacta. Espalhamento a partir de uma única fonte para o DKCA. Para a CDP, a evolução dos autômatos na criticalidade leva a formação de domínios compactos, cujas fronteiras executam caminhadas aleatórias sem tendências. Retirada de [1].

(30)

29

3 GEOMETRIA FRACTAL

A geometria fractal é um dos conceitos mais fascinantes elaborados pela imagi-nação humana e suas implicações causaram impacto sobre o pensamento científico na segunda metade do século XX [1]. Neste trabalho apresentaremos apenas os conceitos relevantes para o estudo de propriedades fractais em superfícies rugosas. Inicialmente, introduziremos os aspectos gerais que definem a geometria fractal e, em seguida, abordaremos os seguintes tópicos: dimensão fractal, auto-similaridade e auto-afinidade, mostrando suas características fundamentais.

3.1 Definição

Fractus vem do latim e significa fragmento ou fração. A principal característica de um fractal é a semelhança através das várias escalas de observação que podem apresentar uma estrutura hierárquica complexa como pode ser observado na figura 9.

1

Figura 9: Exemplos de fractais: A principal característica de um fractal é sua seme-lhança através de várias escalas de observação, sendo esta uma chave para seu reconhecimento. À esquerda temos o exemplo de um fractal natural - Nephrolepis Polypodium, e à direita um exemplo de fractal matemático - a Curva de Koch.

Os fractais podem ser classificados como matemáticos ou naturais e determinísticos

(31)

3.2 Dimensão Fractal 30

ou aleatórios. Enquanto os fractais naturais sempre apresentam duas escalas de corte - uma superior e outra inferior- os matemáticos geralmente apresentam uma ou ne-nhuma escala de corte. Comumente verificamos que objetos naturais possuem essa característica, como árvores, bacias hidrográficas, distribuição de galáxias [26], os sistemas circulatório, nervoso e respiratório, etc [11]. Os fractais são frequentemente observados nos fenômenos de crescimento fora do equilíbrio. Como exemplos desses processos, temos a formação de dendritos durante a solidificação de um meio super-resfriado; os dendritos são formados quando um fluido viscoso é injetado noutro mais viscoso ou durante a deposição de ions em um eletrodo [8]. A figura 10 mostra um exemplo de uma estrutura fractal no escoamento viscoso. Alguns exemplos possuem uma dimensão fractal bem definida e podem ser simulados utilizando os conceitos fractais que são capazes de reproduzir sua complexidade com um nível elevado de verossimilhança.

A geometria fractal é a que melhor descreve a morfologia dos seres vivos e do próprio universo como um todo por reproduzir, com alto grau de fidelidade, estruturas complexas observadas na natureza [1].

3.2 Dimensão Fractal

A dimensão fractal é necessária para descrever como um objeto fractal preenche o espaço. Uma variedade de abordagens práticas diferentes para medir sua estrutura "auto-similar” têm sido desenvolvidas e avaliadas tanto em experimentos quanto em simulações computacionais [30].

A dimensão de Hausdorff-Besicovitch desempenhou um papel importante no de-senvolvimento dos conhecimentos matemáticos que conduziram à descoberta da geo-metria fractal. A definição da dimensão de Hausdorff-Besicovitch, DHB, é baseada

na medida de Hausdorff µH, que é determinada pela cobertura ótima do fractal, ou

seja, sobrepomos esferas de raio ε numa imagem e contamos a quantidade de es-feras necessárias para cobrir toda a figura. A medida ∆-dimensional Hausdorff de um grupo S é então dada por [30]:

µH(∆) = lim

→0inf ΣiC∆(Bi(ri ≤ )) = lim→0inf Σiγ(∆)[(ri ≤ )]

(∆) _(3.1)

(32)

3.2 Dimensão Fractal 31

Figura 10: Estrutura fractal de um objeto dendrítico formado pela injeção de ar at-mosférico em silicone (Diâmetro 200mm). À esquerda aparecem os experimentos e à direita, as simulações. Retirado de [29]

ótima e C∆(Bi(ri ≤ )) = γ(∆)r∆ é o volume de uma hiper-esfera ∆-dimensional de

raio r ≤ e o somatório é superior a todas as esferas com raio r ≤ . Em geral, não é um número inteiro e o fator geométrico γ(∆) na equação acima é dado por

γ(∆) = Γ(1 2) ∆ Γ(1 + ∆ 2) , (3.2)

onde Γ é a função "gama". A dimensão Hausdorff-Besicovitch é então a dimensão crítica ∆cpara que a medida Hausdorff µH(∆)tenha valor finito. Para ∆ > (DBH = ∆c)

(33)

3.3 Auto-similaridade e Auto-afinidade 32

Outra definição de dimensão é baseada no número mínimo N (l) de hiper-cubos d-dimensionais com comprimento da face igual a l, necessários para cobrir o fractal. A dimensão d-dimensional DK é então definida como:

DK = − lim l→0

log N (l)

log(l) . (3.3)

Em geral, DHB ≤ DK, mas, em muitos casos de interesse físico, DHB = DK = D,

onde D é a dimensão fractal de um fractal auto-similar [30].

A dimensão topológica, dt, é sempre um número inteiro, obtido somando-se 1 à

dimensão do conjunto que, ao ser subtraído de outro conjunto conexo, deixa-o desco-nexo. Por definição, a dt de um ponto é igual a 0; desse modo, ao retirarmos um ponto

de uma reta obteremos duas semi-retas, e, portanto, a dt de uma reta é igual a 1, dt

de um plano é igual a 2, etc... A dimensão euclidiana, d, é a que aproxima-se mais de nossa noção intuitiva, e corresponde à dimensão de imersão: d = 0 é um ponto, d = 1uma linha, etc [31]... Assim, a dimensão fractal é uma dimensão maior que a dimensão topológica e menor (ou igual) à dimensão de imersão.

3.3 Auto-similaridade e Auto-afinidade

Processos de crescimento naturais podem levar a estruturas complexas que pos-suem irregularidades em diferentes escalas de observação. Tais processos, em sua maioria fora do equilíbrio, são encontrados nos mais diferentes fenômenos físicos [32]. Formação de dedos viscosos, crescimento de neurônios e crescimento de colônias de bactérias podem ser citados como exemplos e apresentam uma característica em comum: um grande número de constituintes que interagem mutuamente de uma maneira muitas vezes simples e levam a estruturas complexas e/ou comportamentos não-lineares [1].

As características dessas estruturas são determinadas por um conjunto de fenô-menos que ocorrem durante seu processo de formação. Em alguns processos, pode-mos encontrar estruturas que apresentam a propriedade de invariância sob mudança de escala de observação. Se o fator de escala usado nessa mudança é o mesmo para as diferentes direções dizemos que o objeto é auto-similar. As estruturas que apresentam a propriedade de auto-similaridade são conhecidas como objetos fractais e suas características podem ser estudadas usando geometria fractal, introduzida por

(34)

Mandelbrot [4, 30]. Dessa forma, um objeto auto-similar é formado de partes simi-lares ao todo [31]. Auto-similaridade é uma propriedade de simetria do sistema indi-cando invariância sob uma transformação isotrópica, ou seja, é invariável para uma mudança uniforme de escala de crescimento em todas as "direções". Já um objeto auto-afim possui transformação de escala anisotrópica (as propriedades físicas dos corpos variam de acordo com as características físicas do ambiente), ou seja, para manter a invariância de escala precisamos dilatar o objeto com fatores diferentes para cada direção espacial.

No estudo de superfícies estaremos lidando com uma subclasse de fractais aniso-trópicos, descrito por funções que apresentam auto-afinidade [1]. De um modo geral para uma função unívoca e auto-afim h(x), temos

h(x) ∼ b−Hh(bx), (3.4)

onde H é o expoente de Hurst, ou expoente auto-afim, que fornece uma medida quali-tativa da rugosidade da função h(x). Essa equação é obtida diretamente da definição de função auto-afim, onde reescalamos a direção x por bx e a direção de h por bH_h,

como pode ser observado na figura 11. No caso 11(a), as curvas foram geradas a partir de um retângulo de largura 4L e altura 2L. Posteriormente, em (b) a largura é dividida por 2 e altura permanece constante. Em (c) novamente a largura encontrada é novamente dividida por 2 assumindo um valor igual a 1₄ do tamanho original.

Uma consequência importante da definição acima é que o fator de escala da dife-rença de aturas.

∆(l) ≡| h(x1) − h(x2) |, (3.5)

entre dois pontos separados pela distância l ≡| x1 − x2 |, para uma função

auto-afim será

∆(l) ∼ lH. (3.6)

Pode-se demonstrar que (vide [33]),

(35)

Figura 11: Função auto-afim: Mostramos três iterações da figura. Note que a cada iteração a figura é reescalada por fatores diferentes em cada direção [1].

Logo, devido a definição de Hausdorff-Besicovitch, 0 ≤ H < d − D, onde D é a dimensão fractal.

Veremos agora exemplos clássicos de estruturas fractais que serão úteis: o con-junto de Cantor e a gaxeta de Sierpinski.

O conjunto de Cantor foi um dos primeiros fractais estudados do ponto de vista matemático [30] ("Cantor Dust"). Este conjunto pode ser construído dividindo um mento em três partes e retirando a parte do meio. Posteriormente, cada novo seg-mento é novamente dividido em três partes e seu pedaço central é retirado - observe a figura 12. Após n estágios subsequentes o número de segmentos lineares cresce numa razão de 2n _{e seu comprimento sofre redução de (}2

3)

n_{. No limite n → ∞, um}

conjunto fractal será gerado. Esse "objeto” com medida zero (comprimento total dos segmentos lineares remanescentes) e um número infinito de fragmentos foi conside-rado ser um paconside-radoxo sem relevância possível para o mundo real [30].

O conjunto de Cantor apresenta diferentes propriedades comuns a muitos outros fractais. Ele possui fendas sobre todo o seu comprimento escalar que ocupa uma fração insignificante do espaço. Se o conjunto Cantor é dilatado por um fator de 3m_,

(36)

Figura 12: Construção do Conjunto de Cantor.

ele pode ser coberto por um mínimo de 2m _{cópias de si mesmo. Estruturas com}

essa propriedade de dilatação simétrica são auto-similares. Geralmente, após uma dilatação por um fator de Nm_{, o número mínimo de cópias do padrão original será M}m

e suas propriedades geométricas podem ser caracterizadas por uma dimensão fractal Ddada por D = log Rµ log Rl , (3.8) onde Rµ = µ2 µ1 é a mudança na medida de µ e Rl = l2 l1 é a mudança na escala de comprimento.

A dimensão fractal pode ser considerada uma medida de como o conjunto de Cantor preenche eficientemente o espaço unidimensional ao qual ele está fixado.

As estruturas apresentadas nas subdivisões durante a construção do conjunto de Cantor não são exatamente fractais: são espaços vazios ou linhas ocupadas sobre escalas de comprimento pequeno, chamadas frequentemente de pré-fractais.

Em alguns casos a simplicidade de escala auto-similar é perdida, como na na-tureza por exemplo, onde não encontramos sistemas que têm a mesma estrutura para todas as escalas. Uma descrição em termos de geradores diferentes sobre escalas de comprimentos diferentes criaria fractais com dimensões distintas [30]. Entretanto, o uso da dimensão fractal dependendo da escala para descrever sistemas começaram a aparecer na literatura por volta de 1998 [30] - multifractais.

(37)

A triângulo de Sierpinski é outro exemplo simples de um fractal auto-similar e apre-senta uma das características marcantes de fractais, como pode ser observado na figura 13: a presença de lacunas (vazios) em todas as escalas de observação. Foi proposto pelo matemático polonês Waclaw Sierpinski em 1916 e pode ser entendido como uma extensão do conjunto de Cantor.

Figura 13: Triângulo de Sierpinski: Mostramos quatro interações utilizando o processo de dizimação. É fácil perceber que, no limite do número de interações tendendo ao infinito, haverá vazios de todos os tamanhos na estrutura [11].

Esse padrão pode ser construído usando-se três triângulos equiláteros iguais de comprimento lateral ε, para formar um novo triângulo de comprimento lateral 2ε e com um buraco triangular no meio. Posteriormente, três triângulos equiláteros iguais de lado 2ε são adaptados formando um triângulo de comprimento lateral 4ε, com um buraco triangular de tamanho 2ε e três buracos triangulares de tamanho ε. Após n gerações formam-se um padrão triangular de lado 2n_ε_{contendo 3}n _{triângulos de}

com-primento lateral ε. A cada passo de tempo o comcom-primento é aumentado por um fator 2, a área por um fator 3 e a dimensionalidade fractal é dada por D = log 3

log 2.

A diminuição da densidade com o aumento da escala de comprimento é uma das mais importantes características de objetos fractais auto-similares.

(38)

37

4 CRESCIMENTO DE INTERFACES

RUGOSAS

A natureza exibe uma enorme quantidade de formas que variam desde padrões Euclidianos regulares a padrões caóticos. Montanhas, nuvens, rios e litorais costeiros aparentam-se completamente desordenados e não podem ser descritos em termos da geometria Euclidiana [30]. Mandelbrot propôs uma nova geometria baseada em uma interpretação geométrica e intuitiva: a Geometria Fractal, que obteve sucesso na descrição de objetos complexos tão pequenos quanto uma molécula de polímero e tão grandes quanto a costa dos continentes.

Neste capítulo introduziremos alguns métodos desenvolvidos para caracterizar objetos cujas morfologias não dependem da escala de observação. Em particular, estaremos interessados no estudo de interfaces rugosas auto-afins, geradas por pro-cesso de deposição de partículas idênticas sobre um substrato inicialmente liso. Fare-mos uma introdução à Geometria de Superfícies Rugosas e aos tipos de modelos de crescimento discreto simples, para introduzir os principais conceitos associados ao crescimento de superfícies do ponto de vista simulacional.

4.1 Geometria de Superfícies Rugosas

Desde a publicação da obra de Benoit Mandelbrot, The Fractal Geometry of Na-ture [4], um novo paradigma vem se estabelecendo na ciência: a concepção fractal da natureza [1]. Dessa mudança de paradigma surgem enfoques inovadores nos quais podem ser empregados os novos conceitos da Geometria Fractal. Um exem-plo notório desse processo é o desenvolvimento da Teoria do Crescimento Fractal. As bases dessa teoria foram estabelecidas em trabalhos experimentais e modelos com-putacionais [1].

(39)

4.1 Geometria de Superfícies Rugosas 38

dinâmica de crescimento capaz de descrever superfícies observadas no cotidiano - a formação de uma colônia de células e a sedimentação de um sistema coloidal, res-pectivamente. Estes trabalhos utilizaram simulação computacional para confirmar as hipóteses teóricas levantadas e tinham como objetivo conhecer o mecanismo respon-sável pela formação de estruturas complexas.

Em 1982 Edwards e Wilkinson [36] utilizaram sedimentação de materiais granula-res como modelo e desenvolveram pioneiramente uma equação diferencial contínua, conhecida como equação EW, para a dinâmica temporal de uma interface rugosa. Por ser uma equação linear ela pôde ser resolvida analiticamente fornecendo os ex-poentes críticos em qualquer dimensão.

Outro trabalho desta época que merece destaque é o artigo de Kardar, Parisi e Zhang (KPZ) [37] por apresentar uma abordagem original, obtendo êxito na constru-ção de uma equaconstru-ção contínua não-linear que descreve a dinâmica de crescimento de superfícies. Kardar, Parisi e Zhang introduziram um termo não linear na equação EW e, através de técnicas analíticas, encontraram os expoentes críticos para 1 + 1 dimensões. Para dimensões superiores ainda não há solução para esta equação. A equação KPZ pertence a uma nova classe de universalidade (UC) e os expoentes críticos obtidos em 1 + 1 dimensões apresentaram excelente concordância com os resultados numéricos.

O estudo de superfícies rugosas é fundamental para a compreensão de vários fenômenos em diferentes áreas da ciência e tecnologia, e os conceitos fractais desem-penham um papel importante na caracterização do crescimento dessas superfícies.

Estudaremos o comportamento das propriedades das interfaces geradas durante o processo de crescimento de superfícies por deposição aleatória de partículas. Definire-mos a seguir os principais parâmetros utilizados para caracterizar uma interface auto-afim:

• A altura média da interface no tempo t, é h(t),

h(t) = 1 L L X i=1 hi(t), (4.1)

onde hi(t) corresponde ao número de partículas depositadas no sítio i até o

tempo t e L é o tamanho do sistema;

(40)

4.1 Geometria de Superfícies Rugosas 39

média, que está diretamente relacionada com o segundo momento das alturas

w(L, t) ≡pw2(L, t) = v u u t 1 L L X i=1 [h(t) − hi(t)]2. (4.2)

A rugosidade é o principal parâmetro utilizado para avaliar o comportamento temporal dentro do sistema.

A dimensão fractal de uma interface pode ser calculada através do método do ex-poente de Hurst de um perfil a partir de sua rugosidade [38]. Consiste, basicamente, em medir a rugosidade da interface em torno da melhor reta que passa por um con-junto de pontos [33]. A rugosidade w(L, , t) na escala (unidade de medida/régua) é dada por w(L, , t) = 1 L L X i=1 wi(, t), (4.3)

onde a rugosidade local wi(, t)é dada por [33]

wi2(, t) = 1 2 + 1 i+ X j=i− {hj(t) − [ai()xi+ bi()]}2, (4.4)

onde ai()e bi()são coeficientes lineares de ajuste para o intervalo [i−, i+] centrado

em i.

Essa relação é utilizada para determinar o expoente de Hurst dos perfis gerados no crescimento de superfícies.

w() ∼ H, (4.5)

O valor do expoente de Hurst fornece informações a respeito da morfologia do perfil [1]: para H = 1

2, a interface não apresenta nenhuma tendência e pode ser mapeada exatamente em uma caminhada aleatória; para H < 1

2, a interface não apresenta uma tendência antipersistente, ou seja, à medida que se desloca no eixo x, a altura h(x) flutua rapidamente para cima e para baixo; para H > 1

2, o comportamento da interface é persistente indicando uma tendência bem definida aproximando de uma linha (d = 1).

(41)

4.2 Modelos Discretos 40

4.2 Modelos Discretos

Os modelos discretos de crescimento buscam capturar através de regras simples, os mecanismos físicos de um processo de crescimento. O crescimento de interfaces rugosas que consideraremos nesse trabalho são definidos e simulados em redes uni-dimensionais com L sítios aplicando condições periódicas de fronteira. Os processos deposição ocorrem em passos de tempo discreto e são considerados fora do equi-líbrio, pois o sistema recebe novas partículas a todo momento [12].

4.2.1 Deposição Aleatória

Consideremos a Deposição Aleatória (DA), o modelo discreto mais simples; a par-tir de uma rede unidimensional finita, com L sítios indexados por i = 1, 2, 3, ..., L, fare-mos uma deposição de partículas escolhendo aleatoriamente a posição em que cada uma delas será depositada. À medida que as partículas são depositadas no subs-trato, uma superfície rugosa vai se formando. No instante t, a interface é definida pelo conjunto das alturas hi(t)_i=1,2,...,L, onde hi(t)corresponde ao número de partículas

de-positadas no sítio i até o instante t.

As principais grandezas utilizadas para analisar a dinâmica de crescimento de uma interface são a altura média e a rugosidade, que é o desvio quadrático médio da distribuição de alturas.

Do ponto de vista computacional é imprescindível a utilização de um bom gera-dor de números aleatórios para garantir que o processo seja efetivamente descor-relacionado [12]. Considerando este modelo de deposição, queremos saber como se comporta a interface à medida que aumentamos o número de partículas depositadas. Desse modo, devido à ausência de tendências na deposição, esperamos que a ru-gosidade cresça indefinidamente, como pode ser observado na figura 14, obedecendo uma lei de potência em relação ao tempo da forma w2 _{∼ t, onde w é a rugosidade e t}

o tempo, indicando que a variância na distribuição de alturas cresce linearmente com o tempo.

(42)

Figura 14: Perfil gerado pela deposição aleatória em um substrato com L = 256. A cada 400 passos a cor das partículas é trocada [1].

4.2.2 Modelos com Correlações

Conforme vimos na seção anterior, a DA é um processo completamente descor-relacionado, ou seja, a partícula é depositada no sítio sorteado, independentemente das alturas dos sítios vizinhos. Uma maneira de introduzir correlações no sistema é permitir a relaxação superficial: sorteamos um sítio i, depositamos uma partícula e permitimos que ela relaxe, procurando a posição de menor altura, dentre os primeiros vizinhos do sítio sorteado (i + 1, i − 1). Se o sítio sorteado for um mínimo local, ou se hi = hi−1 = hi+1, a partícula é fixada imediatamente.

Esse modelo é conhecido como Deposição Aleatória com Relaxação Superficial (DARS) e sua dinâmica faz com que o perfil gerado seja mais suave ao longo do processo como pode ser observado na figura 15. O modelo em rede da DARS foi introduzido por Family [39] como uma representação simplificada de processos de deposição de vapor em substratos com baixas temperaturas.

Outro processo correlacionado é a Deposição Aleatória com Recusa (DAR) que foi introduzido por Kim e Kosterlitz [40] em 1989 e consiste em evaporar imediatamente a partícula que foi depositada em um sítio que corresponde a um máximo local.

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Figura 15: Perfis gerados pela DARS. A cada 10 camadas depositadas a cor das partículas é trocada. Note que os perfis são bem mais suaves que na DA e novamente ocorre a conservação da altura média [1].

diferença de alturas. A regra de evolução é a seguinte: escolhemos um sítio i ao acaso e, quando a condição de restrição da diferença de alturas entre o sítio escolhido e seus vizinhos,

|∆h| ≤ M, (M > 0)

(onde M é a maior diferença de altura permitida entre sítios vizinhos), for satisfeita, uma partícula é depositada na coluna do sítio sorteado, hi → hi+ 1. Caso contrário,

essa partícula é recusada. Neste modelo, a diferença de alturas encontrada na inter-face fica restrita pelo valor do parâmetro M , o que leva a uma suavização da interinter-face para pequenos valores de M . Para M → ∞, esse modelo torna-se o de deposição aleatória [32].

O modelo DAR apresenta uma interface muito mais lisa que as obtidas no mo-delo de deposição aleatória para tempos longos, de forma que, para tempos iniciais, quando as diferenças de alturas são menores que o parâmetro M , a deposição ocorre obedecendo as restrições do parâmetro M diferente da deposição aleatória. Após um tempo característico tc, a restrição na diferença de alturas governa o processo de

DAR, levando ao aparecimento de correlações entre sítios [32]. É importante destacar também que altura média da interface cresce com uma velocidade inferior à taxa de deposição, pois as partículas podem evaporar antes de serem depositadas.

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rede e solta-se uma partícula, que cai verticalmente em direção ao substrato e se fixa imediatamente ao alcançar o agregado. Essa regra de evolução permite que partículas se fixem lateralmente à interface, formando lacunas, como pode ser visto na figura 16 [32]. A rugosidade possui o mesmo comportamento observado na DAR, porém a estrutura produzida por esta dinâmica não é compacta e a velocidade de crescimento supera a taxa de deposição de partículas [12].

Figura 16: Perfil gerado pela deposição de 35000 partículas sobre um substrato de tamanho L = 200, utilizando a dinâmica de DB. A cada 2500 partículas depositadas, sua cor é trocada. Podemos observar que a estrutura produzida não é compacta. Retirada de [13].

O último modelo tratado é a Deposição Aleatória com Difusão (DAD) ilustrado na figura 17. Ele foi proposto por Wolf e Villain [41] em 1990, com o objetivo de des-crever processos de deposição de vapor nos quais as forças de ligação na superfície são predominantes. Das Sarma e Tamborenea [42], independentemente, propuseram em 1991 um modelo similar ao de Wolf-Villain, no qual a partícula procura apenas aumentar o seu número de ligações.

Nesse modelo a partícula é depositada aleatoriamente numa posição i e procura, dentre os sítios i, i + 1, i − 1, maximizar seu número de ligações com a interface, difundindo para o sítio vizinho com o maior número de ligação, como mostra a figura 18 à esquerda. Dessa forma a partícula escolhe um mínimo local onde fixa-se

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per-4.2 Modelos Discretos 44

Figura 17: Perfil típico produzido pelo processo de DAD num substrato de tamanho L = 120. Podemos observar que esta dinâmica gera degraus, com grandes diferenças de altura entre primeiros vizinhos. Retirado de [41].

manentemente [12, 32]. Já no modelo Das Sarma e Tamborenea (DT) as partículas adicionadas ao acaso procuram aumentar seu número de ligações difundindo para a vizinhança somente quando possuem apenas uma ligação - figura 18, à direita. Em ambos os modelos, quando as partículas não conseguem maximizar ou aumentar seu número de ligações, elas permanecem fixas ao sítio de deposição. A deposição aleatória com difusão gera perfis de altura muito mais suaves que o modelo de de-posição aleatória.

Em geral, nos modelos SOS (solid-on-solid ) onde a difusão superficial é um dos mecanismos físicos responsáveis pela suavização da interface, a evaporação de ma-terial e a formação de lacunas (no interior da interface) são desprezadas. Como mo-delos que seguem tais premissas podemos citar Wolf e Villain (WV) [41], Das Sarma e Tamborenea (DT) [42], DAR, DARS entre outros.

A morfologia das interfaces geradas por esses modelos surpreende. Nelas, ao contrário do esperado, aparecem platôs e vales separados por grandes degraus (figura 19) [32].

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Figura 18: À esquerda temos a evolução para o modelo de Wolf-Villain e à direita para Das Sarma-Tamborenea. Retirado de [32].

Figura 19: Perfil gerado para os modelos de WV, à esquerda e DT, à direita. As partículas depositadas difundem para maximizar ou aumentar o número de ligações logo após a deposição. Retirado de [32].