O GRANDE CRONOTOPO DO DISCURSO DA MUDANÇA:

Le mélange diphasique va être modélisé par un modèle monofluide : un seul système d’équations sera résolu en tout point du domaine de calcul. La résolution est faite par une formulation volumes finis, ce qui signifie que nous allons étudier l’évolution des quantités physiques moyennées sur un volume de contrôle en évaluant le flux de ces quantités physiques entre le volume de contrôle et les volumes de contrôle adja-cents. Cette méthode est basée sur le théorème de Green-Ostrogradski qui permet de remplacer une intégrale sur un volume par une intégrale sur la surface de contour en trois dimensions, ou une intégrale sur une surface par une intégrale sur le contour en deux dimensions. L’utilisation de cette méthode permet d’avoir une méthode nu-mérique qui résout l’évolution des quantités physiques de manière conservative : le flux sortant d’une maille de calcul sera égal au flux entrant dans la maille de calcul adjacente.

Dans cette partie, nous nous plaçons dans le cas d’un volume de contrôle fixe dont la taille et la position n’évolueront pas au cours du temps. Intéressons-nous donc à l’évolution temporelle de la masse volumiqueρ, de la vitessevet de l’énergie volumiqueE au sein de ce volume de contrôle. Il s’agit de trois équations classiques de conservation :

• Conservation de la masse totale (sommes des deux phases) :

∂

• Conservation de la quantité de mouvement :

∂

• Conservation de l’énergie :

∂ avec qreprésentant le flux de chaleur.

Nous avons décidé de négliger les contraintes visqueuses car leur influence est négli-geable tant sur notre calcul d’implosion de bulle que sur l’amplitude de la contrainte fluide en paroi (Annexe B).

Afin de prendre en compte le caractère diphasique de notre simulation, nous considérerons la conservation de la masse de liquide. Elle s’exprimera à partir de la

masse volumique du mélange ρ et la fraction massique de liquide z (rapport entre la masse de liquide et la masse totale du mélange). La conservation de la masse de liquide associée à la conservation de la masse permet de s’assurer de la conservation de la masse de chaque phase séparément : la masse de gaz étant égale à la différence entre la masse totale du mélange et la masse du liquide, si ces deux dernières sont conservées alors la première sera conservée.

• Conservation de la masse de liquide :

∂

∂t Z

V

ρzdV + Z

S

ρz(v·n)dS = 0 (2.4)

Ces quatre équations s’écrivent avec une structure équivalente :

(Évolution temporelle d’une quantité)+(Bilan des flux de cette quantité)=(Termes sources).

Elles pourront donc être résolues numériquement avec les mêmes méthodes de dis-crétisation.

Cependant nous avons actuellement un système de quatre équations (2.1), (2.2), (2.3) et (2.4) mais pour six inconnues ρ, v, P, E,q etz. Il va donc falloir au mini-mum deux équations supplémentaires afin de clore le système.

Les transferts thermiques seront modélisés par la loi de Fourier : q=−κ

Z

S(t)

gradT dS (2.5)

Elle relie directement le flux thermique q au gradient de température T et à la conductivité thermiqueκ. Dans un fluide pur, κ est considéré constant, dans notre mélange il est calculé comme la moyenne pondérée de la fraction massique de chaque composant. Ce calcul est présenté en fin de paragraphe. Nous avons donc remplacé une inconnue, le flux thermique q, par une autre, la température T. Le système n’est toujours pas fermé, il faut donc toujours deux équations supplémentaires. Pour cela, nous allons ajouter une équation d’état qui puisse être valable en tout point du mélange eau-air. Cette propriété est indispensable pour que notre modèle reste monofluide. L’équation d’état dite Stiffened Equation of State ou "équation des gaz raides" proposée par Le Métayer et al. [36] propose une modèle simple reliant directement l’énergie interne e , la pression et la masse volumique :

P =ρ(e−e₀)(γ−1)−γB (2.6)

Le coefficientB correspond à une pression de référence. Elle décompose la pression en deux contributions, le termeρ(e−e₀)(γ−1)représente la répulsion intra-moléculaire dans le fluide et γB l’attraction intermoléculaire [36]. Le premier principe de la

Constantes Air Eau Table 2.1 – Constantes des équations d’état.

thermodynamique, valable en tout point du fluide, permet de relier énergie interne et température et nous fournira la dernière équation nécessaire :

ρ(e−e₀) =ρc_vT +B (2.7)

Cette équation introduit la capacité thermique à volume constantcv. Dans ces deux équations, l’énergie est directement reliée à l’énergie interne par la relation E = e+ ¹₂ρ(v · v). Les coefficients B, c_v, e₀, γ et κ sont des constantes déterminées expérimentalement pour chaque fluide pur. Les valeurs utilisées ici sont répertoriées dans le tableau 2.1, et sont issues des travaux de Le Métayer et al. [37]. A partir de l’équation (2.6), nous obtenons directement la pression à partir de l’énergie du fluide, ce qui nous permettra de nous affranchir de e dans notre système final :

P =ρ(E− 1

2ρ(v.v)−e0)(γ −1)−γB (2.8) Enfin en combinant (2.7) et (2.8), nous obtenons la température à partir de la masse volumique et de la pression :

T = 1 ρc_v( P

γ−1 + B

γ−1) (2.9)

Grâce à ces deux dernières équations, nous obtenons finalement un système fermé de sept équations : (2.1), (2.2), (2.3), (2.4), (2.5), (2.8) et (2.9) à sept inconnues :ρ, v, P, E,z, q etT qui permettra de définir le comportement du fluide diphasique.

Les champs de pressionP et de températureT découlent directement de la valeur de l’énergie E et de la vitesse v (équations (2.8) et (2.9)). Being [1] a identifié que cette procédure pouvait être source d’erreur numérique et générer des oscillations non-physiques de la pression et de la température. Pour pallier à ces oscillations , nous avons adopté sa solution qui consiste à résoudre une équation de conserva-tion de la forme : _∂t^∂ R

V f dV+R

Sf(v·n)dS = 0pour les scalaires _γ−1¹ , _γ−1^γB,ρe0et _γ−1^B . Enfin, les constantes κ et c_v du mélange eau-air seront directement calculées à partir de la fraction massique de chaque composant du mélange.

c_v

Nous connaissons à présent l’ensemble des paramètres qui décrivent notre mélange diphasique ainsi que l’ensemble des équations qui régissent son évolution. Nous pou-vons donc aborder les différents aspects des méthodes numériques : la génération du maillage et les méthodes de discrétisation numérique.