O Teorema de Representa¸c˜ ao de Riesz

Vejamos agora o Teorema de Representa¸c˜ao de Riesz. Este resultado nos fornece uma representa¸c˜ao para funcionais sobre C(K) como medidas sobre K. Esta representa¸c˜ao ´e bastante interessante, uma vez que podemos ter uma intui¸c˜ao geom´etrica de tais objetos. Para entendˆe-lo, precisamos ainda de algumas defini¸c˜oes.

Defini¸c˜ao 3.5. µ ´e dita uma medida finitamente aditiva sobre uma ´algebra de Boole A, ou simplesmente uma medida sobre A, se ´e uma fun¸c˜_{ao µ : A → R tal que µ(0) = 0} e para todos a1, . . . , an∈ A dois a dois disjuntos,

µ( n X i=1 ai) = n X i=1 µ(an).

Denotaremos por N (A) o conjunto de todas as medidas sobre A. Diremos que µ ´e uma medida sobre um espa¸co topol´ogico K, se µ ´e uma medida sobre uma sub´algebra A de ℘(K).

Defini¸c˜ao 3.6. Seja µ uma medida sobre A. Se f ∈ W0(A), f =

Pn

k=1rkχak, onde a1∪ ... ∪ an = 1 e r1, . . . rn∈ R, ent˜ao a integral de f com respeito a µ ´e definida por

ξµ(f ) = Z f dµ = n X k=1 rkµ(ak). Se a ∈ A, ent˜ao R_af dµ = ξµ(f χa).

Defini¸c˜ao 3.7. Dizemos que uma medida µ sobre A ´e uma medida limitada se sup{|µ(a)| : a ∈ A} < ∞.

ESPAC¸ OS DE BANACH DA FORMA C(K) 59 Neste caso, definimos a varia¸c˜ao de µ sobre um a ∈ A por

|µ|(a) = sup{ n X i=1 |µ(ai)| : a = n [ i=1 ai e ai∩ aj = 0 se i 6= j}.

Denotaremos por Nb(A) o conjunto das medidas sobre A limitadas. Definimos a norma

de uma medida limitada µ por kµk = |µ|(1). Notemos que se µ ´e uma medida limitada sobre um espa¸co topol´ogico K, ent˜ao kµk = |µ|(K) e se, mais ainda, µ ´e n˜ao negativa, ent˜ao |µ|(a) = µ(a) para todo a ∈ A e kµk = µ(K).

Defini¸c˜ao 3.8. Se µ ´e uma medida limitada sobre A, ent˜ao o funcional ξµ sobre W0(A)

tem uma ´unica extens˜ao a W(A), o completamento de W0(A). Se f ∈ W(A), ent˜ao o

valor desta extens˜ao em f ser´a denotado porR f dµ e ser´a chamado a integral de f com respeito a µ. Se a ∈ A, ent˜ao R_af dµ ´e definido como R f · χadµ.

Defini¸c˜ao 3.9. Uma medida boreliana sobre um espa¸co topol´ogico K ´e uma medida σ-aditiva sobre a ´algebra dos conjuntos borelianos4 Bor(K), isto ´e, uma medida µ sobre Bor(K) tal que se (Bn)n∈N ⊆ Bor(K) ´e uma fam´ılia de borelianos dois a dois disjuntos,

ent˜ao µ(X n∈N Bn) = X n∈N µ(Bn).

Sabemos que para conjuntos borelianos P

n∈NBn =

S

n∈NBn ∈ Bor(K), pois Bor(K) ´e

uma ´algebra σ-completa.

Defini¸c˜ao 3.10. Um medida boreliana limitada µ ´e uma medida regular se para todo B ∈ Bor(K) e todo ε > 0 existem conjuntos G aberto e F fechado tais que F ⊆ B ⊆ G e |µ|(G \ F ) < ε.

Defini¸c˜ao 3.11. Uma medida µ sobre K ´e uma medida de Radon se ´e uma medida boreliana limitada regular. Denotamos por M(K) o conjunto de todas as medidas de Radon sobre K.

Apresentamos aqui um resultado que ser´a freq¨uentemente utilizado:

Lema 3.12. Seja K um espa¸co compacto Hausdorff e µ uma medida de Radon sobre K. Ent˜ao, |µ| ´e uma medida de Radon n˜ao negativa sobre K.

4_{A ´algebra dos conjuntos borelianos de K ´e a menor ´algebra de Boole σ-completa de ℘(K) que cont´em}

60 ESPAC¸ OS DE BANACH DA FORMA C(K) Demonstra¸c˜ao. Indicamos [Se], Teorema 17.2.2, p´agina 289.

Vejamos finalmente o Teorema de Representa¸c˜ao de Riesz:

Teorema 3.13 (de Representa¸c˜ao de Riesz). Se K ´e um espa¸co compacto Hausdorff, ent˜ao para todo funcional linear limitado ξ sobre C(K) existe uma ´unica medida de Radon µ sobre K tal que

ξ(f ) = Z

K

f dµ para toda f ∈ C(K). Neste caso, kξk = kµk.

Demonstra¸c˜ao. Indicamos [Se], Teorema 8.4.1, p´agina 312.

Notemos que, da forma como definimos, temos que medidas de Radon s˜ao casos parti- culares de medidas finitamente aditivas sobre uma ´algebra de Boole. Por´em, na realidade, medidas finitamente aditivas sobre ´algebras de Boole podem ser interpretadas como me- didas de Radon sobre seu espa¸co de Stone. Vejamos de que forma isto ocorre.

Temos que, pelo teorema anterior, um funcional linear e limitado ξ sobre C(K), isto ´e, um elemento ξ de C(K)∗, pode ser representado como a integral com respeito a uma medida de Radon µ sobre K, ou seja, uma medida regular µ, σ-aditiva sobre Bor(K). Mas vimos que o Teorema de Stone-Weierstrass (3.2) garante que para espa¸cos booleanos K, C(K) = W0(Clop(K)). Da´ı, ξ est´a bem determinada por seu valor nas fun¸c˜oes simples

sobre Clop(K). Assim, ξ pode ser representado como a integral com respeito a uma medida finitamente aditiva ν sobre Clop(K), onde ν = µ|Clop(K).

Por´em, temos que µ ´e σ-aditiva e ν ´e apenas finitamente aditiva, pois, para come¸car, temos que Clop(K) ´e uma sub´algebra de Bor(K) e Bor(K) ´e σ-completa, mas Clop(K) n˜ao o ´e. Al´em disso, se M = {mn : n ∈ N} ⊆ Clop(K) ´e uma anticadeia, mesmo

que exista P

Clop(K)M ∈ Clop(K), podemos ter que

P

Clop(K)M 6=

P

Bor(K)M = S M .

Suponha que para algum tal M , temos que P

Clop(K)M =

P

Bor(K)M = S M . Neste

caso, S M ∈ Clop(K) e da´ı, S M ´e um fechado em um compacto Hausdorff e, portanto, ´e compacto. Como M ´e um recobrimento de S M por abertos, temos que existe n ∈ N tal que S M = Sn_i=0mn e da´ı, mi = 0 para i > n. Assim, na realidade, n˜ao existem

uni˜oes infinitas em Clop(K) e, portanto, toda medida finitamente aditiva sobre Clop(K) ´e σ-aditiva com respeito a uni˜oes, por vacuidade.

ESPAC¸ OS DE BANACH DA FORMA C(K) 61 N˜ao faremos a demonstra¸c˜ao aqui, mas temos que, reciprocamente, se ν ´e uma me- dida finitamente aditiva sobre Clop(K), ent˜ao ν pode ser estendida a uma ´unica medida limitada µ σ-aditiva regular sobre ´algebra σ-completa gerada por Clop(K) que ´e Bor(K), isto ´e, uma ´unica medida de Radon µ sobre K.

Conseq¨uentemente, temos uma correspondˆencia biun´ıvoca entre as medidas finita- mente aditivas sobre Clop(K) e as medidas de Radon sobre K. Pode-se provar ainda que ν ser´a σ-aditiva sobre Clop(K) (com respeito `a opera¸c˜aoP) se, e somente se, para toda (an)n∈N ⊆ Clop(K), tal que o fecho de a ´e aberto, onde a = S_n∈Nan, tem-se que ν na

fronteira de a ´e zero. Um exemplo de uma tal medida ´e quando seu valor ´e zero em todo subconjunto raro de K. Indicamos [Se] para mais detalhes.

Vamos identificar, a partir de agora, cada seq¨uˆencia de elementos de C(K)∗ com a seq¨uˆencia de medidas de Radon dada pelo Teorema de Representa¸c˜ao de Riesz.

Ainda mais um resultado sobre espa¸cos de fun¸c˜oes, que, combinado com o Teorema de Representa¸c˜ao de Riesz, ´e bastante ´util quando entendemos as topologias fraca e fraca∗ em tais espa¸cos:

Teorema 3.14 (da Convergˆencia Dominada de Lebesgue). Seja K um espa¸co com- pacto Hausdorff. Suponhamos que (fn)n∈N ⊆ C(K) converge pontualmente a f ∈ C(K) e

existem µ ∈ C(K)∗ _{e g : K → R tais que} R_{Kgdµ < ∞. Se para todo n ∈ N, tem-se que} |fn| ≤ g, ent˜ao lim n→∞ Z K fndµ = Z K f dµ.

Demonstra¸c˜ao. Indicamos [Se], Teorema 19.2.6, p´agina 329.