O quadro da Geometria Analítica

Tomemos, em ordem crescente, os 5 números que apareceram na execução do recorte do quadrado: 2, 3, 5, 8 e 13. Representemos o quadrado e o retângulo da experiência em planos cartesianos diferentes, de modo que um dos vértices, de cada um dos quadriláteros, repouse sobre a origem do plano de Descartes e que dois de seus lados pertençam aos eixos cartesianos, como mostra a figura a seguir:

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Obs.: Os desenhos acima não obedecem, necessariamente, às proporções reais.

Como estamos diante de um problema que envolve a exiguidade da visão humana, necessitamos de ferramentas matemáticas que nos possam garantir a legitimidade dos quadros representados acima. Assim, faz-se necessário realizar algumas demonstrações para eliminarmos toda e qualquer suspeita de embuste.

I – Em Q1, os triângulos vermelho e verde são congruentes

Demonstração: Basicamente vamos usar o teorema que diz que a diagonal de um retângulo divide esse quadrilátero em dois triângulos congruentes. Em Q1, ambos os triângulos são retângulos, pois são obtidos a partir de um retângulo (o menor). Tanto o triângulo vermelho quanto o verde possuem um lado de medida 3 e outro de medida 8 (lados opostos de um retângulo). Então, pelo caso LAL de congruência de triângulos, podemos concluir que os triângulos em questão são congruentes. Também poderíamos usar o caso LLL se levássemos em conta que a diagonal do retângulo é o lado comum dos dois triângulos;

II – Em Q2, os triângulos vermelho e verde são congruentes

Demonstração: Temos um caso equivalente ao item anterior. O triângulo vermelho e o triângulo verde são retângulos e possuem dois catetos de medidas 3 e 8. Então, pelo

Figura 5.08: Mudança de quadro da mágica “64 = 65?!”, princípio e fim da experiência Q2

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mesmo caso de congruência anterior (LAL), podemos concluir que ambos os triângulos são congruentes.

III – Os triângulos vermelhos de ambos os quadros, Q1 e Q2, são congruentes

Demonstração: Os triângulos vermelhos dos dois quadros são congruentes pelo caso LAL, pois possuem dois catetos de medida 3 e 8.

Obs. 1: Os três itens anteriores garantem a congruência dos 4 triângulos da figura. IV – Em Q1, ambos os trapézios são retângulos

Demonstração: ambos os trapézios são retângulos, pois são obtidos a partir de um retângulo. Tanto o trapézio azul quanto o amarelo possuem 2 ângulos retos e 2 ângulos, dois a dois congruentes, pois são alternos internos. Ambos os trapézios possuem um lado de medida 3, dois lados de medida 5 e um lado comum. Dessa forma, podemos concluir que, em Q1, os trapézios obtidos no corte do retângulo maior são congruentes. V – Em Q2, os trapézios azul e amarelo são congruentes

Demonstração: podemos concluir que os dois trapézios são congruentes por um processo semelhante ao anterior, ambos possuem 2 ângulos retos, um lado medindo 3 e outros dois lados medindo 5. As ressalvas, nesse caso, é que não há lado comum nem ângulos “alternos internos”, mas podemos assegurar que o quarto lado de ambos são congruentes, pois eles representam uma hipotenusa de um pequeno triângulo retângulo (demarcados em Q2) cujos catetos medem 2 e 5; o terceiro ângulo de congruência são os ângulos agudos dos trapézios que são os mesmos ângulos desse pequeno triângulo. O quarto ângulo que falta para completar a congruência pode ser comprovado pela propriedade de ângulos consecutivos, situados em bases diferentes, que são o suplemento do 3º ângulo mencionado anteriormente.

VI – Os trapézios amarelos de ambos os quadros são congruentes

Demonstração: Eles são congruentes, pois ambos possuem 2 ângulos retos, um ângulo agudo idêntico ao de um triângulo retângulo de catetos 2 e 5 e, ainda, um outro ângulo

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obtuso cuja medida é a soma do ângulo reto mais a medida do outro ângulo agudo do triângulo retângulo já mencionado. Quanto aos lados, cada um deles possui um lado de medida 3, dois lados de medida 5 e o quarto lado cuja medida é equivalente à hipotenusa do triângulo mencionado anteriormente.

Obs. 2: Os três itens anteriores garantem a congruência dos 4 trapézios da figura.

Já podemos ter a certeza de que, sem o fantasma de qualquer tipo de truque, os polígonos de mesma cor situados em quadros diferentes, representados acima, são absolutamente congruentes. No quadro Q2 podemos observar um pequeno espaço não colorido demarcado pelos vértices P1P2P3P4 . Analisemos:

Análise I

1. Os vértices P1(0; 0); P2(8; 3); P3(13; 5) e P4(5; 2) são vértices de um QUADRILÁTERO.

2. Uma das possíveis definições de Paralelogramo é: “PARALELOGRAMO é o quadrilátero que tem os lados paralelos dois a dois”.

3. Considerando m12 o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos P1 e P2, m34 o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos P3 e P4, m23 o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos P2 e P3 e m14 o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos P1 e P4, teremos:

Assim, podemos concluir que o QUADRILÁTERO P1P2P3P4 é um PARALELOGRAMO.

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Agora, vamos realizar a “Análise II” para calcular a área do paralelogramo que se situa nas proximidades de uma das diagonais do retângulo.

Análise II

Se os vértices do PARALELOGRAMO P1P2P3P4 são P1(0; 0); P2(8; 3); P3(13; 5) e P4(5; 2), podemos utilizar a regra de SARRUS para o cálculo de sua área.

Calculando a área do triângulo T143:

D = +25 − 26

D = − 1 (*) A = |D|/2 A143 = 1/2

Realizando os mesmos procedimentos com relação ao triângulo T123, teremos que A123 = 1/2. Logo, a área do PARALELOGRAMO P1P2P3P4 é A143 + A123 = 1.

Assim, levando-se em conta os resultados obtidos nos itens I e II, podemos concluir que o quadrilátero P1P2P3P4 é um

PARALELOGRAMO de área igual a 1.

(*) Observar que a área do paralelogramo poderia ter sido obtida já nesse momento pelo cálculo A = |D|, ou seja, A = |− 1| = 1.

Após a demonstração anterior, o professor pode aventar a possibilidade de existirem outros quadrados que possam ser transformados em retângulos de modo semelhante. O próximo passo pode ser dado com o auxílio da professora (ou professor) de Artes promovendo a interdisciplinaridade e possibilitando a produção de um trabalho mais agradável aos olhos, pois esses especialistas dominam técnicas artísticas que normalmente não fazem parte do “metiê” de um professor de Matemática.

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