naBL-álgebras inflacionárias obtidas por (ψ, T )-distorções

Nesta seção, será apresentada uma maneira para transitar entres as BL-álgebras e as naBL- álgebras inflacionárias. Em outras palavras, serão apresentadas proposições que mostram como obter naBL-álgebras inflacionárias por meio da distorção de t-normas por pseudo Scott-automor- fismos e, em caminho inverso, mostra-se como obter BL-álgebras a partir de naBL-álgebras inflacionárias, via Scott-automorfismos.

Proposição 6.5. Seja L = hL, ∧, ∨, ∗, ⇒, 0L, 1Li uma BL-cadeia1 completa de ordem densa

onde o operador “∗” é uma t-norma contínua e positiva e ρ : L → L um pseudo Scott- automorfismo que satisfaz: x ≤L ρ(x), para todo x ∈ L. Se, para todos x, y ∈ L, x ~ y =

ρ(x ∗ y), então L0 _{= hL, ∧, ∨, ~, ⇒~}, 0L, 1Li é uma naBL-álgebra inflacionária.

Demonstração. Pela Proposição 5.5 tem-se que “_{~” é um operador overlap. Além disso, desde} que ρ é um pseudo Scott-automorfismo que satisfaz x ≤L ρ(x), para todo x ∈ L, tem-se que

x ~ 1L = ρ(x ∗ 1L) ≥L x. Logo “~” é um operador overlap‘ inflacionário sobre L. Desde

que L é uma BL-cadeia completa de ordem densa, segue-se da Proposição 6.4 que a estrutura L0

= hL, ∧, ∨, ~, ⇒~, 0L, 1Li é uma naBL-álgebra inflacionária.

Proposição 6.6. Seja L0 _{= hL, ∧, ∨, ~, ⇒~}, 0L, 1Li uma naBL-álgebra inflacionária, cujo reti-

culado reduto é uma cadeia completa de ordem densa e tal que “_{~” é um operador overlap ob-} tido pela distorção de uma t-norma contínua e positiva. Seρ : L → L é um Scott-automorfismo entãoL00 _{= hL, ∧, ∨, , ⇒}

, 0L, 1Li, onde x  y = ρ−1(x ~ y) e x ⇒ y = ρ−1(x ⇒~ y), para

todosx, y ∈ L, é uma naBL-álgebra.

Demonstração. É óbvio que o hL, ∧, ∨, 0L, 1Li-reduto é um reticulado limitado com elemento

bottom 0Le elemento topo 1L. Desde que “~” é um operador overlap inflacionário, segue-se da

Proposição 5.9 que o operador “” é uma t-norma contínua e positiva. Logo, por um lado tem- se que o hL, , 1Li-reduto é um monóide comutativo. De outro lado, o par (, ⇒) satisfaz o

princípio de residuação. Quanto a Propriedade da divisibilidade, suponha que x ≤L y então de

um lado tem-se x ∧ y = x e de outro lado tem-se x  (x ⇒ y) = x  1L= x. Portanto, vale que

x  (x ⇒ y) = x ∧ y. Para o caso x >L y o raciocínio é análogo. Assim, x  (x ⇒ y) = x ∧ y. 1_{Uma BL-cadeia é uma BL-álgebra tal que seu reticulado reduto é totalmente ordenado.}

Para a Propriedade de prelinearidade, como L00 é linearmente ordenado, para todos x, y ∈ L, uma das seguintes condições é atendida: x ⇒ y = 1Lou y ⇒ x = 1L. Portanto, segue-se o

resultado.

Observação 6.2. Se ρ : L → L é um Scott-automorfismo e L = hL, ∧, ∨, ∗, ⇒, 0L, 1Li é uma

BL-álgebra, então das Proposições 6.5 e 6.6 pode-se construir o seguinte diagrama:

L(BL) ρ // && L0_(naBL) ρ−1  L00_(BL)

Figura 13: BL-álgebras obtidas por Scott-automorfismos.

Corolário 6.1. O operador “_~(ρ,∗)” obtido pela(ρ, ∗)-distorção possui elemento neutro “1L”

se, e somente se,L e L00sãoϕ-isomorfas, onde ϕ = ρ−1◦ ρ.

Analogamente, se ρ : L → L é um Scott-automorfismo e L0 = hL, ∧, ∨, ~, ⇒~, 0L, 1Li

uma naBL-álgebra em que “_{~” é um operador overlap obtido pela distorção de uma t-norma} contínua e positiva, então

L0_(naBL) ρ−1 // && L00_(BL) ρ  e L(naBL)

Figura 14: naBL-álgebras obtidas pela distorção de t-normas.

Corolário 6.2. O operador _{~ possui elemento neutro “1}L” se, e somente se, L0 e eL são ψ-

7

Conclusões

Este trabalho generalizou a noção de overlap para o contexto de reticulados e introduziu uma definição mais fraca, chamada de quasi-overlap, que surge da retirada da condição de continuidade. Para este fim, as principais propriedades de quasi-overlap sobre reticulados - soma convexa, migratividade, homogeneidade, idempotência e lei de cancelamento - foram investigadas, bem como uma caracterização de overlap arquimediana foi apresentada. Além disso, o princípio de residuação foi formalizado para o caso de funções quasi-overlap sobre reticulados e suas respectivas implicações induzidas, bem como foi formalizado que a classe de funções quasi-overlap que cumprem o princípio de residuação é a mesma classe de funções contínuas segundo a topologia de Scott. Como consequência, uma nova generalização da noção de BL-álgebras não-associativas (naBL-álgebras) baseadas em overlap sobre reticulados foi obtida.

Funções overlap foram introduzidas como uma classe de funções de agregação com duas entradas sobre o intervalo [0, 1] para serem aplicadas no campo de processamento de imagens. Entretanto, quando se leva em consideração que pixels (ou sinais) podem conter incertezas, por exemplo ruídos, essa informação de ruído pode ser captada em objetos que estendem os núme- ros reais, por exemplo intervalos ou números fuzzy. Isto foi uma das motivações que culminou na escrita desta tese que demonstrou a necessidade de uma topologia sobre reticulados. Essa topologia é a Topologia de Scott. De fato, dado um reticulado qualquer, sempre é possível saber como cada elemento se comporta em relação aos outros elementos, mas é difícil saber como a estrutura geral se parece. No entanto, definindo-se a topologia de Scott, as propriedades to- pológicas relacionadas com a ordem que esse reticulado contém permitiram desenvolver uma visualização própria para esse reticulado. Assim, um grande número de propriedades que se ve- rificam no intervalo real fechado [0, 1] (por exemplo, densidade, conexidade, bem como o fato de ser um espaço Hausdorff) puderam ser generalizadas para reticulados gerais com proprie- dades topológicas específicas. Desse modo, conceitos como densidade foram expressos tanto em termos topológicos quanto em termos da relação de ordem definita sobre o conjunto. Outro exemplo foi o conceito de compacidade, que permitiu generalizações do conhecido teorema

do valor extremo1. Os resultados referentes a adjunções sobre reticulados quaisquer usando funções overlap, permite que esses operadores possam ser usados em ferramentas como Mor- fologia Matemática, que é aplicada no campo de processamento de sinais e imagens através de operadores de dilatação, erosão, e outros (Haralick; Sternberg; Zhuang, 1987).

Além da área de processamento de imagens, funções overlap tem sido aplicados em áreas como: problemas de classificação, processamento de imagens e em alguns problemas de to- mada de decisão, em que a propriedade associativa não é fortemente requerida. Para a tomada de decisão, muitas vezes são utilizadas relações de preferência fuzzy, que fornecem graus repre- sentados por intervalos, números fuzzy ou números fuzzy intervalares (HERRERA, 2012). Como

os dados envolvidos nesses tipos de aplicação nem sempre são livres de imprecisão, é natural se pensar em dados no formato de intervalos, números fuzzy, etc. e overlap definidos sobre esses objetos. Dessa forma, essa dissertação fornece o arcabouço teórico para esse tipo de estrutura.

No campo da lógica, um ponto importante é o fato de que a residuação é uma propriedade algébrica essencial que deve ser requerida para se ter uma boa semântica para sistemas lógicos fuzzy baseados na regra do modus ponens, a condição necessária e suficiente para que uma con- junção fuzzy tenha um resíduo não é continuidade, mas continuidade à esquerda. Uma vez que as funções quasi-overlap contínuas são, na verdade, uma generalização de funções overlap con- tínuas à esquerda para reticulados, é definitivamente interessante, do ponto de vista lógico, fo- car no estudo de propriedades relacionadas as funções overlap contínuas à esquerda, bem como investigar como essas propriedades são interpretadas para o caso das funções quasi-overlap contínuas. Vale ressaltar que o conhecimento sobre funções overlap contínuas à esquerda é drasticamente limitado em comparação com a boa descrição que existe na literatura no caso contínuo. Ainda sobre essas propriedades capturadas por quasi-overlap, mais precisamente aquelas relacionadas a idempotência, cancelamento, limitação e propriedade arquimediana o conceito de soma ordinal para funções quasi-overlap também precisa ser investigado. Por outro lado, o avanço que foi obtido neste trabalho, no estudo das diferentes propriedades das funções quasi-overlaparquimedianas pode ajudar o desenvolvimento de novas aplicações relacionadas a funções overlap, em outros campos além do processamento de imagens. Por exemplo, na aplicação de funções overlap no contexto dos modelos agentes híbrido BDI-fuzzy (FARIAS; DI- MURO; COSTA, 2011), comumente usados em simulação social (SANTOS et al., 2012; MACEDO et al., 2012), onde a avaliação de valores sociais e trocas são de natureza qualitativa e subjetiva (DIMURO et al., 2007;PEREIRA et al., 2008). Funções overlap podem ser usadas para lidar com a indiferença e incomparabilidade quando raciocinando sobre a base de crença difusa do agente,

1_{O Teorema do valor extremo garante que uma função contínua definida em um conjunto compacto alcança}

onde um tipo de relação de preferência fraca pode ser definida.

Por sua vez, a nova generalização para BL-álgebras não-associativas (naBL-álgebras) que surge como consequência desta tese levantam algumas questões para investigações futuras, a saber:

• Investigar aspectos propriamente lógicos das lógicas associadas às naBL-álgebras consi- deradas nesse trabalho, tais como decidibilidade, axiomatizabilidade, investigar se essa classe é equacionalmente definível, entre outros;

• Caracterizar as estrutuas naBL e naT do ponto de vista categórico.

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