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A deduc¸˜ao que aqui faremos a partir dos axiomas 1.A a 1.C elencados na sec¸˜ao 4.6 ser´a dividida em v´arios passos sucessivos. Comecemos.

Proposic¸˜ao 1 Se u < v, ent˜ao α < β implica

(1 − α) u + αv < (1 − β ) u + β v.

• Prova: Obviamente α = γβ com 0 < γ < 1. Por 1.B.a (aplicado a u, v, 1 − β no lugar de u, v, α) u < (1 − β )u + β v, donde, ent˜ao, por 1.B.b (aplicado a (1 − β )u + β v, u, γ no lugar de u, v, α)

(1 − β ) u + β v > γ [(1 − β ) u + β v] + (1 − γ) u.

Pela assertiva de irrelevˆancia de ordem, i.e., por 1.C.a, podemos ree- screver a inequac¸˜ao anterior

(1 − β ) u + β v > γ [β v + (1 − β ) u] + (1 − γ) u.

Agora, por 1.C.b (aplicado a v, u, γ, β , α = γβ no lugar de u, v, α, β , γ = α β ), o lado direito da inequac¸ ˜ao anterior torna-se αv + (1 − α)u que, por 1.C.a, ´e identicamente prefer´ıvel a (1 − α)u + αv. Assim, (1 − α)u + αv < (1 − β )u + β v, como quer´ıamos demonstrar. •

Proposic¸˜ao 2

Dadas duas utilidades abstratas fixas u0, v0tais que u0< v0, considere-

se o mapeamento

Tal mapeamento ´e injetivo (um-a-um) e mon´otono, do intervalo 0 < α < 1 em parte do intervalo u0< w < v0.25

• Prova: O car´ater mon´otono foi exatamente o que provamos na proposic¸˜ao 1. De fato, a monotonia traduz-se matematicamente por: α < β ⇒ w(α ) < w(β ); assim, dado que pela hip ´otese de cabec¸alho desta proposic¸˜ao 2 w(α) ´e igualmente prefer´ıvel a (1 − α)u0+ αv0,

assim como tamb´em w(β ) ´e igualmente prefer´ıvel a (1 − β )u0+ β v0,

temos que se traduz a monotonia matematica e equivalentemente por α < β ⇒ (1 − α )u0+ αv0< (1 − β )u0+ β v0, o que ´e garantido pela

proposic¸˜ao 1 (substituindo-se, na proposic¸˜ao 1, u, v, por u0, v0). Como

se sabe da an´alise elementar, o car´ater injetivo ´e condic¸˜ao necess´aria da monotonia. Provamos, portanto, a injetividade e a monotonia do mapeamento. Provemos que u0< w(α) < v0. De fato, por 1.B.a

(basta que troquemos u, v, α, em 1.B.a, por u0, v0, 1 − α), temos que

u0< v0⇒ u0< (1 − α)u0+ αv0, ou seja, u0< w(α), pois w(α) ´e

igualmente prefer´ıvel a (1 − α)u0+ αv0 (por hip´otese de cabec¸alho

desta proposic¸˜ao 2); por 1.B.b (basta que troquemos u, v, α, em 1.B.b, por v0, u0, α), temos que v0> u0⇒ v0> αv0+ (1 − α)u0,

que, pela assertiva de irrelevˆancia de ordem 1.C.a, fornece v0 >

(1 − α)u0+ αv0, ou seja, v0> w(α), pois w(α) ´e igualmente pre-

fer´ıvel a (1 − α)u0+ αv0(por hip´otese de cabec¸alho desta proposic¸˜ao

2); assim, u0< w(α) ∧ v0> w(α) ⇒ u0< w(α) < v0. A proposic¸˜ao 2

est´a demonstrada. •

Proposic¸˜ao 3

O mapeamento na proposic¸˜ao 2, de fato, mapeia o α do intervalo 0 < α < 1 em todo o intervalo de w, i.e., em todo o intervalo u0< w < v0.

• Prova: Assumamos que n˜ao seja verdade, i.e., que existe algum w0no

intervalo u0< w0< v0que n˜ao seja mapeado. Ent˜ao, ∀ α no intervalo

0 < α < 1 devemos ter

(1 − α)u0+ αv0(> ∨ <) w0.

Conforme tenhamos < ou >, fac¸amos que α pertenc¸a `as classes re- spectivas I ou II. Ent˜ao as classes I, II, que s˜ao obviamente mutuamente

25Provaremos na proposic¸˜ao 3 que tal parte do intervalo dever´a ser todo o intervalo u 0< w <

exclusivas, exaurem, conjuntamente, o intervalo 0 < α < 1. Agora ob- servemos que:

Primeiro: a classe I ´e n˜ao-vazia. Isso decorre imediatamente de 1.B.c (aplicado a u0, w0, v0, 1 − α no lugar de u, w, v, α);

Segundo: a classe II ´e n˜ao-vazia. Isso decorre imediatamente de 1.B.d (aplicado a v0, w0, u0, α no lugar de u, w, v, α);

Terceiro: se α estiver na classe I e β na classe II, ent˜ao α < β . De fato, como I e II s˜ao classes disjuntas, temos necessariamente que α 6= β . Assim, a ´unica possibilidade seria α > β . Mas, ent˜ao, a monotonia do mapeamento da proposic¸˜ao 2 implicaria, dado que α est´a na classe I, que β tamb´em deveria estar na classe I. Por´em β est´a na classe II. Assim, apenas α < β ´e poss´ıvel.

Considerando essas trˆes propriedades das classes I e II, deve existir um α0tal que 0 < α0< 1 que separa as classes I e II, i.e., que todo α em I

´e tal que α ≤ α0e todo α em II ´e tal que α ≥ α0.26

Agora α0deve pertencer a I ou `a II, cuja distinc¸˜ao ´e determinada de

acordo com: Primeiro: α0 est´a em I. Ent˜ao, (1 − α0)u0+ α0v0<

w0. Tamb´em w0 < v0. Aplicando 1.B.c (com (1 − α0)u0+ α0v0,

w0, v0, γ no lugar de u, w, v, γ) obtemos um γ tal que 0 < γ < 1 e

γ [(1 − α0)u0+ α0v0] + (1 − γ)v0< w0, este ´ultimo, por 1.C.b (com u0,

v0, γ, 1 − α0, 1 − α = γ(1 − α0) no lugar de u, v, α, β , γ = αβ ), ree-

scrito (1 − α)u0+ αv0< w0. Conseq¨uentemente, α = 1 − γ(1 − α0)

pertence `a I. Todavia, α > 1 − (1 − α0) = α0, embora devˆessemos ter

α ≤ α0, i.e., temos uma contradic¸˜ao;

Segundo: α0 est´a em II. Ent˜ao, (1 − α0)u0+ α0v0> w0. Tamb´em

u0< w0. Aplicando 1.B.d (com (1 − α0)u0+ α0v0, w0, u0, γ no lu-

gar de u, w, v, α) obtemos um γ tal que 0 < γ < 1 e γ[(1 − α0)u0+

α0v0] + (1 − γ)u0> w0, este ´ultimo pode ser reescrito pela assertiva de

equivalˆencia de ordem, 1.C.a, γ[α0v0+ (1 − α0)u0] + (1 − γ)u0> w0,

este ´ultimo, por 1.C.b (com v0, u0, γ, α0, α = γα0no lugar de u, v,

α , β , γ = α β ), reescrito α v0+ (1 − α)u0> w0 que, pela assertiva

de irrelevˆancia de ordem, 1.C.a, ´e reescrito (1 − α)u0+ αv0> w0.

Conseq¨uentemente, α = γα0pertence `a II. Todavia, α < α0, embora

devˆessemos ter α ≥ α0, i.e., temos uma contradic¸˜ao;

26Isso ´e justa e intuitivamente plaus´ıvel. Isso ´e, al´em do mais, uma inferˆencia perfeitamente

rigorosa. De fato, coincide com um dos teoremas cl´assicos da an´alise matem´atica concernente `a introduc¸˜ao dos n´umeros irracionais, o teorema relacionado ao corte de Dedekind. Detalhes desse corte podem ser verificados em textos relacionados `a teoria de func¸˜oes reais ou aos fundamentos da an´alise matem´atica.

Assim, temos uma contradic¸˜ao em cada caso.

Conclu´ımos, ent˜ao, por reduc¸˜ao a absurdo, que a assertiva original de que existe algum w0 no intervalo u0< w0< v0 n˜ao mapeado ´e im-

poss´ıvel, absurda. Assim, a negativa de tal assertiva, a que quer´ıamos provar, ´e a verdadeira e, portanto, provada est´a esta proposic¸˜ao 3. •

Alguns Coment´arios antes de Continuarmos

As proposic¸˜oes 1 e 2 provam a veracidade de que h´a um mapeamento injetivo (um-a-um) do intervalo de utilidades u0< w < v0 (com u0 e v0

fixos, u0< v0) no intervalo num´erico 0 < α < 1. Esse ´e o primeiro passo

para se estabelecer uma representac¸˜ao num´erica para as utilidades abstratas. Todavia, o resultado ´e significantemente incompleto por v´arios aspectos. Vejamos as maiores limitac¸˜oes:

Primeiro: A representabilidade num´erica foi obtida para um interbalo de util- idades u0< w < v0apenas, n˜ao para todas as utilidades w simultaneamente,

i.e., para um dado par arbitr´ario (u0, v0) n˜ao se garantiu que se possa mapear

α ∈ (0, 1) simultaneamente em outro intervalo que n˜ao esteja contido em u0< w < v0. Tamb´em n˜ao se torna de forma alguma claro como que se

relacionam diferentes mapeamentos sobre diferentes intervalos definidos por diferentes pares (u0, v0);

Segundo: A representac¸˜ao num´erica pelas proposic¸˜oes 1 e 2 ainda n˜ao foram correlacionadas aos nossos requisitos estabelecidos nas equac¸˜oes (4.4) e (4.5). O requisito dado pela equac¸˜ao (4.4) ´e claramente satisfeito: ´e apenas uma outra maneira de se expressar a monotonia garantida pela proposic¸˜ao 2. Todavia, a validade do segundo requisito, expresso pela equac¸˜ao (4.5), ainda precisa ser claramente estabelecido.

Preencher-se-˜ao todos esses requisitos conjuntamente nas proposic¸˜oes que se seguir˜ao. O procedimento global de prova desses requisitos primeira e primariamente seguir´a o curso sugerido no primeiro coment´ario tecido na sec¸˜ao 4.7, mas, durante esse processo global, os requisitos tecidos no segundo coment´ario da sec¸˜ao 4.7 e os apropriados resultados de unicidade tamb´em ser˜ao estabelecidos.

Comec¸emos por provar um grupo de lemas que est´a mais no esp´ırito do segundo coment´ario da sec¸˜ao 4.7 e do requisito de unicidade; todavia isso tamb´em ´e b´asico para que se prossiga com os objetivos do primeiro coment´ario da sec¸˜ao 4.7. Continuemos.

Proposic¸˜ao 4 - Definic¸˜ao

Sejam u0, v0conforme anteriormente definidos: u0, v0fixos, u0< v0.

∀ w no intervalo u0< w < v0defina-se a func¸˜ao num´erica f (w) = fu0,v0(w)

conforme (i) a (iii) abaixo: (i): f (u0) = 0;

(ii): f (v0) = 1;

(iii): f (w) para w (> ∨ <) u0, v0, i.e., para u0< w < v0, ´e o n´umero α,

0 < α < 1 que corres-ponde a w no senso das proposic¸˜oes 2 e 3.

Proposic¸˜ao 5

O mapeamento w → f (w) tem as seguintes propriedades: (i’): ´e mon´otono;

(ii’): para 0 < β < 1 e w (> ∨ <) u0, f ((1 − β )u0+ β w) = β f (w);

(iii’): para 0 < β < 1 e w (> ∨ <) v0, f((1 − β )v0+ β w) =

1 − β + β f (w).

Proposic¸˜ao 6

Um mapeamento ∀ w tal que27u0≤ w ≤ v0em qualquer conjunto de

n´umeros, mapeamento esse possuindo as propriedades (i), (ii) e tamb´em (ii’) ou (iii’), ´e idˆentico ao mapeamento definido na proposic¸˜ao 4.

• Prova: A proposic¸˜ao 4 ´e uma definic¸˜ao. Portanto, precisamos provar as proposic¸˜oes 5 e 6.

Prova: Proposic¸˜ao 5: (i’): Para u0< w < v0o mapeamento ´e mon´otono

pela proposic¸˜ao 2. Todo w desse intervalo ser´a mapeado em n´umeros > 0, < 1, i.e., em n´umeros > que o mapeamento de u0 e < que o

mapeamento de v0. Assim, teremos monotonia em todo o intervalo

27Daqui em diante, para economizar espac¸o e n˜ao poluir demais a notac¸˜ao, que se torne t´acita

u0≤ w ≤ v0.

Prova: Proposic¸˜ao 5: (ii’): Para w (> ∧ <) v0: a assertiva ´e f ((1 −

β )u0+ β v0) = β , o que coincide com a definic¸˜ao na proposic¸˜ao 2 (com

β no lugar de α ). Para w (> ∨ <) v0, i.e., u0< w < v0: coloquemos

f(w) = α, i.e., pela proposic¸˜ao 2 w (> ∧ <) (1 − α)u0+ αv0. Ent˜ao,

por 1.C.b (com v0, u0, β , α no lugar de u, v, α, β , e usando a assertiva

de irrelevˆancia de ordem 1.C.a) (1 − β )u0+ β w = (1 − β )u0+ β [(1 −

α )u0+ αv0] = (1 − β α)u0+ β αv0. Assim, pela proposic¸˜ao 2, f ((1 −

β )u0+ β w) = β α = β f (w), como desejado.

Prova: Proposic¸˜ao 5: (iii’): Para w = u0: A assertiva ´e f ((1 − β )v0+

β u0) = 1 − β , e isso coincide com a definic¸˜ao na proposic¸˜ao 2 (com

1 − β no lugar de α e utilizando a assertiva de irrelevˆancia de ordem 1.C.a). Para w (> ∨ <) u0, i.e., u0< w < v0: coloquemos f (w) = α,

i.e., pela proposic¸˜ao 2 w (> ∧ <) (1 − α)u0+ αv0. Ent˜ao, por 1.C.b

(com u0, v0, β , 1 − α no lugar de u, v, α, β , e usando a assertiva

de irrelev˜ancia de ordem 1.C.a) (1 − β )v0+ β w = (1 − β )v0+ β [(1 −

α )u0+ αv0] = β (1 − α)u0+ [1 − β (1 − α)]v0, donde, pela proposic¸˜ao

2, f ((1 − β )v0+ β w) = 1 − β (1 − α) = 1 − β + β α = 1 − β + β f (w),

como desejado.

Prova: Proposic¸˜ao 6: Seja o mapeamento: P.6.1: w → f1(w),

com (i), (ii) e tamb´em (ii’) ou (iii’). O mapeamento: P.6.2: w → f (w),

´e um mapeamento um-a-um de u0≤ w ≤ v0em 0 ≤ α ≤ 1, donde esse

mapeamento admite inversa: P.6.3: α → ψ(α).

Agora, combinemos P.6.1 com P.6.3, i.e., com a inversa de P.6.2: P.6.4: α → f1(ψ(α)) = ϕ(α).

Camo ambos P.6.1 e P.6.2 satisfazem (i), (ii), obtemos para P.6.4: P.6.5: ϕ(0) = 0, ϕ(1) = 1.

Se P.6.1 satisfaz (ii’) ou (iii’), ent˜ao, assim como P.6.2 satisfaz (ii’) e (iii’), obtemos para P.6.4:

P.6.6: ϕ(β α) = β ϕ(α), ou

Agora, tomando α = 1 em P.6.6 e usando P.6.5, temos: P.6.8: ϕ(β ) = β ,

e, tomando α = 0 em P.6.7 e usando P.6.5, tamb´em temos ϕ(1 − β ) = 1 − β . Substituindo β por 1 − β , nesta ´ultima, obtemos novamente P.6.8.

Assim, P.6.8 ´e valida em qualquer caso. (ii’), (iii’) restringi-la-´a a β tais que 0 < β < 1. Todavia, P.6.5 permite β = 0 e β = 1 tamb´em, i.e., permite todos os valores de β no intervalo 0 ≤ β ≤ 1. Considerando a definic¸˜ao de ϕ(α) por P.6.3, P.6.4, a validade geral de P.6.8 expressa a identidade de P.6.1 e P.6.2, sendo precisamente o que quer´ıamos provar. •

Proposic¸˜ao 7

Sejam u0, v0definidos como anteriormente: u0, v0fixos, u0< v0. Se-

jam tamb´em dois valores num´ericos fixos α0, β0dados tais que α0< β0. ∀ w

no intervalo u0≤ w ≤ v0defina-se a func¸˜ao num´erica g(w) como se segue:

g(w) = gα0,β0

u0,v0(w) = (β0− α0) f (w) + α0,

f(w) = fu0,v0conforme a proposic¸˜ao 4. Notemos que:

(i): g(u0) = α0;

(ii): g(v0) = β0.

Proposic¸˜ao 8 Este mapeamento:

w→ g(w) tem as seguintes propriedades:

(i’): ´e mon´otono;

(ii’): para 0 < β < 1 e w (> ∨ <) u0, g((1 − β )u0+ β w) =

(1 − β )α0+ β g(w);

(iii’): para 0 < β < 1 e w (> ∨ <) v0, g((1 − β )v0+ β w) =

Proposic¸˜ao 9

Um mapeamento ∀ w tal que u0≤ w ≤ v0em qualquer conjunto de

n´umeros, mapeamento esse possuindo as propriedades (i), (ii) e tamb´em (ii’) ou (iii’), ´e idˆentico ao mapeamento da proposic¸˜ao 7.

• Prova: Usando a correspondˆencia entre func¸˜oes: g1(w) = (β0− α0) f1(w) + α0,

ou equivalentemente:

f1(w) =

g1(w) − α0

β0− α0

(para f1(w), g1(w), e tamb´em para f (w), g(w)), as assertivas da

proposic¸˜ao 7 `a 9 v˜ao ao encontro das assertivas da proposic¸˜ao 4 `a 6. Assim, as trˆes proposic¸˜oes acima seguem das proposic¸˜oes 4, 5 e 6 e, portanto, provam-se as trˆes proposic¸˜oes anteriores. •

Proposic¸˜ao 10 Assumindo (i), (ii) da proposic¸˜ao 7, a equac¸˜ao:

g((1 − β )u + β v) = (1 − β )g(u) + β g(v),

com u0≤ u < v ≤ v0, onde u (> ∧ <) u0, v (> ∨ <) u0 ´e equivalente a (ii’)

na proposic¸˜ao 9, e onde u (> ∨ <) v0, v (> ∧ <) v0 ´e equivalente a (iii’) na

proposic¸˜ao 9.

• Prova: Proposic¸˜ao 10: (ii’): Tomemos u0, w, β no lugar de u, v, β .

Prova: Proposic¸˜ao 10: (iii’): Tomemos w, v0, 1 − β no lugar de u, v,

β . Assim, prova-se esta proposic¸ ˜ao 10. •

Um Coment´ario antes de Continuarmos

Nas proposic¸˜oes 7, 8, 9 e 10, o mapeamento do intervalo de utilidades u0≤ w ≤ v0no intervalo num´erico α0≤ α ≤ β0encontra-se em sua forma tec-

nicamente adequada, com suas propriedades de unicidade necess´arias. Passe- mos agora a ajustar conjuntamente os v´arios mapeamentos:

w→ g(w) = gα0,β0

u0,v0(w).

Proposic¸˜ao 11 Sejam gα0,β0

u0,v0 e um w0tal que u0≤ w0≤ v0. Fac¸a-se:

γ0= gαu00,v,β00(w0).

Ent˜ao, gα0,β0

u0,v0(w) coincide com g

α0,γ0

u0,w0(w) neste segundo dom´ınio u0≤ w ≤ w0

(se w0(> ∨ <) u0, i.e., u0< w0), e guα00,v,β00(w) coincide com g

γ0,β0

w0,v0(w) neste

terceiro dom´ınio w0≤ w ≤ v0(se w0(> ∨ <) v0, i.e., w0< v0).

• Prova: gα0,γ0

u0,w0(w): g

α0,β0

u0,v0(w) possui as propriedades (i), (ii’) (das

proposic¸˜oes respectivas 7 e 8) para α0, γ0, u0, w0, porque elas coin-

cidem com aquelas para α0, β0, u0, v0 (dado que envolvem apenas

os extremos esquerdos α0, u0 nos respectivos intervalos). Tamb´em

possui a propriedade (ii) (da proposic¸˜ao 7) para α0, γ0, u0, w0, pois

gα0,β0

u0,v0(w0) = γ0. Assim, segue da proposic¸˜ao 9 que g

α0,β0

u0,v0 perfaz dentro

do intervalo u0≤ w ≤ w0uma ´unica caracterizac¸˜ao de gαu00,w,γ00.

Prova: gγ0,β0

w0,v0(w): g

α0,β0

u0,v0(w) possui as propriedades (ii), (iii’) (das

proposic¸˜oes respectivas 7 e 8) para γ0, β0, w0, v0, porque elas coin-

cidem com aquelas para α0, β0, u0, v0 (dado que envolvem apenas

os extremos direitos β0, v0 nos respectivos intervalos). Tamb´em

possui a propriedade (i) (da proposic¸˜ao 7) para γ0, β0, w0, v0, pois

gα0,β0

u0,v0(w0) = γ0. Assim, segue da proposic¸˜ao 9 que g

α0,β0

u0,v0 perfaz dentro

do intervalo w0≤ w ≤ v0 uma ´unica caracterizac¸˜ao de gγw00,β,v00. Esta

proposic¸˜ao 11 est´a demonstrada. •

Proposic¸˜ao 12 Considerem-se uma gα0,β0

u0,v0 e dois u1, v1tais que u0≤ u1< v1≤ v0.

Coloquem-se α1= gαu00,v,β00(u1), β1= g α0,β0 u0,v0(v1). Ent˜ao, g α0,β0 u0,v0(w) coincide com gα1,β1

u1,v1(w) neste ´ultimo dom´ınio u1≤ w ≤ v1.

• Prova: Primeiramente, aplique-se a proposic¸˜ao 11 a gα0,β0

u0,v0 e a g

α0,β1

(i.e., com u0, v0, α0, β0, v1, β1no lugar de u0, v0, α0, β0, w0, γ0; note-

se que β1= gαu00,v,β00(v1)), sendo que isso mostra que g

α0,β0

u0,v0(w) coincide

com gα0,β1

u0,v1(w) neste ´ultimo dom´ınio u0≤ w ≤ v1. A seguir, aplique-se

a proposic¸˜ao 11 a gα0,β1

u0,v1 e a g

α1,β1

u1,v1 (i.e., com u0, v1, α0, β1, u1, α1no

lugar de u0, v0, α0, β0, w0, γ0; note-se que α1= gαu00,v,β00(u1) = g

α0,β1

u0,v1(u1),

sendo que isso mostra que gα0,β1

u0,v1(w), como tamb´em g

α0,β0

u0,v0(w), coincide

com gα1,β1

u1,v1(w) neste ´ultimo dom´ınio u1≤ w ≤ v1. Esta proposic¸˜ao 12

est´a provada. •

Um Coment´ario antes de Continuarmos

Deve-se tecer um coment´ario importante relacionado `as considerac¸˜oes que nos trouxeram `a proposic¸˜ao 12, i.e.: saliente-se, neste ponto, que tˆem sido escolhidos dois u∗, v∗com u∗< v∗ainda fixos. Ao final, relaxar-se-´a tal condic¸˜ao atrav´es de proposic¸˜ao adequada.

Proposic¸˜ao 13

Se u0≤ u∗< v∗≤ v0, ent˜ao existe um e apenas um guα00,v,β00(w) tal que:

(i): gα0,β0 u0,v0(u ∗ ) = 0; (ii): gα0,β0 u0,v0(v ∗) = 1. Denote-se este gα0,β0 u0,v0(w) por hu0,v0(w).

• Prova: Forme-se f (w) = fu0,v0(w) da proposic¸˜ao 4. Como u

< v,

ent˜ao f (u∗) < f (v∗). Para α0, β0 vari´aveis, a proposic¸˜ao 7 fornece

gα0,β0

u0,v0(w) = (β0− α0) f (w) + α0. Assim, as assertivas (i), (ii) acima

significam que (β0− α0) f (u∗) + α0= 0, (β0− α0) f (v∗) + α0=1, e es-

sas duas equac¸˜oes determinam α0, β0unicamente.28 Assim, conforme

desejado, gα0,β0

u0,v0(w) existe e ´e ´unica. Provada est´a esta proposic¸˜ao 13.

• 28α 0= − f(u∗) f(v∗) − f (u), β0= 1 − f (u∗) f(v∗) − f (u).

Proposic¸˜ao 14

Se u0≤ u1≤ u∗< v∗≤ v1≤ u1, ent˜ao hu0,v0coincide com hu1,v1neste

´ultimo dom´ınio u1≤ w ≤ v1.

• Prova: Coloquem-se α1= hu0,v0(u1), β1= hu0,v0(v1). Ent˜ao, pela

proposic¸˜ao 12, hu0,v0(w) coincide com g

α1,β1

u1,v1(w) neste ´ultimo dom´ınio

u1≤ w ≤ v1. Aplicando isso a w = u∗fornece gαu11,v,β11(u

) = h u0,v0(u

) =

0 e gα1,β1

u1,v1 = hu0,v0(u

) = 1. Assim, pela proposic¸˜ao 13, gα1,β1

u1,v1(w) =

hu1,v1(w). Consequ¨entemente, hu0,v0(w) coincide com hu1,v1(w) neste

´ultimo dom´ınio u1≤ w ≤ v1. Assim, demonstrada est´a esta proposic¸˜ao

14. •

Um Coment´ario antes de Continuarmos

Podemos agora estabelecer o fato decisivo: todas as func¸˜oes hu0,v0(w)

ajustam-se em uma ´unica func¸˜ao, especificamente, o que se demonstrar´a na proposic¸˜ao seguinte.

Proposic¸˜ao 15

Dado qualquer w, ´e poss´ıvel que se escolham u0, v0tais que u0≤ u∗<

v∗≤ v0e u0≤ w ≤ v0. Para todas de tais escolhas u0, v0, hu0,v0(w) tem os

mesmo valor. I.e., hu0,v0(w) depende apenas de w. Denotaremos isso, ent˜ao,

por h(w).

• Prova: existˆencia de u0, v0: u0= Min (u∗, w) e v0= Max (v∗, w) obvi-

amente possuem as propriedades desejadas.

Prova: hu0,v0(w) depende apenas de w: Escolham-se dois pares u0,

v0 e u 0 0, v 0 0: u0≤ u∗< v∗≤ v0, u0≤ w ≤ v0 e u 0 0≤ u∗< v∗≤ v 0 0, u00≤ w ≤ v0. Coloquem-se u1= Max (u0, u 0 0), v1= Min (v0, v 0 0). Ent˜ao u0≤ u1≤ u∗< v∗≤ v1≤ v0, u1≤ w ≤ v1, e u 0 0≤ u1≤ u∗< v∗≤ v1≤ v 0

0, u1≤ w ≤ v1. Agora, aplique-se a proposic¸˜ao 14 duas vezes

(primeiro, com u0, v0, u1, v1, w e, em seguida, com u

0 0, v 0 0, u1, v1, w) fornecendo hu0,v0(w) = hu1,v1(w) e hu0 0,v 0 0 (w) = hu1,v1(w), donde hu0,v0(w) = hu0 0,v 0

0(w), conforme desejado. Esta proposic¸˜ao 15 est´a

Um Coment´ario antes de Continuarmos

A func¸˜ao h(w) da proposic¸˜ao 15 est´a definida para todas as utili- dades e possui valores num´ericos. Passemos agora `a demonstrac¸˜ao de que tal func¸˜ao possui todas as propriedades que desejamos. Tal tarefa ´e mais facilmente conclu´ıda com a ajuda de dois lemas auxiliares.

Proposic¸˜ao 16

Dados dois u, v com u < v, h´a dois u0, v0com u0≤ u∗< v∗≤ v0,

u0≤ u < v ≤ v0.

• Prova: Coloquem-se u0 = Min (u∗, u), v0 = Max (v∗, v). Esta

proposic¸˜ao 16 est´a demonstrada. •

Proposic¸˜ao 17

Dados quaisquer dois u, v com u < v, coloquem-se h(u) = α, h(v) = β . Ent˜ao, α < β , e h(w) coincide com gα ,βu,v (w) neste ´ultimo dom´ınio u ≤ w ≤ v.

• Prova: Escolham-se u0, v0 como indicado na proposic¸˜ao 16. Pela

proposic¸˜ao 13, hu0,v0(w) ´e uma g

α0,β0

u0,v0(w) com dois α0, β0adequados.

Pela proposic¸˜ao 15, h(w) coincide com hu0,v0(w), i.e., com g

α0,β0

u0,v0(w),

neste ´ultimo dom´ınio u0≤ w ≤ v0. Aplicando isso a w = u e a w = v,

temos gα0,β0

u0,v0(u) = h(u) = α e g

α0,β0

u0,v0(v) = h(v) = β . Pela monotonia

de gα0,β0

u0,v0(w), temos que α < β . Pela proposic¸˜ao 12 (com u0, v0, α0,

β0, u, v, α, β no lugar de u0, v0, α0, β0, u1, v1, α1, β1) gαu00,v,β00(w) coin-

cide com gα ,βu,v (w) neste ´ultimo dom´ınio u ≤ w ≤ v. Conseq¨uentemente

o mesmo ser´a verdadeiro para h(w). Assim, esta proposic¸˜ao 17 est´a demonstrada. •29

Proposic¸˜ao 18 O mapeamento:

w→ h(w),

29Ap´os essas preparac¸˜oes, ap´os esses dois lemas - proposic¸˜oes 16 e 17 - estabelec¸amos as

de todos os w num conjunto de n´umeros, tem as seguinte propriedades: (i): h(u∗) = 0;

(ii): h(v∗) = 1; (iii): h(w) ´e mon´otona;

(iv): Para 0 < γ < 1 e u < v, h((1 − γ)u + γv) = (1 − γ)h(u) + γh(v). • Prova: (i), (ii): Segue imediatamente das proposic¸˜oes 15 e 13.

Prova: (iii): Est´a contido na proposic¸˜ao 17.

Prova: (iv): Escolham-se u, v de acordo com a proposic¸˜ao 16 e, ent˜ao, α, β e gα ,βu,v(w) de acordo com a proposic¸˜ao 17. Agora,

por (ii’) da proposic¸˜ao 8 (com u, v, v, γ no lugar de u0, v0, w,

γ ), gα ,βu,v ((1 − γ)u + γv) = (1 − γ)gα ,βu,v (u) + γgα ,βu,v (v). Assim, pela

proposic¸˜ao 17, temos:

h((1 − γ)u + γv) = (1 − γ)h(u) + γh(v),

conforme desejado. Portanto, esta proposic¸˜ao 18 est´a demonstrada. •

Proposic¸˜ao 19

Um mapeamento de todos os w em qualquer conjunto de n´umeros, mapeamento esse possuindo as propriedades (i), (ii) e (iv) da proposic¸˜ao 18, ´e idˆentico ao mapeamento da proposic¸˜ao 18.

• Prova: Considere-se um mapeamento: w→ h1(w),

de todas as utilidades abstratas w e n´umeros, satisfazendo as pro- priedades (i), (ii) e (iv) da proposic¸˜ao 18. Escolham-se dois u0, v0

tais que u0≤ u∗< v∗≤ v0, e coloquem-se α0= h1(u∗), β0= h1(v∗).

Ent˜ao, pela proposic¸˜ao 9, h1(w) coincide com gαu00,v,β00(w) neste ´ultimo

dom´ınio u0≤ w ≤ v0. Coloquem-se w (> ∧ <) u∗ e w (> ∧ <) v∗, donde gα0,β0 u0,v0(u ∗) = h 1(u∗) = 0, gαu00,v,β00(v ∗) = h 1(v∗) = 1. Assim, pela proposic¸˜ao 13, gα0,β0

u0,v0 ´e hu0,v0. Portanto, h1(w) coincide com hu0,v0(w),

i.e., com h(w) no dom´ınio u0≤ w ≤ v0. Pela proposic¸˜ao 15, isso sig-

nifica que h1(w) e h(w) s˜ao completamente idˆenticas. Esta proposic¸˜ao

Um Coment´ario antes de Continuarmos

As proposic¸˜oes 18 e 19 fornecem um mapeamento de todas as util- idades em n´umeros, mapeamento esse possuindo propriedades plaus´ıveis e sendo unicamente caracterizado por essas propriedades, sendo, ent˜ao, que poder´ıamos deixar o problema de se provar a reprodutibilidade num´erica das utilidades abstratas parar por aqui, i.e., que j´a ter´ıamos provado a reprodutibil- idade num´erica das utilidades abstratas em n´umeros. Todavia, n˜ao estamos ainda totalmente satisfeitos, pelas seguintes raz˜oes: a caracterizac¸˜ao dada na proposic¸˜ao 18 n˜ao coincide com aquela dada em nossa argumentac¸˜ao quase- heur´ıstica na sec¸˜ao 4.5, equac¸˜oes (4.4) e (4.5), pois a proposic¸˜ao 18 n˜ao vai t˜ao longe em sua propriedade (iv) (pois na equac¸˜ao (4.5) est´a t´acito que essa equac¸˜ao ser´a v´alida para todas as utilidades abstratas u, v - enquanto a pro- priedade (iv) da proposic¸˜ao 18 considera somente as utilidades tais que u < v); e a proposic¸˜ao 18 introduz uma normalizac¸˜ao arbitr´aria, pelas propriedades (i) e (ii) dessa proposic¸˜ao (por´em tal arbitrariedade depende de utilidades abstratas arbitr´arias u∗, v∗, nessas propriedades da proposic¸˜ao 18). No segui- mento, eliminaremos esses desajustes. Tal eliminac¸˜ao ocorrer´a em duas eta- pas. Na primeira etapa, estenderemos a propriedade (iv) da proposic¸˜ao 18. Na segunda etapa, eliminaremos as utilidades arbitr´arias u∗, v∗ que foram introduzidas antes da proposic¸˜ao 13.30

Proposic¸˜ao 20 Sempre (1 − γ)u + γu (> ∧ <) u.

• Prova: Para u (> ∨ <) (1 − γ)u + γu, digamos que γ pertenc¸a `a classe I (caso <) ou `a classe II (caso >). Se γ estiver na classe I ou II e se 0 < β < 1, ent˜ao:

u(> ∨ <) (1 − β )u + β [(1 − γ)u + γu] (> ∨ <) (1 − γ)u + γu, pelos axiomas 1.B.a e 1.B.b (para γ na classe I ou II, respectivamente: primeiro, u, (1 − γ)u + γu, 1 − β no lugar de u, v, α no axioma 1.B.a ou 1.B.b; segundo, (1 − γ)u + γu, u, β no lugar de u, v, α no axioma 1.B.b ou 1.B.a). Pelos axiomas 1.C.a e 1.C.b (com u, u, β , γ no lugar de u, v, α, β ), temos:

(1 − β )u + β [(1 − γ)u + γu] (> ∧ <) (1 − β γ)u + β γu.

Assim, u (> ∨ <) (1 − β γ)u + β γu (> ∨ <) (1 − β )u + β u. Coloque-se δ = β γ . Sendo β livre a variar no intervalo 0 < β < 1, ent˜ao δ tamb´em variar´a livremente no intervalo 0 < δ < γ. Assumindo 0 < γ < 1, 0 < δ < 1, temos, ent˜ao:

P.20.1: Se γ estiver na classe I ou II, ent˜ao todo δ < γ estar´a na mesma classe I ou II.

P.20.2: Sob as condic¸˜oes de P.20.1, (1 − δ )u + δ u (> ∨ <) (1 − γ)u + γ u, respectivamente.

A express˜ao (1 − γ)u + γu fica inalterada se trocarmos γ por 1 − γ, pelo axioma de irrelevˆancia de ordem 1.C.a. Como 1 − γ < 1 − δ ´e equivalente a γ > δ , podem-se colocar 1 − γ, 1 − δ no lugar de γ, δ em P.20.1. Nessas condic¸˜oes, P.20.1 e P.20.2 tornam-se:

P.20.3: Se γ estiver na classe I ou II, ent˜ao todo δ > γ estar´a na mesma classe I ou II.

P.20.4: Sob as condic¸˜oes de P.20.3, (1 − δ )u + δ u (> ∨ <) (1 − γ)u + γ u, respectivamente.

Agora, P.20.1 e P.20.3 mostram, que se γ estiver na classe I ou II, ent˜ao todo δ (< γ ou = γ ou > γ) estar´a na mesma classe I ou II. I.e., se alguma das classes I ou II for n˜ao-vazia, ent˜ao tal classe n˜ao-vazia con- ter´a todos os δ tais que 0 < δ < 1. Assuma-se ser esse o caso (para a classe I ou II), e considerem-se dois γ, δ tais que γ < δ . Ent˜ao, por P.20.2, (1 − δ )u + δ u (> ∨ <) (1 − γ)u + γu e, por P.20.4 (com δ , γ no lugar de γ, δ ), (1 − δ )u + δ u (> ∨ <) (1 − γ)u + γu. Assim, de qualquer forma, ambos < e > manter-se-˜ao em (1 − δ )u + δ u (> ∨ <) (1 − γ)u + γ u. Isso ´e uma contradic¸˜ao e, por conseguinte, ambas as classes de- vem ser vazias. Conseq¨uentemente, nunca u (> ∨ <) (1 − γ)u + γu, i.e., sempre (1 − γ)u + γu (> ∧ <) u, conforme desejado. Portanto, provada est´a esta proposic¸˜ao 20. •

Proposic¸˜ao 21

Sempre h((1 − γ)u + γv) (> ∧ <) (1 − γ)h(u) + γh(v), 0 < γ < 1, para quaisquer u, v.

• Prova: Para u < v, isso j´a foi provado na proposic¸˜ao 18, item (iv). Para u> v, obt´em-se a prova tamb´em do item (iv) da proposic¸˜ao 18 (com v, u, 1 − γ no lugar de u, v, γ). Para u (> ∧ <) v, o resultado j´a foi provado na proposic¸˜ao 20. Assim, est´a provada esta proposic¸˜ao 21. •

Um Coment´ario antes de Continuarmos

Passemos agora `a demonstrac¸˜ao de existˆencia e unicidade na forma desejada, i.e., correspondendo `as equac¸˜oes (4.4) e (4.5). Conforme disse- mos no coment´ario anterior `a proposic¸˜ao 20, passaremos agora `a eliminac¸˜ao das utilidades de escolha fixas u∗, v∗ introduzidas no coment´ario anterior `a proposic¸˜ao 13.

Proposic¸˜ao 22

H´a um mapeamento sobre um conjunto de n´umeros: w→ U(w),

para toda utilidade abstrata w, sendo que tal mapeamento possui as seguintes propriedades:

(i): monotonia;

(ii): para 0 < γ < 1 e para quaisquer u, v: U ((1 − γ)u + γv) = (1 − γ)U(u) + γU(v).

Para quaisquer dois mapeamentos U (w) e U0(w) possuindo as pro- priedades (i) e (ii) acima, temos:

U0(w) = ω0U(w) + ω1,

com dois apropriados, por´em fixos, ω0, ω1, sendo ω0> 0.

• Prova: Sejam u∗, v∗duas utilidades abstratas diferentes,31u∗(> ∨ <

31Estritamente falando, os axiomas da utilidade permitem que possa n˜ao haver duas utilidades

diferentes. Essa possibilidade ´e arduamente interessante, mas pode ser descartada facilmente. Em n˜ao havendo duas utilidades diferentes, suas quantidades seriam zero ou um, i.e., ou n˜ao se teria utilidade alguma relacionada a um par evento-escolhedor, o que contraria o clamor por mensurabilidade inerente `a existˆencia de preferˆencia sabidamente existente, ou apenas uma ´unica preferˆencia idˆentica para todos os eventos relacionados `a essa utilidade. Tacitamente, o conjunto U postulado no primeiro item dos axiomas da utilidade seria vazio ou unit´ario. No primeiro caso, nossas assertivas ainda seriam satisfeitas ao v´acuo, por´em contrariando o que se sabe da ex- periˆencia, pois um contra-exemplo de preferˆencia aniquilaria essa hip´otese de vazio. Assumamos o segundo caso: que exista uma e somente uma utilidade w0para um par evento-escolhedor. Tal

situac¸˜ao n˜ao possui qualquer desprovimento de plausibilidade e pode tranq¨uilamente existir den- tro de nosso quadro te´orico, bastando para isso que a func¸˜ao U (w0) seja constante U (w0) = α0.

) v∗. Se u∗> v∗, ent˜ao, intercambiem-se u∗e v∗. Ent˜ao, de qualquer forma, u∗< v∗. Usem-se esses u∗, v∗para a construc¸˜ao de h(w), i.e., da proposic¸˜ao 12 `a proposic¸˜ao 21. O mapeamento w → h(w) preenche