O c 0 como subespa¸co

Ap´os alguns exemplos de subespa¸cos complementados em C(K), pretendemos agora estu- dar os espa¸cos de Banach que possuem c´opias de c0, complementadas ou n˜ao. O primeiro

68 ESPAC¸ OS DE BANACH DA FORMA C(K) resultado importante, o Teorema de Sobczyk, garante que c0 ´e complementado em todo

seu superespa¸co separ´avel. Para prov´a-lo, precisamos do seguinte lema:

Lema 3.24. Seja X um espa¸co de Banach separ´avel e seja Y um subespa¸co fechado de X. Se T0 : Y → c0 ´e linear e limitada com kT0k ≤ λ, para um λ > 0, ent˜ao existe T : X → c0

linear e limitada tal que T |Y = T0 e kT k ≤ 2λ.

Demonstra¸c˜ao. Considere Bλ = {f ∈ X∗ : kf k ≤ λ}. Pelo Teorema de Alaoglu (Teorema

2.19), temos que Bλ ´e fracamente∗ compacto.

Como X ´e separ´avel, segue que a bola unit´aria de X∗, BX∗ ´e metriz´avel. Portanto, Bλ ´e metriz´avel. Seja d uma m´etrica sobre Bλ.

Para cada n ∈ N, defina Φn : Y → R por Φn(y) = T0(y)(n), para todo y ∈ Y . ´E f´acil

ver que cada Φn ´e linear. Al´em disso, dado y ∈ Y , temos

kΦn(y)k ≤ kT0(y)k ≤ kT0k · kyk ≤ λkyk.

Logo, cada Φn ∈ Y∗. Da´ı, pelo Teorema de Hahn-Banach, existe, para cada n ∈ ω,

˜

Φn ∈ X∗ tal que ˜Φn|Y = Φn e k ˜Φnk = kΦk ≤ λ. Portanto, ( ˜Φn)n∈ω ⊆ Bλ.

Considere K = Bλ ∩ {f ∈ X∗ : ∀y ∈ Y f (y) = 0}. Temos que todo ponto de

acumula¸c˜ao de ( ˜Φn)n∈ω ⊆ Bλ pertence a K. Da´ı, d( ˜Φn, K) → 0 quando n → ∞.

Como K ´e fechado, para cada n ∈ ω, existe Ψn ∈ K tal que d( ˜Φn, K) = d( ˜Φn, Ψn).

Da´ı, 0 ´e o ´unico ponto aderente a {Φn− Ψn: Φn− Ψn∈ B2λ}.

Definimos T (x)(n) = ˜Φn(x) − Ψn(x), para cada x ∈ X e cada n ∈ ω. Para ver que

T : X → c0 est´a bem definida, considere x ∈ X e temos

lim

n→∞T (x)(n) = limn→∞( ˜Φn(x) − Ψn(x)) ≤ kxk limn→∞k ˜Φn− Ψnk = 0.

´

E claro que T ´e linear, uma vez que ˜Φn e Ψ o s˜ao. Vejamos que T ´e limitada: dado

x ∈ X temos kT (x)k = sup n∈ω kT (x)(n)k = sup n∈ω k ˜Φn(x) − Ψn(x)k ≤ sup n∈ω k ˜Φn− Ψnk · kxk ≤ 2λkxk,

e, portanto, kT k ≤ 2λ. Assim, temos o resultado.

Teorema 3.25 (de Sobczyk). Se X ´e um espa¸co de Banach separ´avel e c0 ´e subespa¸co

ESPAC¸ OS DE BANACH DA FORMA C(K) 69 Demonstra¸c˜ao. Seja c0 ⊆ X, X separ´avel. Temos que Id : c0 → c0 ´e linear e limitada.

Logo, existe P : X → c0 linear e limitada que estende Id, pelo lema anterior. Portanto,

P ´e uma proje¸c˜ao de X sobre c0.

Provemos agora o Lema de Philips, primeiro passo na dire¸c˜ao da descoberta de que o l∞ ´e primo (fato que ser´a mostrado no Cap´ıtulo 5). Apresentamos tal resultado aqui,

pois ele ilustra que o Teorema de Sobczyk n˜ao pode ser generalizado para espa¸cos n˜ao separ´aveis.

Proposi¸c˜ao 3.26 (Philips). A c´opia standard de c0 n˜ao ´e complementada no l∞.

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos, por absurdo, que existe X ⊆ l∞ tal que l∞ = c0⊕ X. Seja

P a proje¸c˜ao de l∞ sobre X.

Considere (aξ)ξ<ω1 ⊆ ℘(N) uma fam´ılia quase disjunta

5

. Da´ı, existem δ > 0, k ∈ N e S ⊆ ω1 tais que |S| = ω1 e para todo ξ ∈ S, tem-se que |P (χaξ)(k)| ≥ δ. Podemos supor, sem perda de generalidade, que P (χaξ)(k) ≥ δ para todo ξ ∈ S.

Da´ı, para ξ1, . . . , ξn ∈ S, existem F1, . . . Fn⊆ N finitos tais que

χSn i=1aξi = n X i=1 (χa_ξi − χFi). Como kχSn

i=1aξik = 1, temos que

kP (χSn

i=1aξi)k ≤ kP k. Por outro lado,

kP (χSn i=1aξi)k = kP ( n X i=1 (χa_ξi − χFi))k = kP ( n X i=1 χa_ξi)k ≥ P ( n X i=1 χa_ξi)(k) ≥ n · δ,

uma contradi¸c˜ao.

Vejamos ent˜ao que para todo K booleano, C(K) tem uma c´opia de c0. Para isto,

notemos primeiramente o seguinte:

5

Dizemos que F ⊆ ℘(N) ´e quase disjunta se, para quaisquer F1, F2 ∈ F , tem-se que F1∩ F2´e finito.

Ao provarmos, no Cap´ıtulo 6, que ℘(N)/F in tem uma anticadeia de cardinalidade 2ω_{, garantimos que}

70 ESPAC¸ OS DE BANACH DA FORMA C(K) Exemplo 3.27. C(S(F inCof in(N))) ∼ c0.

Demonstra¸c˜_{ao. Seja S(F inCof in(N)) = {x}n: n ∈ N}∪{∞} um conjunto infinito discreto

com um ´unico ponto de acumula¸c˜ao, isto ´e, uma seq¨uˆencia convergente com seu limite. Defina T : C(S(F inCof in(N))) → c0 por T (f )(0) = f (∞) e T (f )(n + 1) = f (xn) − f (∞).

T est´a bem definida, uma vez que f (xn) converge a f (∞).

T ´e linear, pois ´e definida pontualmente. Al´em disso, ´e f´acil ver que kT (f )k ≤ 2kf k. T ´e injetora, pois se T (f ) = 0, ent˜ao f (∞) = 0 e da´ı, f (xn) = T (f )(n + 1) + f (∞) =

T (f )(n + 1) = 0.

Por fim, T ´e sobrejetora, pois dada (αn)n∈N ∈ c0, definimos f (∞) = α0 e f (xn) =

αn+1+ α0 e temos que T (f ) = (αn)n∈N. Da´ı, pelo Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta (2.7),

temos que T ´e um isomorfismo.

Proposi¸c˜ao 3.28. Para todo espa¸co booleano6 _{infinito K, C(K) possui um subespa¸co}

isomorfo a c0.

Demonstra¸c˜ao. O resultado vale para qualquer K compacto Hausdorff e infinito. Por´em, faremos a demonstra¸c˜ao apenas para espa¸cos K booleanos. Como K ´e infinito, temos que Clop(K) ´e infinita. Podemos tomar ent˜ao (an)n∈N⊆ Clop(K) uma anticadeia. Considere

A = h{an : n ∈ N}i sub´algebra de Clop(K). Vejamos que A ´e isomorfa a F inCof in(N):

defina h : A → F inCof in(N) por h(a) = {n ∈ N : an ≤ a}. ´E f´acil ver que h ´e um

homomorfismo.

Temos que h ´e injetor, pois se h(a) = 0, para um a ∈ A, temos, pelo Teorema1.8, que a = Pn

i=1(

Qki

ji=1(Ai,ji)), onde cada Ai,ji = an, ou Ai,ji = −an. Da´ı, temos que para todo 1 ≤ i ≤ n, {n ∈ N : ∀ji 1 ≤ ji ≤ ki an ≤ Ai,ji} = ki Y ji=1 h(Ai,ji) = h( ki Y ji=1 (Ai,ji)) = 0. Logo, cada Qki ji=1Ai,ji = 0 e, portanto, a = 0.

h ´_{e sobrejetor, pois para cada F ⊆ N finito, tomando a}F =S_n∈F an ∈ A, temos que

h(aF) = F . Logo, se X ⊆ N ´e cofinito, ent˜ao X = h(aN\X).

6_{Na realidade esta proposi¸c˜ao vale para todo espa¸co compacto Hausdorff K infinito. Como comentamos}

na introdu¸c˜ao deste cap´ıtulo, n˜ao faremos sua demonstra¸c˜ao em geral, uma vez que ela ´e mais t´ecnica e n˜ao nos interessa neste trabalho.

ESPAC¸ OS DE BANACH DA FORMA C(K) 71 Assim, Clop(K) tem sub´_{algebra isomorfa a F inCof in(N) e, portanto, K tem S(A)} como imagem homomorfa. Do Exemplo3.21 e do exemplo anterior, temos que C(K) tem subespa¸co isom´etrico a C(S(A)) ∼ c0.

Obtemos ent˜ao o seguinte resultado, ilustrando que para C(K) separ´avel, considerar quando c0´e subespa¸co complementado n˜ao fornece informa¸c˜oes, pois isso sempre acontece:

Corol´ario 3.29. Seja K um espa¸co booleano7 infinito. Se C(K) ´e um espa¸co de Banach separ´avel, ent˜ao C(K) possui uma c´opia complementada de c0.

Pela Proposi¸c˜ao 3.4, temos que, para K booleano, C(K) ser separ´avel ´e equivalente a K ter peso ω. Assim, temos o primeiro exemplo de que propriedades do espa¸co K influenciam os subespa¸cos (complementados) de C(K). Vejamos que podemos generalizar o corol´ario acima, usando outra propriedade de C(K):

Teorema 3.30. Seja K um espa¸co booleano8. Se K possui uma seq¨uˆencia convergente n˜ao trivial, ent˜ao C(K) possui uma c´opia complementada de c0.

Demonstra¸c˜ao. Suponha K booleano e (xn)n∈N ⊆ K e x ∈ K tal que xn converge para x.

Seja X = {xn : n ∈ N} ∪ {x}. Podemos obter (bn)n∈N⊆ Clop(K) tais que bn∩ X = {xn}.

Tomemos ent˜ao a0 = b0 e an+1 = bn+1\S_i≤nai. Temos assim que (an)n∈N ⊆ Clop(K) ´e

uma anticadeia e an∩ X = {xn}. Definamos f : K → X por f (y) = ( xn, se y ∈ an x, se y /∈S n∈Nan.

Vejamos que f ´e um retrato. f ´e cont´ınua, pois se U ⊆ X ´e um aberto, ent˜ao ou U = {xn1, . . . xnk} ou U = X \ {xn1, . . . xnk}. Da´ı, ou f

−1_{[U ] = a}

n1 ∪ · · · ∪ ank, ou f−1[U ] = K \ an1 ∪ · · · ∪ ank. Como ambos s˜ao abertos-fechados, temos que f ´e cont´ınua. Al´em disso, f (xn) = xn e f (x) = x. Logo, f |X = id. Portanto, f ´e um retrato e,

pelo Exemplo3.22, temos que C(X) ´e complementado em C(K). Mas pelo Exemplo3.27, temos que C(X) ∼ c0. Da´ı, C(K) tem uma c´opia complementada de c0.

7_{Temos aqui o mesmo caso que na proposi¸c˜ao anterior. O resultado vale para qualquer K compacto}

Hausdorff infinito.

8_{Temos aqui mais um resultado que vale para K compacto Hausdorff e que provamos apenas para K}

72 ESPAC¸ OS DE BANACH DA FORMA C(K) Conv´em notar que a volta n˜ao ´e verdadeira, isto ´e, existe K booleano sem seq¨uˆencias convergentes n˜ao triviais tal que c0 ´e subespa¸co complementado de C(K) (veja Exemplo

4.10 de [Scha]).