Definição 2.31. (Abertos de Scott) Seja hX, ≤i um CPO e A ⊆ X. O conjunto A diz-se um aberto de Scott se satisfaz as seguintes condições:
(i) Se x ∈ A e x ≤ y então y ∈ A
Proposição 2.10. Seja hX, ≤i um CPO e σ (X) = {A ⊆ X | A é um aberto de Scott} Nessas condições,σ (X) é uma topologia T0 sobreX, que em geral não é T1. σ (X) será chamada a
topologia de Scott sobreX.
Demonstração. Deve-se mostrar que σ (X) satisfaz os axiomas (i) - (iii) da Definição 2.21. Com efeito,
(i) ∅ e X são trivialmente abertos de Scott;
(ii) Suponha A1, A2 ∈ σ (X). Deve-se mostrar que A1∩ A2 ∈ σ (X). Seja x ∈ A1 ∩ A2 e
x ≤ y. Então x ∈ A1 e x ∈ A2. Como x ≤ y e A1, A2 ∈ σ (X), segue-se que y ∈ A1
e y ∈ A2. Portanto y ∈ A1 ∩ A2. Seja D ⊆ X dirigido, então sup D ∩ A1 6= ∅ e
sup D ∩ A2 6= ∅. Logo, sup D ∩ (A1∩ A2) 6= ∅. Portanto, A1∩ A2 ∈ σ (X).
(iii) Demonstra-se de modo análogo ao item (ii).
Além disso, σ (X) é T0. De fato, seja Ux = X\ ↓ x = {z ∈ X | z 6≤ x}. Vamos primeiramente
mostrar que Uxé um aberto de Scott. Com efeito, seja y ∈ Uxe w ∈ X tal que y ≤ w. Suponha
que w /∈ Ux. Então, w ≤ x e assim y ≤ x. Então y /∈ Ux, o que é uma contradição. Assim,
w ∈ Ux. Agora seja D ⊆ X um conjunto dirigido tal que sup D ∈ Ux. Então sup D 6≤ x.
Assuma que para qualquer s ∈ D, s /∈ Ux. Então, s ≤ x para todo s ∈ D. Logo x é uma cota
superior para D e assim sup D ≤ x, o que é uma contradição. Portanto, D ∩ Ux 6= ∅, e assim,
Ux é um aberto de Scott. Para provar que σ (X) é T0, suponha que x, y ∈ X, com x 6= y. Então
x ∈ Uy, y /∈ Uye Uyé aberto. Portanto σ (X) é T0. Além disso, se x ≤ y então todo aberto que
contém x (vizinhança de x), contém também y. Portanto σ (X) não é necessariamente T1.
Passaremos doravante a considerar todo CPO como um espaço topológico ordenado, em que a topologia é a de Scott, a menos que seja mencionado o contrário. No que segue, estuda- remos o conceito de função contínua segundo esta topologia.
Definição 2.32. Sejam (X, T ) e (Y, T0) espaços topológicos. Uma função f : X → Y diz-se contínua se para cada subconjuntoV aberto de Y , o conjunto f−1(V ) é um aberto de X, i.e, se para cadaV ∈ T0,f−1(V ) ∈ T .
Teorema 2.2. Para uma função f : X → Y , com X e Y CPO’s, as seguintes condições são equivalentes:
(2) f preserva supremo de conjuntos dirigidos e ínfimo de conjuntos filtrados, i.e., f preserva ordem e satisfaz: f (sup D) = sup f (D) e f (inf F ) = inf f (F ), para todo conjunto dirigidoD e todo conjunto F filtrado, ambos subconjuntos de X.
Demonstração. ((1) ⇒ (2)). Primeiro vamos provar que a condição (1) implica que f preserva ordem. Suponha que existem x, y ∈ X tal que x ≤ y mas f (x) 6≤ f (y), então o conjunto aberto de Scott Y \ ↓ f (y) = {u ∈ Y | u 6≤ f (y)} contém f (x). Assim, pela condição (1), f−1(Y \↓f (y)) = {w ∈ X | f (w) 6≤ f (y)} é um aberto de Scott que contém x, mas não contém y, o que contradiz o item (i) da Definição 2.31. Portanto, f preserva ordem. Agora seja D um subconjunto dirigido de X. Então, como f preserva ordem, f (D) é dirigido e f (D) ≤ f (sup D). De fato, sejam y1, y2 ∈ f (D). então existem u, v ∈ D tais que y1 = f (u) e
y2 = f (v). Como D é dirigido, existe w ∈ D tal que u ≤ w e v ≤ w. Segue da monotonicidade
de f que y1 = f (u) ≤ f (w) e y2 = f (v) ≤ f (w). Logo, para todos y1, y2 ∈ F (D), existe
q ∈ f (D) tal que y1 ≤ q e y2 ≤ q, a saber: q = f (w). Além disso, desde que x ≤ sup D,
para todo x ∈ D, tem-se que f (x) ≤ f (sup D) e daí sup f (D) ≤ f (sup D). Por outro lado, se f (sup D) 6≤ sup f (D) então f (sup D) ∈ Y \↓sup f (D)={r ∈ Y | r 6≤ sup f (D)}. Portanto, f−1(Y \↓sup f (D)) = {p ∈ X | f (p) 6≤ sup f (D)} contém sup f (D). Isto significa que existe d ∈ D tal que f (d) 6≤ sup f (D), o que é uma contradição. A demonstração para o caso de conjuntos filtrados é análoga.
((2) ⇒ (1)). Suponha que f preserva supremo de conjuntos dirigidos, i.e., f preserva ordem e satisfaz: f (sup D) = sup f (D) para todo conjunto dirigido D ⊆ X. Se A ∈ σ(Y ). De- vemos mostrar que f−1(A) ∈ σ(X). Com efeito, se sup(D) ∈ f−1(A) então f (sup(D)) = sup f (D) ∈ A. Logo, como f (D) é dirigido e sup f (D) ∈ A, pelo item (ii) da Definição 2.31, f (D)∩A 6= ∅ e daí D ∩f−1(A) 6= ∅. Assim, se x ∈ f−1(A) e x ≤ y, então f (x) ≤ f (y). Como f (x) ∈ A e A é aberto de Scott, segue-se que f (y) ∈ A. Portanto, f−1(f (y)) = y ∈ f−1(A). Ou seja, pelo item (i) da Definição 2.31, f−1(A) ∈ σ(X). A demonstração para o caso em que f preserva ínfimo de conjuntos filtrados é análoga.
Exemplo 2.30. A topologia de Scott é diferente da topologia euclidiana em [0, 1]. A função f : [0, 1] → [0, 1] definida por f (x) = 0, se 0 ≤ x ≤ 1 2 1, se 1 2 < x ≤ 1.
é Scott continua, mas não é contínua em relação à topologia usual, desde quex = 12 é um ponto de descontinuidade nessa topologia. Por outro lado, a funçãog : [0, 1] → [0, 1] definida por g(x) = |cos (10 · x)| é contínua em relação à topologia usual, mas não é Scott continua, uma
vez que não preserva ordem (veja Figura 5).
(a) Função f Scott contínua (b) Função g contínua na topologia euclidiana
Figura 5: Scott continuidade versus continuidade euclidiana.
Lema 2.6. Seja hX, ≤i um poset. Então valem as seguintes propriedades:
(i) Um conjunto A ⊆ X é um aberto de Scott se, e somente se, A =↑ A e para qualquer conjunto dirigidoD ⊆ X, sup D ∈ A implica D ∩ A 6= ∅, sempre que sup D existe;
(ii) Um conjunto F ⊆ X é um fechado de Scott se, e somente se, F =↓F e para qualquer conjunto dirigidoD ⊆ F , sup D ∈ F , sempre que sup D existe;
(iii) ↓ x = {x}, para todo x ∈ X;
(iv) Se B ⊆ X então int(B) = {x ∈ B | ↑ x ⊆ B}.
Demonstração.
(i) (⇒) Supondo que A é Scott aberto, resta-nos mostrar que A =↑A. Com efeito, se x ∈↑A então a ≤ x, para algum a ∈ A. Assim, como ↑ x é aberto de Scott, x ∈↑ x ⊆ A, ou seja, x ∈ int(A). Desde que A é um aberto de Scott, segue-se que x ∈ A. Portanto ↑A ⊆ A. A inclusão A ⊆↑A segue facilmente.
(⇐) Supondo que ↑A = A, a condição (i) da Definição 2.31 segue trivialmente. Além disso, se D ⊆ X é um conjunto dirigido, sempre que sup D existe em X a condição (ii) da Definição 2.31 também é satisfeita.
(ii) (⇒) Supondo que F é um fechado de Scott, tem-se que o seu complementar X\F é aberto de Scott. Assim, para qualquer conjunto dirigido D ⊆ F que possui supremo,
com sup D ∈ X\F , tem-se que D ∩ X\F 6= ∅ e então D 6⊆ F , que é uma contradição. Portanto, sup D ∈ F . Além disso, se x ∈ ↓F , então x ≤ v para algum v ∈ F . Logo v /∈ X\F e, como X\F , v /∈ ↑X\F . Mas ↑X\F = {u ∈ X | (∃w ∈ X\F ) w ≤ u}, então v < w para algum w ∈ X\F . Daí, por transitividade, x < w para algum w ∈ X\F . Ou seja, x /∈ ↑X\F . Portanto, x ∈ (X\ ↑(X\F )) = (X\(X\F )) = F . Isto mostra que ↓F ⊆ F . A inclusão F ⊆↓F segue facilmente.
(⇐) Suponha que para qualquer conjunto dirigido D ⊆ F tem-se sup D ∈ F , sempre que sup D existe, mas F não é um fechado de Scott ou, equivalentemente, X\F não é um aberto de Scott. Então existe um conjunto dirigido D ⊆ X tal que (X\F ) ∩ D = ∅ e sup D ∈ X\F , sempre que sup D existe. Mas isso contradiz o fato que sup D ∈ F . Portanto, F é um fechado de Scott.
(iii) Como o conjunto ↓ x é um down-set, segue-se que ele é um fechado de Scott contendo x. Então {x} ⊆↓ x. Por outro lado, se y ∈↓ x, então y ≤ x. Se y ∈ X\{x} então para qualquer w ∈ X tal que y ≤ w, tem-se que w ∈ X\{x}. Logo, ↑ y ∩ {x} = ∅. Como x ∈↑ y, tem-se que x /∈ {x}, o que é uma contradição.
(iv) Seja w ∈ {x ∈ B | ↑ x ⊆ B}. Então ↑ w ⊆ B. Mas ↑ w é aberto, logo ↑ w ⊆ int(B). Portanto, w ∈ int(B). Por outro lado, seja y ∈ int(B) ⊆ B. Desde que int(B) =↑ int(B), tem-se que int(B) ⊆↑B. Então, y ∈ {x ∈ B | ↑ x ⊆ B}.
Lema 2.7. Se X é um DCPO munido com a topologia de Scott σ(X) então, para todo x ∈ X, int(↑ x) ⊆ ⇑ x. Além disso, se X é contínuo então ⇑ x é um aberto de Scott e int (↑ x) = ⇑ x.
Demonstração. Tome a ∈ int (↑ x) e assuma que a ≤ sup D, para algum subconjunto dirigido D de X. Como int (↑ x) é Scott aberto, tem-se que sup D ∈ int (↑ x) e D ∩ int (↑ x) 6= ∅. Isto significa que d ∈ int (↑ x) ⊆↑ x, para algum d ∈ D, o que implica que x a. Então int (↑ x) ⊆⇑ x. Obviamente ⇑ x é um up-set. Para ver que ele é aberto de Scott, seja D um subconjunto dirigido de ⇑ x com sup D ∈⇑ x, i.e., x sup D. Se X é contínuo, então podemos empregar a Propriedade de Interpolação (Teorema (iv)) para encontrar y ∈ X tal que x y sup D. Isto implica que y ≤ d para algum d ∈ D e x d, i.e., ⇑ x ∩ D 6= ∅. Portanto, ⇑ x é aberto de Scott. Agora, a igualdade int (↑ x) =⇑ x segue do fato que ⇑ x e aberto de Scott e ⇑ x ⊆↑ x.
É importante recordar que um subconjunto S de um espaço topológico X é denso em X quando seu fecho S coincide com o espaço inteiro X. Isto equivale a afirmar que todo aberto
não vazio em X contém algum ponto de S, ou ainda que o complementar de S não possui pontos interiores. Quanto aos posets, a fim de estabelecer uma conexão entre essa definição topológica para densidadee aquela fornecida pela Definição 2.2 e que é dada em termos da ordem, apresentamos a seguinte asserção.
Proposição 2.11. Seja hX, ≤i um poset. Um conjunto S ⊆ X possui ordem-densa em X se, e somente se,S é denso em X na topologia de Scott.
Demonstração. (⇒) Suponha que o conjunto S ⊆ X possui ordem-densa em X. Então, para todos x, y ∈ X que satisfazem a condição x < y, existe z ∈ S tal que x < z < y. Pela Proposição 2.6 a coleção B = {↑ x = {y | x ≤ y}} forma uma base de abertos de Scott. Então, como ↑ x ∩ S 6= ∅, segue-se que S é denso em X na topologia de Scott.
(⇐) Para cada x ∈ X que satisfaz a condição x < y para algum y ∈ X, defina o conjunto Px = {w ∈ X | x < w}. É claro que Px 6= ∅. Vamos mostrar que Px é um aberto de Scott.
Com efeito, a condição (i) da Definição 2.31 é trivialmente satisfeita. Quanto a condição (ii), para qualquer conjunto dirigido D ⊆ X, suponha que sup D ∈ Px e D ∩ Px = ∅ sempre que
sup D existe. Então para todo w ∈ D tem-se que w ≤ x. Logo x é uma cota superior para w. Assim, sup D ≤ x, o que contradiz o fato de sup D ∈ Px. Portanto, D ∩ Px 6= ∅ e assim
Pxé um aberto de Scott. Além disso, desde que S é topologicamente denso em X, tem-se que
Px∩ S 6= ∅ e portanto existe z ∈ S tal que x < z < y para todos x, y ∈ X que satisfazem a
condição x < y.
Definição 2.33. Dado um espaço topológico X, uma coleção A = {Aλ}λ∈I de subconjuntos
deX é chamada uma cobertura de X, quando X ⊆S
λ∈IAλ. Dizemos queA é uma cobertura
aberta (fechada) deX quando todos os elementos da cobertura forem abertos (fechados). Um espaçoX denomina-se compacto quando toda cobertura aberta de X possui uma subcoleção finita que o cobre. Diremos queY é um subconjunto compacto de X se Y , com a topologia induzida porX, é um espaço topológico compacto.
Proposição 2.12. Se X é um poset munido com a topologia de Scott σ(X), então, para todo y ∈ X, o conjunto ↑ y é compacto.
Demonstração. De fato, seja A = {Aλ}λ∈I uma cobertura aberta de X. Então, para todo
y ∈ X, y ∈ S
λ∈IAλ. Daí, y ∈ Aλ, para algum λ ∈ I. Mas Aλ é aberto de Scott, então
Aλ =↑ Aλ. Além disso, como ↑ y ⊆↑ Aλ, segue-se que ↑ y é uma subcoleção finita de A.
Portanto, desde que ↑ y ⊆↑ y, segue-se que ↑ y é compacto.
Proposição 2.13. Se hL, ≤, σ(L)i é um reticulado completo munido com a topologia de Scott, entãoL é compacto.
Demonstração. De fato, desde que L é completo segue-se que ele é limitado. Seja 0 o seu elemento bottom. Como os abertos de Scott são filtros, basta tomar o filtro principal gerado por zero: ↑ 0 = {x ∈ L | 0 ≤ x}. Ele será exatamente o espaço todo e qualquer aberto que contenha o 0, como é um filtro, conterá ↑ 0.
Definição 2.34. Seja X um espaço topológico. Diz-se que X é localmente compacto se para todo subconjunto abertoU e x ∈ U , existe um conjunto compacto K que satisfaz a condição x ∈ int (K) ⊆ K ⊆ U .
Observação 2.6. Um resultado conhecido em topologia geral diz que se X é Hausdorff e com- pacto, entãoX é normal2, em particular regular3. Isto equivale a dizer que para cada aberto U ⊆ X e x ∈ U , existe um aberto B ⊆ X que satisfaz x ∈ B ⊆ B ⊆ U . Portanto, como X é Hausdorff eB é fechado, segue-se que B é compacto. Portanto X é localmente compacto.
A topologia de Scott combina intimamente com a estrutura da ordem. No entanto, por ser uma topologia T0, ela possui propriedades de separação fracas e não captura por si só todas
as propriedades de interesse. Por exemplo, espaços compactos não precisam ser localmente compactos, como constatamos no próximo exemplo.
Exemplo 2.31. Considere o conjunto X = Q ∪ {−∞, +∞} com a ordenação usual em Q e os elementos: ⊥X = −∞ e >X = +∞. Note que X é compacto, uma vez que é um
reticulado completo. Porém, ele não é localmente compacto, visto que o intervalo (−1, 1) é um aberto de Scott que contém0, mas não existe conjunto compacto K ⊆ (−1, 1) que satisfaz 0 ∈ int (K) ⊆ K ⊆ (−1, 1), desde que o complemento de K é ordem-denso em X e, portanto, int(K) = ∅.
Não obstante, há uma classe de espaços particularmente bem comportada e importante, que parece ser uma generalização adequada de espaços compactos de Hausdorff para o cenário T0.
Proposição 2.14. Todo domínio X é localmente compacto na topologia de Scott. Mais pre- cisamente, para qualquer conjunto aberto de Scott U ⊆ X e x ∈ U , existe y ∈ X tal que x ∈⇑ y ⊆↑ y ⊆ U . Em particular, a família de conjuntos {⇑ x | y ∈ X} forma uma base para a topologia de Scottσ(X).
2Um espaço topológico X é normal se, dados dois fechados disjuntos A e B em X, existem dois abertos
disjuntos U e V em X tais que A ⊆ U e B ⊆ V .
3Um espaço topológico X é regular se, dados um fechado F em X e um ponto b /∈ F , existem abertos disjuntos
Demonstração. Seja U ⊆ X um conjunto aberto de Scott e x ∈ U . Como X é contínuo, tem-se que ⇓ x é dirigido e sup ⇓ x = x ∈ U . Além disso, do fato de U ser aberto de Scott, segue-se que, para algum y, y ∈⇓ x. Então temos que x ∈⇑ y ⊆↑ y ⊆ U . A conclusão segue do Lema 2.7 e da Proposição 2.12.
Assim como compacidade, a conexidade é um requisito fraco para espaços T0. Recordamos
que um espaço topológico X diz-se conexo se, e somente se, toda decomposição X = U ∪ V onde U ∩ V = ∅ e os conjuntos U e V são abertos de X, implica em U = ∅ ou V = ∅.
O próximo resultado garante que um espaço com o maior (ou menor) elemento em sua ordem de especialização é conexo.
Proposição 2.15. Se hX, ≤i um poset munido com a topologia de Scott e cujo elemento máximo (mínimo) é representado por1X (0X), então X é conexo.
Demonstração. Faremos a demonstração para o caso do poset possuir elemento máximo. De fato, se X não fosse conexo, existiria uma decomposição X = U ∪ V de abertos de Scott U e V tais U ∩ V = ∅ com U 6= ∅ e V 6= ∅. Ora, mas como U ∩ V = ∅, podemos supor sem perda de generalidade que 1x ∈ U e, portanto, 1x ∈ V . Logo, 1/ x ∈ X\V . Contudo, X\V é um
fechado de Scott que contém 1X, então ↓ 1X ⊆ X\V . Mas ↓ 1X é o ideal principal gerado por
1X, portanto ele é o espaço todo e daí conclui-se que V = ∅, o que é um absurdo. Portanto o
poset X é conexo. Uma demonstração análoga é verificada para poset’s hX, ≤i munidos com a topologia de Scott e que possuem elemento mínimo 0x.
Proposição 2.16. Um poset hX, ≤i munido com a topologia de Scott é conexo se, e somente se, para todo para, b ∈ X, existe uma sequência finita a = x1, x2, . . . , xn = b tal que cada
xi ∈ X e, para cada i = 1, 2, . . . , n − 1, tem-se que xi exi+1são comparáveis.
Demonstração. (⇐) Sejam p, q ∈ X pontos quaisquer. Então existe uma sequência finita p = x1, . . . , xn = q tal que cada xi ∈ X e, para i = 1, . . . , n − 1, tem-se que xi e xi+1 são
comparáveis. Isto significa que p e q estão conectados pelas linhas do diagrama de Hasse do poset finito cujos elementos são os termos p = x1, . . . , xn = q. A partir disso, pode-se definir
sobre X a seguinte relação de equivalência:
a ∼ b ⇔ a e b estão conectados.
A única classe de equivalência desta relação chama-se uma componente conexa do poset X, i.e, para cada w ∈ X, [w] = {u ∈ X | u ∼ w} é um subconjunto conexo maximal de X.
Portanto, desde que todo poset X pode ser escrito como a união disjunta de suas componentes conexas e, neste caso, desde que X possui apenas uma componente conexa, segue-se que X é conexo.
(⇒) Raciocinado pela contra-positiva, suponha que existem α, β ∈ X tais que eles não es- tão conectados, ou seja, toda sequência finita de pontos x1, . . . , xn de X, tais que para todo
i = 1, . . . n − 1, os termos xi e xi+1 são comparáveis, não contém ao mesmo tempo α e β.
Decorre disso que α /∈ [β] e β /∈ [α]. Então, existe pelo menos duas componentes conexas de X. Portanto X não é conexo.
O próximo teorema é um importante resultado envolvendo posets conexos. Trata-se de uma generalização do conhecido Teorema do Valor Intermediário. Sua demonstração pode ser encontrada em (MUNKRES, 2000).
Teorema 2.3. Seja f : X → Y uma aplicação contínua, onde o poset X é conexo e o poset Y é totalmente ordenado. Se a, b ∈ X e r é um ponto de Y entre f (a) e f (b), então existe um pontoc ∈ X tal que f (c) = r.
Importa observar que no caso em que Y não é um poset totalmente ordenado, o Teorema 2.3 falha, conforme constata-se no próximo exemplo.
Exemplo 2.32. Considere os posets conexos X e Y representados por seus diagramas de Hasse na Figura 6. Considere a aplicaçãof : X → Y tal que f (0) = 0, f (y) = w, f (x) = v e f (1) = 0. Note que f é Scott contínua, uuma vez que preserva ordem. Entretanto, o elemento u ∈ Y é tal que w < u < 1, mas não existe r ∈ X tal que f (r) = u.
Poset X 1 x y 0 Poset Y 1 u v w 0 Figura 6: Representação dos posets conexos X e Y .
Na próxima seção, será introduzido o conceito de nets (ou redes). Elas generalizam a noção de sequências para alguns resultados familiares relacionando continuidade e compacidade, bem como outros objetos da topologia em espaços métricos, de modo que possam ser utilizados em espaços topológicos arbitrários.