ROTULANDO E CONTANDO ENTIDADES QU ˆ ANTICAS

Agora, vamos relembrar que ao apresentarmos no cap´ıtulo 2 os argumentos que tradicionalmente são avan¸cados em favor de se considerar as entidades quânticas como sendo não-indiv´ıduos, tivemos que come¸car rotulando as part´ıculas, vetores e espa¸cos de Hilbert. Isto é, no argumento padrão para se sustentar a não-individualidade das entidades quânticas, come¸camos por rotular as part´ıculas e contá-las! Então, devemos discutir com cuidado que tipo de papel os rótulos de part´ıculas como 1 e 2 desempenham naqueles argumentos. Obviamente, eles ser- vem para nos garantir que estamos tratando com duas part´ıculas, mas o que mais se segue da´ı? Bem, vamos come¸car com a afirma¸cão de cardinalidade, que é nossa principal preocupa¸cão aqui. Se estivermos de acordo com a análise acima da contagem e atribui¸cão de cardinalidade apresentada na se¸cão 4.1, parece que o mero fato de que estamos tratando com duas part´ıculas é o suficiente para nos garantir que ambas as part´ıculas tem alguma forma de individualidade, seja conferida por alguma forma de teoria de feixes, seja por uma identidade primitiva. De acordo com esta análise, ainda, os rótulos são consequências simples da individualidade e do processo de contagem associado a ela. No caso dos feixes, a própria possibilidade de rotularmos está fundamentada em alguma qualidade espec´ıfica que cada part´ıcula deveria possuir para garantir a contagem; no caso da identidade primitiva, apesar de que a rotula¸cão não desempenha um papel epistemológico, não nos dando nenhum modo de efetivamente identificar qual objeto é qual, a própria possibilidade em princ´ıpio é garantida metafisicamente pela identidade primitiva de cada item.

Então, assumindo esta maneira de se ver a contagem, a con- sequência para a Concep¸cão Recebida é muito simples: desde o come¸co, o discurso sobre a não-individualidade parece mal-motivado, pois conceitualmente a própria possibilidade de falarmos de um número definido de entidades pressupõe a sua individualidade (esta é a conclusão expressa em Jantzen (JANTZEN, 2010)). De fato, a inferência parece ser tão simples que dever´ıamos ter sido mais céticos quando come¸camos a rotular as part´ıculas para apresentar o argumento anterior sobre mecânica quântica e não-individualidade. Não t´ınhamos discutido anteriormente que a rotula¸cão, como uma possibilidade metaf´ısica, já faz as mesmas pressuposi¸cões que a contagem, i.e., que as entidades rotuladas e contadas devem de alguma forma ser indiv´ıduos? Os rótulos, como um resultado do procedimento de contagem, carregam peso metaf´ısico se a contagem deve ser tomada em seu sentido tradicional.

Este tipo de análise já foi conduzida por Redhead e Teller em (REDHEAD; TELLER, 1991) e em (REDHEAD; TELLER, 1992). De acordo com estes autores, o primeiro ponto a ser reconhecido é que nós não rotulamos as part´ıculas propriamente, claro, mas antes vetores repre- sentando estados para as part´ıculas, de modo que falar em rotular part´ıculas é apenas uma fa¸con de parler para abreviar o discurso. Ainda, segundo eles, é precisamente o uso de produtos tensoriais de espa¸cos de Hilbert rotulados para representar os espa¸cos de estados das part´ıculas que é inconveniente para os nossos propósitos metaf´ısicos de nos comprometermos com não-indiv´ıduos, ou pelo menos, com entidades que não podem propriamente receber rótulos. De fato, eles dizem, dever´ıamos reconhecer que a rotula¸cão pressupõe metafisicamente o que eles chamam de uma Individualidade Transcendental de Rotula¸cão (LTI abreviadamente), um princ´ıpio de individua¸cão que dá conta do fato de que os itens os possuindo podem ser, entre outras coisas, rotulados e contados. Esta LTI é um termo genérico para fazer referência à uma teoria de feixes ou identidade primitiva de um modo genérico, sem ter que se preocupar com as idiossincrasias de cada uma destas abordagens.2

Agora, Redhead e Teller sugerem que este comprometimento com LTI não significa o fim da Concep¸cão Recebida, mas é apenas um sinal de que devemos mudar para um formalismo alternativo mais adequado para este tipo de entidades, o Formalismo dos Espa¸cos de Fock, que não se baseia em rótulo, e ainda assim garante o número de part´ıculas bem determinado em cada estado.

Mas esta sugestão, entre algumas das dificuldades que ela certamente enfrenta (ver French e Krause (FRENCH; KRAUSE, 2006, pp.193- 197) para algumas das cr´ıticas), parece nos levar de volta ao problema com o qual come¸camos: aparentemente não precisamos mais de rótulos, mas ainda temos um cardinal associado com estas part´ıculas. A questão que surge então é: como esta atribui¸cão de cardinais deve ser enten- dida? Se a mesma análise tradicional expressa acima for empregada, voltamos precisamente para a Individualidade Transcendental de Ro- tula¸cão que Redhead e Teller gostariam de evitar com sua proposta. Parece que não é o suficiente mudar para um formalismo de espa¸co de Fock, devemos prestar aten¸cão também à outra caracter´ıstica da

2_{De fato, Redhead e Teller se referem a teorias de feixes e a teorias de substrato.}

Esta última difere significativamente da doutrina da identidade primitiva em muitos aspectos; entre eles, poder´ıamos mencionar que o teórico do substrato geralmente está comprometido com alguma forma da tese de composi¸cão ontológica, e considera que os substratos sejam um ingrediente extra no indiv´ıduo, enquanto que os teóricos da identidade primitiva não estão comprometidos com estes tipos de teses. Estas diferen¸cas, todavia, não afetam nosso argumento aqui.

Individualidade Transcendental de Rotula¸cão, aquela que nos garante que é precisamente LTI que alegadamente nos assegura que podemos contar as cole¸cões dos objetos. Ainda, o formalismo de espa¸cos de Fock pode ser visto como desenvolvido a partir do formalismo dos espa¸cos de Hilbert, de modo que ele pressupõe a contagem usada na formula¸cão deste último (no cap´ıtulo 6 veremos uma cr´ıtica adicional de Muller e Saunders, sustentando que a contagem é apenas uma consequência do aparato formal, mas é absolutamente desprovido de peso ontológico).

Como uma primeira sugestão a ser considerada contra esta dificuldade, pode ser proposto que cole¸cões de part´ıculas quânticas pos- suem apenas uma cardinalidade, mas não um número ordinal atribu´ıdo a elas (ver Toraldo di Francia (FRANCIA, 1998, p.27)). Esta proposta é interessante porque ela identifica o núcleo do problema como sendo a no¸cão de contagem e sua consequente atribui¸cão de um ordinal. Então, a proposta consiste em manter ambas as no¸cões separadas. Mas, apesar de esta ser uma ideia interessante, ela ainda deixa a atribui¸cão de cardinais sem uma explica¸cão. Além disso, esta estratégia não parece encarar o desafio proposto pelo problema com o qual estamos tratando aqui: como atribuir cardinais sem o procedimento padrão de contagem e sem assumir alguma forma de LTI. Deixaremos a discussão deste tipo de alternativa para outra ocasião, e tentaremos tratar de cardinalidade e contagem de modo relacionado. Então, a próxima sugestão que imedi- atamente vem em mente é que ao invés de tentarmos negar que cole¸cões de não-indiv´ıduos tem alguma caracter´ıstica que por sua vez exigiria que eles fossem indiv´ıduos, dever´ıamos fornecer uma maneira alternativa de se entender a contagem e a atribui¸cão de cardinalidade, de modo que estas no¸cões não estejam vinculadas com a identidade e a individualidade (Lowe (LOWE, 2003, p.77) também sugere que a separa¸cão entre a contagem e a individualidade é conceitualmente poss´ıvel; de fato, sugere que para o benef´ıcio da clareza conceitual destas questões, elas devem ser mantidas separadas).

Uma destas propostas que nós levaremos em considera¸cão no nosso trabalho foi avan¸cada por Domenech e Holik em (DOMENECH; HOLIK, 2007). Estes autores trabalharam no aparato conceitual da teoria de quase-conjuntos. Vamos apresentar sua abordagem de maneira informal e discuti-la na próxima se¸cão. Faremos também uma pequena digressão sobre algumas de suas teses concernindo o status da teoria de quase-conjuntos e a ado¸cão da quase-cardinalidade como uma no¸cão primitiva.

4.3 QUASE-CARDINAIS SEGUNDO DOMENECH E HOLIK

Em seu trabalho A discussion on particle number and quantum indistinguishability (ver (DOMENECH; HOLIK, 2007)),3 _{G. Domenech}

e F. Holik propuseram uma defini¸c˜ao de quase-cardinais na teoria de quase-conjuntos que trata apenas com q-sets finitos. Listamos, como se segue, aquelas que consideramos serem as trˆes principais teses destes autores neste trabalho:

1. segundo eles, a defini¸cão que propõem mostra que, pelo menos quando tratamos apenas com q-sets finitos, não é necessário in- troduzirmos a no¸cão de quase-cardinal como um s´ımbolo primitivo obedecendo a determinados axiomas, conforme tem sido feito nas apresenta¸cões usuais da teoria (ver, por exemplo, French e Krause (FRENCH; KRAUSE, 2006, cap.7), e também o cap´ıtulo 3). Isto é, existe uma solu¸cão alternativa ao problema concernindo a introdu¸cão de quase-cardinais na teoria Q que é mais econômica que a usual;

2. eles sugerem que a defini¸cão apresentada por eles pode ser vista como um primeiro passo na formula¸cão de uma versão da teoria permitindo que alguns q-sets permane¸cam sem um quase- cardinal associado. Através desses q-sets, seria poss´ıvel representar alguns sistemas que ocorrem na f´ısica quântica relativista, viz. aqueles sem um número de part´ıculas bem determinado. De acordo com os autores, isto poderia ser um primeiro passo para nos ajudar a superar uma inadequa¸cão da teoria Q conforme ela é formulada usualmente, já que os axiomas empregados para os quase-cardinais nos garantem que todo q-set tem um quase- cardinal, não permitindo assim a existência dentro da teoria deste tipo de sistema;

3. sua defini¸cão deveria capturar um sentido espec´ıfico da no¸cão de contagem, tomada como um procedimento f´ısico efetivo que pode ser realizado em laboratório. Ou seja, uma das motiva¸cões para a defini¸cão vem de procedimentos que podem ser realizados fisicamente, e a ideia é que a formaliza¸cão capture esta motiva¸cão. Vamos deixar a discussão da tese 3 para o final do cap´ıtulo, porque ela trata de questões metaf´ısicas muito interessantes que não queremos come¸car a introduzir nesta se¸cão especificamente. Vamos come¸car

3_{Quando fizermos men¸}_c˜_{ao ao trabalho de Domenech e Holik sem citar nenhuma}

discutindo a tese 1, que é realmente uma das grandes novidades no trabalho de Domenech e Holik e uma contribui¸cão das mais interessantes ao estudo da teoria de quase-conjuntos e sua aplica¸cão. Realmente, a defini¸cão da no¸cão de quase-cardinais apresenta tantas dificuldades que uma defini¸cão, mesmo que bastante complicada, já representa um avan¸co significativo neste tipo de estudo. Vejamos brevemente alguns motivos para estas dificuldades.

Conforme mencionamos anteriormente diversas vezes, nas formula¸cões usuais de Q, para garantir que todo q-set possui um quase- cardinal associado, é o procedimento padrão empregar um s´ımbolo de fun¸cão unária qc acompanhado de axiomas espec´ıficos para esta no¸cão (por exemplo, aqueles que apresentamos no cap´ıtulo 3). Talvez esta seja a maneira mais direta e simples de se resolver o problema de como as- sociar cardinalidade a q-sets contendo m-átomos como elementos. Con- forme vimos anteriormente, o conceito de quase-cardinal é geralmente assumido como primitivo pois em Q não podemos empregar os procedimentos usuais de defini¸cão de cardinais, como por exemplo o padrão `

a la von Neumann, que define o cardinal de uma cole¸cão como o me- nor ordinal inicial equipolente ao conjunto (ver as defini¸cões relevantes em (FRAENKEL; BAR-HILLEL; LEVY, 1984)). Neste caso particular, para aplicarmos esta defini¸cão a um q-set contendo m-átomos indistingu´ıveis ter´ıamos que ter uma boa ordem definida sobre este q-set e colocá-la em correspondência um a um com um ordinal. A primeira dificuldade em se fazer isto, conforme já foi comentado anteriormente, é que não podemos definir uma boa ordem sobre um q-set cujos elementos são m-átomos indistingu´ıveis, pois a própria defini¸cão de uma rela¸cão de boa ordem exigiria que o conceito de identidade estivesse definido para os elementos da cole¸cão sendo bem ordenada, algo que não é poss´ıvel para casos envolvendo m-átomos. Ainda, não podemos estipular uma correspondência um a um entre um q-set qualquer e um ordinal, pois a própria no¸cão de correspondência um a um, além de envolver a rela¸cão de identidade na sua defini¸cão, somente pode ser introduzida razoavel- mente na formula¸cão usual de Q com a ajuda do próprio conceito de qc. Assim, já que estamos tentando definir precisamente a no¸cão de quase-cardinalidade, ela não pode estar dispon´ıvel anteriormente para nós. Como se vê, não parece haver nenhuma maneira simples de definir precisamente a no¸cão de quase-cardinalidade e então, a afirma¸cão de que esta no¸cão pode ser definida mesmo diante de todas as dificuldades deve ser vista como um grande resultado.

De fato, Domenech e Holik sugerem que este tipo de abordagem ao problema pode nos fornecer mais do que uma simples solu¸c˜ao

a um problema técnico. De acordo com eles, a introdu¸cão da quase- cardinalidade como uma no¸cão primitiva em Q acaba por introduzir uma limita¸cão na teoria: existem, na teoria quântica, alguns agrega- dos de part´ıculas que não podem ser representados na teoria de quase- conjuntos quando ela é formulada deste modo (ver (DOMENECH; HOLIK, 2007, pp.858-859)). Mais precisamente, a afirma¸cão é que a introdu¸cão do conceito de quase-cardinais como um conceito primitivo acaba por dotar todos os q-sets com um quase-cardinal, e é precisamente esta caracter´ıstica que acaba por limitar o poder representativo da teoria de quase-conjuntos, pois impede que sejam representados sistemas de part´ıculas cujo número de part´ıculas não está bem definido, e isto pela simples razão de que q-sets sem um cardinal associado são imposs´ıveis dentro da teoria formulada deste modo. O exemplo paradigmático de uma situa¸cão em que isto ocorre são os casos de sistemas quânticos que não estão em um autoestado do operador número de part´ıculas, uma situa¸cão bastante comum na mecânica quântica relativista. Então, de acordo com Domenech e Holik, garantir que todo q-set possui um quase- cardinal é ir longe demais quando se tem em mente os fundamentos da f´ısica. Seguindo esta discussão, segue-se que é razoável a grande im- portância atribu´ıda para a tese 2, e podemos ver claramente sua rela¸cão com a tese 1: já que queremos que alguns q-sets permane¸cam sem um quase-cardinal associado, e já que isto parece imposs´ıvel de se obter quando adotamos a no¸cão de quase-cardinal como no¸cão primitiva na teoria de quase-conjuntos (mas, ver adiante), uma solu¸cão razoável parece consistir em buscarmos definir a no¸cão de quase-cardinal, fazendo isto de modo que alguns q-sets falhem em ter uma quantidade bem definida de elementos. Basicamente, junto com a tese 3 exposta acima, este é o programa desenvolvido em (DOMENECH; HOLIK, 2007).

Antes de considerarmos a proposta feita pelos autores para de- senvolver alguns aspectos deste de programa de pesquisa e come¸car a apresentar solu¸cões para algumas das caracter´ısticas de Q que podem ser indesejáveis em alguns contextos, é interessante mencionar aqui que a principal motiva¸cão para os primeiros desenvolvimentos da teoria de quase-conjuntos sempre foi a mecânica quântica não-relativista. Claro, French e Krause também já ensaiaram os primeiros passos para o tra- tamento da teoria quântica de campos dentro do aparato conceitual da teoria de quase conjuntos em (FRENCH; KRAUSE, 2006, cap.9). Mas, apesar disso, foi a teoria não-relativista que forneceu as primeiras motiva¸cões para o desenvolvimento dos quase-conjuntos. Então, mesmo quando desejamos tentar acomodar em Q algumas das caracter´ısticas da teoria quântica de campos, devemos lembrar que este é praticamente

um novo projeto de pesquisa, que deverá fazer as modifica¸cões conveni- entes na teoria Q que, como dissemos, não foi projetada tendo-se estes objetivos em mente. Certamente, Domenech e Holik estão certos em afirmar que algumas modifica¸cões devem ser buscadas caso desejemos tratar adequadamente de sistemas da teoria quântica relativista. To- davia, como dissemos, isto não deve ser imputado como um defeito da teoria pois, a princ´ıpio, ela não foi desenvolvida para tratar deste tipo de sistemas.

Domenech e Holik propõem a introdu¸cão do conceito de quase- cardinais como uma no¸cão definida, sem que necessitemos considerar esta no¸cão como um s´ımbolo primitivo. Vejamos agora, informalmente, como eles motivam a sua defini¸cão e como podemos explicar sem muito rigor os procedimentos que serão formalizados posteriormente na teoria de quase-conjuntos. Esta discussão nos interessa pois, em particular, ela está diretamente relacionada com o problema com o qual come¸camos, qual seja, como propor uma defini¸cão de contagem que não pressupo- nha a identidade. O núcleo da defini¸cão proposta por estes autores é baseado na ideia de que podemos apresentar um procedimento de acordo com o qual é poss´ıvel eliminar elementos de uma cole¸cão um por um, até que a cole¸cão esteja vazia no caso em que seja finita. Isto é, dado um q-set não-vazio A, podemos, usando os recursos de Q menos qc (e mais dois axiomas espec´ıficos introduzidos por eles), tirar de A aquilo que contaria intuitivamente como um único elemento de A, e depois disso verificar se o q-set obtido deste modo, que vamos chamar A0, está vazio ou não. Se A0 é o q-set vazio, sabemos então que A tinha apenas um elemento. Por outro lado, se A0 não é vazio, basta repetirmos o procedimento tirando mais um elemento dele. Mais uma vez, verificamos se o q-set obtido deste modo, chame de A00, é ou não vazio. Se for vazio, paramos por aqui, e sabemos que A tinha apenas dois elementos; se não for vazio, prosseguimos eliminando mais um elemento. O procedimento segue deste modo. Em alguns casos, para alguns q-sets, o procedimento eventualmente chegará no q-set vazio em um número finito de repeti¸cões destes passos, mas em outros casos o procedimento poderá ser repetido um número indefinido de vezes e nunca alcan¸camos o q-set vazio. Duas possibilidades resultam da´ı: o q-set considerado pode ser esvaziado em um número finito de passos, e dizemos que ele é finito por defini¸cão, ou então não podemos esvaziá-lo através destes procedimentos, e dizemos que o q-set é infinito.

Vamos tratar de cada um dos casos separadamente. Na primeira possibilidade, aplicamos a um q-set A um procedimento que por hip´otese eventualmente atingir´a o q-set vazio, nos dando, de acordo

com a terminologia de Domenech e Holik, uma cadeia descendente do seguinte tipo:

∅ ⊆ . . . ⊆ A00⊆ A0⊆ A,

onde A0 denota o q-set que resulta de A ao eliminarmos dele “apenas um” elemento (A0 é chamado um descendente direto de A na terminologia dos autores), e o mesmo vale para A00 com rela¸cão a A0, etc. Na segunda possibilidade, a cadeia descendente será tal que, não importa quantos elementos de A retiremos dos q-sets formando cada membro da cadeia, nós nunca alcan¸caremos o q-set vazio em qualquer número finito de passos, e as cadeias terão a seguinte forma:

. . . ⊆ A00⊆ A0⊆ A.

Nestes casos, o q-set não terá nenhum quase-cardinal associado a ele. Para as cadeias descendentes do primeiro tipo, aquelas que atin- gem o q-set vazio em um número finito de passos, os autores mostram

No documento Discussões sobre a não-individualidade quântica (páginas 106-125)