Modelos de Otimização

Os modelos de otimização são utilizados quando se deseja encontrar a alternativa que melhor atenda a um objetivo predeterminado. Esses modelos são formulados com a finalidade de determinar valores para um conjunto de variáveis de decisão que irão maximizar ou minimizar uma função objetivo sujeita a restrições.

Tanto a função objetivo quanto as restrições são representadas por expressões matemáticas que dependem das variáveis de decisão (WURBS, 1993). Os termos variáveis de decisão, função objetivo e restrições são frequentemente utilizados nos modelos de otimização, e as suas definições são apresentadas a seguir.

 Variáveis de decisão: são variáveis que estão sob o controle do decisor e que têm influência na solução do problema de otimização.

 Função objetivo: é uma função matemática das variáveis de decisão que representa os desejos do decisor, como, por exemplo, maximizar os benefícios ou minimizar os custos.

 Restrições: representam as limitações dos recursos disponíveis ou exigências específicas sobre as variáveis.

Os modelos de otimização normalmente utilizam funções objetivo com um único objetivo, transformando os outros objetivos, quando existentes, em restrições. Em geral, um modelo de otimização para análise de sistemas de recursos hídricos é representado matematicamente conforme demonstrado a seguir.

ou � . � = , = , , … , . Onde:

f(X) é a função objetivo que deve ser otimizada (maximizada ou minimizada); X é o vetor de variáveis de decisão;

gi(X) são equações que representam as restrições na operação do sistema;

bi são parâmetros do modelo.

Uma revisão do estado da arte dos modelos de otimização aplicados a análises de sistemas de recursos hídricos é oferecida por Yeh (1985), Simonovic (1992), Wurbs

(1993) e Labadie (2004), enfatizando as técnicas de Programação Linear (PL), Programação Dinâmica (PD) e Programação Não Linear (PNL). O estado da arte sobre modelos de otimização para operação de sistemas de reservatórios é tratado nos trabalhos de Lima e Lanna (2005) e Fang et al. (2011).

Mais recentemente, novas técnicas de otimização, chamadas de heurísticas ou metaheurísticas, têm sido empregadas em softwares e pacotes computacionais, muitos dos quais gratuitos, visando encontrar o ótimo global em problemas lineares ou não. Os algoritmos heurísticos, embora não forneçam necessariamente uma solução ótima, são capazes de fornecer soluções razoáveis em um tempo considerado viável. Entre as técnicas mais conhecidas, estão: Lógica Fuzzy; Redes Neurais Artificiais; Simulated Annealing; Ant Colony Algorithms; Greedy Randomized

Adaptive Search Procedure (GRASP); Busca Tabu; e Algoritmos Evolucionários

(Algoritmo Genético e Differential Evolution). Detalhes sobre o funcionamento e aplicação destas novas técnicas são encontradas em Jairaj e Vedula (2000), Reis e Akutsu (2002), Schardong (2006), Gurobi Optimization (2013) e Mittelmann (2014).

3.4.4.1 Programação Linear

A PL é caracterizada pela existência de uma função objetivo linear submetida a restrições lineares. Embora tenha sido concebida para representar problemas tipicamente lineares, é amplamente utilizada em planejamento e manejo de recursos hídricos, que possuem uma série de não linearidades ao serem representados matematicamente. Segundo Yeh (1985) e Labadie (2004), as razões que fazem com que a PL seja atrativa são: (1) a capacidade de lidar facilmente com problemas de larga escala, bastante comuns em recursos hídricos, permitindo a aplicação de técnicas especiais de linearização e decomposição para redução da dimensionalidade do problema; (2) a convergência para soluções ótimas globais; (3) a não exigência de fornecimento de uma política inicial (soluções iniciais); (4) a flexibilidade de adaptação a uma grande variedade de problemas; (5) a maior facilidade de entendimento quando comparada a outras técnicas de otimização; e (6) a resolução de problemas utilizando algoritmos disponíveis, a baixo custo.

O método Simplex e suas variações, como o Simplex Revisado e Simplex Dual, têm sido os mais utilizados na solução de PL aplicada a sistemas de recursos hídricos. A explicação e aplicação dos métodos Simplex podem ser encontradas em Braga (1987) e em Labadie (1998).

3.4.4.2 Programação Dinâmica

Próxima à popularidade da PL, a PD tem sido uma técnica de otimização muito aplicada a problemas de planejamento e gerenciamento de recursos hídricos, no geral, e à operação de reservatórios, no particular (YAKOWITZ, 1982, apud LABADIE, 2004).

O princípio básico da programação dinâmica é subdividir o problema a ser solucionado em etapas mais simples, evitando a resolução do problema complexo de uma vez (BRAGA, 1987). A linha de raciocínio geralmente empregada para a solução de problemas através da aplicação da PD é a seguinte (BARROS, 1997):

 inicialmente, o problema principal é dividido em estágios e para cada um dos estágios determina-se a solução ótima;

 através de uma função recursiva (relação de recorrência), o ótimo de um estágio é relacionado com o estágio seguinte (PD progressiva) ou com o estágio anterior (PD regressiva);

 o ótimo global é obtido percorrendo-se todos os estágios.

Uma propriedade importante da programação dinâmica é que, conhecido o estado do problema analisado em algum estágio, pode-se determinar a política ótima futura sem levar em consideração o que já ocorreu em estágios passados. Essa característica da PD é chamada de Princípio da Otimalidade e decorre do fato de que o estado atual do sistema incorpora todas as informações prévias decorrentes das decisões tomadas no passado. A grande desvantagem dos modelos de PD é a dimensionalidade dos problemas. Loucks et al. (1981) apontam que a dimensão de um problema de PD cresce linearmente com o número de estágios, mas exponencialmente com o número de variáveis de estado. Este problema ficou conhecido como a “maldição” da dimensionalidade.

3.4.4.3 Programação Não Linear

A PNL tem como grande vantagem a sua abrangência. Uma vez elaborado o modelo matemático que descreva o sistema a otimizar, normalmente nenhuma simplificação é necessária em termos de formulação, o que aumenta a precisão dos resultados a serem obtidos. Em contrapartida, as principais desvantagens são relacionadas a não garantia de obtenção da solução ótima global (CIRILO, 1997).

A velocidade de processamento tem deixado de ser um fator crítico à PNL devido, principalmente, aos constantes avanços em termos de capacidade de processamento dos computadores pessoais; porém, ainda é possível verificar na literatura a existência de uma grande vantagem, em termos de desempenho, dos métodos de PL em relação à PNL.

Importantes contribuições sobre modelos de PNL e suas aplicações em sistemas de recursos hídricos são apresentadas nos trabalhos de Yeh (1985), Simonovic (1992), Wurbs (1993), Labadie (2004) e Lima e Lanna (2005).

3.4.4.4 Programação Não Linear Separável por Partes

Na análise de sistemas de recursos hídricos é comum estabelecer uma função objetivo não linear sujeita a um conjunto de restrições lineares. Uma forma de tratar problemas desse tipo é dividir a função objetivo em partes, denominada de Programação Não Linear Separável por Partes (PNLSP). Marins e Perin Filho (1996) apresentam várias aplicações desse método. Os autores observam que os modelos lineares equivalentes obtidos possuem um número muito maior de variáveis e restrições que o modelo não linear original, pois estes métodos definem ao menos uma variável ou restrição adicional para cada termo linear de todas as parcelas que formam a função objetivo separável.

Um problema é dito separável quando pode ser expresso como soma de funções de variáveis simples. O problema mostrado na Equação 3.7 é separável, pois pode ser

expresso como a soma de outras duas funções, em função de x1 e x2, conforme a Equação 3.8 (STEFANOV, 2001). , = + . , = + . Onde: = . = . Para que seja possível resolver a Equação 3.9 utilizando ferramentas de programação linear, é necessário linearizar a função. Isso pode ser feito introduzindo pontos de grade e dividindo-a em trechos lineares. Existem alguns métodos de linearização conhecidos, descritos e detalhados em Ho (1985), Fourer (1992) e Stefanov (2001).

A aplicabilidade da PNLSP a sistemas de recursos hídricos é citada e discutida em Loucks et al. (1981), Braga (1987) e Labadie (2004). A programação separável e a linearização de função objetivo já foram aplicadas ao dimensionamento de sistemas de recursos hídricos de grande porte no nordeste brasileiro (SANTANA, 1998).