Modified Rescaled-Range Analysis

Os refinamentos anteriormente referidos sobre a rescaled-range statistic não foram concebidos para distinguir entre dependência de curto prazo e dependência de longo prazo (no sentido em que veio a ser feito por Lo), revestindo uma lacuna em aplicações da análise a dados de retornos acionistas desde que Lo & MacKinlay (1988, 1990) demonstraram que tais dados expõem substancial dependência de curto prazo. Portanto, para ser do interesse atual qualquer investigação empírica de memória de longo prazo nos retornos de ações, deve, em primeiro lugar, julgar a presença de auto-correlações de frequência mais alta.

O autor Lo (1991) desenvolveu um teste para formas de dependência de longo prazo usando uma generalização simples da rescaled-range statistic primeiramente proposta por Hurst (1951). Ao modificar o rescaled-range adequadamente, Lo construiu um teste estatístico que é robusto à dependência de curto prazo e derivou a sua distribuição limite sob dependência de curto prazo e de longo prazo. Trata-se de uma extensão da estatística para a qual a relevante teoria de amostragem assimptótica é derivada através da (functional central limit theory) teoria do limite central funcional. Contrariamente aos resultados de Greene & Fielitz (1977) e de outros autores, quando esta estatística é aplicada aos índices de retornos diários e mensais de ações ao longo de vários períodos e sub-períodos amostrais diferentes, não existe evidência de dependência de longo prazo desde que os efeitos da dependência de curto prazo sejam encontrados (Lo, 1991).

Para distinguir entre dependência de longo prazo e de curto prazo a classic rescaled-range statistic teve de ser modificada de modo que o seu comportamento estatístico fosse invariante para uma classe geral de processos de memória curta (ou seja, invariante à correlação serial de curto prazo), mas que divergisse para processos de memória longa. O

41

A rescaled-range statistic clássica não distingue a dependência entre curto prazo e longo prazo. O autor Lo (1991) mostrou que para coeficientes de auto-correlação de curto prazo de 50% a média da estatística pode ser influenciada acima de 73%, causando a rejeição da hipótese nula para qualquer nível de significância convencional.

teste modificado para a memória de longo prazo examina a hipótese nula da memória de curto prazo e o possível processo heteroscedástico. A modified rescaled range statistic incorpora a dependência de curto prazo no seu denominador, o qual se torna na raiz quadrada de um estimador consistente da variância das somas parciais até ao desfasamento na expressão [42], e define-se da seguinte forma (Lo, 1991, p. 1289; Cheung & Lai, 1995, p. 601; Chow, Pan & Sakano, 1996, p. 183; Jacobsen, 1996, p. 398; Sadique & Silvapulle, 2001, p. 62; Assaf, 2006, pp. 292-293; Kristoufek, 2009a, p. 5):

[45] onde o denominador42 inclui os usuais estimadores da variância e da auto- covariância da amostra (Lo, 1991, p. 1290):

[46] onde:

[47]

42

Conforme apresentado pela data-dependent rule em Andrews (1991), é um (heteroskedasticity and

autocorrelation consistent variance estimator) estimador da variância consistente à heteroscedasticidade e à auto-

em que os ponderadores sugeridos por Newey & West (1987) produzem sempre um estimador da variância , consistente à heteroscedasticidade e à auto-correlação, positivo de vezes a (não normalizada) função densidade espectral de na frequência zero, usando a janela de Bartlett (Lo, 1991, p. 1290; Assaf, 2006, p. 293).

A maior parte dos autores não trata a escolha de um desfasamento ótimo e define vários desfasamentos diferentes, relativamente aos quais usa e examina os diferentes resultados (Zhuang, Green & Maggioni, 2000; Alptekin, 2006). Não obstante, existem duas vias sugeridas pela literatura. Relativamente à primeira, Andrews (1991) propôs para o estimador de a função ponderação e um corte de desfasamento

assimptótico data-dependent baseado no coeficiente de auto-correlação, definido por:

[48] onde representa o maior número inteiro menor ou igual a e é o coeficiente de auto-correlação de primeira ordem da série de dados.

Relativamente à segunda, Chin (2008) propôs um corte de desfasamento baseado na duração do sub-intervalo, definido por:

[49] O autor Lo (1991) também estipulou os pressupostos e os detalhes técnicos para permitir que a distribuição assimptótica de seja obtida e as condições adicionais debaixo das quais esta estatística converge na distribuição, bem como os valores críticos para o teste.

Procedimento de Teste:

Sob a hipótese nula de dependência de curto prazo com heteroscedasticidade (ou seja, de inexistência de memória de longo prazo), a normalized (i.e., dividida pela raiz quadrada da dimensão da amostra ) modified rescaled-range statistic com desfasamento tem uma distribuição limite estabelecida por (Lo, 1991, p. 1291):

[50] Note-se que a possibilidade de a análise ser influenciada pelo processo de memória de curto prazo acaba por ser uma vantagem do método desde que um expoente

possa significar um processo independente ou um processo dependente a curto prazo. Por conseguinte, um expoente baseado numa estatística que esteja fora dos intervalos de confiança apenas sugere que o processo é dependente desde que a memória de curto prazo sobrestime (Lo, 1991). Se a análise não fosse influenciada pelo processo de memória de curto prazo, seria impossível dizer se uma estimativa de significava independência ou dependência de curto prazo, apenas rejeitaria a memória de longo prazo do processo. De qualquer maneira, é interessante verificar que se podem usar as estatísticas e para distinguir e analisar três hipóteses, ou seja, a de passeio aleatório, a de memória de curto prazo e a de memória de longo prazo (Chow, Pan & Sakano, 1996). Se ambas as estatísticas forem significantes, o processo tem dependência de longo prazo. Se a estatística estimada é significante e a estatística é insignificante, a série de dados exibe memória de curto prazo. Se as estatísticas e forem ambas insignificantes, o processo é independente ou de passeio aleatório. No entanto, um teste conjunto sobre ambas as estatísticas tem dois inconvenientes. Em primeiro lugar, esses dois testes estatísticos são claramente não independentes, pelo que a dimensão de um teste conjunto sobre e será maior do que quando testadas separadamente. Em segundo lugar, não existe uma forma de conhecer a natureza da dependência de uma série temporal no caso de a estatística ser significativa e de a estatística não ser significativa (Chow, Pan & Sakano, 1996). Por outro lado, a utilização das estatísticas separadamente pode conduzir a resultados ambíguos, dado que a análise só pode dizer que a série temporal é não dependente a longo prazo ou é não independente, enquanto a análise só pode dizer

que a série temporal não é ou é dependente a longo prazo (Kristoufek, 2009a). Não obstante, a rejeição da dependência de longo prazo com base na estatística ainda deixaria duas opções muito diferentes: independência ou dependência de curto prazo.

O teste para a hipótese nula da ausência de dependência de longo prazo a um nível de confiança de 95%, por exemplo, pode ser realizado averiguando se está contido no intervalo (os p-values assimptóticos são dados em Lo (1991, Quadro 2, p. 1288)). Isso quer dizer que, ao nível de significância de 5%, a hipótese nula de um processo de memória de curto prazo é rejeitada se a estatística não se situar dentro dos limites daquele intervalo. Por outras palavras, o intervalo de confiança a 95% com probabilidades iguais nas duas abas tem aqueles limites críticos43.

A estatística requer a seleção da ordem do desfasamento , em relação ao qual apresenta elevada sensibilidade e, por isso, reveste a situação mais problemática da nova medida do desvio-padrão (Wang, van Gelder, Vrijling & Chen, 2006). No entanto, existe pouca orientação sobre a forma de escolha de um corte de desfasamento ideal. Quando é muito baixo em relação à dimensão amostral ainda se pode deixar alguma dependência de curto prazo na série temporal e quando é muito alto a estatística pode tornar-se insensível à dependência de longo prazo dos dados (Jacobsen, 1996). As duas situações conduzem a resultados distorcidos e implicam a diminuição do poder da estatística. Noutra perspetiva, pode dizer-se que se é muito pequeno, o estimador não responde pela auto- correlação do processo, enquanto se é muito grande torna-se responsável por qualquer forma de auto-correlação, e o poder do teste atende ao seu tamanho (Assaf, 2006). Além disso, sendo escolhido um muito pequeno, podem ser ignoradas auto-covariâncias significativas, influenciando a estatística , mas sendo escolhido um muito grande a distribuição da amostra-finita diverge significativamente do seu limite assimptótico (Teverovsky, Taqqu & Willinger, 1999; Eitelman & Vitanza, 2008; Kristoufek, 2009a).

A diferença entre a rescaled-range statistic clássica , na expressão [42], e a rescaled- range statistic modificada de Lo (1991), na expressão [45], reside, portanto, nos respetivos denominadores, e as especificações distinguem-se, essencialmente, na forma

43

As regiões críticas definidas em Lo (1991, p. 1288) para na distribuição dos fractis (ou quantis) aplicam-se a ambas as estatísticas , clássica e modificada.

como a range measure é normalizada. Se a série está sujeita à dependência de curto prazo, a variância da soma parcial não é simplesmente a soma das variâncias dos termos individuais, mas também inclui as auto-covariâncias (Lo, 1991). Por conseguinte, o estimador no denominador da expressão [45] normaliza a range measure não apenas pela variância da amostra , tal como considerado na análise clássica – neste caso a estatística de Lo reduz-se à estatística de Hurst –, mas também pela soma ponderada das auto-covariâncias da amostra até ao desfasamento (para ). Esta modificação é que proporciona a propriedade desejável do teste não ser sensível à não normalidade nem à heteroscedasticidade condicional dos dados e que prevê a robustez à dependência de curto prazo, permitindo um padrão rico de interações entre as dinâmicas de curto e de longo prazo (Cheung & Lai, 1995). Se a série não está sujeita à dependência de curto prazo, o segundo termo da expressão [46], que capta esse tipo de memória, desaparece e as duas estatísticas , clássica e modificada, são equivalentes. Assim, a estatística é invariante à dependência de curto prazo, mas é sensível à dependência de longo prazo.