Einstein, em 1905, postulou que a luz poderia ser encarada como sendo constituída por pacotes de energia, que hoje conhecemos como fótons [21]. Essas partículas de luz teriam energia e momento bem definidos, relacionados à frequência da luz,ν, pelas expressõesE=hν ep=hνc , ondehé a constante de Planck ecé a velocidade da luz no vácuo. Com esta ideia, Einstein foi capaz de explicar o efeito fotoelétrico, o que lhe rendeu o prêmio Nobel de física de 1921.
A natureza corpuscular da luz também foi o princípio utilizado por Arthur Compton para estudar o espalhamento de raios X por elétrons [22], estudo este que lhe rendeu o prêmio Nobel em Física de 1927. Compton mostrou que as partículas de luz de fato possuem momento e que quando essas partículas atingem elétrons, parte desse momento pode ser transferido.
Louis De Broglie imaginou que, assim como a luz pode se comportar como partícula, todas as partículas fundamentais poderiam também se comportar como ondas, com comprimento de onda,λ, dado por
λ = h
p (2.1)
Essa ideia foi defendida por ele em sua tese de doutorado em 1924 [23] e abriu caminho para uma nova compreensão sobre radiação e matéria, antes vistas como completamente distintas e
sem superposição em termos de comportamento.
Como pode ser facilmente concluído a partir da equação (2.1), o comprimento de onda para objetos com massas e velocidades do cotidiano é imperceptível. Para partículas como um elétron, em contrapartida, podemos encontrar comprimentos de onda da ordem de nanômetros, portanto deveria ser possível observar seu comportamento ondulatório. Este foi observado em 1927, através da difração de elétrons por um cristal de níquel, por Davisson e Lester Germer, nos laboratórios Bell [24].
Inspirado na ideia de De Broglie, em 1925, o físico Austríaco Erwin Schrödinger formulou a famosa equação de Schrödinger [25], que é uma equação de movimento capaz de descrever como um sistema evolui com o tempo através de suas propriedades ondulatórias.
Schrödinger imaginou que, se a matéria pode se comportar como uma onda, ela também deve poder ser descrita por uma função de ondaΨ. A equação desenvolvida por Schrodinger é uma equação diferencial parcial linear de segunda ordem análoga à equação obedecida por uma onda eletromagnética, mas que leva propriedades da matéria em consideração.
HΨ=i¯h∂Ψ
∂t (2.2)
ondeΨ=Ψ(R,θ,φ,t)é a função de onda, aqui representada em coordenadas esféricas, ¯h= 2πh é a constante de Planck reduzida eH=−2m¯h2∇2+V(R,θ,φ,t)é a hamiltoniana do sistema em questão.
A equação de Schrödinger é de grande importância para a física quântica e, apesar de não ser a única maneira de descrever sistemas quânticos, tem importância comparável à segunda lei de Newton para a mecânica clássica.
O conhecimento de que a matéria também se comporta como uma onda nos permite estudá-la de maneiras completamente novas. Uma dessas formas é através da interferometria das ondas a ela associadas, as ondas de matéria.
Figura 2.1: Superposições de ondas: (a) interferência construtiva; (b) interferência destrutiva;
(c) interferência resultando em alteração de fase e amplitude da onda resultante.
Quando se tem ondas que viajam em direções diferentes na superfície da água, por exemplo, o padrão observado de regiões onde a elevação da água é maior ou menor é resultado de uma interferência entre essas ondas.
Figura 2.2: Interferência de ondas na superfície da água.
Na óptica, uma configuração típica para interferometria é o Interferômetro de Michelson [26]. Este interferômetro consiste em uma fonte de luz coerente que emite em direção a um espelho semitransparente conhecido como divisor de feixe por dividir o feixe inicial em dois, estes são então refletidos de volta para o divisor de feixe que os recombina através do fenômeno de superposição mencionado. Esta reunião mostra a interferência dessas duas ondas na forma de franjas claras e escuras.
Figura 2.3: Esquema do Interferômetro de Michelson.
O interessante sobre essas franjas de interferência é que elas são sensíveis ao que acontece nos caminhos percorridos pelos dois feixes após a separação do feixe original. Quanto menor o comprimento de onda, maior a precisão das medidas que podem ser feitas a partir das franjas.
A interferometria de ondas de matéria consiste nos mesmos princípios que a interferometria feita com ondas de luz ou ondas acústicas, por exemplo. No entanto, as ondas em questão são as associadas ao movimento externo dos corpos. É necessário que: o estado inicial seja preparado;
a função de onda seja dividida de forma coerente em dois ou mais estados; haja alguma interação que afete os estados de forma diferente, geralmente devido ao fato de os caminhos percorridos serem diferentes, e que possa ser controlada experimentalmente; os estados sejam recombinados de forma coerente e que seja obtido um padrão de interferência.
Em interferômetros atômicos, em particular, a interferência pode ser obtida mesmo que os átomos percorram o mesmo caminho. Isto ocorre nos chamados interferômetros atômicos de
que os da luz visível (já que os momentos tendem a ser muito maiores), interferômetros de matéria têm o potencial de realizar medidas muito mais precisas.
Apesar de os princípios da interferometria serem os mesmos, independentemente da na-tureza das ondas que interferem, há grandes diferenças entre interferômetros atômicos e inter-ferômetros ópticos. Uma diferença importante é que não é possível utilizar espelhos semir-reflexivos como divisor de feixes para átomos, pois estes seriam simplesmente espalhados ou absorvidos pelo material. No caso de interferômetros atômicos, a construção de divisores de feixe é feita usando difração [28], absorção de fótons [29], transições de Raman [30], imãs Stern-Gerlach longitudinais [31] dentre outros métodos [32].
Nesta dissertação, serão discutidos os primeiros passos para a descrição teórica e posterior construção de um interferômetro atômico do tipo Stern-Gerlach longitudinal.
2.3 O experimento de Stern-Gerlach e a descoberta do spin
O famoso experimento de Stern-Gerlach [33] foi realizado pelos físicos Otto Stern e Walther Gerlach em Frankfurt no ano de 1922. O experimento tinha como objetivo determinar se, como sugerido pelo modelo atômico de Niels Bohr [34], os átomos possuem momento angular e, consequentemente, momento magnético.
No experimento, um feixe de átomos de prata passa por uma região de campo magnético inomogêneo na direção z (perpendicular ao feixe). Ao atravessar tal região, cada átomo que
constitui o feixe sofre uma força que depende do seu momento de dipolo magnético, ~µ da formaFz=µz∂B
∂z, ondeBé o campo magnético e−~µ·~B=−µzBz=−µzBé a energia do átomo no campo magnético. Diferentes orientações do momento magnético implicam em diferentes valores de µz, o que significa que a intensidade da força que age sobre o átomo vai depender especificamente do valor deµze, portanto, da orientação de~µ. Por fim, um anteparo registra os locais onde é atingido por átomos do feixe.
Classicamente, não existe restrição para a direção ou magnitude do momento angular do átomo. Como o elétron possui carga elétrica, seu movimento em torno do núcleo deve produzir um campo magnético, estando a magnitude do momento magnético relacionada com o momento angular pela expressão~µ = 2m−e
e
~L, ondeeé a carga do elétron,meé a massa do elétron e~Lé o momento angular. Vemos então que, classicamente,~µ também não possui direção ou magnitude preferenciais. Portanto, dever-se-ia obter uma distribuição contínua de átomos com um máximo na região correspondente ao centro do feixe inicial como resultado do experimento.
De acordo com a teoria quântica, em contrapartida, o momento angular do átomo é quan-tizado. Isto porque, segundo o modelo de Bohr, existe apenas um conjunto discreto de val-ores possíveis para o momento angular do átomo, como consequência das órbitas circulares quantizadas às quais os elétrons estariam restritos. Para explicar porque espectros de emissão apresentavam, por vezes, linhas múltiplas (a chamada estrutura fina do espectro), Sommerfeld concluiu que as órbitas dos elétron poderiam ser elípticas, além de circulares, e ocorrer num conjunto discreto de planos, não apenas em um. Ou seja, no modelo de Bohr-Sommerfeld as órbitas dos elétrons também são quantizadas quanto à orientação espacial. Assim, Sommerfeld introduziu um segundo número quântico,l, sendo os valores de l (0,1,2,3...) designados pelas letras s,p,d,f... Segundo a teoria de Bohr-Sommerfeld, bem aceita em 1922, o número de esta-dos correspondentes a um dadolé 2l+1. Neste caso o feixe deveria se dividir em 2l+1 feixes ao passar pela região de campo magnético inomogêneo.
Stern e Gerlach acreditavam que os átomos de prata de seu feixe apresentavaml=1. Logo, esperavam obter como resultado de seu experimento o feixe se dividindo em três. No entanto
Figura 2.4: Esquema do experimento de Stern-Gerlach mostrando o resultado esperado [35].
o resultado obtido foi a divisão do feixe de átomos de prata em dois, o que, apesar de carac-terizar um comportamento quântico e assim atingir o propósito do experimento de mostrar a natureza quântica do átomo, não era explicado pela teoria de Bohr-Sommerfeld ou qualquer outra existente na época.
Os resultados deste experimento só foram de fato entendidos alguns anos depois graças à proposta de George Eugene Uhlenbeck e Samuel Abraham Goudsmit de que o elétron possuía um momento angular intrínseco igual a 4πh ou 12h, o spin [36]. Tal movimento foi inicialmente¯ pensado como sendo análogo ao movimento de rotação da Terra em torno do seu próprio eixo (mas, de fato, não o é). Neste caso o elétron teria um momento angular total, ~J, que é a soma de seu momento angular orbital ,~L, e de seu momento angular de spin,~S.
A existência do spin eletrônico foi capaz de explicar satisfatoriamente os resultados exper-imentais obtidos por Stern e Gerlach, apesar de, originalmente, Uhlenbeck e Goudsmit terem feito tal proposta para explicar algumas características de espectros atômicos que não eram compatíveis com a teoria de Bohr-Sommerfeld.
No experimento realizado por Stern e Gerlach os átomos do feixe apresentavaml=0, situ-ação para a qual nenhuma divisão do feixe seria esperada antes da proposta de Uhlenbeck e Goudsmit.
No entanto, como o átomo de prata possui 47 elétrons sendo apenas um deles desemparel-hado, ou seja, seu momento angular não é anulado por outro elétron de spin oposto, é esse único elétron que dá o momento magnético do átomo que é medido no experimento. Já que L=0, S= 12eJ=L+S=1/2, o feixe deveria se dividir em 2(12) +1=2, que é exatamente o que foi observado experimentalmente.
A pesar de não ter sido o experimento de Stern-Gerlach que motivou inicialmente a proposta do spin eletrônico feita por Uhlenbeck e Goudsmit, ele passou de um experimento que tinha como propósito determinar qual era a teoria correta, se a teoria clássica ou a teoria quântica de Bohr-Sommerfeld, para um experimento icônico que não só mostrou forte evidência de que o momento angular dos átomos é de fato quantizado, como também se tornou a mais famosa evidência experimental da existência do spin eletrônico.
É possível utilizar um aparato Stern-Gerlach, tal como o mostrado na Figura 2.4, para preparar um feixe de átomos num dado estado de spin. Isto porque o feixe é separado macro-scopicamente, na direção do gradiente do campo no aparato, em função dos momentos mag-néticos dos átomos que o constituem. Sendo assim, para um feixe de átomos que possuem momento magnético devido a apenas um elétron desemparelhado, pode-se obter um feixe de átomos com certo valor de spin através de uma filtragem.
No entanto, de forma bastante contraintuitiva, a realização de experimentos nos quais o feixe atômico passa por dois ou mais aparatos Stern-Gerlach em sequência, mostra que a medição da componente de spin em uma dada direção destrói completamente qualquer informação prévia sobre a componente de spin do feixe em uma direção perpendicular.
Como mostra a Figura 2.5, a primeira interação do feixe com o aparato orientado na direção z prepara o sistema em um dos dois estados possíveis e um experimento subsequente feito com o aparato orientado na mesma direção apenas confirma este estado (a). Se, no entanto, o feixe preparado na direção z passa por um segundo aparato orientado na direção x, deste emergem dois feixes correspondentes aos dois estados possíveis para o spin na direção x (b).
Se for então selecionado apenas um dos dois estados e este atravessar um terceiro aparato,
Figura 2.5: Experimentos Stern-Gerlach sequenciais [37].
novamente orientado na direção z, o estado eliminado durante a preparação inicial do feixe é
"recuperado"(c).
Este resultado mostra que existe algo fundamentalmente diferente sobre o estado de sistemas quânticos se comparado ao estado de sistemas clássicos. Não sendo, neste sistema quântico, possível conhecer simultaneamente e de forma precisa as componentes de spin ao longo de dois eixos diferentes. Na mecânica quântica, o processo de medição afeta o sistema sobre o qual é realizada a medida.
2.4 Interferômetro Stern-Gerlach longitudinal
Um interferômetro Stern-Gerlach longitudinal utiliza campos magnéticos para a manipulação de feixes atômicos. Se o gradiente do campo é transversal como na clássica experiência de 1922, a força sentida pelos átomos de um feixe que atravessa o aparato age de forma a sepa-rar o feixe inicial em tantos feixes quanto houverem projeções possíveis de momento angular para os átomos que o compõe, separação esta que ocorre na direção transversal a velocidade,
como o gradiente do campo, e torna uma recombinação coerente do feixe original muito com-plicada, necessitando de uma precisão para o gradiente do campo de cerca de uma parte em 105para recuperar 0.99 da coerência do feixe inicial [27, 38, 39]. Já se o gradiente do campo é longitudinal, essa força não altera as trajetórias atômicas de maneira significativa, mas altera a velocidade com que os átomos passam pelo interferômetro. Em tal condição, a reunião coerente do feixe original é mais simples de ser alcançada já que os caminhos se sobrepõem, uma vez que os feixes são separados na direção longitudinal.
Apresentamos a seguir um resumo das etapas de um interferômetro Stern-Gerlach longitudi-nal. Esta descrição é baseada nos trabalhos do grupo dos professores Jacques Baudon e Jacques Robert, dentre os quais estão as referências [20, 31], tendo este sido o único grupo no mundo a desenvolver interferometria Stern-Gerlach longitudinal até então.
O Interferômetro Stern-Gerlach longitudinal consiste em cinco partes principais [40]: o polarizador; o divisor de feixes; o objeto de fase; um segundo divisor de feixe e o analisador.
Como mostra a Figura 2.6 abaixo.
Figura 2.6: Esquema do interferômetro Stern-Gerlach longitudinal através do qual passa um átomo H(2S) oriundo de uma molécula deH2. O polarizador (P) seleciona os estados de estru-tura hiperfina nas próximas etapas do interferômetro, o divisor de feixes (D) transforma estes estados numa combinação linear dos estados|F=1,MF =−1,0,1i, o objeto de fase (O) intro-duz uma fase em diferente em cada um dos estados, o analisador (A) provoca o decaimento do estado comMF =−1 com a emissão de um fóton que é medido pelo detector. A seta em cada caixa indica a direção do campo magnético na etapa correspondente.
Polarizador
O propósito do polarizador é eliminar os estados indesejados do átomo sob estudo para que haja um feixe de estado bem definido nas próximas etapas do interferômetro. Ele funciona como um filtro que impede a passagem de átomos em alguns estados e permite a passagem de átomos em outros estados, como será discutido no capítulo 5.
Muitos métodos podem ser empregados para tal fim, tendo sido um deles proposto por Willis Eugene Lamb e Robert Curtis Retherford [41], que consiste em fazer com que os átomos H(2S)metaestáveis passem por uma região de campo magnético ~Bcom intensidade de cerca de 600 Gauss com uma velocidade~v transversal ao campo. No referencial do átomo, existe um campo elétrico proporcional ao produto vetorial da velocidade com o campo magnético que é capaz de acoplar dois dos estados do 2S1
2, os |F =0,MF =0i e |F = 1,MF =−1i, com estados do 2P1
2, que rapidamente decaem para o estado fundamental. Apesar de a polarização ser apenas parcial, já que dois estados sobrevivem ao processo e não apenas um, a operação do interferômetro não é comprometida. Outro método de polarização possível é a utilização de lasers para excitar apenas o(s) estado(s) desejado(s). No entanto, este último método citado não pode ser utilizado do caso específico dos estados de interesse, pois estes são inacessíveis, a partir do estado fundamental, por absorção de um fóton.
Um dos objetivos desta dissertação é estudar em detalhes a ação do campo magnético sobre
os estados de estrutura hiperfina de relevância para determinar uma maneira experimentalmente simples de construir o polarizador, como será discutido no Capítulo 5.
Divisor de feixe
Se um átomo se move numa região de campo magnético não homogêneo, ele sofre a ação da variação temporal deste campo em seu referencial. De acordo com o teorema adiabático, se a variação temporal do campo for suficientemente lenta, o estado do átomo permanece sendo autoestado da direção instantânea do campo magnético. Em contrapartida, se um átomo se encontra inicialmente no estado|MFiinuma região onde um certo campo magnético de pequena amplitude aponta numa certa direção e o campo muda abruptamente sua orientação através de uma rotação deπ/2, de forma que a frequência angular desta rotação seja muito maior que a frequência angular de Larmor, o eixo de quantização muda abruptamente, logo a descrição do estado do átomo também deve mudar.
Como o estado|MFiiz é caracterizado pela projeção do momento angular atômico ao longo do eixo dado pela direção do campo magnético (eixo z neste exemplo), se esta direção muda abruptamente por uma rotação de π/2, de forma que o estado não consiga acompanhar a ro-tação do campo, o mesmo estado inicial deve ser projetado agora na nova direção do campo, perpendicular à original. Assim o estado final projetado ao longo da nova direção do campo, neste exemplo a direçãox, é escrito agora como∑MFxαMFx|MFix.
O papel do divisor de feixe é "produzir"uma superposição da forma∑MFxαMFx|MFixa partir do estado |MFiiz, preparado pelo polarizador, sem afetar o movimento externo do feixe. Um método para isto é utilizar transições não adiabáticas, conhecidas como transições majoranas [42–44].
Aqui, o eixo utilizado para a projeção do momento angular é o eixo ao longo da direção do campo magnético e por este motivo a direção do campo magnético é importante para a descrição do estado atômico. Após a mudança abrupta do campo magnético da direçãozpara a direçãox, a base que diagonaliza o hamiltoniano também muda.
longitudinal.
O gradiente de campo magnético no objeto de fase deve agir sobre o movimento externo do átomo aumentando ou diminuindo sua velocidade na direção de seu movimento.
Figura 2.7: Ação do objeto de fase no movimento externo do átomo [20].
Se o movimento externo do átomo for representado por uma onda plana da forma eikxx, sendo a energia cinética,E, dos átomos muito maior do que a energia Zeeman local, a ação do objeto fase pode ser representada como a criação de uma fase [20]
eikxx−→eik(x−MFδx) (2.3)
sendo
δx=gµB 2E
Z x 0
B(X)dX (2.4)
onde g o fator giromagnético de Landé, µB o magneton de Bohr e B o campo magnético no objeto fase. δxé a defasagem causadora da interferência a ser observada.
Segundo Divisor de feixe
O segundo divisor de feixes, assim como o discutido anteriormente, deve realizar uma rotação no eixo de quantização deπ/2 fazendo com que este volte a ser o eixoz.
Analisador
A construção do analisador pode ser semelhante a do polarizador. Ele tem o papel de causar o decaimento do estado|F =1,MF =−1iatravés da emissão de um fóton Lyman-α que será então detectado.
Para entender melhor os processos no interferômetro e como este pode ser construído para a medida em coincidência do parH(2S)−H(2S)é necessário o estudo do átomo e da molécula de hidrogênio bem como de suas interações com campos e radiação eletromagnéticas.
Para o estudo da interferometria atômica com átomos de hidrogênioH(2S)oriundos de uma molécula deH2, é importante que conheçamos bem a molécula, o átomo de hidrogênio e como se dá a interação deste com campos e radiação eletromagnética. Este estudo é fundamental para o entendimento de como o tempo de vida do estado 2S1
2 pode ser diminuído pela aplicação de campos externos, objetivo central do Capítulo 5 desta dissertação.
3.1 O Átomo de Hidrogênio
O átomo de hidrogênio é a estrutura mais simples em física atômica. Consiste apenas de um elétron e um próton que interagem através de forças colombianas. Mas, apesar de sua aparente simplicidade, experimentos como os que envolvem produção de seu espectro de emissão [45]
levam à conclusão de que não é possível estudá-lo através de qualquer descrição clássica, pois tal espectro indica que a energia do átomo não pode ser uma variável contínua.
Figura 3.1: Espectro de emissão visível do Hidrogênio.
O modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio [34] traz o conceito de orbitas estacionárias
bem determinadas e, através de tal artifício, acaba por explicar a aparência de seu espectro de emissão discreto e “resolver"o problema da estabilidade atômica inerente ao modelo planetário proposto por Rutherford [46].
No entanto, as orbitas estacionárias que previnem o átomo de colapsar são postuladas. Não
No entanto, as orbitas estacionárias que previnem o átomo de colapsar são postuladas. Não