Wavelet Multi-Resolution Analysis

A wavelet multi-resolution analysis foi desenvolvida por engenheiros de processamento de sinal, como, por exemplo, Mallat (1989a,b,c), e consiste numa técnica que permite, simultaneamente, analisar séries temporais nos domínios do tempo e de frequência, de modo a identificar e medir os diferentes graus de dependência de longo prazo. Lipka & Los (2003) e Los & Yu (2008) também demonstraram que a visualização54 dos wavelet resonance coefficients e dos seus (power spectra) espectros de potência, sob a forma de scalograms localizados e de scalegrams médios, auxilia poderosamente na deteção e medição de vários tipos não lineares de difusão de preços de mercado.

Um scalogram é uma visualização do código de cores dos wavelet resonance coefficients quadrados medidos, ou seja, dos coeficientes de correlação quadrados entre a série temporal e as bases de wavelet escolhidas (Lipka & Los, 2003). Permite detetar com precisão o momento e a potência das inovações ou os choques que ocorrem nos mercados financeiros e a sua força de frequência localizada, ou poder, ou risco. Os seus localizados wavelet resonance coefficients de média zero medem o grau de correlação de vários segmentos da série temporal com wavelets particularmente moldadas e dimensionadas (i.e., “elementos base da análise completa") em função da sua escala, que é proporcional ao inverso da sua frequência (Kyaw, Los & Zong, 2006). Então, os scalograms consistem nos respetivos coeficientes de determinação (i.e., resonance coefficients ao quadrado) da

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Normalmente, os diagramas mostram três partes importantes em cada um dos painéis. A parte A é a representação da série temporal original (i.e., os níveis do índice de preços) juntamente com o tipo de wavelet usada para a analisar (i.e., a usual wavelet Morlet-6,0); a parte B é o scalogram (i.e., o espectro de potência de wavelet localizada), que é uma representação da cor codificada do valor ao quadrado (ou magnitude) dos wavelet resonance coefficients, ou seja, os coeficientes de determinação de frequência temporal localizados; a parte C é o scalegram (i.e., a wavelet global), que representa as (horizontal) variâncias das wavelets de média zero em relação às (vertical) escalas, e forma a média estatística temporal do scalogram. Esta parte demonstra o escalamento mono-fractal da série temporal, desde grandes escalas em baixo até pequenas escalas no topo. A inclinação do scalegram dos níveis de preços é dada por a , de modo que o expoente Hurst é obtido por ; a inclinação do scalegram das taxas de retorno é dada por , de modo que . Ambos os scalegrams dão valor idêntico para (Los, 2003, Capítulo 8). Quando , observa-se um movimento Browniano geométrico ; quando observa-se um movimento Browniano fracionário anti-persistente; quando , observa-se um movimento Browniano fracionário persistente. Os “choques” nos scalegrams das taxas de retorno revelam algumas cyclicities aperiódicas institucionais. Os picos abruptos nas taxas de retorno com os correspondentes vórtices (vermelhos) no

frequência temporal localizada e permitem uma análise mais rigorosa de como os preços de mercado se ajustam dinamicamente às novas informações. Têm a capacidade de medir todos os espectros de potência localizada nos domínios do tempo e de frequência (i.e., 1/escala) em várias escalas e por várias vezes (Lipka & Los, 2003). Um scalegram é a média desses scalograms ao longo do tempo representada graficamente pelo logaritmo do (average power spectrum) espectro de potência médio da série temporal financeira. Permite analisar a função de auto-correlação da série na dimensão de frequência do tipo Fourier convencional (assente em bases trigonométricas) e, portanto, detetar possíveis (ou certas) periodicidades (tais como sazonalidade estrita) ou cyclicities (i.e., periodicidades incertas, tais como feriados de negociação) nos índices de ações (Lipka & Los, 2003). Também auxiliam no reconhecimento do expoente Hurst global (ou homogéneo) para cada série temporal e podem determinar se os resíduos são, realmente, ruído branco. Kyaw, Los & Zong (2006) sintetizam que, enquanto que um scalogram proporciona a análise localizada de tempo e frequência de uma série temporal, um scalegram – que é a média temporal de um scalogram – representa o (classical power spectrum) espectro de potência clássico (i.e., a de Fourier transformada) da série temporal no domínio da escala. Quando aplicado às inovações, incide sobre as periodicidades institucionais ou, mais precisamente, cyclicities aperiódicas dos mercados financeiros, que não podem ser facilmente identificadas através das metodologias estáticas baseadas na assunção clássica da ergodicidade ou da estacionariedade das inovações (Lipka & Los, 2003; Kyaw, Los & Zong, 2006).

Por outro lado, Lee (2002), Sharkasi, Crane, Ruskin & Matos (2006) e Sharkasi, Ruskin & Crane (2008) recorreram a uma nova abordagem utilizando a discrete wavelet transform . Esta transformação proporciona uma compreensão adicional sobre as (breakdown) falhas da série. Em particular, comparativamente a outros métodos, o benefício da é proporcionar uma maneira de estudar a sensibilidade da série aos incrementos da amplitude das flutuações e às alterações na frequência.

Medição do Grau de Dependência de Longo Prazo a partir da Wavelet Multi-Resolution Analysis :

Conforme referido anteriormente, se as inovações das taxas de retorno forem independentes, a série pode ser representada pelo movimento Browniano geométrico , enquanto que se forem dependentes a longo prazo devem ser melhor modeladas por um movimento Browniano fracionário . Em ambos os movimentos Brownianos a taxa de retorno é fractionally differenced com inovações de ruído branco

, onde e , em que é o

expoente fractional differencing de Geweke & Porter-Hudak (1983). Somente quando acontece que o movimento Browniano fracionário iguala o convencional movimento Browniano geométrico .

O domínio temporal da função de auto-correlação do movimento Browniano fracionário é proporcional a (Los, 2003):

[65] Equivalentemente, o espectro de potência do domínio de frequência de um movimento Browniano fracionário é proporcional a:

[66] e o scalegram de wavelet ou (average wavelet spectrum) espectro médio de wavelet de um movimento Browniano fracionário é proporcional a (Kyaw, Los & Zong, 2006):

[67] em que é o expoente Hurst (1951) monofractal, a escala temporal

com a (fundamental angular frequency) frequência angular fundamental e igual ao número total de observações.

A função de auto-correlação , o espectro de potência e o espectro de wavelet do movimento Browniano fracionário têm claramente propriedades de escalamento (i.e., ajustamento em escala), com a escalando de acordo com o horizonte temporal , o espectro de potência de acordo com a frequência e o espectro wavelet de acordo com o nível de escalamento temporal . Estas são as propriedades de escalamento em tempo e em frequência do , as quais permitem identificar o expoente de Hurst como uma medida do grau de dependência de longo prazo usando diferentes metodologias.

Por exemplo, o expoente Hurst global pode ser identificado a partir da representação logarítmica do espectro de potência do movimento Browniano fracionário

em relação ao logaritmo da frequência , a partir da expressão:

[68] onde é uma proporção constante frequentemente designada por pré-fator.

Similarmente, o expoente também pode ser identificado a partir da representação logarítmica do scalegram de wavelet do movimento Browniano fracionário em relação ao nível de escalamento , a partir da expressão:

[69] onde é outra proporção constante55. Assim, a abordagem corrente é calcular o expoente de Hurst a partir do coeficiente de inclinação do periodograma56, ou seja, a densidade espectral do conjunto de dados empíricos, ou a partir do coeficiente de inclinação do scalegram, ou seja, a densidade da escala temporal do conjunto dos dados empíricos.

55 _{Na análise de wavelet geralmente é usado o escalamento diádico (par ou grupo de dois), de modo que e,}

portanto, também o logaritmo diádico , em vez do logaritmo natural (Kyaw, Los & Zong, 2006).

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O periodograma é um estimador da densidade espectral de um sinal. O termo foi introduzido por Arthur Schuster em 1898:”It is convenient to have a word for some representation of a variable quantity which shall correspond to the

A Wavelet Multi-Resolution Analysis e a Variância Estatística dos Expoentes Hurst:

Os autores Kyaw, Los & Zong (2006) calculam os wavelet resonance coefficients

através da wavelet multi-resolution analysis proposta por Mallat (1989a,b,c) com utilização da (muito geral) wavelet Morlet-6 57, recorrendo a uma aplicação da Kodak58. Um scalogram de wavelet , que é uma visualização colorida dos wavelet resonance coefficients quadrados (i.e., processamento de sinal equivalente dos "coeficientes de determinação" localizados), identifica claramente o tempo e a potência de todas as inovações do preço observadas nos mercados financeiros sobre todas as frequências de dados. Um scalegram de wavelet , que é a média temporal do scalogram, utiliza-se para calcular os expoentes Hurst monofractais a partir da inclinação do escalamento do espectro de escala resultante.

O expoente Hurst monofractal é teoricamente constrangido no seu valor, situando-se no intervalo59 . E o teste crucial de memória longa é o (“potencialmente falseado”) teste de hipótese da memória de curto prazo neutral do movimento Browniano geométrico contra60 as duas hipóteses alternativas de

um movimento Browniano fracionário persistente e

de um movimento Browniano fracionário anti-persistente

.

A investigação científica tem procurado um teste estatístico com uma distribuição de probabilidade limite que possa ser facilmente calculada e que tenha elevado poder para

57 _{Uma wavelet Morlet-6 pode medir a precisão de uma distribuição assimétrica (non-smooth) não regular com seis}

momentos (non-vanishing) não extinguíveis. Comparativamente, uma distribuição normal regular e simétrica tem apenas dois únicos momentos não anuláveis.

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Os autores Kyaw, Los & Zong (2006, p. 276) recorreram à aplicação: Kodak’s online ION Script Research Systems

Interactive Wavelet Program.

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Os físicos e os astrónomos utilizam uma codificação colorida nominal para os diferentes graus de persistência. Quando se aproxima de zero , a série temporal diz-se (blue noise) ruído azul. Quando , a série diz-se anti- persistente, ou (light blue) luz azul. Quando , a série é neutra, ou diz-se (white noise) ruído branco. Quando 1/2 , os incrementos da série dizem-se persistentes, ou (pink) rosa. Quando se aproxima de 1 , a série diz-se (red noise) ruído vermelho. Uma vez totalmente integrado o (white noise) ruído branco, é o mesmo que (brown

noise) ruído castanho (Los, 2003, p. 124, Quadro 4.3).

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Quando se lida com séries temporais financeiras longas pode presumir-se que uma análise mais localizada (no tempo) é necessária para determinar uma possível dependência do expoente Hurst no tempo. Todavia, note-se que um expoente Hurst global igual a 1/2 não implica necessariamente a ausência de correlação: poderão existir correlações positivas e negativas em diferentes períodos de tempo de tal modo que a média produza um efetivo (Costa & Vasconcelos, 2003).

testar a hipótese de memória longa. Com base em algumas reconhecidas “slightly defective heuristics” (Robinson, 2003, p. 14), Geweke & Porter-Hudak (1983) argumentam que a distribuição da estimativa da regressão log-periodograma de satisfaz, assimptoticamente, a igualdade:

[70] dando origem a processos inferenciais aparentemente simples, mas muito imprecisos.

Empregando um processo linear para assente em (martingale difference innovations) inovações de diferença martingale, Robinson (1995a,b) – também utilizando um pressuposto Gaussiano – estabeleceu um resultado relativamente mais preciso, baseado num estimador ligeiramente diferente para todo o intervalo de variação :

[71] Esse resultado também oferece estimativas assimptóticas aparentemente simples do intervalo, além de um teste simples de neutralidade , ou seja, , embora o procedimento de teste continue muito impreciso. O tratamento de Robinson, apoiado no pressuposto teórico de Gaussianidade, realmente abrange múltiplas séries temporais, possivelmente diferentes parâmetros de memória (i.e., multi-fractalidade) e testes mais eficientes para a uniformidade desses parâmetros.

Contudo, ambos os resultados limite são cientificamente quebrados, dado que são baseados em: (1) presunção de independência insustentável, (2) argumentos infinitos inaplicáveis (i.e., limite) usados no suporte finito para ou e (3) projeções unidirecionais perniciosas (no caso de Geweke & Porter-Hudak (1983)). O expoente Hurst não pode ser normalmente distribuído, uma vez que tem suporte finito conhecido, , implicando que o differencing parameter também deva ter suporte finito, . Em contrapartida, qualquer variável normalmente distribuída tem suporte infinito, .

Em seguida apresenta-se uma teoria da distribuição estatística simples para o expoente de Hurst baseada na wavelet , mostrando a precisão desta análise na determinação daquele expoente de memória longa. Os autores Flandrin (1992) e Flandrin & Gonçalvès (1996) demonstraram que os wavelet resonance coefficients detalhados, que correlacionam wavelets com segmentos específicos das séries temporais ,

[72] em que é uma wavelet especificamente localizada, são Gaussianos com média zero e variância correspondente ao seu próprio valor quadrado61:

[73] Os elementos do scalogram de wavelet consistem, por definição, nesses “coeficientes de determinação”:

[74] Cada coeficiente do scalogram tem, então, distribuição Qui-quadrado com 1 grau de liberdade e como parâmetro de (non-centrality) não centralidade :

[75] onde o scalegram:

[76]

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Apesar dos sinais de no integral, o suporte empírico para estes wavelet coefficients é finito, dado que o suporte da

As distribuições Qui-quadrado corretamente dimensionadas para cada um dos coeficientes do scalogram podem ser obtidas por bootstrapping (Los, 2003, p. 252, nota 338). O scalegram tem, então, distribuição Qui-quadrado com graus de liberdade e como parâmetro de não centralidade:

[77] Kyaw, Los & Zong (2006) demonstraram que o rácio média / dispersão dessa distribuição Qui-quadrado é dado (no limite) por:

[78] o qual é superior quando o número de observações é maior e quando a escala temporal é menor . Assim, o scalegram é melhor identificado com mais observações em escalas mais finas de resolução de dados62. Conforme se referiu anteriormente, a variação do scalegram reside essencialmente na contingência da identificação do seu expoente identificável .

Os autores Kyaw, Los & Zong (2006) ainda verificaram que a assimetria da distribuição Qui-quadrado do scalegram é muito baixa:

[79] e desaparece, implicando uma distribuição simétrica, quando .

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Por exemplo, quando observações para uma escala temporal (i.e., 4 dias), tem-se ou uma variação de 2% no scalegram , mas para uma escala temporal (i.e., 256 dias), tem-se ou uma variação de 4%. Para um mês de observações minuto a minuto, e a variação é de 1% e de 2%, respetivamente.

E que a curtose da distribuição Qui-quadrado do scalegram é dada por:

[80] que se aproxima da normalidade (i.e., igual a 3) quando .

Wavelet e Intervalo de Precisão Mínimo do Expoente Hurst:

A partir da estatística Qui-quadrado introduzida por Kyaw, Los & Zong (2006) e do rácio identificado na expressão [78], Los & Yu (2008) estabeleceram o rácio ruído / sinal do scalegram como . A inclinação do scalegram definida por

é aproximadamente:

[81] de modo que o (minimum uncertainty range) intervalo de incerteza mínimo da inclinação é dado por:

[82] implicando que o intervalo de incerteza do expoente de Hurst seja dado por:

8. ADEQUABILIDADE DOS MODELOS DE ESTIMAÇÃO DA MEMÓRIA DE