1.4 Algumas tradu¸c˜ oes
1.4.6 Retratos de ´ algebras e retratos de espa¸cos topol´ ogicos
Defini¸c˜ao 1.68. Seja K um espa¸co topol´ogico. Dizemos que um subespa¸co L de K ´e um retrato se existe r : K → L cont´ınua tal que r|L= id|L. Chamamos tal r de retra¸c˜ao.
Sejam A, B ´algebras de Boole. Dizemos que um homomorfismo h : A → B ´e um retrato de A sobre B se existe C sub´algebra de A tal que h|C : C → B ´e um isomorfismo.
Por abuso de linguagem, diremos que B ´e retrato de A.
Proposi¸c˜ao 1.69. Sejam K, L espa¸cos booleanos, K subespa¸co de L. K ´e um retrato de L se, e somente se, o homomorfismo canˆonico h : Clop(L) → Clop(K) ´e um retrato. Demonstra¸c˜ao. Suponha r : L → K uma retra¸c˜ao. Tome C = {r−1[b] : b ∈ Clop(K)}. C ´e sub´algebra de Clop(L), pois imagem inversa de um aberto-fechado por uma fun¸c˜ao cont´ınua ´e um aberto-fechado e ´e f´acil ver que C ´e fechada pelas opera¸c˜oes +, − e ·. Temos assim que h|C ´e um homomorfismo de C em Clop(K).
A injetividade segue do fato que se b ∈ Clop(K) e r−1[b] 6= ∅, ent˜ao b 6= 0 e da´ı temos um x ∈ b ⊆ K. Logo, x = r(x) e, portanto, x ∈ r−1[b] ∩ K = h(r−1[b]) 6= ∅.
Vejamos que h|C ´e sobrejetora: dado b ∈ Clop(K), considere r−1[b] ∈ C. Vejamos
que h(r−1[b]) = b. Se x ∈ b, temos que x = r−1(x) e da´ı, x ∈ r−1[b]. Por outro lado, se x ∈ r−1[b] e x ∈ K, ent˜ao x = r(x) ∈ b. Logo, h(r−1[b]) = r−1[b] ∩ K = b.
36 ALGEBRAS DE BOOLE E ESPAC´ ¸ OS COMPACTOS Reciprocamente, suponhamos que existe C ⊆ Clop(L) sub´algebra tal que h|C ´e um
isomorfismo de C sobre Clop(K). Para cada x ∈ L, seja ux = {c ∈ C : x ∈ c∗}. Defina
r : L → K por r(x) = h[ux].
r est´a bem definida, pois a intersec¸c˜ao de um ultrafiltro com uma sub´algebra ´e um ul- trafiltro na sub´algebra e a imagem de um ultrafiltro por um homomorfismo ´e um ultrafiltro na imagem.
Para mostrar que r ´e cont´ınua, considere b ∈ Clop(K). Seja c ∈ C tal que h(c) = b. Temos que
r−1[b∗] = {x ∈ L : b ∈ r(x)} = {x ∈ L : b ∈ h[ux]} = {x ∈ L : x ∈ c∗} = c∗,
que ´e aberto.
Por fim, dado y ∈ L, mostremos que h[uy] = y. Como h|C ´e isomorfismo, temos que
Cap´ıtulo 2
Espa¸cos de Banach
Neste cap´ıtulo, apresentamos os principais resultados da teoria de espa¸cos de Banach que ser˜ao necess´arios nos pr´oximos cap´ıtulos. O objetivo deste estudo ´e lembrar importantes resultados de diversos t´opicos desta teoria: as topologias fraca e fraca∗, algumas propri- edades do operador adjunto, alguns resultados sobre subespa¸cos complementados1 e, por fim, definir a propriedade de Grothendieck com alguns lemas gerais que ser˜ao ´uteis adi- ante. Analisaremos, no Cap´ıtulo 3, de que forma tais objetos e propriedades se traduzem no caso de espa¸cos de Banach da forma C(K), onde K ´e um espa¸co booleano.
Nesse sentido, apresentamos primeiramente os grandes teoremas da an´alise. Passamos ent˜ao `as defini¸c˜oes das topologias fraca e fraca∗ e algumas propriedades simples. Podemos destacar aqui um primeiro resultado fundamental no que segue:
Teorema (de Eberlein-ˇSmulian). Seja X um espa¸co normado e M ⊆ X. Ent˜ao, M ´e fracamente compacto se, e somente se, M ´e fracamente seq¨uencialmente compacto.
Sobre o operador adjunto, analisamos apenas algumas propriedades que precisaremos. No que se refere aos subespa¸cos complementados, apresentamos, al´em da defini¸c˜ao, alguns resultados importantes, que facilitam nossa busca por subespa¸cos complementados nos Cap´ıtulos 5, 6 e 7. Apresentamos, por exemplo, a seguinte equivalˆencia:
Teorema. Seja X um espa¸co de Banach e Y ⊆ X um subespa¸co. Ent˜ao, Y ´e comple-
1Dizemos que um subespa¸co Y de um espa¸co de Banach X ´e complementado se existe uma proje¸c˜ao
de X sobre Y .
38 ESPAC¸ OS DE BANACH mentado em X se, e somente se, Y ´e fechado e existe Z subespa¸co fechado de X tal que X = Y ⊕ Z.
Estudamos ainda alguns resultados sobre quocientes e outros do tipo da Decomposi¸c˜ao de Pe lczy´nski.
Por fim, na ´ultima se¸c˜ao, introduzimos a propriedade de Grothendieck: dizemos que um espa¸co de Banach X tem a propriedade de Grothendieck se a convergˆencia de seq¨uˆencias nas topologias fraca e fraca∗ no seu dual X∗ coincidem. O objetivo desta se¸c˜ao ´e entender o que significa que um espa¸co de Banach possui esta propriedade, isto ´e, quais s˜ao as propriedades que um espa¸co deve possuir para que isso aconte¸ca, ou n˜ao. Podemos notar, por exemplo, que se X ´e um espa¸co reflexivo, ent˜ao as topologias fraca e fraca∗ coincidem no espa¸co dual X∗ e, portanto, X tem a propriedade de Grothendieck trivialmente. Conv´em notar ainda que os espa¸cos estudados nos Cap´ıtulos 5, 6 e 7 tˆem a propriedade de Grothendieck.
Sendo o conte´udo deste cap´ıtulo bastante fundamental e cl´assico, deixamos diversos resultados sem demonstra¸c˜ao e indicamos onde encontr´a-los. Como referˆencia para os t´opicos aqui abordados, indicamos [Kre] para a Se¸c˜ao 2.1 e [Me] para as Se¸c˜oes 2.2, 2.3, 2.4 e 2.5. A Se¸c˜ao 2.6 tem resultados cl´assicos que tamb´em podem ser encontrados em [Me] e outros que est˜ao em [Ma]. Por fim, indicamos [Gro] como referˆencia para Se¸c˜ao a 2.7.
2.1
Preliminares
O objetivo desta primeira se¸c˜ao ´e lembrar algumas defini¸c˜oes e resultados importantes relativos aos espa¸cos de Banach. Comecemos com algumas defini¸c˜oes que ser˜ao largamente utilizadas no que segue.
Defini¸c˜ao 2.1. Sejam X e Y espa¸cos de Banach. Dizemos que uma aplica¸c˜ao T : X → Y ´e um isomorfismo de X sobre Y , se ´e T linear, bijetora e cont´ınua, e T−1 ´e cont´ınua. Neste caso, dizemos que X e Y s˜ao isomorfos e denotamos por X ∼ Y . Se X, Y, Z s˜ao espa¸cos de Banach tais que X ∼ Y e Y ´e subespa¸co de Z, dizemos que Y ´e uma c´opia de X em Z.
ESPAC¸ OS DE BANACH 39 isomorfismo tal que kT (x)k = kxk para todo x ∈ X. Neste caso, dizemos que X e Y s˜ao isom´etricos e denotamos por X ≡ Y .
Um importante resultado que caracteriza os espa¸cos de Banach de dimens˜ao finita ´e o seguinte:
Teorema 2.2. Seja X um espa¸co de Banach. X tem dimens˜ao finita se, e somente se, a bola unit´aria fechada de X, BX ´e compacta.
Demonstra¸c˜ao. Indicamos [Kre], Teorema 2.5.3, p´agina 77 e Teorema 2.5.5, p´agina 80. Defini¸c˜ao 2.3. Seja X um espa¸co vetorial e M ⊆ X um conjunto. Definimos o su- bespa¸co gerado por M (e denotamos por [M ]), o seguinte espa¸co vetorial:
[M ] = {X
x∈M0
αxx : M0 ⊆ M ´e finito e αx ∈ R}.
Proposi¸c˜ao 2.4. Seja X um espa¸co de Banach e Y um subespa¸co vetorial de X. Y ´e fechado se, e somente se, Y ´e Banach.
Demonstra¸c˜ao. Indicamos [Kre], Teorema 2.3.1, p´agina 67.