FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO ANDRÉ BARBOSA OLIVEIRA ENSAIOS EM ALOCAÇÃO DE PORTFÓLIO COM MUDANÇA DE REGIME

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FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO

ANDRÉ BARBOSA OLIVEIRA

ENSAIOS EM ALOCAÇÃO DE PORTFÓLIO COM MUDANÇA DE REGIME

SÃO PAULO 2014

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ANDRE BARBOSA OLIVEIRA

ENSAIOS EM ALOCAÇÃO DE PORTFÓLIO COM MUDANÇA DE REGIME

Tese apresentada à Escola de Economia de

São Paulo da Fundação Getulio Vargas, como requisito para obtenção do título de Doutor em Economia.

Área do conhecimento: Economia Financeira

Orientador: Prof. Dr. Pedro Luiz Valls Pereira

SÃO PAULO 2014

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OLIVEIRA, Andre Barbosa.

Ensaios em Alocação de Portfólio com Mudança de Regime /Andre Barbosa Oliveira. - 2014.

75 f.

Orientador: Pedro Luiz Valls Pereira

Tese (doutorado) - Escola de Economia de São Paulo.

1. Investimentos. 2. Análise de séries temporais. 3. Alocação de ativos. 4. Análise multivariada. 5. Otimização matemática. I. Pereira, Pedro Luiz Valls. II. Tese (doutorado) - Escola de Economia de São Paulo. III. Título.

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ANDRE BARBOSA OLIVEIRA

ENSAIOS EM ALOCAÇÃO DE PORTFÓLIO COM MUDANÇA DE REGIME

Tese apresentada à Escola de Economia de

São Paulo da Fundação Getulio Vargas, como requisito para obtenção do título de Doutor em Economia. Área do conhecimento: Economia Financeira Data de aprovação: 15/08/2014 Banca examinadora: ______________________________________ Prof. Dr. Pedro Luiz Valls Pereira (Orientador) FGV-EESP

______________________________________ Prof. Dr. Marcelo Fernandes

FGV-EESP

______________________________________ Prof. Dr. Emerson Fernandes Marçal

FGV-EESP

______________________________________ Prof. Dr. Marcos Eugênio da Silva

FEA-USP

______________________________________ Prof. Dr. Flávio Augusto Ziegelmann

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AGRADECIMENTOS

Agradeço ao professor Pedro Valls pela orientação na tese de doutorado, pude aprender muito durante a orientação. Pedro Valls orientou-me nas mais diversas áreas em todas as fases do doutorado, sem o seu apoio não teria sido possível concluir o doutorado. Além de grande professor, que me ensinou e motivou durante todo o doutorado, faz diferença na instituição e na comunidade de pesquisa acadêmica.

Os anos de doutorado na EESP foram muito produtivos, pude consolidar conhecimentos antigos e adquiri novos. Tive muitas experiências, contatos e aprendizado. Agradeço a todos os professores da EESP e companheiros durante esta jornada em especial Caio Machado, Ricardo Buscariolli, Marília Gabriela Elias e Wagner Monteiro.

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RESUMO

Uma das principais características dos ativos financeiros é a mudança de regime. Os preços dos ativos apresentam pouca variabilidade nos períodos de normalidade e possuem quedas inesperadas e são instáveis nos períodos de crise. Esta tese estuda alocação de portfólio com mudança de regime. O primeiro ensaio considera a decisão ótima de investimento entre os ativos de risco quando o mercado financeiro possui mudança de regime, definindo portfólios ótimos que dependem dos retornos esperados, risco e das crenças sobre o estado do mercado financeiro. O segundo ensaio estuda alocação de portfólio baseada em estimativas do modelo fatorial com mudança de regime e compara com alocações usando modelos fatoriais lineares e momentos amostrais. A mudança de regime tem maior efeito sobre o processo de escolha dos portfólios do que sobre as estimativas usadas para definir as carteiras.

Palavras-chave:Teoria do Portfólio; Modelos Fatoriais; Modelos de Série de Tempo Multivariado com Mudança de Regime.

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ABSTRACT

Among the characteristics of the financial assets an important stylized fact is regime change. Asset prices show little variability in good times and have unexpected drops and are unstable in times of crisis. This thesis studies portfolio allocation with regime change. The first essay considers the optimal investment decision among risky assets when the financial market has regime switching. The optimal portfolio depend on expected returns and risk as well as on beliefs about the state of the financial market. The second essay studies asset allocation based on estimates of the factor model with regime change and compares with allocations using linear factor models and sample moments. The presence of multiple regimes has a greater effect on portfolio choice than on the estimates used to determine the portfolios.

Key-words: Asset Allocation; Factorial Models; Multivariate Time Series Models with Markov Switch Regime.

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ... 8

2 ALOCAÇÃO DE PORTFÓLIO COM MUDANÇA DE REGIME: FRONTEIRA EFICIENTE E PORTFÓLIO TANGENTE COM MUDANÇA DE REGIME ... 10

2.1 Introdução ... 11

2.2 Alocação de Portfólio Condicional ... 13

2.3 Modelos de Série de Tempo com Mudança de Regime ... 15

2.4 Caracterização da Fronteira Eficiente com Mudança de Regime... 17

2.5 Estudo Empírico das Alocações ... 24

2.5.1 Descrição dos Dados ... 24

2.5.2 Modelos de Alocação de Ativos ... 31

2.5.3 Desempenho Comparativo das Carteiras ... 35

2.6 Considerações Finais ... 41

3 ALOCAÇÃO DE PORTFÓLIO COM MODELO FATORIAL COM MUDANÇA DE REGIME ... 44

3.1 Introdução ... 45

3.2 Modelo Fatorial com Mudança de Regime para os Retornos dos Ativos ... 47

3.3 ModeloFama-French-Carhart ... 52

3.4 Metodologia e Descrição dos Dados ... 54

3.4.1 Fatores de Risco ... 55

3.4.2 Ativos Considerados para Alocação ... 59

3.4.3 Metodologia para Alocação Fora da Amostra de Estimação ... 61

3.5 Modelos de Alocação de Portfólio ... 61

3.6 Resultados da Alocação de Portfólio com Modelo Fatorial Linear e Não Linear .... 63

3.7 Considerações Finais ... 67

4 CONCLUSÃO ... 70

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1 INTRODUÇÃO

Os mercados financeiros permitem aos agentes transferir riqueza entre diferentes períodos de tempo e estados da natureza, além de compartilhar e diversificar riscos (MAS-COLELL, WHINSTON & GREEN, 1995; JEHLE & RENY, 2011). Inovações financeiras aumentam as possibilidades de transações e eficiência da economia sob incerteza (COCHRANE, 2005). Agentes operam no mercado financeiro oferecendo diferentes produtos financeiros para compradores que possuem distintas atitudes em relação ao risco e transacionam ativos buscando auferir rentabilidade. Os ensaios que compões esta tese tratam de alocação de portfólio com mudança de regime.

A composição de carteiras de ativos é uma das principais formas de atuação no mercado financeiro. Investidores querem aplicar em uma variedade de ativos que possuam riscos diversificados e rendimentos mais atrativos em comparação a aplicações com pouco número de ativos. Os estudos sobre mercados financeiros são de grande importância, pois podem conseguir identificar melhores estratégias para gestão do risco e evitar crises financeiras.

A abordagem mais popular de alocação em portfólio de ativos é a de Markowitz (1952), que enuncia que os agentes devem diversificar as aplicações para minimizar riscos. O portfólio média variância é amplamente usado por ser tratável analiticamente e pelas aplicações empíricas associadas. Trabalhos posteriores sobre alocação de ativos consistem em aplicações com enfoque dinâmico e abordagens estatísticas (WACHTER, 2010; BRANDT, 2010).

A alocação de ativos consiste na distribuição da riqueza dos agentes entre um conjunto de ativos. A alocação de portfólio depende das preferências dos agentes sobre os riscos e retornos esperados, onde a estimação dos riscos e retornos é uma etapa importante na análise de alocação de portfólio. As alocações dependem das expectativas condicionais dos retornos e riscos dos ativos. A alocação de ativos é um processo sequencial que depende das estimativas da distribuição condicional dos retornos.

Os retornos financeiros se alteram ao longo do tempo, em determinados períodos em que o estado de expansão prevalece, os mercados estão calmos e os retornos mudam lentamente com baixa variabilidade; enquanto que em outros períodos em que o estado de recessão prevalece, os mercados ficam agitados com chegada de novas informações e os retornos se comportam com menor previsibilidade e maior volatilidade. Diversos estudos empíricos aplicam modelos onde o processo gerador dos dados apresenta

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mudança de regime condicional aos estados para descrever os retornos (HAMILTON, 1988; HAMILTON, 1994) e modelos de mudança de regime para descrever a volatilidade dos ativos financeiros (FRANSES E VAN DICK, 2000; HAMILTON E SUSMEL, 1994).

Num ambiente com mudança de regime os retornos esperados e riscos dos ativos dependem do estado da natureza e os investidores racionais devem efetuar alocações considerando os retornos esperados, riscos e crenças sobre o estado da natureza. O primeiro ensaio desenvolve alocações de portfólio ótimas quando a distribuição conjunta dos retornos possui mudança de regime. É estudada a fronteira eficiente com mudança de regime e portfólios com mudança de regime.

O segundo ensaio considera a alocação de portfólio com mudança de regime considerando o modelo fatorial de Fama-French-Carhart (CARHART, 1997). Os modelos fatoriais são aplicados em diferentes análises de finanças e economia. Os retornos dos ativos dependem de fatores de riscos sistemáticos. No modelo fatorial com mudança de regime os processos estocásticos dos retornos é diferente nos estados de normalidade e de crise e dependendo do estado da natureza não observável que possui uma dada probabilidade inferida pelos dados. Realizamos alocação de ativos baseadas nos modelos fatoriais com mudança de regime e comparamos com as alocações com modelos fatoriais lineares e baseadas em momentos amostrais.

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2 ALOCAÇÃO DE PORTFÓLIO COM MUDANÇA DE REGIME: FRONTEIRA EFICIENTE E PORTFÓLIO TANGENTE COM MUDANÇA DE REGIME

Resumo

A alocação de portfólio é importante na gestão riscos e realização de ganhos no mercado financeiro. A alocação de ativos é uma tomada de decisão sob incerteza baseada em métodos estatísticos. Os retornos dos ativos financeiros geralmente apresentam mudança de regime, com distribuição dos retornos diferente nos períodos de normalidade e crise. A mudança de regime no processo gerador dos retornos torna necessário reformular o problema de alocação de portfólio. Este trabalho desenvolve modelos de alocação de portfólio com mudança de regime. Como resultado do estudo comparativo de alocação de ativos os portfólios com mudança de regime permitem aumentar o espaço de risco e retorno, diminuindo o risco para cada nível de retornos da fronteira eficiente média variância, e possuem melhor relação risco e retorno dos rendimentos no tempo.

Palavras-chave: Teoria do portfólio; Modelos de séries de tempo com mudança de regime markoviana; Otimização.

Abstract

Portfolio choice is important for risk diversification and for realizing gains in the financial market. Asset allocation is a decision under uncertainty based on statistical methods. The returns of financial assets generally have multiple regimes, with different distribution of returns in periods of expansion and recession. Regime switching in the data generation process of returns, it is necessary to reformulate the problem of portfolio allocation. This paper develops models of asset allocation with regime change. As a result of the comparative study of the asset allocation portfolios with regime change allow increase the space risk and return, reducing the risk for each level of average return under efficient frontier, and has the best risk-return relationship along time. Key-words: Portfolio theory; Time series models with regime switch; Optimization theory.

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2.1 Introdução

Os mercados financeiros são um dos mercados mais importantes da economia. Permitem aos agentes transferir riqueza entre diferentes períodos de tempo e estados da natureza, além de compartilhar e diversificar riscos (MAS-COLELL, WHINSTON & GREEN, 1995; JEHLE & RENY, 2011). Inovações financeiras aumentam as possibilidades de transações e eficiências da economia sob incerteza (COCHRANE, 2005). Agentes operam no mercado financeiro oferecendo diferentes produtos financeiros para compradores que possuem distintas atitudes em relação ao risco e transacionam ativos buscando auferir rentabilidade.

A composição de carteiras de ativos é uma das principais formas de atuação no mercado financeiro. A abordagem mais popular de alocação em portfólio de ativos é a de Markowitz (1952), que enuncia que os agentes devem diversificar as aplicações para minimizar riscos. Investidores querem investir em uma variedade de ativos que possuam riscos diversificados e rendimentos mais atrativos em comparação a aplicações com pequeno número de ativos. Até mesmo fora do setor financeiro, empresas comerciais e fabricantes desenvolvem estratégias baseadas em princípios de alocação de ativos para conseguir carteiras de clientes e fornecedores mais vantajosas.

A alocação de ativos consiste na distribuição da riqueza dos agentes entre um conjunto de ativos. A alocação de portfólio depende das preferências dos agentes sobre os riscos e retornos esperados, onde a estimação dos riscos e retornos é uma etapa importante na análise de alocação de portfólio. As alocações dependem das expectativas condicionais dos retornos e riscos dos ativos. A alocação de ativos é um processo sequencial que depende das estimativas da distribuição condicional dos retornos.

Os retornos dos ativos financeiros se alteram ao longo do tempo, em determinados períodos sobre estado de normalidade os mercados estão calmos e os retornos mudam lentamente com baixa variabilidade; enquanto que em outros períodos, de crise os mercados ficam agitados com a chegada de novas informações e os retornos se comportam com menor previsibilidade e maior volatilidade. Diversos estudos empíricos aplicam modelos onde o processo gerador dos dados apresenta mudança de regime condicional aos estados para descrever os retornos (HAMILTON, 1988; HAMILTON, 1994) e modelos de mudança de regime para descrever a volatilidade dos ativos financeiros (FRANSES E VAN DICK, 2000; HAMILTON E SUSMEL, 1996).

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A fronteira média-variância é o conjunto de retornos e riscos dos ativos financeiros e a fronteira eficiente está sobre este conjunto, estabelecendo alocações de mínimo risco para dado retorno médio da carteira. A fronteira média variância define um conjunto de escolha dos portfólios dos agentes, escolhendo um portfólio que tenha uma relação entre retorno e risco de acordo com as suas preferências frente à incerteza. Para uma economia com diferentes estados possíveis da natureza, o agente escolhe um plano de portfólios contingente aos estados da natureza.

A abordagem média-variância de diversificação de risco é extensamente aplicada em finanças. No entanto, os portfólios ótimos estabelecidos pela fronteira média-variância, como o portfólio tangente, tendem a apresentar baixo desempenho de rendimentos (JAGANNHATAN & MA, 2003; DEMIGUEL, GARLAPPI & UPPAL, 2009). Pela otimização empírica do portfólio média-variância, seus portfólios tendem a serem concentrados em poucos ativos, suas alocações são concentradas nos ativos com maiores retornos e menores variâncias que são as estimativas mais sensíveis a observações extremas e erros amostrais de estimação (FUSAI & RONCORONI, 2008).

Os portfólios de média-variância definem escolhas ótimas de diversificação supondo que temos os parâmetros de risco e retorno populacionais, porém a otimização é baseada em estimativas de momentos que possuem erros amostrais e diferem dos riscos e retornos realizados (MICHAUD, 1989; SCHERER, 2002). Os portfólios de média-variância não levam em conta os diferentes estados da natureza que tornam maiores os erros de previsão das estimativas dos momentos incondicionais. A distribuição conjunta dos retornos é diferente nos períodos de crise e expansão. A diversificação de risco ótima deve considerar que os retornos e riscos dependem dos estados da natureza e suas probabilidades de ocorrência.

Este capítulo se propõe a estudar a composição de carteiras ótimas com mudança de regime. O risco e retorno das alocações esperadas na fronteira eficiente com mudança de regime seriam iguais aos dos portfólios na fronteira eficiente sem mudança de regime, para o mesmo retorno médio teriam igual risco esperado. Porém, as alocações da fronteira eficiente com mudança de regime é a especificação correta quando a distribuição conjunta dos retornos possui mudança de regime. Em processos com mudança de regime as alocações da fronteira eficiente invariante aos estados apresentam um erro de especificação e não corresponde a diversificação ótima, pois além dos riscos e retornos serem estimativas inadequadas o problema apresentaria erro de especificação.

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Neste trabalho, reformularemos o problema de alocação de portfólio desenvolvendo o conjunto de escolhas de ativos e portfólios ótimos quando o ambiente possui distintos estados, com risco e retorno condicionais aos estados. A alocação com mudança de regime é mais diversificada que os portfólios de média-variância e os portfólios ótimos com mudança de regime introduzidos neste estudo possuem melhor relação de risco e retorno que os portfólios de média-variância tradicionais.

Este capítulo está organizado da seguinte forma. Na segunda seção, caracterizamos a alocação de ativos como uma escolha intertemporal sob incerteza dependente dos estados usando o conjunto de informação corrente, onde o conjunto de informação e as estimativas se adaptam ao longo do tempo. Na terceira seção, tratamos do modelo estatístico para estimação dos retornos e riscos da alocação com incerteza dependente dos estados da natureza, apresentando-se os modelos de série de tempo com mudança de regime markoviana. A quarta seção estabelece a fronteira de média-variância com mudança de regime, o conjunto de todos os retornos e riscos esperados no qual os investidores fazem suas escolhas de portfólio condicional aos estados. Na quinta seção, realizamos uma aplicação empírica do portfólio com mudança de regime comparando aos portfólios tradicionais sobre os ativos de risco mais líquidos no mercado de ações brasileiro. Na sexta seção as considerações finais são apresentadas.

2.2 Alocação de Portfólio Condicional

A alocação de portfólio é uma escolha sob incerteza, em que os agentes escolhem no período corrente em quais ativos vão investir sobre retornos e riscos que vão se realizar no próximo período. A incerteza no mercado de ativos implica que o retorno do portfólio é desconhecido, sendo os ganhos sobre a alocação de ativos incertos e dependentes dos estados. Os retornos são diferentes nos períodos de expansão e crise, representamos a incerteza na alocação de portfólio por estados da natureza.

Os estados da natureza são uma descrição dos resultados possíveis da incerteza. O conjunto dos estados da natureza é um conjunto exaustivo dos estados, sendo os estados mutuamente exclusivos e em número finito. Denotamos um estado por entre S estados possíveis da natureza para o conjunto dos estados = {1, 2, . . . , }.

Na representação da incerteza por estados da natureza um evento aleatório é gerado por uma causa subjacente, as características da realização de um resultado têm como causa um estado da natureza. Por exemplo, a média e a volatilidade dos retornos

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de um ativo dependem se a economia está em normalidade ou crise. Na alocação de portfólio supomos que os agentes definem seu portfólio no período corrente antes da incerteza se realizar comprando os ativos aos preços de mercado, com retorno da alocação do portfólio incerto no próximo período que ocorre depois da incerteza se realizar quando o estado do mundo ocorre.

Seja um mercado de ativos com N ativos de risco, que podem ser representados pelo vetor ( )= , , … , ´, onde representa o retorno do i-ésimo ativo no estado .

O problema de alocação de ativos consiste em definir o quanto investir em cada ação ou titulo no mercado, representado pelo vetor = , , … , onde com

∈

{1, . . . , } representa a fração da renda investida em cada ativo.. Os agentes formam expectativas sobre os retornos e riscos esperados sobre os estados da natureza para realizar alocações. Os ganhos na alocação de ativos estão associados à previsão acurada dos riscos e retornos do mercado no futuro e antecipação do estado da economia.

Tradicionalmente o retorno esperado é representado pelo retorno médio e o risco é representado pela variância dos retornos.

Seja a alocação de portfólio na fronteira média variância, os agentes escolhem as alocações que minimizam o risco de seu portfólio para um dado retorno; ou o problema dual de maximizar o retorno do seu portfólio para um dado risco. Assim no problema de alocação na fronteira de média-variância os agentes realizam a alocação no período corrente, t, para o próximo período, , que minimize os riscos dado um retorno esperado do portfólio condicional ao conjunto de informação corrente, . Sendo o problema de alocação de portfólio na fronteira média variância condicional dado por:

min

{ !"} ′ $%& |

(. %. : * R |, = -

. = 1

Onde: é o vetor de pesos do portfólio de dimensão Nx1; - o retorno esperado do portfólio; e . um vetor unitário de dimensão Nx1.

A abordagem condicional da alocação de portfólio enfatiza o aspecto sequencial e adaptativo da gestão de portfólio, em que os agentes alteram as suas alocações ao longo do tempo de acordo com a atualização das estimativas de riscos e retornos com a

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chegada de novas informações e avaliação sobre o estado da natureza. As expectativas condicionais dos riscos e retornos são determinantes na alocação de ativos.

A alocação dos agentes sobre os ativos de risco da economia dependem dos retornos e riscos dos ativos, que estão sujeitos ao estado que se realiza. Os agentes definem um portfólio para cada estado, = {1,2, …,S}. Se o estado é = 1 a alocação ótima é = 1 ≜ 1 , por outro lado se o estado é = 2 o portfólio é

= 2 ≜ 2 . Para um estado qualquer (

∈

_{a alocação ótima do investidor é}

= ( ≜ ( . Porém os investidores não sabem em determinado período qual o estado da natureza irá ocorrer no período seguinte, possuem apenas uma avaliação das probabilidades dos estados do mundo. Os agentes escolhem a alocação ótima no período corrente, num ambiente com incerteza associada aos estados, pela alocação esperada condicional aos estados expressa como a soma da alocação de cada estado ponderada pela probabilidade do estado.

Para qualquer alocação sub-ótima 0 o agente incorre na perda 1 0 = 0 − ( .Em uma economia com incerteza dependente dos estados os agentes escolhem para o próximo período a alocação que minimiza a perda quadrática esperada condicional a informação corrente min _}* − ( | , estabelecendo a alocação ótima pelo portfólio esperado condicional aos estados ∗ = 1 4{ =

1| } + ⋯ + 4{ = | }.

A alocação de ativos é um processo de tomada de decisão com base em estimativas. Na alocação de portfólio inicialmente faz-se a estimação dos retornos esperados dos riscos das probabilidades de cada estado do mundo, depois prosseguimos para alocação de portfólio usando as estimativas da distribuição dos retornos dos ativos financeiros.

2.3 Modelos de Série de Tempo com Mudança de Regime

O modelo de série de tempo com mudança de regime permite descrever séries temporais dependentes e não identicamente distribuídas (KROLZIG, 1997). Trata-se de um modelo dinâmico, onde os parâmetros do mecanismo gerador dos dados dependem dos estados ao longo do tempo.

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As séries temporais econômicas e financeiras muitas vezes apresentam comportamento complexo, com mudança de suas médias e correlações ao longo do tempo (FRANSES & VAN-DIJK, 2000; HAMILTON, 1989; HAMILTON & SUSMEL, 1994). Muitas vezes os retornos são baixos e suas correlações altas nos períodos de crise, e os retornos são maiores e correlações menores nos períodos de expansão. Os modelos de série de tempo com mudança de regime descrevem a dependência das observações ao longo do tempo e suas diferentes dinâmicas nos períodos de expansão e recessão (HAMILTON, 1994; HAMILTON, 1989; KIM & NELSON, 1999).

Seja a distribuição conjunta do vetor de series de tempo, 7 = 87 _, 7 _, … 7 _, 9 ҆, uma distribuição normal multivariada com mudança de regime, a distribuição normal multivariada com dois regimes = {1,2}, MS(2)MVND (Markov Switch Multivariate Normal Distribution) é dada pelo seguintes processo estocásticos:

7 = ;* = 1 + < ,= >", (? = 1 * = 2 + < ,= >@, (? = 2 A <_,B_>"~ D0, Ω = 1 G e <_,B_>@~ D0, Ω = 2 G, 4 = HI_I I_{I J,} K ILM = M

Em que para s ∈{1,2}, * = ( , é o vetor de médias no regime s; e Ω = ( a matriz de variância covariância no regime s.

Completamos a especificação do modelo com mudança de regime pelo processo estocástico que descreve os estados. No modelo com mudança de regime os estados assumidos pela série temporal ao longo do tempo, , são descritos por uma cadeia de Markov. Num processo de Markov a transição entre os estados ao longo das realizações do processo estocástico dependem apenas do estado presente e do estado a ser assumido no próximo período, e é independente dos estados passados (ROSS, 2007). Sendo a probabilidade do regime j no período t condicional ao regime nos períodos anteriores dadas por:

4{ = N| O = , O = PO , … , Q = Q } = 4 = N| O = }.

As probabilidades de transição I_L = 4 = N| _O = } descrevem as probabilidades de transição do regime i no período t-1 para o regime j no período t, sendo consideradas constantes no tempo na cadeia de markov.

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No modelo apresentado acima a média condicional era constante dentro dos regimes. Uma possível generalização é permitir que a média condicional tenha uma estrutura autorregressiva diferente em cada regime, temos modelos dinâmicos com seus parâmetros se alterando de acordo com o estado. Os parâmetros dependentes do regime podem ser a média, o termo de intercepto, os coeficientes autoregressivos e a variância. Nas aplicações empíricas alguns parâmetros são condicionais ao regime, enquanto outros são invariantes aos estados. Na estimação dos modelos com mudança de regime usamos um procedimento iterativo, aplicando o algoritmo Expectation Maximization (HAMILTON, 1994; KIM &NELSON, 1999).

Nos modelos de série de tempo com mudança de regime os agentes fazem previsões avaliando a distribuição de cada estado e as probabilidades dos regimes. Inicialmente sobre um período de baixa volatilidade o agente faz previsões das observações para o próximo período usando a distribuição deste estado, uma vez que tenha ocorrido uma observação extrema os agentes reavaliam as probabilidades e usam previsões baseadas em médias dos momentos dos estados ponderadas pelas probabilidades dos estados. Sejam as previsões de média e variância para o próximo período de um modelo de distribuição normal multivariada com dois estados:

* 7 | = * = 1 ∗ 4 = 1| } + * = 2 ∗ 4 = 2| }

$R 7 | = Ω = 1 ∗ 4 = 1| } + Ω = 2 ∗ 4 = 2| }.

No modelo de série de tempo com mudança de regime às previsões são sequenciais e adaptativas. As previsões da média e variância são atualizadas ao longo do tempo de acordo com as probabilidades dos regimes inferidas para o próximo período, que dependem das estimativas e observações do período corrente e observações do período passado.

2.4 Caracterização da Fronteira Eficiente com Mudança de Regime

Esta seção apresenta o problema da fronteira eficiente com mudança de regime, estabelecendo o conjunto dos retornos e riscos das alocações eficientes quando a distribuição conjunta dos retornos possui mudança de regime.

Na escolha sob incerteza, os agentes podem realizar alocações para transferir riqueza entre os períodos de tempo e estados da natureza. A alocação de portfólio permite a transferência da dotação da riqueza do período corrente para formar maior

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riqueza do agente no período futuro resultante dos rendimentos sobre a aplicação. Em uma economia onde a atividade econômica possui estados de expansão e recessão, os investidores escolhem alocações para todos os estados da natureza. Assim, na alocação de portfólio com mudança de regime, temos a transferência de riqueza dos agentes entre diferentes estados da natureza sobre diferentes períodos.

Seja uma economia com s estados da natureza, ( ∈ 1, 2, . . . , } , s∈S, por exemplo: chuva ou sol; expansão ou recessão; alta ou baixa dos preços dos ativos. Para a economia com N ativos no mercado financeiro temos um mercado de ativos com vetor de retornos R=[ R1 R2 ... RN]´; sendo o vetor de retornos esperados E(s)=[ µ1(s) µ2(s) ... µN(s)]´ , com retorno esperado E(s) se o estado da natureza s acontece no próximo período.

A matriz de variância covariância dos retornos dos ativos Ω(s), s∈S, é uma matriz simétrica. Ademais a matriz de variância covariância dos retornos é uma matriz simétrica positiva definida, com ′Ωω> 0, ≠ 0.

Numa economia com mercado de ativos com diferentes estados os retornos e riscos dos ativos são contingentes aos estados e portanto, a escolha racional de um portfólio para o próximo período depende das probabilidades dos estados do mundo. A fronteira eficiente com mudança de regime depende dos retornos e riscos esperados e das crenças sobre a realização dos estados. Na derivação analítica da fronteira média variância com mudança de regime consideramos as hipóteses de livre formação de portfólio e matriz de variância covariância dos retornos não singular para um ambiente com mudança de regime.

(A.1) Livre formação de portfólio – Os agentes podem compor quaisquer portfólios sobre os ativos nos estados da natureza. Os agentes, além realizar venda de um ativo para poder financiar compras de ativos com transferência de riqueza entre períodos de tempo, podem realizar transferências entre os estados da natureza comprando um ativo em um estado e vendendo-o sobre outro estado da natureza desde que este estado da natureza realize esta transição. A riqueza dos agentes é contingente aos estados da natureza, em cada estado o agente tem uma riqueza para alocar ativos, e o agente investe toda a sua riqueza esperada nos ativos entre os estados da natureza, tal que: ∑_M 1 4 1} + ⋯ + ∑_M ( 4 (} = 1 , (

∈

ℛ.

(A.2) Matriz de variância covariância dos retornos inversível em cada estado da natureza – Ω ( é invertível em cada estado da natureza, (

∈

1,2, … , }.

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Para cada estado o vetor de retornos tem uma média e variância na distribuição dos retornos condicional ao estado e o agente realiza uma alocação para cada estado, sendo o retorno do portfólio em cada estado X ( = ´ ( ( , ∀( Y .Com uma alocação para cada regime o retorno do portfólio que acontece no próximo período depende das alocações e retornos em cada estado e da probabilidade do regime, onde

Z _{= 1} _{1 4 1} + ⋯ + (} _{( 4 (}.}

Uma alocação na fronteira média variância é o portfólio que minimiza a variância do portfólio para um dado retorno médio. Na alocação de ativos com mudança de regime os agentes escolhem um plano de portfólios contingentes aos estados da natureza ( 1 , 2 ,..., ( ), escolhendo um portfólio ( para cada estado (

∈

1,2, … , }. A fronteira média variância com mudança de regime é definida pelo portfólio esperado condicional aos estados com um dado retorno médio e aloca toda a sua riqueza esperada que minimiza a variância esperada do retorno do portfólio, para

= 1 4 1} + 2 4 2 + ⋯ + ( 4 (} com cada ( solução do seguinte

problema de programação não-linear:

min_{,…, B }}K ´ ( Ω ( ( = BM 4 (} (. %. : K ´ ( * ( 4 (} = BM = - K ´ ( .P s} B BM = 1.

A fronteira média variância com mudança de regime é o conjunto de médias e variâncias dos retornos sobre todos os portfólios esperados condicionais aos estados de variância mínima. A fronteira média variância com mudança de regime define uma hipérbole no plano risco - retorno. Uma alocação na fronteira eficiente com mudança de regime é o portfólio esperado com variância mínima para um dado retorno médio acima do portfólio de variância mínima global. Portfólios na fronteira média variância com retorno esperado abaixo do portfólio de variância mínima global são chamados de portfólios ineficientes, uma vez que podemos obter um portfólio com maior retorno esperado para o mesmo nível de risco.

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Proposição 1: Seja um portfólio na fronteira média variância com mudança de regime,

os pesos do portfólio para um dado retorno médioda alocação (- são dados por:

= K ΩO ₍ = BM ]* ( D^̃- − àG + . %b − à-_{%b^̃ − à} c 4 (},

∀

(

∈

1,2, … , }. Onde %b = ∑=_BM *´ ( dO ( * ( 4 (} ; `a = ∑=_BM *´ ( dO ( .4 (} e ^̃ = ∑= .´dO _{( .4 (}} BM .

Desta forma o vetor de portfólios contingentes aos estados na fronteira média variância com mudança de regime é expresso por:

[ΩO 1 He Df̃gOhaG . ibOhag

ibf̃Oha@ J , … , ΩO ( He B Df̃gOhaG . ibOhag_ibf̃Oha@ J .

Demonstração: O problema de portfólio de variância mínima que define a fronteira média variância contingente aos estados possui uma única solução, pois a função quadrática é estritamente convexa e suas combinações convexas é uma função estritamente convexa. Ademais a transformação monótona de multiplicar a função objetivo por ½ não altera a solução.

Seja o Lagrangiano do problema de minimização:

1 ( ,

λ

,

δ

= ∑_BM= ∗ ´ ( Ω ( ( 4 (}+

λ

- − ∑=_BM ´ ( * ( 4 (} +

δ

∀

(

∈

1´ K ´ ( * ( 4 (} = BM = - 2´ K ´ ( .4 (} = BM = 1 3´

(22)

De (1´)

( 4 (} = Ω ( O

λ

* ( 4 (} +

δ

.4 (} ,

∀

(

∈

λ

_δ

_{J = H- 1J 7} , simplificando a notação, yab ba_{ba cb}} H

λ

_δ

_{J = H- 1J 7´} A solução do sistema é H

λ

_δ

J = yab ba_{`a cb}}O _{H- 1J 8} H

λ

_δ

J = r s s s t ^̃- − à %b^̃ − à %b − à-%b^̃ − à uv v v w

λ

= ^̃- − `a %b^̃ − `a 9 ?

δ

= %b − `a-%b^̃ − `a 10

(23)

O portfólio sobre a fronteira média variância com mudança de regime é dado pela substituição de 9 e 10 em (4), isto é:

( 4 (} = ΩO _{s H* ( 4 (}} f̃gOha

ibf̃Oha@ +

δ

.4 (} _ibf̃OhaibOhag@J=>

( 4 (} = ΩO _{s ]}* ( 4 (}D^̃- − `aG + .4 (}D%b − `a-G

D%b^̃ − `a G c , ∀ s ϵ S. 11 Fazendo a soma e definindo = ∑=_BM ( 4 (}, então usando (11):

= K Ω ( O _]* ( 4 (}D^̃- − àG + .4 (}D%b − à-G D%b^̃ − à G c n oM , fatorando 4 (}, = K Ω ( O _]* ( D^̃- − àG + .4D%b − à-G D%b^̃ − à G c 4 (} n oM 12 , com portfólios contingentes aos estados dados por:

( = Ω ( O _]* ( D^̃- − `aG + .D%b − `a-G

D%b^̃ − `a G c

∀

(

∈

.

Com apenas um estado voltamos para solução analítica da fronteira média variância sem mudança de regime. □

Na alocação esperada ótima em um ativo a contribuição esperada ao risco da carteira é proporcional ao retorno esperado do portfólio condicional aos estados,

H∑ ∑ ^‚ƒ „ … _{( ,} L _{( †}

LM =

BM 4 (}J … ( = H1 + ∑ „=BM ‡_ˆ† ‰*… ( 4 (}J . Os ativos

com maior retorno esperado terão maior alocação e com maior variância esperada menor alocação, porém os maiores retornos e covariâncias estimadas estão nos estados que têm menor probabilidade de acontecer. Isto atenua as alocações concentradas nos ativos de maior retorno esperado e menor risco das alocações da fronteira eficiente média variância.

Pela condição de primeira ordem para a alocação em cada estado temos,

Ω ( ( 4 (} =

λ

* ( 4 (} +

δ

.4 (},

∀

(

∈

. Assim, em cada estado na alocação de

cada ativo, a contribuição da variância do portfólio é proporcional ao retorno esperado do portfólio. Ademais, a taxa de substituição entre os ativos k e l nos estados s1e s2

obedece: 8∑ ^‚ƒD … _{( ,} L _{( G} LM 9 … ( 8∑ ^‚ƒ_LM Š _{( ,} L ₍ ₉ _Š ₍ = 1 + ∑= „‡_ˆ† ‰ *… ₍ BM 1 + ∑= „‡_ˆ† ‰ *Š ₍ BM

(24)

Os ativos terão maior substituição entre os estados quanto maior seu retorno esperado e menor a sua contribuição para a volatilidade relativa entre os estados. Os ativos com maior alocação tanto no estado de alta quanto baixa volatilidade possuem maior retorno esperado entre os regimes, realizando maior ganho nas trocas entre os estados da natureza. Um ativo com um retorno elevado (baixo preço) em um estado de recessão é comprado e permite realizar maior retorno esperado do portfólio quando se realiza o estado de expansão.

O portfólio esperado na fronteira eficiente com mudança de regime é o portfólio esperado de variância mínima para um dado retorno esperado e domina em segunda ordem estocástica quaisquer portfólios que tenham o mesmo retorno esperado. Este resultado é um corolário da dominância estocástica de segunda ordem do portfólio de variância mínima para um dado retorno médio.

Proposição 2: O portfólio esperado na fronteira eficiente com mudança de regime

domina em segunda ordem estocástica qualquer portfólio esperado de igual retorno média.

Demonstração: O portfólio de variância mínima domina em segunda ordem estocástica qualquer alocação com o mesmo retorno médio, desde que o plano de portfólios

contingentes aos estados é solução de

min B }∑=BM ´ ( Ω ( ( 4 (}; ∑=BM ´ ( * ( 4 (} = - ∧ ∑=BM ´ ( 4 (} =

1}. O portfólio esperado condicional aos estados é o portfólio esperado de variância mínima.

Seja a distribuição dos retornos um processo com mudança de regime. Como o portfólio esperado contingente aos estados = ∑=_BM ( 4 (} tem retorno esperado Z =

∑= ′* ( 4 (}

BM e variância do retorno da alocação dada por • Z =

∑= ′ ( Ω ( ( 4 (}

BM , para ( ∀s∈S, portfólio contingente ao estado s na

fronteira eficiente com mudança de regime. Então o portfólio esperado condicional aos estados é o único (pela unicidade da solução) portfólio esperado na fronteira eficiente com mudança de regime, sendo o portfólio esperado de variância mínima para um dado retorno médio, e conseqüentemente domina em segunda ordem estocástica outros portfólios de mesmo retorno médio. □

(25)

2.5Estudo Empírico das Alocações

As alocações de ativos podem ser feitas a partir de diferentes modelos. Esta seção avalia o desempenho comparativo das alocações baseadas na abordagem com mudança de regime com outros modelos de alocação de ativos de referência e benchmarks na literatura. Em seqüência a seção 2.5.1 apresenta os dados utilizados e os procedimentos adotados para efetuar as alocações, a seção 2.5.2 descreve os modelos de alocação de portfólio utilizados para comparação e a seção 2.5.3 avalia o desempenho do rendimento das diferentes carteiras.

2.5.1 Descrição dos Dados

No estudo comparativo empírico do desempenho dos portfólios foi considerado um número reduzido de ativos, representando o problema de investidores pouco capitalizados no investimento em ativos de risco com um portfólio de poucas ações para superar ou reproduzir o resultado de um índice. O aumento do número de ativos no universo de escolha amplia as possibilidades de rendimentos e diversificação de riscos, porém os custos de transação e monitoramento são crescentes sobre o número de ativos em um portfólio.

Os agentes tendem a investir em um número relativamente pequeno de ativos, devido aos custos de transação associado ao fato estilizado de que a variância de portfólios aleatórios ou igualmente ponderado se aproxima de seu limite inferior para um número em torno de 20 ativos (CUTHBERTSON & NITZSCHE, 2004; ELTON & GRUBER, 2010).

Na análise de alocação de ativos foram consideradas as ações mais líquidas que fazem parte do IBOVESPA e com grande extensão de dados históricos. Todos os dados foram extraídos do ECONOMÁTICA®. Os ativos que formam o universo de escolha de investimento estão entre os ativos mais líquidos no mercado de ações brasileiro no período 2003 a 2013, atendendo três critérios: ativos que fazem parte do índice IBOVESPA em 2013; que estejam entre os 20 ativos com maior liquidez média diária no período de 2003 a 2013; tenham transações em mais que em 90% dos dias com pregão. Isto garante liquidez e dados históricos com extensão de 11 anos. Os ativos considerados para composição de portfólios são: PETR4, VALE5, ITUB4, BBDC4, VALE3, PETR3, USIM5, GGBR4, BBAS3, CSNA3, ITSA4, CMIG4, CCRO3, BRAP4,

(26)

PCAR4, ELET6, LAME4, ELET3, GOAU4 e BRKM5. Como benchmarks para avaliação do desempenho das carteiras considerou-se o índice IBOVESPA, como índice de referência para os ativos de risco, e o cdi, como referência de ativo livre de risco.

O comportamento dos preços e retornos dos ativos no conjunto de ações para investimento no período 2003 a 2013 (Gráficos 1 e 2) revelam que seus preços são instáveis e com fortes mudanças na trajetória dos dados nos períodos de crise e movimentos recessivos mundiais e os retornos transitam entre períodos de alta e baixa volatilidade ao longo do tempo. Em particular a crise Subprime provocou uma forte queda nos preços e grande volatilidade nos retornos dos ativos.

A distribuição conjunta dos retornos dos ativos entre 2003 e 2013 se apresenta como um processo com mudança de regime, a distribuição conjunta dos retornos nos períodos de normalidade é diferente dos períodos de crise. Todos os critérios de informação (Tabela 1) para as estimativas dos modelos com mudança de regime e invariantes aos estados, que penalizam ou não o número de parâmetros estimados, indicam que a distribuição normal multivariada com mudança de regime possui melhor ajuste que a distribuição normal multivariada sem mudança de regime.

Tabela 1 – Critérios de Informação: Modelo com Mudança de Regime e Linear.

Nota: (1) MS(2)-MVND indica o modelo de distribuição normal multivariada com mudança de regime, com 2 regimes; MVDN denota a distribuição normal multivariada; (2) A amostra de estimação foi o período de jan/2003 a dez/2013.

MS(2)-MVND MVND

log-likelihood -96272.7475 -99094.1957

AIC 71.4173 73.329

HQ 71.7814 73.5103

(27)

2 6 G rá fi co 1 . P re co s d o s A ti vo s d e R is co S el ec io n a d o s (J a n /2 0 0 3 a D ez /2 0 1 3 ). F o n te : E co n o m á ti ca . E la b o ra p ró p ri a . 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 02/01/2003 02/08/2003 02/03/2004 02/10/2004 02/05/2005 02/12/2005 02/07/2006 02/02/2007 02/09/2007 02/04/2008 02/11/2008 02/06/2009 02/01/2010 02/08/2010 02/03/2011 02/10/2011 02/05/2012 02/12/2012 02/07/2013 IT U B 4 B B D C 4 B B A S3 IT SA 4 B R A P 4 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 02/01/2003 02/08/2003 02/03/2004 02/10/2004 02/05/2005 02/12/2005 02/07/2006 02/02/2007 02/09/2007 02/04/2008 02/11/2008 02/06/2009 02/01/2010 02/08/2010 02/03/2011 02/10/2011 02/05/2012 02/12/2012 02/07/2013 P E T R 4 P E T R 3 V A LE 5 V A LE 3 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 02/01/2003 02/08/2003 02/03/2004 02/10/2004 02/05/2005 02/12/2005 02/07/2006 02/02/2007 02/09/2007 02/04/2008 02/11/2008 02/06/2009 02/01/2010 02/08/2010 02/03/2011 02/10/2011 02/05/2012 02/12/2012 02/07/2013 U SI M 5 G G B R 4 C SN A 3 G O A U 4 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 02/01/2003 02/08/2003 02/03/2004 02/10/2004 02/05/2005 02/12/2005 02/07/2006 02/02/2007 02/09/2007 02/04/2008 02/11/2008 02/06/2009 02/01/2010 02/08/2010 02/03/2011 02/10/2011 02/05/2012 02/12/2012 02/07/2013 C C R O 3 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 02/01/2003 02/08/2003 02/03/2004 02/10/2004 02/05/2005 02/12/2005 02/07/2006 02/02/2007 02/09/2007 02/04/2008 02/11/2008 02/06/2009 02/01/2010 02/08/2010 02/03/2011 02/10/2011 02/05/2012 02/12/2012 02/07/2013 B R K M 5 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 02/01/2003 02/08/2003 02/03/2004 02/10/2004 02/05/2005 02/12/2005 02/07/2006 02/02/2007 02/09/2007 02/04/2008 02/11/2008 02/06/2009 02/01/2010 02/08/2010 02/03/2011 02/10/2011 02/05/2012 02/12/2012 02/07/2013 P C A R 4 LA M E 4 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 02/01/2003 02/08/2003 02/03/2004 02/10/2004 02/05/2005 02/12/2005 02/07/2006 02/02/2007 02/09/2007 02/04/2008 02/11/2008 02/06/2009 02/01/2010 02/08/2010 02/03/2011 02/10/2011 02/05/2012 02/12/2012 02/07/2013 E LE T 6 E LE T 3 C M IG 4

(28)

Gráfico 2. Retornos dos Ativos Selecionados (Jan/2003 a Dez/2013). Fonte: Economática. Elaboração própria. -20 -10 0 10 20 02/01/2003 02/01/2007 02/01/2011 RetPETR4 -20 -10 0 10 20 02/01/2003 02/01/2007 02/01/2011 RetPETR3 -20 -10 0 10 20 02/01/2003 02/01/2007 02/01/2011 RetVALE5 -30 -20 -10 0 10 20 02/01/2003 02/01/2007 02/01/2011 RetVALE3 -20 -10 0 10 20 30 02/01/2003 02/01/2007 02/01/2011 RetITUB4 -20 -10 0 10 20 30 02/01/2003 02/01/2007 02/01/2011 RetBBDC4 -20 -10 0 10 20 30 02/01/2003 02/01/2007 02/01/2011 RetBBAS3 -20 -10 0 10 20 30 02/01/2003 02/01/2007 02/01/2011 RetITSA4 -30 -20 -10 0 10 20 02/01/2003 02/01/2007 02/01/2011 RetBRAP4 -20 -10 0 10 20 02/01/2003 02/01/2007 02/01/2011 RetUSIM5 -20 -10 0 10 20 02/01/2003 02/01/2007 02/01/2011 RetGGBR4 -30 -20 -10 0 10 20 30 02/01/2003 02/01/2007 02/01/2011 RetCSNA3 -20 -10 0 10 20 02/01/2003 02/01/2007 02/01/2011 RetGOAU4 -20 -10 0 10 20 02/01/2003 02/01/2007 02/01/2011 RetCCRO3 -20 -10 0 10 20 30 02/01/2003 02/01/2007 02/01/2011 RetBRKM5 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 02/01/2003 02/01/2007 02/01/2011 RetPCAR4 -20 -10 0 10 20 30 02/01/2003 02/01/2007 02/01/2011 RetLAME4 -30 -20 -10 0 10 20 30 02/01/2003 02/01/2007 02/01/2011 RetELET6 -20 -10 0 10 20 02/01/2003 02/01/2007 02/01/2011 RetELET3 -30 -20 -10 0 10 20 02/01/2003 02/01/2007 02/01/2011 RetCMIG4

(29)

2 8 G rá fi co 3 – P ro b a b il id a d es d o s R eg im es d a D is tr ib u iç ã o N o rm a l M u lt iv a ri a d a co m M u d a n ça d e R eg (j a n /2 0 0 3 a D ez /2 0 1 3 ). G rá fi co 4 . In d ic e e R et o rn o s IB O V E S P A ( J a n /2 0 0 3 a D ez /2 0 1 3 ). F o n te : E co n o m á ti ca . E la b o ra çã o p ró p ri a . 0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .6 0 .7 0 .8 0 .9 1 03/01/2003 22/04/2003 29/07/2003 24/10/2003 27/01/2004 29/04/2004 29/07/2004 28/10/2004 01/02/2005 05/05/2005 03/08/2005 03/11/2005 03/02/2006 10/05/2006 08/08/2006 08/11/2006 13/02/2007 17/05/2007 16/08/2007 19/11/2007 26/02/2008 29/05/2008 27/08/2008 25/11/2008 02/03/2009 02/06/2009 01/09/2009 03/12/2009 11/03/2010 11/06/2010 10/09/2010 13/12/2010 17/03/2011 16/06/2011 15/09/2011 16/12/2011 20/03/2012 20/06/2012 19/09/2012 21/12/2012 01/04/2013 01/07/2013 27/09/2013 P {S t-1 =1 |Y t-1 P {S t= 1 |Y t-1 } 0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .6 0 .7 0 .8 0 .9 1 03/01/2003 22/04/2003 29/07/2003 24/10/2003 27/01/2004 29/04/2004 29/07/2004 28/10/2004 01/02/2005 05/05/2005 03/08/2005 03/11/2005 03/02/2006 10/05/2006 08/08/2006 08/11/2006 13/02/2007 17/05/2007 16/08/2007 19/11/2007 26/02/2008 29/05/2008 27/08/2008 25/11/2008 02/03/2009 02/06/2009 01/09/2009 03/12/2009 11/03/2010 11/06/2010 10/09/2010 13/12/2010 17/03/2011 16/06/2011 15/09/2011 16/12/2011 20/03/2012 20/06/2012 19/09/2012 21/12/2012 01/04/2013 01/07/2013 27/09/2013 P {S t-1 =2 |Y t-1 P {S t= 2 |Y t-1 } 0 10 00 0 20 00 0 30 00 0 40 00 0 50 00 0 60 00 0 70 00 0 80 00 0 02/01/2003 02/07/2003 02/01/2004 02/07/2004 02/01/2005 02/07/2005 02/01/2006 02/07/2006 02/01/2007 02/07/2007 02/01/2008 02/07/2008 02/01/2009 02/07/2009 02/01/2010 02/07/2010 02/01/2011 02/07/2011 02/01/2012 02/07/2012 02/01/2013 02/07/2013 IB O V -1 5 -1 0 -5 0 5 10 15 02/01/2003 02/07/2003 02/01/2004 02/07/2004 02/01/2005 02/07/2005 02/01/2006 02/07/2006 02/01/2007 02/07/2007 02/01/2008 02/07/2008 02/01/2009 02/07/2009 02/01/2010 02/07/2010 02/01/2011 02/07/2011 02/01/2012 02/07/2012 02/01/2013 02/07/2013 Re tIB O VE SP A

(30)

Como a grande maioria destes ativos faz parte do IBOVESPA ao longo do tempo podemos analisar os efeitos de mudança do processo dos retornos pelo comportamento do IBOVESPA, pois o risco de mercado que afeta os ativos individuais esta presente no índice de mercado. Os períodos de maior volatilidade do IBOVESPA coincidem com maior probabilidade de crise, inferidas pelo modelo multivariado com mudança de regime (Gráfico 3). O índice IBOVESPA é um portfólio representativo com ações das principais empresas com transação na bolsa de valores de São Paulo, sendo um indicador da valorização ou queda dos ativos de risco no mercado de ações brasileiro.

No período de 2003 a 2013, o IBOVESPA foi afetado por várias crises internacionais (Gráfico 4). Entre o primeiro semestre de 2003 e o primeiro semestre de 2008 o índice sofreu forte valorização. O movimento de valorização do IBOVESPA é quebrado fortemente com a crise do Subprime entre o segundo semestre de 2008 e primeiro semestre de 2009, quando o índice alcança o ponto mínimo do vale, e segue em recuperação até atingir o nível precedente a crise no primeiro semestre de 2010. Entre o segundo semestre de 2008 e o primeiro semestre de 2010, temos forte volatilidade dos retornos do IBOVESPA. O período da crise do Subprime caracterizou um forte movimento recessivo mundial, com níveis de queda da produção e desemprego comparáveis a crise mundial de 1929.

O movimento de crescimento do IBOVESPA após a crise do Subprime foi interrompido com a Crise Financeira da Grécia no início de 2010. Entre o final do segundo semestre de 2010 e o primeiro semestre de 2011 a crise começa a se espalhar pela Zona do Euro atingindo primeiro a Irlanda e depois Portugal. Estes movimentos de incerteza frente a uma nova crise mundial provocaram quedas e volatilidade no IBOVESPA. No segundo semestre de 2012 temos nova queda do IBOVESPA com a crise da Zona do Euro atingindo a Espanha. O ultimo movimento de volatilidade do IBOVESPA ocorre com a crise financeira do Chipre no primeiro semestre de 2013, como último movimento recessivo mundial da Crise da Zona do Euro. Durante o início da crise da Zona do Euro, o IBOVESPA permanece pouco volátil, mas, com a expansão da crise para mais países em 2011 temos mais volatilidade e movimentos mais pronunciados de mercado.

Na análise do desempenho das carteiras utilizam-se dois períodos de avaliação. O intervalo entre o segundo semestre de 2010 ao final de 2013, com exame em períodos de expansão e crise. O intervalo do segundo semestre de 2008 forma o período de

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cenário de stress durante a crise Subprime. O período de avaliação é dividido em três momentos: (i) um período de baixa volatilidade no mercado, com movimentos de expansão da economia entre 1ºSemestre/2010 e 1ºSemestre/2011; (ii) um período de alta volatilidade, com movimentos recessivos entre 2ºSemestre/2011 e 2ºSemestre/2013; (iii) ainda faz-se um teste de stress avaliando o desempenho das carteiras entre 05/2008 e 11/2008 num cenário de extrema volatilidade entre o início da queda do IBOVESPA e a cotação mínima do vale durante a crise do Subprime.

Para fazer as alocações usamos os log-retornos diários em escala centesimal, & = 100 ∗ ln 4 4⁄ O em que 4 é o preço em t e 4_O em t-1, com uma janela crescente para as estimações com período mínimo de amostra de estimação de 5 anos. As alocações são feitas para o período de um mês, com as estimações para a alocação de um mês usando a amostra até o dia imediatamente anterior ao primeiro dia com registro de cotação do mês da alocação. Assim as alocações entre 2º Semestre/2010 e 2º Semestre/2013 usam uma janela crescente começando no 2º Semestre/2005. As alocações durante a crise do Subprime usam a amostra a partir do 1ºSemestre/2003.

As alocações dos portfólios são realizadas usando a previsão dos retornos e riscos para o primeiro dia após o fim da amostra de estimação, a última observação dos retornos dos ativos reúne toda a informação do mercado e os preços dos ativos se difundem a partir da ultima observação de mercado (HULL, 1998; SHREVE, 2005). Os portfólios média-variância são definidos usando como retornos e risco esperados suas estimativas amostrais com base em retornos diários. Os portfólios com mudança de regime são executados com as previsões da distribuição conjunta dos retornos com mudança de regime para os retornos e riscos para o próximo dia fora da amostra de estimação.

A literatura de alocação de ativos geralmente especifica portfólios com uma hipótese de distribuição conjunta dos retornos dos ativos independente e identicamente distribuída, muitas vezes o único refinamento para o processo de estimação é considerar janela móvel dos estimadores incondicionais amostrais. Alguns trabalhos vão além e consideram modelos específicos para estimar os retornos e variância. No entanto não se contempla a mudança de regime no processo gerador dos dados que é uma característica presente em muitos ativos financeiros, principalmente para amostras sobre um período grande de tempo.

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2.5.2 Modelos de Alocação de Ativos

No estudo dos modelos de alocação de ativos com mudança de regime comparam-se modelos de portfólios tradicionais com portfólios baseados na abordagem com mudança de regime. Para todos os portfólios foi introduzida a restrição de não negatividade dos pesos, não permitindo operação de vendas a descoberto. Segue-se a descrição dos modelos.

(a) Portfólio de Variância Mínima Global

O portfólio de variância mínima global é a carteira de variância mínima entre todos os portfólios na fronteira eficiente. O portfólio de variância mínima global é solução do problema de programação quadrática do portfólio de variância mínima entre todos os portfólios com pesos que somem a unidade, sendo dado por:

min_} ′Ω

(. %. : . = 1

≥ 0, ∀ ∈ 1, … , }.

O portfólio de variância mínima global faz parte da fronteira eficiente, uma vez que não podemos encontrar outro portfólio com menor risco para o seu nível associado de retorno. O portfólio de mínima variância seria a escolha de portfólio de um agente com função utilidade média variância, com utilidade crescente no retorno e decrescente no risco, que depende apenas do risco como no caso do retorno do portfólio não ser sensível a escolha dos ativos individuais ou nulos. O portfólio de variância mínima tem como vantagem alocações que são independentes de previsões dos retornos esperados dos ativos individuais.

O portfólio de variância mínima global é uma carteira que tende a ter o melhor desempenho nos estudos comparativos com outros portfólios. O portfólio de variância mínima global supera o índice de mercado com melhor rentabilidade penalizada pelo risco, apresentando maior retorno e menor risco em relação ao índice de mercado (CLARKE, SILVA & THORLEY, 2006; HAUGEN & BAKER, 1991). O portfólio de variância mínima global nos exercícios de alocação tende a ter maior uma razão de Sharpe que o portfólio tangente e outros portfólios na fronteira eficiente (JAGANNATHAN & MA, 2003).

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(b) Portfólio Tangente

O portfólio tangente é o portfólio que maximiza a razão de Sharpe. O portfólio tangente maximiza o excesso de retorno sobre o ativo livre de risco líquido do seu risco, sendo dado por:

max_} * − “

√ ′Ω (. %. : . = 1

≥ 0, ∀ ∈ 1, … , }.

Onde: E é o vetor de retornos esperados e “ o retorno do ativo livre de risco.

O portfólio tangente é o portfólio ótimo para investimento em ativos de risco. O portfólio tangente esta na fronteira eficiente, não seria factível alcançar um portfólio com maior retorno esperado para o mesmo nível de risco do portfólio tangente. Se um portfólio tivesse maior retorno esperado para o mesmo risco do portfólio tangente, o portfólio tangente não estaria maximizando a razão de Sharpe.

(c) Portfólio Igualmente Ponderado

O portfólio igualmente ponderado aloca sua renda igualmente entre todos os ativos de risco disponíveis para alocação, sendo dado por: = , ∈ 1, … , }. O portfólio igualmente ponderado é um portfólio intuitivo para diversificação de risco. Se a correlação entre todos os ativos for nula a variância deste portfólio se torna zero para um número suficientemente grande de ativos.

DeMiguel, Garlappi&Uppal (2009) avaliam a performance de diferentes portfólios baseados na abordagem média variância comparando com o portfólio igualmente ponderado, considerando alocações sobre conjuntos de índices de mercado, e encontram que o portfólio igualmente ponderado tem desempenho superior sobre os demais portfólios nas diversas métricas de avaliação. Jacobs, Muller & Weber (2013) comparam portfólios da abordagem média variância com regras heurísticas sobre índices setoriais e internacionais e encontram que o portfólio igualmente ponderado oferece ganhos de diversificação semelhantes aos portfólios baseados em otimização.

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(d) Portfólio Tangente com Mudança de Regime

O portfólio tangente com mudança de regime é o portfólio esperado condicional aos estados que maximiza a razão de Sharpe e aloca a riqueza esperada entre os portfólios de cada estado. O portfólio tangente com mudança de regime maximiza a razão do excesso de retorno esperado dividido pelo desvio padrão esperado do portfólio. Seja a economia com s ∈S estados possíveis, o portfólio tangente com mudança de regime é dado por = ∑=_BM ( 4 (}, onde ( ( ∈ 1, … , } é solução de:

max_{,… , B }} ∑ ( * ( 4 (} − “

•∑ s Ω s ( 4 (}

(. %. : K ( . 4 (} = 1

( ≥ 0, ∀ ∈ 1, … , }.

O portfólio tangente com mudança de regime esta sobre a fronteira eficiente com mudança de regime. O portfólio tangente com mudança de regime é a escolha ótima de portfólio esperado de ativos de risco condicional aos estados numa carteira de ativo livre de risco e portfólio de ativos arriscados.

(e) Portfólio Tangente Condicional com Mudança de Regime

O portfólio tangente condicional com mudança de regime é um portfólio que maximiza a razão de Sharpe esperada condicional aos estados distribuindo toda a riqueza do agente em cada estado da economia no portfólio atribuído ao mesmo estado, expresso por = ∑=_BM ( 4 (}, onde ( ( ∈ 1, … , } é solução do seguinte problema de programação não linear:

max_{,…, B }}K ] ( * ( − “

• ( Ω s ( c 4 (}

(. %. : ( . = 1, ∀ ( ∈

( ≥ 0, ∀ ∈ 1, … , } ? (

∈

.

O portfólio tangente condicional com mudança de regime é uma aplicação direta da abordagem de alocação condicional aos estados. Em cada estado temos uma fronteira eficiente, o portfólio tangente condicional com mudança de regime é o portfólio tangente da fronteira eficiente em cada estado ponderado pela probabilidade do estado.

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Neste estudo consideramos todas as carteiras com restrição de operações de short-selling. A restrição de não short-selling faz com que os portfólios sejam obtidos através de programas de otimização, enquanto os portfólios permitindo vendas a descoberto possuem solução analítica exata. As operações de vendas a descoberto são difíceis e custosas de operacionalizar na prática e constituem uma restrição sensível dos agentes no mercado financeiro.

Os portfólios média variância tendem a apresentar alocações concentradas em poucos ativos, as estimativas com menores ou maiores retornos esperados e covariâncias tendem a apresentar viés de estimação, sensíveis a realizações amostrais extremas. Os ativos com alta covariância tendem a apresentar pesos pequenos ou até negativos para atingir o objetivo de minimização de risco, enquanto os ativos com menores covariâncias tendem a apresentar maiores alocações. As restrições de não negatividade ou limites superiores dos pesos no portfólio atenuam alocações extremas e podem melhorar o desempenho dos portfólios (JAGANNATHAN & MA, 2003).

As alocações baseadas na abordagem tradicional média variância são portfólios plug-in, inserindo no portfólio os momentos amostrais estimados. Um dos principais problemas da alocação de portfólio com os portfólios na abordagem plug-in é que a otimização do portfólio considera que os momentos estimados são os parâmetros populacionais, enquanto os momentos amostrais estão sujeitos a erros amostrais. O erro das estimativas amostrais resulta freqüentemente em baixo desempenho dos portfólios plug-in.

A teoria do portfólio tenta superar os erros amostrais e o baixo desempenho dos portfólios plug-in melhorando a qualidade dos estimadores amostrais com especificações que minimizam os erros amostrais como os portfólios com estimadores robustos ou estimação Shrinkage. A abordagem com mudança de regime para alocação de portfólio além de melhorar a qualidade das estimativas usadas nos portfólios redefine a especificação do problema de otimização de portfólio considerando a mudança do processo gerador dos dados durante a alocação de carteiras e efeito da incerteza condicional aos estados nos retornos e riscos.

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2.5.3 Desempenho Comparativo das Carteiras

Na análise do desempenho comparativo das carteiras com mudança de regime e portfólios média-variância inicialmente são examinadas as fronteiras eficiente geradas por estes portfólios, seguindo para métricas de desempenho de portfólio e comparação de rendimento acumulado.

A fronteira eficiente de um modelo de alocação de ativos descreve os conjuntos riscos e retornos esperados disponíveis para escolhas dos agentes. Comparando o conjunto de portfólios eficiente da fronteira eficiente com mudança de regime e a fronteira eficiente média variância (Gráfico 5) podemos observar que a fronteira eficiente com mudança de regime possui menor risco para cada nível de retorno esperado da fronteira eficiente média variância. Ademais para fronteiras eficientes com restrição de vendas a descoberto existem níveis de retornos esperados na fronteira eficiente com mudança de regime que não podem ser obtidos pela fronteira eficiente média variância.

Gráfico 5. Fronteira Eficiente com Mudança de Regime x Fronteira Eficiente Média Variância.

Nota: Tanto a fronteira eficiente média variância quanto a fronteira eficiente com mudança de regime foram construídas com restrição de operações de vendas a descoberto, unindo os pares de risco e retornos para 20 portfólios entre o retorno do portfólio de variância mínima global e o portfólio de retorno máximo na fronteira eficiente média variância. A fronteira eficiente com mudança de regime e fronteira eficiente média variância foram definidas com a amostra de estimação dos retornos diários entre jan/2003 e dez/2013.

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 sigma(Rp) E (R p )