5.3
Princípio de Simetria
A equação de Edwards Wilkinson (EW) representa o caso mais simples de uma classe de equações que obedecem a um grupo de simetrias. A fim de generalizar a discussão, trataremos esta classe de equações. Se considerarmos a equação geral
∂h(−→x , t)
∂t = G(h, −
→x , t) + η(−→x , t), (5.16)
onde G(h, −→x , t)é uma função que depende da altura da interface, posição e tempo, e η(−→x , t)é o ruído branco. Como estamos interessados no comportamento da interface, inicialmente listaremos as principais simetrias que esta equação deverá obedecer [13]: • Invariância em relação à translação temporal, que faz com que a função G(h, −→x , t)
não dependa explicitamente do tempo;
• Invariância translacional ao longo da direção de crescimento, que retira a de- pendência explícita em relação em relação a h;
• Invariância translacional ao longo da direção perpendicular ao crescimento, que retira a dependência explícita com −→x;
• Simetrias de rotação e inversão na direção de crescimento, que excluem as derivadas ímpares em relação às coordenadas espaciais;
• Simetria up and down, determina que as flutuações na interface sejam similares em relação à sua altura, e ela só é válida nos casos onde a velocidade média de crescimento da interface é igual à taxa de deposição.
Para encontrar a forma final da equação de crescimento, nós consideramos todos os termos que podem ser formados pela combinação de potências de ∇nh. Uma
por uma, nós eliminamos todas aquelas que violaram pelo menos uma das simetrias listadas acima [13]. Portanto, a equação mais geral que obedece a estas simetrias é [1] ∂h(−→x , t) ∂t = (∇ 2 h) + ... + (∇2nh) + (∇2h)(∇h)2+ ... + (∇2kh)(∇h)2j + η(−→x , t), (5.17) onde n, k, j, ∈ Z+.
5.4 Equações Lineares 54
5.4
Equações Lineares
No modelo da DARS temos uma dinâmica em que o fluxo de partículas é maior para posições de mínimo local que, na formulação contínua, correspondem a pontos onde a segunda derivada é positiva. Assim, a taxa de crescimento neste processo deve ter um termo proporcional ao Laplaciano de h(−→x , t) [12]. A forma mais simples de uma equação com essas características e que obedeça aos princípios de simetria é
∂h(−→x , t) ∂t = ν∇
2h(−→x , t) + η(−→x , t), (5.18)
onde ν é chamado de coeficiente linear. Para ν > 0, regiões correspondentes a "vales” (∇2h > 0) crescem com uma taxa maior que aquelas correspondentes a "pi-
cos” (∇2h < 0)[12]. Nesse caso, ν pode ser associado a uma tensão superficial que
tende a suavizar o perfil.
A equação acima, chamada de equação EW [36], foi proposta em 1982 com o objetivo de modelar a evolução de interfaces rugosas onde, além do processo de deposição, ocorrem processos de sedimentação [12]. Por ser linear, é possível obter a solução exata da equação através da análise de Fourier, ou, como mostrado a seguir, pode-se obter os expoentes de escala desta equação através de um argumento de escala; Considere as transformações de escala,
−
→x → b−→x ≡ −→x0
, (5.19)
h → bαh ≡ h0, (5.20)
t → bzt ≡ t0. (5.21)
Para estas transformações os gradientes se tornam,
∂ ∂t0 = b
−z ∂
5.4 Equações Lineares 55
∂2 ∂−→x02 = b
−2 ∂2
∂−→x2. (5.23)
A reescala do ruído será obtida usando a propriedade da função delta de Dirac
δd(a−→x ) = 1 adδ(− →x ); (5.24) assim, hη(−→x , t)η(−→x0, t0)i → hη(b−→x , bzt)η(b−→x0, bzt0)i (5.25) → 2Dδd(b−→x − b−→x0)δ(bzt − bzt0) (5.26) → b−(d+z)hη(−→x , t)η(−→x0, t0)i. (5.27)
Logo, conclui-se que
η(−→x0, t0) → b−(d+z)2 η(−→x , t). (5.28)
Assim, podemos reescrever a equação 5.18,
∂h(−→x , t) ∂t = νb
(z−2)h(−→x , t) + b(−d2+z2−α)η(−→x , t). (5.29)
Como a equação deve ser invariante segundo estas transformações, uma vez que a interface é auto-afim, os expoentes dos coeficientes de b serão todos nulos; logo,
z = 2, (5.30) α = 2 − d 2 , (5.31) o que fornece βw = 2 − d 4 , (5.32)
5.4 Equações Lineares 56
onde d é a dimensão do substrato sobre o qual é realizado o processo de deposição. Se for substituído d = 1 nesta última equação, pode-se explicar que a DARS per- tence à mesma UC da equação EW, conclusões que também são válidas em dimen- sões superiores. Para d = 2 o comportamento da rugosidade é logarítmico, enquanto que, para dimensões superiores, os expoentes críticos são negativos, o que indica o desenvolvimento de interfaces lisas (sem rugosidade).
Na difusão superficial as partículas podem se movimentar em direções paralelas ao substrato, gerando uma corrente j(−→x , t), também paralela à superfície. Tendo em vista que o número de partículas não se altera durante o processo de difusão, essa corrente deve obedecer à equação de continuidade [41]
∂h(−→x , t)
∂t = −∇j(−
→x , t). (5.33)
Como as partículas buscam maximizar o número de ligações, devemos ter j(−→x , t) ∝ −∇µ(−→x , t)
onde µ(−→x , t)é o potencial de ligação. Porém, regiões com curvatura positiva são mais favoráveis ao aumento do número de ligações do que regiões com curvatura negativa. Assim é razoável escrever µ(−→x , t) ∝ −∇2h(−→x , t), donde
∂h(−→x , t)
∂t = −K∇
4h(−→x , t) + η(x, t). (5.34)
Considerando as transformações de escala 5.19, 5.20, 5.21 e lembrando que ∇04 → b−4∇4, a equação 5.34 pode ser reescrita como
b(−z+α)∂h(−
→x , t)
∂t = −Kb
(−4+α)∇h(−→x , t) + b(−d+z2 )η(x, t), (5.35)
dividindo ambos os membros da equação por b(−z+α), temos
∂h(−→x , t)
∂t = −Kb
(−4+z)∇h(−→
x , t) + b(−d+z−2α2 )η(x, t), (5.36)
A equação linear 5.34 descreve a DAD. Como a interface é auto-afim, o termo b deve apresentar valor 1 e seus expoentes deverão ser todos nulos. Dessa forma:
5.5 Equações Não-lineares 57 z − 4 = 0 (5.37) encontrando z = 4. (5.38) • Para b(−d+z−2α2 ) = 1, temos −d + z − 2α 2 = 0, (5.39)
substituindo o valor de z encontrado na equação 5.38 e isolando α, obtemos
α = 4 − d
2 , (5.40)
• Para encontrarmos o valor de βw, reportamos à equação 5.8 obtendo
βw =
4 − d
8 . (5.41)
5.5
Equações Não-lineares
Consideremos agora o problema de descrever uma equação de crescimento para a DB, modelo de crescimento que viola a lei de simetria onde a velocidade média de crescimento da interface é maior que a taxa de deposição, logo, este processo não obedece a simetria up/down.
Neste caso, a teoria linear não é suficiente e devemos introduzir um termo não- linear na equação devido à existência de um crescimento lateral na dinâmica definida por esse modelo. Acrescentando esse termo não-linear [13] à equação EW obtemos
∂h(−→x , t) ∂t = ν∇
2
h(x, t) + λ(∇h)2+ η(−→x , t), (5.42) conhecida como equação Kardar-Parisi-Zhang, ou equação KPZ [37]. O coeficiente λ é chamado de coeficiente não-linear e está relacionado à velocidade lateral de propa- gação da interface.
5.6 Classes de Universalidade 58
O modelo DAR também é descrito pela equação KPZ, cuja não-linearidade não permite, até hoje, a obtenção de uma solução exata para os valores dos expoentes de enrugamento em qualquer dimensão [12]. Entretanto, utilizando técnicas de grupos de renormalização [37] pode-se obter, para d = 1
α = 1 2, (5.43) β = 1 3, (5.44) z = 3 2, (5.45)
5.6
Classes de Universalidade
Classes de universalidade (UC’s) para processos de crescimento são determi- nadas pelas propriedades de simetria e leis de conservação subjacentes a esses processos.
Quantitativamente, o conjunto dos valores dos expoentes de enrugamento para um dado processo define a classe a que ele pertence. Sob esse prisma, se dois sistemas possuem os mesmos valores para os expoentes de enrugamento, dizemos que eles pertencem à mesma UC e obedecem à mesma equação de crescimento.
Os expoentes da UC do modelo DARS concordam com os obtidos analiticamente através da abordagem de equações de crescimento para a classe EW e fornece os seguintes valores (em d = 1): α = 1
2, β = 1
4, z = 2. O comportamento esperado para a distribuição de alturas no estado estacionário, onde o perfil obtido pode ser mapeado em uma caminhada aleatória cujo perfil possui H = 1
2, indicando a ausência de correlações espaciais. Essa observação é valida para a maioria dos modelos de crescimento fora de equilíbrio, e o valor do expoente de Hust na maioria das vezes se iguala ao expoente da rugosidade no estado estacionário.
No modelo de Deposição Balística (DB) a rugosidade possui o mesmo comporta- mento de escala observado na DARS, porém os expoentes críticos pertencem a outra classe de universalidade. Os expoentes críticos desse modelo em 1 + 1 dimensões (rede unidimensional + evolução temporal) são: α = 1
2, β = 1 3, z =
3
5.6 Classes de Universalidade 59
KK [40], se o local sorteado para a deposição de partículas for um máximo local, a deposição é rejeitada. Apesar de não apresentar reentrâncias, este modelo está na mesma classe da DB e descrita pela equação KPZ.
Outro modelo presente na mesma classe de universalidade da DB é o modelo de Eden [35]. Este modelo é definido por uma periferia de sítios, correspondendo aos primeiros vizinhos dos sítios localizados na fronteira da superfície não ocupada, na qual ocorre a deposição de partículas. Existem três variações do modelo de acordo com a probabilidade de ocupação dos sítios da periferia; na versão A, cada sítio da periferia tem a mesma probabilidade de ser ocupado; na versão B, a probabilidade de ocupação de um sítio da periferia será proporcional ao número de primeiros vizinhos ocupados; já na versão C, um vizinho da fronteira é sorteado aleatoriamente e em seguida escolhe-se um dos seus primeiros vizinhos desocupados para se fazer a de- posição. Resultados simulacionais mostram que as três versões do modelo fornecem os mesmos valores para os expoentes críticos, porém o tempo de relaxação para o estado estacionário é diferente para cada um deles; a versão C é a mais rápida [35].
Em síntese, vimos que os modelos DB e DAR possuem os mesmos valores para os expoentes de enrugamento α = 1
2, β = 1 3, z =
3
2em d = 1, o que implica que ambos são descritos pela mesma equação, a equação KPZ, e dizemos que esses modelos estão na classe de universalidade KPZ. De maneira análoga, a DARS em d = 1 está na classe EW, caracterizada pelos expoentes α = 1
2, β = 1 4, z = 2. Para a classe da DAD em d = 1 temos α = 3 2, β = 3
8, z = 4. Finalmente, a DA define uma quarta UC, com β = 1
2. Neste caso particular, os expoentes α e z não estão definidos, já que não existe saturação nesta dinâmica.
60