sendo que δ ∈ R representa o parâmetro de espalhamento do número fuzzy. Quanto menor δ, menor é a base do número triangular, ou seja, menor é o intervalo onde se considera a pertinência dos vizinhos.
De acordo com a equação (5.6), o pixel central da região analisada é excluído do cálculo de sua pertinência (subtrai-se o pixel central do numerador e denominador da equação).
A matriz resultante desta operação é chamada de matriz de pertinências ou imagem pertinência e é definida pela equação:
A′ = M ⎪ i=1 N ⎪ j=1 ˆ µij gij , (5.7)
sendo que, ˆµij indica o grau de pertinência de cada pixel à região W × W pré-definida
da imagem. Os valores de pertinências próximos de 1 significam uma maior pertinência dos respectivos pixels a uma região homogênea. Para valores de pertinências próximos de 0, tem-se que os pixels avaliados são diferentes dos pixels da região, ou melhor, podem pertencer à borda de uma região e não a uma região homogênea. Assim, a matriz de per- tinências A′
, observada como uma imagem em nível de cinza no intervalo [0,1], representa as bordas presentes na imagem pelos tons de cinza mais escuros, diferente das aborda- gens de detecção de bordas tradicionais, cujas bordas são apresentadas por tonalidades mais claras. Ao se analisar a matriz de pertinências como tons de cinza, os pixels mais escuros são aqueles com menor pertinência a uma região homogênea, ou seja, com maior possibilidade de representar as bordas da imagem.
5.3
Orientação de Bordas por Análise de Vizinhança
Local
Os métodos baseados em operadores diferenciais para detecção de bordas, tais como
filtragem de Sobel, Prewitt, Roberts e Operador de Canny (GONZALEZ; WOODS, 2002),
realizam a diferenciação discreta em uma imagem e produzem o campo gradiente. A abordagem mais simples e natural para estimar a orientação local das bordas é obtida a partir do relacionamento entre as funções gradiente vertical e horizontal da imagem
digital. É bem conhecido que o ângulo fase do gradiente denota a direção de troca de intensidade máxima do pixel. Assim, a direção de uma borda hipotética que cruza a região centralizada em um determinado pixel é ortogonal ao ângulo fase gradiente naquele pixel.
Esse método embora simples e eficiente, possui alguns inconvenientes (MALTONI et al.,
2003). Um deles, ao utilizar as máscaras clássicas de convolução de Sobel ou Prewitt para
determinar os componentes ∇x e ∇y e computar θij como o arco-tangente da proporção
∇x/∇y apresenta problemas devido a não linearidade e descontinuidade ao redor de 900.
Por outro lado, os detectores de bordas fuzzy não fornecem a informação do campo gradiente, portando não produzem diretamente a informação de direção de bordas, que é importante para análises subsequentes da imagem, tais como afinamento de bordas, ligação de bordas, análise de textura, etc.
Uma abordagem alternativa para a estimativa de orientação de bordas foi proposta
(BOAVENTURA; GONZAGA, 2008). A nova abordagem é baseada na análise de uma vi-
zinhança local dos pixels da imagem pertinência, tomada de forma complementar, onde valores maiores são os pixels de borda. A avaliação da orientação local da borda é feita com base em alinhamentos dos pixels da imagem pertinência relativo a um número fixo de orientações de referência, não sendo necessários cálculos complexos tais como de raízes quadradas, do arco-tangente e do vetor gradiente. Cada uma das orientações de referência possui um ângulo correspondente que define a orientação considerada.
5.3.1 Método Proposto para Estimar a Orientação de Bordas
Seja uma imagem G cuja matriz de pertinências complementar é representada por uma
imagem B. Seja bi,j um pixel do mapa de bordas da imagem. A orientação local da borda
em bi,j é o ângulo θij que a borda da imagem, cruzando com uma pequena vizinhança
arbitrária centralizada em bi,j, forma com o eixo horizontal. O ângulo θij é uma direção
não orientada no intervalo [0, 1800]. Utiliza-se neste trabalho o termo orientação para
94 5.3. Orientação de Bordas por Análise de Vizinhança Local
A matriz de orientação de bordas, também chamada de matriz direcional, é a matriz
Θ cujos elementos codificam a orientação local das bordas da imagem. Cada elemento θij
da matriz, correspondente a uma vizinhança local quadrada centralizada em bi,j, denota a
orientação da borda da imagem na vizinhança de bi,j. O cálculo da orientação considera a
soma dos valores dos pixels na vizinhança de bi,j correspondente a cada orientação de refe- rência predefinida. Assim, cada orientação de referência possui uma soma correspondente. O valor máximo dessas somas define o ângulo de orientação local da borda.
Para uma vizinhança de tamanho 3x3, foram definidas quatro orientações de referência,
que correspondem aos ângulos 00, 450, 900 e 1350. A Figura 5.1 mostra a vizinhança
3X3 de um pixel central bi,j e também as quatro direções nas quais podem aparecer
bordas. As somas dos valores de todos os pixels de borda bi,j e seus vizinhos em uma
determinada direção são denominadas d1, d2, d3 e d4 representando os ângulos 00, 450,
900 e 1350, respectivamente. Essas somas representam cada uma as direções 1, 2, 3 e 4 e
são calculadas por:
d1 = bi,j + bi,j−1+ bi,j+1 d2 = bi,j + bi−1,j+1+ bi+1,j−1 d3 = bi,j + bi−1,j + bi+1,j d4 = bi,j + bi−1,j−1+ bi+1,j+1
(a) (b)
Figura 5.1: (a) Vizinhança 3x3; (b) As quatro orientações de bordas definidas.
A definição de uma vizinhança maior em torno de um pixel da imagem pertinência permite a adição de um número maior de orientações de referência. No caso de uma
(a) (b)
Figura 5.2: (a) Vizinhança 5x5; (b) As oito orientações de borda definidas.
vizinhança 5x5, foram definidas oito orientações fixas de referência, cujos ângulos são, respectivamente, 00, 22.50, 450, 67.50, 900, 112.50, 1350e 157.50. A Figura 5.2 mostra uma
vizinhança 5x5 de um pixel central bi,j, juntamente com as oito direções fixas definidas,
que são analisadas para definir a orientação local do pixel de borda bi,j.
O cálculo de cada uma das possíveis orientações di, para i = 1 . . . 8, é dado pelas oito equações a seguir:
d1 = bi,j + bi,j−2+ bi,j−1+ bi,j+1+ bi,j+2 d2 = bi,j + bi−1,j+2+ (bi−1,j+1+ bi,j+1)/2 +
bi+1,j−2+ (bi,j−1+ bi+1,j−1)/2
d3 = bi,j + bi−2,j+2+ bi−1,j+1+ bi+1,j−1 + bi+2,j−2 d4 = bi,j + bi+2,j−1+ (bi+1,j−1+ bi+1,j)/2 +
bi−2,j+1+ (bi−1,j + bi−1,j+1)/2 d5 = bi,j + bi−1,j+ bi−2,j + bi+1,j + bi+2,j d6 = bi,j + bi+2,j+1+ (bi+1,j + bi+1,j+1)/2 +
bi−2,j−1+ (bi−1,j−1+ bi−1,j)/2