Agora que a teoria Q foi exposta com algum detalhe, podemos finalizar este cap´ıtulo mencionando algumas das aplica¸c˜oes concernindo os fundamentos da mecˆanica quˆantica ortodoxa (MQ) que j´a foram de- senvolvidas (mesmo que apenas em estudos preliminares) empregando ferramentas quase-conjuntistas. Devemos recordar que a principal mo- tiva¸c˜ao por tr´as do desenvolvimento da Q foi o objetivo de fornecer um pano de fundo conceitual no qual pud´essemos tratar com objetos que possam ser absolutamente indistingu´ıveis sem que sejam idˆenticos. Agora, queremos mencionar alguns usos da teoria para se formalizar os principais aspectos do comportamento das part´ıculas conforme elas s˜ao tratadas pela mecˆanica quˆantica, interpretada de acordo com alguma vers˜ao da Concep¸c˜ao Recebida.
Para come¸car, vamos mencionar o trabalho de Domenech e Ho- lik em (DOMENECH; HOLIK, 2007) acerca dos quase-cardinais finitos e de procedimentos de contagem para cole¸c˜oes de n˜ao-indiv´ıduos. O primeiro ponto a ser reconhecido ´e que n˜ao-indiv´ıduos (e mesmo ob- jetos indistingu´ıveis em geral) n˜ao parecem se submeter facilmente ao procedimento usual de contagem que consiste em se estabelecer uma correspondˆencia um-a-um entre a cole¸c˜ao de objetos sendo contados e os predecessores de um determinado ordinal. Este tipo de procedi- mento, favorecido pela maioria dos fil´osofos, parece fracassar quando se trata de cole¸c˜oes de n˜ao-indiv´ıduos conforme os estamos entendendo aqui, pois pressup˜oe que possamos atribuir de modo ´unico um r´otulo a cada objeto sendo contado e identific´a-lo de modo inequ´ıvoco, algo que dificilmente pode ser dito poss´ıvel para cole¸c˜oes de objetos que sejam n˜ao-indiv´ıduos indistingu´ıveis leg´ıtimos. Esta impossibilidade ´e uma das raz˜oes pelas quais os cardinais n˜ao podem ser definidos em Q de acordo com os modos usuais de se proceder (com cardinais sendo ordinais particulares), e ent˜ao eles devem ser definidos por algum pro- cedimento n˜ao padr˜ao ou, alternativamente, introduzidos como primi- tivos, obedecendo alguns axiomas, conforme fizemos acima. Domenech e Holik propuseram empregar os recursos da teoria de quase-conjuntos para se superar estas dificuldades quando estamos preocupados apenas com quase-conjuntos finitos. A principal ideia de sua proposta ´e que podemos codificar em Q um procedimento que pode ser considerado como realiz´avel em sistemas quˆanticos em laborat´orio: em uma cˆamara de bolhas podemos, por exemplo, ionizar um ´atomo usando radia¸c˜ao e ent˜ao, ap´os uma aplica¸c˜ao deste procedimento podemos observar o rastro de um el´etron. Repetindo este procedimento, podemos prosse- guir deste modo at´e que nenhum rastro mais seja observado, e ent˜ao somos capazes de saber quantos el´etrons haviam, sem termos no en- tanto que mencionar sua identidade (no sentido que estamos usando o termo aqui). De um modo similar, podemos eliminar os elementos de um q-set um por um, e ao fazermos isso podemos contar (na parte cl´assica de Q) o n´umero de passos necess´arios para esvaziar o q-set, ao inv´es de contarmos diretamente seus elementos. Seguindo este modo de proceder n´os n˜ao precisamos levar em conta a identidade dos elementos, que podem ser n˜ao-indiv´ıduos indistingu´ıveis, mas apenas o n´umero de passos necess´arios para esvaziar o q-set. N´os n˜ao vamos entrar em di- gress˜ao sobre os detalhes aqui, mas a defini¸c˜ao proposta nos permite falar sobre a quantidade dos elementos em uma cole¸c˜ao finita sem ter que pressupor sua identifica¸c˜ao (e portanto, sua individualidade). Para uma discuss˜ao deste t´opico, ver o cap´ıtulo 4.
Outra aplica¸c˜ao de Q deriva da pr´opria necessidade de se desen- volver uma teoria de conjuntos com n˜ao-indiv´ıduos:6 a ideia principal consiste em se levar a s´erio o fato de que a matem´atica cl´assica est´a comprometida com indiv´ıduos, j´a que qualquer objeto tratado por esta matem´atica obedece `a teoria da identidade padr˜ao. Ent˜ao, uma teo- ria como ZFC n˜ao constituiria o framework conceitual mais adequado para se representar cole¸c˜oes de n˜ao-indiv´ıduos conforme eles aparecem na mecˆanica quˆantica (de acordo com nossa interpreta¸c˜ao particular; ver French e Krause (FRENCH; KRAUSE, 2006, cap.6) para uma dis- cuss˜ao completa). Seguindo esta linha de racioc´ınio, Domenech, Holik e Krause (DOMENECH; HOLIK; KRAUSE, 2008) desenvolveram uma teoria de espa¸cos de Fock dentro da teoria de quase-conjuntos que n˜ao pres- sup˜oe a rotula¸c˜ao dos objetos e que ´e baseada em q-sets de m-´atomos de maneira essencial, isto ´e, os espa¸cos de Fock s˜ao constru´ıdos sobre cole¸c˜oes de objetos que tomamos como representando n˜ao-indiv´ıduos na teoria de quase-conjuntos. Mesmo que os detalhes desta constru¸c˜ao n˜ao possam ser discutidos aqui de modo conveniente, ela consegue, atrav´es de uma abordagem realmente diferente, mostrar que a mecˆanica quˆantica pode ser baseada em uma l´ogica n˜ao-cl´assica, uma l´ogica com- pletamente afinada com as exigˆencias da Concep¸c˜ao Recebida acerca da n˜ao-individualidade das part´ıculas na teoria quˆantica.
Ainda seguindo este ´ultimo tipo de abordagem, vamos supor que estejamos um pouco relutantes em mudar toda a matem´atica subja- cente `a mecˆanica quˆantica, e que desejamos apenas mudar a ontologia descrita pela matem´atica. Esta ´e a abordagem explorada em Krause e Arenhart (KRAUSE; ARENHART, 2011), onde um predicado quase- conjuntista ´e apresentado para a mecˆanica quˆantica ortodoxa (um pre- dicado no sentido de P. Suppes (SUPPES, 2002), mas constru´ıdo em Q). Trabalhando em Q, podemos garantir que mesmo que a matem´atica seja desenvolvida na parte cl´assica da teoria de quase-conjuntos, a on- tologia associada, encapsulada no dom´ınio do quase-predicado, ´e uma cole¸c˜ao de n˜ao-indiv´ıduos, garantindo assim mais uma vez que a teo- ria trata legitimamente com n˜ao-indiv´ıduos e que podemos ent˜ao estar comprometidos ontol´ogicamente com eles. Assim como na aplica¸c˜ao mencionada no par´agrafo anterior, este tipo de proposta ´e motivada pela exigˆencia de que a n˜ao-individualidade seja assumida desde o come¸co (como um conceito primitivo), mas agora esta caracter´ıstica das part´ıculas est´a codificada no framework l´ogico subjacente, e n˜ao na pr´opria matem´atica. De qualquer modo, esta ´e ainda outra op¸c˜ao
6Este problema foi proposto por Yu. I. Manin como um de seus Problemas para
para que o comprometimento com n˜ao-indiv´ıduos seja tornado preciso atrav´es do uso de Q.
Conforme j´a mencionamos, muitos resultados interessantes de um ponto de vista filos´ofico e matem´atico podem ser alcan¸cados for- malmente dentro do aparato de Q. Muito ainda precisa ser feito, como por exemplo, o uso da teoria de quase-conjuntos na teoria quˆantica de campos (para uma discuss˜ao relevante, ver French e Krause (FRENCH; KRAUSE, 2006, cap.9), Domenech e Holik (DOMENECH; HOLIK, 2007)). Esperamos que o desenvolvimento apresentado aqui e as aplica¸c˜oes que j´a est˜ao sendo levadas a cabo possam ser estimulantes ao leitor e que n´os tenhamos conseguido mostrar que a n˜ao-reflexividade ´e uma tese interessante, que pode ser desenvolvida com fundamentos seguros e que deveria ser levada em considera¸c˜ao nas discuss˜oes sobre os fundamentos da mecˆanica quˆantica.
4 QUASE-CARDINAIS FINITOS
Neste cap´ıtulo n´os discutiremos a rela¸c˜ao entre duas caracter´ısticas que as entidades quˆanticas s˜ao ditas possuir: i) elas podem ser consi- deradas como sendo de certo modo n˜ao-indiv´ıduos e ii) elas podem ser agregadas em cole¸c˜oes tendo um n´umero bem definido delas (um cardinal). A n˜ao-individualidade, conforme ela ´e geralmente entendida nestes contextos e conforme ela est´a sendo tomada neste trabalho (vide o cap´ıtulo 2), implica em particular que estes itens n˜ao podem possuir condi¸c˜oes de identidade nem ser nomeados ou rotulados. Por outro lado, de acordo com o modo usual de se entender, o cardinal de um agregado ´e atribu´ıdo atrav´es de um procedimento de contagem que pressup˜oe algum tipo de condi¸c˜ao de identidade que nos permita indi- viduar e rotular as entidades sendo contadas. Ent˜ao, tomadas em con- junto, a caracter´ıstica envolvendo cardinalidade e a n˜ao-individualidade parecem gerar um paradoxo: para serem contados e ter um n´umero cardinal, estes agregados n˜ao poderiam envolver n˜ao-indiv´ıduos, estas duas caracter´ısticas parecem excluir uma a outra. Vamos argumentar que se pode manter tanto a interpreta¸c˜ao dos objetos quˆanticos como n˜ao-indiv´ıduos quanto a caracter´ıstica de que podem ser contados em qualquer situa¸c˜ao dada.
Nosso primeiro passo consistir´a em discutir a rela¸c˜ao entre con- tagem, cardinalidade, rotula¸c˜ao e n˜ao-individualidade. Algumas abor- dagens a estes conceitos conforme s˜ao apresentadas na literatura ser˜ao tratados de modo breve, e vamos sustentar que aqueles argumentos propondo que a contagem pressup˜oe a identidade e a individualidade podem de fato ser resistidos. Para fundamentar nossa afirma¸c˜ao de que podemos consistentemente ter contagem e cardinalidade sem ter- mos identidade e individualidade, proporemos uma defini¸c˜ao de um procedimento alternativo de contagem. Primeiramente, analisaremos uma proposta semelhante nestas mesmas linhas apresentada por Do- menech e Holik (DOMENECH; HOLIK, 2007). Investigaremos tamb´em algumas teses destes autores segundo as quais a defini¸c˜ao proposta por eles n˜ao apenas possui vantagens para a concep¸c˜ao filos´ofica das part´ıculas quˆanticas como n˜ao-indiv´ıduos, mas tamb´em para o forma- lismo da teoria de quase-conjuntos propriamente, que ´e o aparato con- ceitual empregado por eles para formalizar suas defini¸c˜oes. Entraremos em alguns detalhes acerca desta proposta particular e argumentaremos que algumas de suas caracter´ısticas n˜ao est˜ao em completo acordo com suas motiva¸c˜oes, em particular, que algumas das cr´ıticas apresentadas
por estes autores `a formula¸c˜ao usual da teoria Q n˜ao se sustentam, ou em outros casos, n˜ao se resolvem com a abordagem proposta por eles.
O pr´oximo passo consiste em apresentar nossa pr´opria proposta de defini¸c˜ao de contagem e cardinalidade na teoria de quase-conjuntos. Iremos nos restringir apenas aos q-sets finitos, sem preju´ızos para a dis- cuss˜ao filos´ofica, e nossa motiva¸c˜ao ´e baseada no trabalho de Domenech e Holik. Nossa defini¸c˜ao ´e, de um ponto de vista t´ecnico, mais simples, e conforme argumentaremos, para q-sets finitos as duas defini¸c˜oes po- dem ser facilmente vistas como coincidindo. Como um ´ultimo ponto a ser desenvolvido, passamos de alguns pontos mais t´ecnicos da apre- senta¸c˜ao e discutimos uma obje¸c˜ao feita originalmente `a defini¸c˜ao de Domenech e Holik feita por Jantzen em (JANTZEN, 2010), mas que tamb´em poderia ser dirigida ao nosso trabalho conforme desenvolvido aqui. De acordo com Jantzen, o pr´oprio conceito de unit´ario forte nos permite introduzir em Q uma no¸c˜ao de identidade, uma rela¸c˜ao que si- mula o comportamento da identidade. Segundo ele, ´e esta rela¸c˜ao que explica a pr´opria possibilidade de defini¸c˜oes alternativas de cardinali- dade como aquela de Domenech e Holik e aquela que propomos aqui. Ent˜ao, se Jantzen estiver correto em suas cr´ıticas, a ideia de que pode- mos definir uma no¸c˜ao de contagem e cardinalidade sem pressupor nem a rotula¸c˜ao nem a individualidade das entidades sendo contadas ´e uma ilus˜ao. Argumentaremos que as dificuldades apontadas por Jantzen est˜ao equivocadas, e que parte de seu argumento surge de se esque- cer algumas caracter´ısticas b´asicas da teoria Q. Por fim, mostraremos que Q pode ser vista como englobando uma forma de individualidade contextual, mais ou menos como ZFC pode ser visto como englobando certas formas de n˜ao-individualidade (conforme discutimos no cap´ıtulo anterior, tanto no caso do modelo em ZFC para Q quando no caso da estrat´egia de Weyl).