O MÉTODO AXIOMÁTICO

Se a axiomática é limitada, por um lado, pela intuição concreta, por outro confina com uma intuição intelectual.

Desde sua utilização _por Euclides nos Elementos, o método axiomático foi utilizado praticamente até o final do século XIX “f ...]sem sofrer alterações, nem em seus princípios básicos (os quais, diga-se de passagem, não foram nem mesmo explicitamente formulados por um longo tempo), nem na abordagem geraL com respeito ao assunto.’’(TARSKI, 1991 ? p. H3). Mesmo tendo sido utilizado por autores como Arquimedes e Newton, pode-se. dizer que só atingiu uma certa maturidade a partir dos trabalhos de pessoas como Hilbert, ainda que outros tenham contribuído para tanto, como Peano e Russell.

Durante muito, tempo, o uso desse método foi exclusivo da matemática. Em 1900, no II Congresso Internacional de Matemática que foi realizado em Paris, Hilbert expôs em uma comunicação uma lista de 23 problemas matemáticos relevantes a serem investigados no decorrer do séc. XX. Tal lista influenciou profundamente o desenvolvimento da matemática a partir de então. O sexto desses problemas previa o emprego do método axiomático às ciências empíricas, mais precisamente a teorias da física Mas para essas teorias, por exempla, os axiomas devem estar de acordo com a evidência experimental, conforme salientam DALLA CHIARA e TORALDO Dl FRANC1 A( 1979).

A fecundidade do sexto problema de Hilbert pode ser vista analisando-se alguns trabalhos já desenvolvidos neste sentido e outros em desenvolvimento. Dentre estes últimos, podemos mencionar um estudo referente à aplicação do método axiomático à biologia, mais especificamente à teoria da evolução, que trata das transformações dos organismos no tempo Nele, KRAUSE e MAGALHÃES (1999) caracterizam uma teoria sintética da evolução por meio de conceitos primitivos como gene, entidade biológica e ambiente, dentre outros, e fornecem axiomas que expressam relações entre esses conceitos. “A partir dos conceitos primitivos e. axiomas[ }, é possiveL definir os demais conceitos da_

teoria, como genótipo, fenótipo, cromossomo, etc., bem como obter como teoremas as demais ‘lets’ da genética clássica.” (KRAUSE; MAGALHÃES, 1999, p. 9).

A idéia que comumente se tem acerca do método axiomático é que ele é empregado para organizar uma teoria, e não para produzir conhecimentos que motivam a construção da mesma. Em geral, produz.-se novos conhecimentos em ciência por meio do emprego do que se conhece por método hipotético-dedutivo, cuja aplicação envolve a utilização de procedimentos indutivos além dos dedutivos que caracterizam o método axiomático e são empregados nas ciências ditas formais(lógica e matemática). “Nas ciências reais (humanas e da natureza), todas elas dependendo da experiência, lança-se mão de procedimentos indutivos; porém, a reconstrução lógica da ciência, pelos contextos que origina, é dedutiva. A indução, pois, constitui-se sobretudo em método de descoberta, enquanto a dedução, em método de exposição e de sistematização.” (DA COSTA, 1994, p. 23).

Mas o método axiomático também envolve heurística; que conceitos primitivos usar? Ou, que axiomas usar? Com que finalidade? Além disso, é necessário quando os objetos envolvidos estão fora do alcance intuitivo. Como saber que se está procedendo adequadamente sem ter um “método”? Ou seja, o método axiomático não vem unicamente depois que tudo já está feito.

Imaginemos um piloto de avião: no momento em que sobrevoa uma cidade a uma altitude que lhe permita guiar-se pelo curso de um rio, ou por uma estrada, suas habilidades apoiadas na realidade material, observável, bastam-lhe. No entanto, se voar a uma altitude muito maior, acima das nuvens, durante a noite ou ainda durante uma tempestade, o que lhe permitirá pilotar com segurança e lhe garantirá a chegada ao destino previsto? Certamente não será seu sentido da visão e nem a sua intuição, mas sim, a obediência às instruções que receberá de uma torre de comando por meio dos instrumentos

que conhece e nos quais confia, embora fujam de seu alcance sensorial. Ele não precisa “ver” para acreditar que instruções estão certas, apenas utiliza um mecanismo puramente técnico que toma possível realizações antes tidas como impraticáveis.

Analogamente, pode funcionar o método axiomático naquelas ciências que possuírem um considerável grau de formalização. Quando a intuição e os sentidos não forem suficientes para prosseguir, então entram em cena os métodos dedutivos, só que levando em conta a multiplicidade de lógicas(o que será abordado em outro item), o que possibilitará descobrir novas relações que, ao serem dotadas de significado semântico, podem revelar novas descobertas.

Os fatores históricos abordados significaram grandes avanços no desenvolvimento da matemática. Mas, no contexto do seu ensino, o consenso parece não ser esse. Não é difícil encontrar aspectos abstratos, dedutivos e formais sendo apontados como empecilho para a aprendizagem dessa disciplina em diversos níveis, sendo vistos como algo que dificulta a compreensão da matemática por parte de estudantes, professores e pessoas comuns de um modo geral. No entanto, a transformação da matemática em uma ciência dedutiva, formal e abstrata favoreceu avanços em diversos campos do saber, emprestando suas teorias, idéias e mecanismos a outras ciências, propiciando a elas novas possibilidades de crescimento. Perceber isso é algo relevante quando se almeja um ensino que possa dar ao indivíduo uma formação básica e atualizada em ciência.

Não é raro, o emprego precoce de procedimentos formais que conferem à matemática escolar características que a tomam depreciada por muitos. No entanto, se se compreendesse o papel e a relevância desses procedimentos, das abstrações e das generalizações para a ciência, antes que eles fossem utilizados no seu ensino e assim se fizesse somente de acordo com fatores didáticos, psicológicos e sociais, entre outros, típicos do contexto educacional, eles não poderiam ser causadores de tão grandes males,

como relatou EMENES(1989), ao se referir ao modelo de apresentação formal euclidiano como o principal responsável pelo fracasso no ensino/aprendizagem da matemática.