N´os dissemos acima que a l´ogica e a matem´atica padr˜ao pode- riam n˜ao ser adequadas para expressar formalmente a ideia de que algumas entidades n˜ao s˜ao indiv´ıduos, quando estes s˜ao tomados como objetos para os quais a identidade e a diferen¸ca n˜ao s˜ao rela¸c˜oes permi- tidas. Mas por que n˜ao? ´E claro que as teorias de conjuntos padr˜ao, tais como ZFC ou ZFU (aqui n´os n˜ao vamos levar em conta outras possibi- lidades, tais como teorias de categorias ou l´ogicas de ordem superior) possuem um enorme poder expressivo, de modo que podemos expressar nelas praticamente qualquer conceito que possamos precisar no desen- volvimento de teorias cient´ıficas. N´os veremos mais abaixo (se¸c˜ao 3.8) que at´e mesmo a no¸c˜ao de n˜ao-indiv´ıduos, no sentido que estamos tra- tando aqui, pode de certa forma ser mapeada em ZFC. Mas esta alter- nativa tem a desvantagem de mascarar a pr´opria n˜ao-individualidade
dos objetos envolvidos, de modo que preferimos desenvolver a teoria de quase-conjuntos sem apelarmos para estes recursos de ZFC. Vamos comentar um pouco mais sobre este ponto ao apresentarmos as ideias gerais sobre como poder´ıamos usar ZFC para tratar de n˜ao-indiv´ıduos. Trabalhando em ZFC (ou em ZFU), poder´ıamos selecionar um conjunto para fazer o papel de conjunto de ´atomos (poderia ser, di- gamos, o conjunto dos n´umeros naturais), e considerar alguns deles como desempenhando o papel de n˜ao-indiv´ıduos. Ent˜ao, o pr´oximo passo consistiria em se definir uma rela¸c˜ao de equivalˆencia (∼) sobre este conjunto de modo que quando x e y s˜ao n˜ao-indiv´ıduos, ent˜ao x ∼ y nos diz que eles s˜ao indistingu´ıveis (pertencem `a mesma classe de equivalˆencia). Baseados neste conjunto, podemos erigir uma hierar- quia no sentido de von Neumann (ver a discuss˜ao na se¸c˜ao 3.8 para detalhes das constru¸c˜oes) e estender a rela¸c˜ao ∼ para todos os elemen- tos da hierarquia por recurs˜ao transfinita. Ent˜ao, como n´os veremos, podemos encontrar um modo de expressar que dois n˜ao-indiv´ıduos s˜ao indistingu´ıveis por meios de ∼. Esta ´e basicamente a proposta de Her- mann Weyl quando ele introduziu os seus ‘agregados de indiv´ıduos’, o que significava simplesmente um conjunto dotado de uma rela¸c˜ao de equivalˆencia (WEYL, 1949, App.B), (FRENCH; KRAUSE, 2006, cap.6). Mas, dado que estamos dentro de ZFC, quaisquer dois objetos s˜ao dis- tintos, mesmo que algumas vezes n˜ao sejamos capazes de expressar esta diferen¸ca. Por exemplo, segue-se do axioma da escolha que o conjunto R dos n´umeros reais admite uma boa ordem. Ent˜ao, quaisquer dois subconjuntos de R, digamos os intervalos abertos disjuntos (dados pela ordem usual) (0, 1) e (2, 3), possuem menores elementos de acordo com esta boa ordem. Esses menores elementos (relativos a esta boa ordem) s˜ao claramente distintos, mas j´a que n˜ao podemos expressar a boa or- dem por uma f´ormula de ZFC, n˜ao podemos nem mesmo nomear estes dois menores elementos apesar do fato de que a no¸c˜ao de identidade (=) faz sentido para quaisquer dois objetos, incluindo estes dois em particular; de fato, ´e um teorema de ZFC que para todos x e y, temos que ou x = y ou (x 6= y).
Ent˜ao, aparentemente temos um problema aqui, um conflito en- tre o particular modo de entendermos a f´ısica que desejamos sustentar e a matem´atica e l´ogica subjacentes. Por um lado, a interpreta¸c˜ao da f´ısica que estamos propondo diz que duas entidades quˆanticas em estado de superposi¸c˜ao seriam ‘absolutamente’ indistingu´ıveis, enquanto que por outro lado a matem´atica subjacente nos diz o contr´ario, que elas n˜ao s˜ao deste modo (lembre a discuss˜ao do Postulado da Indistinguibilidade no cap´ıtulo anterior). De fato, se elas s˜ao distintas, podemos conside-
rar, digamos, dois conjuntos abertos disjuntos com centro nestes obje- tos, e estes conjuntos servem para distinguir entre estes objetos, mesmo que esta distin¸c˜ao n˜ao se realize atrav´es de alguma propriedade f´ısica (outra alternativa seria simplesmente utilizar seus conjuntos unit´arios, algo poss´ıvel no contexto de ZFC). Isto ´e, apesar de que dois obje- tos quˆanticos numericamente distintos n˜ao podem ser distinguidos, por um resultado simples da l´ogica subjacente eles s˜ao diferentes. Ent˜ao, como poderemos sustentar que eles s˜ao realmente indiscern´ıveis (caso desejemos fundamentar esta ideia)? Como uma primeira sugest˜ao, po- der´ıamos propor que os objetos quˆanticos s˜ao como os menores elemen- tos de intervalos de reais mencionados acima, isto ´e, algo que existe den- tro da teoria mas que n˜ao pode ter suas diferen¸cas explicitadas atrav´es da linguagem da teoria. Isto ´e mais ou menos o que faz a mecˆanica Bohmiana, na qual quaisquer duas part´ıculas podem ser distinguidas por suas posi¸c˜oes, mesmo que as vari´aveis de posi¸c˜ao sejam considera- das como vari´aveis ocultas (ver (HOLLAND, 1993, pp.95-96)). Ent˜ao, ao assumirmos esta possibilidade, aparentemente devemos nos comprome- ter com o fato de que existem vari´aveis ocultas de algum tipo, algo que nossa interpreta¸c˜ao pretende evitar. Realmente, o que buscamos aqui ´
e uma maneira de formular a mecˆanica quˆantica que seja equivalente ao modo usual (posteriormente, este programa dever´a ser ampliado para dar conta tamb´em das teorias quˆanticas de campo – para uma discuss˜ao deste ponto, ver French e Krause (FRENCH; KRAUSE, 2006, cap.9)) baseando-nos na pr´opria no¸c˜ao de que as part´ıculas quˆanticas s˜ao objetos absolutamente indiscern´ıveis, n˜ao-indiv´ıduos, e que estas caracter´ısticas devem ser incorporadas no formalismo desde o come¸co (conforme proposto por Heinz Post; ver (FRENCH; KRAUSE, 2006)). Isto ´
e, desejamos tomar a indistinguibilidade e n˜ao-individualidade como um conceito primitivo e assim evitar o tipo de estrat´egia empregado quando se trabalha em teorias como ZFC, onde estes objetos s˜ao assu- midos como sendo indiv´ıduos (conjuntos ou ´atomos) para que depois sejam tornados indiscern´ıveis por meio da introdu¸c˜ao de postulados de simetria como o pr´oprio PI.
O que estivemos discutindo at´e aqui pode ser descrito com al- gum formalismo como se segue: suponha dois objetos quˆanticos, di- gamos dois el´etrons, de modo que um deles esteja no Polo Sul e o outro no Polo Norte. ´E claro que eles devem ser considerados como distintos, pelo menos no sentido num´erico. Mas se pretendemos cha- mar de ‘Jo˜aozinho’ ao el´etron no Polo Sul, enquanto que o el´etron no Polo Norte ser´a chamado de ‘Pedrinho’, poder´ıamos pensar que a si- tua¸c˜ao quˆantica ‘Jo˜aozinho est´a no Polo Sul e Pedrinho est´a no Polo
Norte’ ´e descrita pelo vetor |SJi|NPi no produto tensorial dos corres-
pondentes espa¸cos de Hilbert. Aparentemente, este vetor nos permite distinguir entre os quanta. Mas, como Roger Penrose enfatizou, em mecˆanica quˆantica existe uma diferen¸ca entre e e mais (ver (PENROSE, 1989, p.357)). O vetor correto para descrever a situa¸c˜ao acima n˜ao ´e aquele que mencionamos, e pior ainda, a situa¸c˜ao est´a colocada de modo errado; devido `a indiscernibilidade dos quanta (tanto el´etrons, pr´otons, e assim por diante), n´os n˜ao podemos dizer que Jo˜aozinho est´a no Polo Sul e Pedrinho est´a no Polo Norte, mas antes devemos dizer que um deles est´a no Polo Sul e o outro est´a no Polo Norte, sem tentarmos discernir entre eles. Para este fim, utilizamos o vetor |SJi|NPi ± |SPi|NJi ao inv´es daquele apresentado anteriormente (com
a exce¸c˜ao de um fator de normaliza¸c˜ao que podemos ignorar por ora). O sinal menos ´e utilizado para f´ermions, e o sinal positivo ´e utilizado para b´osons. A express˜ao que utilizamos acima ‘o outro’ pode nos in- duzir ao erro se pensarmos que estamos distinguindo os quanta; esta ´e apenas uma forma de express˜ao utilizada na metalinguagem, e n˜ao possui correspondente no formalismo (ver tamb´em a discuss˜ao de um problema relacionado em Dieks e Lubberdink (DIEKS; LUBBERDINK, 2010)). Conforme o vetor correto indica, a situa¸c˜ao f´ısica n˜ao muda se n´os permutarmos quanta indiscern´ıveis; fisicamente ´e indiferente se ´e Jo˜aozinho que est´a no Polo Sul ou se ´e Pedrinho que est´a l´a (mas, conforme j´a discutimos, a matem´atica nos diz algo diferente, devido principalmente ao Axioma da Extensionalidade da teoria de conjun- tos subjacente). Em nossa interpreta¸c˜ao, os objetos quˆanticos n˜ao s˜ao indiv´ıduos, eles n˜ao possuem nada que se pare¸ca com caracter´ısticas pessoais peculiares (do mesmo modo que pessoas como Jo˜aozinho e Pe- drinho tem), exceto talvez pelas suas coordenadas espa¸co-temporais. Mas mesmo no caso de uma poss´ıvel distin¸c˜ao espa¸co-temporal temos que a individualidade atribu´ıda `as part´ıculas nestes casos ´e apenas uma esp´ecie de ‘pseudo’ individualidade, surgindo apenas em contextos ex- perimentais (utilizamos pseudo individualidade no sentido que Toraldo di Francia fala em ‘mock individuality’ em (FRANCIA, 1985)). Deve ser observado que no modo padr˜ao de se entendˆe-la, esta pseudo indivi- dualidade n˜ao existe at´e que uma intera¸c˜ao de medi¸c˜ao seja realizada, mas antes da medi¸c˜ao, os objetos est˜ao ainda em estado de super- posi¸c˜ao, e de acordo com a f´ısica quˆantica e nossa interpreta¸c˜ao dela, nenhuma forma de individua¸c˜ao ´e poss´ıvel ent˜ao. Todavia, dentro da matem´atica padr˜ao somos for¸cados a consider´a-las como distintas, e sua indistinguibilidade ´e tratada atrav´es do uso de condi¸c˜oes de simetria, tais como o vetor ‘adequado’ que mencionamos acima mostra (o vetor ´e
ou sim´etrico, ou anti-sim´etrico no que diz respeito `as permuta¸c˜oes das part´ıculas). Neste sentido, a teoria de quase-conjuntos ´e uma tentativa de se superar esta situa¸c˜ao ao propor um modo de lidar com objetos indiscern´ıveis desde o come¸co, sem requerer a introdu¸c˜ao do Postu- lado de Indistinguibilidade e do Postulado de Simetriza¸c˜ao (relembre a discuss˜ao do cap´ıtulo anterior, e o papel dos r´otulos atribu´ıdos `as part´ıculas, que devemos discutir mais tarde. Ver tamb´em (REDHEAD; TELLER, 1991)).
Ent˜ao, qual ´e a sugest˜ao para superarmos a aparente tens˜ao en- tre a l´ogica e a matem´atica cl´assica por um lado e a interpreta¸c˜ao da teoria quˆantica que estamos propondo por outro? Obviamente, con- forme mencionamos antes, poder´ıamos rejeitar a concep¸c˜ao dos objetos quˆanticos como sendo n˜ao-indiv´ıduos e tamb´em nossa particular leitura do Postulado da Indistinguibilidade e tentar fundamentar a individuali- dade dos quanta em alguma forma de haeceitismo ou essˆencias primiti- vas. Esta n˜ao ´e a rota que desejamos seguir, conforme j´a mencionamos. Desejamos manter os n˜ao-indiv´ıduos e investigar como o formalismo da matem´atica subjacente deve ser mudado para acomodar as carac- ter´ısticas particulares deste tipo de entidades. Como j´a expressamos anteriormente, o grande obst´aculo para este tipo de empreendimento concerne a no¸c˜ao de identidade; a matem´atica e a l´ogica cl´assica a apli- cam sem restri¸c˜oes, podemos enunciar que toda entidade ´e idˆentica ou diferente de qualquer outra. Todavia, a Concep¸c˜ao Recebida acerca da n˜ao-individualidade das part´ıculas sugere que a identidade deve ser res- trita, em muitas situa¸c˜oes n˜ao h´a sentido em se afirmar que part´ıculas da mesma esp´ecie s˜ao iguais ou diferentes. A rota que vamos seguir aqui concerne precisamente uma restri¸c˜ao `a identidade. Seguindo esta linha de ataque, com a teoria de quase-conjuntos restringindo a validade da identidade apenas `a determinadas entidades das quais ela trata, pode- mos representar n˜ao-indiv´ıduos no aparato conceitual formal sem que tens˜oes apare¸cam como ocorre na matem´atica cl´assica.
Lembremos que no come¸co da mecˆanica quˆantica muitos auto- res aceitaram que as estat´ısticas quˆanticas haviam mostrado que as part´ıculas haviam perdido sua individualidade, que n˜ao se poderia mais falar sobre sua identifica¸c˜ao com sentido. Como estas no¸c˜oes de iden- tidade e individualidade se relacionam? Vamos tomar a motiva¸c˜ao oriunda das estat´ısticas quˆanticas de acordo com a qual n˜ao-indiv´ıduos s˜ao entidades para as quais identidade e diferen¸ca s˜ao rela¸c˜oes que n˜ao fazem mais sentido. Conforme j´a mencionamos, a teoria de quase- conjuntos vai incluir entidades, os m-´atomos, para os quais n´os n˜ao de- finiremos uma rela¸c˜ao de identidade, fazendo deles ent˜ao nossos repre-
sentantes oficiais dos n˜ao-indiv´ıduos. A ideia ´e que j´a que a identidade n˜ao est´a definida para eles, ent˜ao uma no¸c˜ao como a auto-identidade tamb´em deixa de fazer sentido para eles. Isto ´e importante pois, por um lado, a auto-identidade ´e tomada como expressando alguma forma de haeceitismo, fundamentando deste modo a individualidade, e por outro lado, j´a que ela ´e a propriedade reflexiva da identidade, ´e muitas vezes tomada como formalizando o chamado Princ´ıpio da Identidade (mais sobre isso no cap´ıtulo 5). Ent˜ao, restringindo a identidade es- tamos propondo um caso particular de uma l´ogica n˜ao-reflexiva, uma l´ogica violando a propriedade reflexiva da identidade e ainda, de acordo com nossa interpreta¸c˜ao, uma l´ogica que trata mais propriamente com os n˜ao-indiv´ıduos. Vamos agora tratar dos detalhes formais.