Modelos de Alocação de Ativos

No estudo dos modelos de alocação de ativos com mudança de regime comparam-se modelos de portfólios tradicionais com portfólios baseados na abordagem com mudança de regime. Para todos os portfólios foi introduzida a restrição de não negatividade dos pesos, não permitindo operação de vendas a descoberto. Segue-se a descrição dos modelos.

(a) Portfólio de Variância Mínima Global

O portfólio de variância mínima global é a carteira de variância mínima entre todos os portfólios na fronteira eficiente. O portfólio de variância mínima global é solução do problema de programação quadrática do portfólio de variância mínima entre todos os portfólios com pesos que somem a unidade, sendo dado por:

min_} ′Ω

(. %. : . = 1

≥ 0, ∀ ∈ 1, … , }.

O portfólio de variância mínima global faz parte da fronteira eficiente, uma vez que não podemos encontrar outro portfólio com menor risco para o seu nível associado de retorno. O portfólio de mínima variância seria a escolha de portfólio de um agente com função utilidade média variância, com utilidade crescente no retorno e decrescente no risco, que depende apenas do risco como no caso do retorno do portfólio não ser sensível a escolha dos ativos individuais ou nulos. O portfólio de variância mínima tem como vantagem alocações que são independentes de previsões dos retornos esperados dos ativos individuais.

O portfólio de variância mínima global é uma carteira que tende a ter o melhor desempenho nos estudos comparativos com outros portfólios. O portfólio de variância mínima global supera o índice de mercado com melhor rentabilidade penalizada pelo risco, apresentando maior retorno e menor risco em relação ao índice de mercado (CLARKE, SILVA & THORLEY, 2006; HAUGEN & BAKER, 1991). O portfólio de variância mínima global nos exercícios de alocação tende a ter maior uma razão de Sharpe que o portfólio tangente e outros portfólios na fronteira eficiente (JAGANNATHAN & MA, 2003).

(b) Portfólio Tangente

O portfólio tangente é o portfólio que maximiza a razão de Sharpe. O portfólio tangente maximiza o excesso de retorno sobre o ativo livre de risco líquido do seu risco, sendo dado por:

max_} * − “

√ ′Ω (. %. : . = 1

≥ 0, ∀ ∈ 1, … , }.

Onde: E é o vetor de retornos esperados e “ o retorno do ativo livre de risco.

O portfólio tangente é o portfólio ótimo para investimento em ativos de risco. O portfólio tangente esta na fronteira eficiente, não seria factível alcançar um portfólio com maior retorno esperado para o mesmo nível de risco do portfólio tangente. Se um portfólio tivesse maior retorno esperado para o mesmo risco do portfólio tangente, o portfólio tangente não estaria maximizando a razão de Sharpe.

(c) Portfólio Igualmente Ponderado

O portfólio igualmente ponderado aloca sua renda igualmente entre todos os ativos de risco disponíveis para alocação, sendo dado por: = , ∈ 1, … , }. O portfólio igualmente ponderado é um portfólio intuitivo para diversificação de risco. Se a correlação entre todos os ativos for nula a variância deste portfólio se torna zero para um número suficientemente grande de ativos.

DeMiguel, Garlappi&Uppal (2009) avaliam a performance de diferentes portfólios baseados na abordagem média variância comparando com o portfólio igualmente ponderado, considerando alocações sobre conjuntos de índices de mercado, e encontram que o portfólio igualmente ponderado tem desempenho superior sobre os demais portfólios nas diversas métricas de avaliação. Jacobs, Muller & Weber (2013) comparam portfólios da abordagem média variância com regras heurísticas sobre índices setoriais e internacionais e encontram que o portfólio igualmente ponderado oferece ganhos de diversificação semelhantes aos portfólios baseados em otimização.

(d) Portfólio Tangente com Mudança de Regime

O portfólio tangente com mudança de regime é o portfólio esperado condicional aos estados que maximiza a razão de Sharpe e aloca a riqueza esperada entre os portfólios de cada estado. O portfólio tangente com mudança de regime maximiza a razão do excesso de retorno esperado dividido pelo desvio padrão esperado do portfólio. Seja a economia com s ∈S estados possíveis, o portfólio tangente com mudança de regime é dado por = ∑=_BM ( 4 (}, onde ( ( ∈ 1, … , } é solução de:

max_{,… , B }} ∑ ( * ( 4 (} − “

•∑ s Ω s ( 4 (}

(. %. : K ( . 4 (} = 1

( ≥ 0, ∀ ∈ 1, … , }.

O portfólio tangente com mudança de regime esta sobre a fronteira eficiente com mudança de regime. O portfólio tangente com mudança de regime é a escolha ótima de portfólio esperado de ativos de risco condicional aos estados numa carteira de ativo livre de risco e portfólio de ativos arriscados.

(e) Portfólio Tangente Condicional com Mudança de Regime

O portfólio tangente condicional com mudança de regime é um portfólio que maximiza a razão de Sharpe esperada condicional aos estados distribuindo toda a riqueza do agente em cada estado da economia no portfólio atribuído ao mesmo estado, expresso por = ∑=_BM ( 4 (}, onde ( ( ∈ 1, … , } é solução do seguinte problema de programação não linear:

max_{,…, B }}K ] ( * ( − “

• ( Ω s ( c 4 (}

(. %. : ( . = 1, ∀ ( ∈

( ≥ 0, ∀ ∈ 1, … , } ? (

∈

O portfólio tangente condicional com mudança de regime é uma aplicação direta da abordagem de alocação condicional aos estados. Em cada estado temos uma fronteira eficiente, o portfólio tangente condicional com mudança de regime é o portfólio tangente da fronteira eficiente em cada estado ponderado pela probabilidade do estado.

Neste estudo consideramos todas as carteiras com restrição de operações de short-selling. A restrição de não short-selling faz com que os portfólios sejam obtidos através de programas de otimização, enquanto os portfólios permitindo vendas a descoberto possuem solução analítica exata. As operações de vendas a descoberto são difíceis e custosas de operacionalizar na prática e constituem uma restrição sensível dos agentes no mercado financeiro.

Os portfólios média variância tendem a apresentar alocações concentradas em poucos ativos, as estimativas com menores ou maiores retornos esperados e covariâncias tendem a apresentar viés de estimação, sensíveis a realizações amostrais extremas. Os ativos com alta covariância tendem a apresentar pesos pequenos ou até negativos para atingir o objetivo de minimização de risco, enquanto os ativos com menores covariâncias tendem a apresentar maiores alocações. As restrições de não negatividade ou limites superiores dos pesos no portfólio atenuam alocações extremas e podem melhorar o desempenho dos portfólios (JAGANNATHAN & MA, 2003).

As alocações baseadas na abordagem tradicional média variância são portfólios plug-in, inserindo no portfólio os momentos amostrais estimados. Um dos principais problemas da alocação de portfólio com os portfólios na abordagem plug-in é que a otimização do portfólio considera que os momentos estimados são os parâmetros populacionais, enquanto os momentos amostrais estão sujeitos a erros amostrais. O erro das estimativas amostrais resulta freqüentemente em baixo desempenho dos portfólios plug-in.

A teoria do portfólio tenta superar os erros amostrais e o baixo desempenho dos portfólios plug-in melhorando a qualidade dos estimadores amostrais com especificações que minimizam os erros amostrais como os portfólios com estimadores robustos ou estimação Shrinkage. A abordagem com mudança de regime para alocação de portfólio além de melhorar a qualidade das estimativas usadas nos portfólios redefine a especificação do problema de otimização de portfólio considerando a mudança do processo gerador dos dados durante a alocação de carteiras e efeito da incerteza condicional aos estados nos retornos e riscos.