Encarando esta investigação como um contributo para o conhecimento da capacidade de raciocinar matematicamente no âmbito algébrico e tendo selecionado os tópicos matemáticos Números reais e Inequações, a investigação centra-se numa unidade de ensino denominada “Números reais e inequações”. Esta unidade de ensino é colocada em prática numa turma do 9.º ano do ensino básico, tendo como principal objetivo promover o raciocínio apresentando situações propícias ao seu estudo nas aprendizagens referentes aos tópicos Números reais e Inequações.
As orientações metodológicas gerais do programa de Matemática do ensino básico referem explicitamente a importância da promoção do raciocínio enquanto orientação estruturante das atividades a realizar na aula (ME, 2007). Segundo o programa, cabe ao professor proporcionar frequentemente situações em que (i) “deve dar atenção aos raciocínios dos alunos, valorizando-os, procurando que eles os explicitem com clareza, que analisem e reajam aos raciocínios dos colegas” e (ii) onde
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“os alunos possam resolver problemas, analisar e refletir sobre as suas resoluções e as resoluções dos colegas” (ME, 2007, p. 9). Por outro lado, segundo indica o NCTM (2009), para promover os hábitos de raciocínio dos alunos, o professor deve ainda (i) solicitar-lhes que reformulem problemas utilizando as suas próprias palavras; (ii) dar- lhes tempo para que analisem problemas intuitivamente; (iii) resistir ao impulso de dar indicações para a resolução de problemas, encontrando modos de suporte ao pensamento e trabalho dos alunos; (iv) colocar questões que promovam o aprofundamento da situação, por exemplo “Como sabes que funciona?” ou “Porque funciona?”; (v) dar tempo após uma questão para que os alunos possam formular o seu próprio raciocínio; (vi) destacar explicações exemplificativas e levar os alunos a refletir no que as torna eficientes; e (vii) estabelecer um ambiente de sala de aula em que os alunos se sintam confortáveis na partilha e crítica de argumentos. Bell (2011), salienta ainda que promover o raciocínio matemático no ensino básico implica uma intervenção explícita que passa por levar os alunos a dar sentido a justificações existentes, pedir uma justificação alternativa, salientar o que valida uma justificação, enfatizar a explicação do “porquê” ou ainda redirecionar os alunos para o contexto. Assim, com o intuito de promover ações que suscitem o desenvolvimento do raciocínio, pretende-se que o questionamento assuma um papel central durante a unidade de ensino. Tal questionamento é suportado por questões de focalização, confirmação e inquirição (Ponte, & Serrazina, 2000). As questões de focalização têm por objetivo orientar os alunos no sentido de completar a tarefa que se encontram a realizar. As questões de confirmação pretendem verificar os conhecimentos dos alunos. As questões de inquirição visam o clarificar a situação, criando oportunidades para que os alunos tornem explícitos os seus raciocínios, possibilitando também ao professor ter conhecimento da compreensão dos alunos referente à atividade que se encontram a desenvolver. Complementarmente, e com o objetivo de concretizar o desenvolvimento do raciocínio matemático dos alunos, são criadas oportunidades para que os alunos aprofundem o seu conhecimento. Estas situações têm como ponto de partida as respostas dos alunos às questões de inquirição e podem envolver questões como as referidas anteriormente em (iv) que permitem induzir os alunos a estabelecer conexões entre ideias matemáticas, promovendo um alargamento do seu conhecimento matemático (Cenzig, Kline, & Grant, 2011).
Nesta investigação, a sala de aula é considerada como meio privilegiado para o desenvolvimento da capacidade de raciocinar matematicamente, pelo que, além dos
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pressupostos anteriores, a seleção das tarefas a realizar durante a unidade de ensino assume um papel central. Quanto a este último aspeto, destacam-se os problemas e as tarefas de exploração como potenciadoras do raciocínio matemático dos alunos. Ao longo de todo o programa, com especial ênfase no 3.º ciclo, as tarefas de exploração são apresentadas como promotoras do raciocínio: “ao realizarem explorações e investigações, os alunos raciocinam indutivamente quando procuram generalizar propriedades encontradas num determinado conjunto de dados” (ME, 2007, p. 63). Sendo o 9.º ano o ano terminal do 3.º ciclo, torna-se igualmente relevante observar que também o programa de Matemática A do ensino secundário evidencia a importância da resolução de problemas e das tarefas de exploração para estimular o raciocínio, referindo que estas tarefas facilitam as aprendizagens e reforçam a capacidade de raciocinar logicamente “pelas oportunidades de formular e testar conjeturas e de analisar contraexemplos, de avaliar a validade de raciocínios e de construir demonstrações” (ME, 2001, p. 21).
Deste modo, os documentos curriculares enfatizam a ideia de que a atividade dos alunos, na resolução de problemas e na realização de tarefas de exploração, inclui necessariamente a utilização de processos de raciocínio. Por outro lado, tal como referido por Ponte e Sousa (2010), os alunos desenvolvem o raciocínio matemático ao utilizarem processos de raciocínio. Assim, o trabalho nestas tarefas tem forte potencial para contribuir para o desenvolvimento do raciocínio matemático dos alunos. Em particular, na resolução de um problema, os processos de raciocínio utilizados incluem a formulação de uma estratégia geral de resolução, a realização de um dado passo, transformação ou cálculo e a sua justificação. Numa tarefa de exploração, os processos de raciocínio utilizados envolvem a formulação de uma conjetura apoiada numa razão e a definição de uma estratégia de teste dessa conjetura (Ponte, & Sousa, 2010). A resolução de um problema ou de uma tarefa de exploração pode também requerer o uso de uma demonstração, suscitando o uso de processos de raciocínio como a formulação de uma estratégia geral de demonstração e a formulação de passos justificados que levam a uma conclusão. É ainda de notar que, segundo Ponte e Sousa (2010), o estabelecimento de relações entre objetos matemáticos ou não-matemáticos é um processo de raciocínio fundamental comum à resolução de problemas e de tarefas de exploração. Como refere o NCTM (2009), as tarefas de exploração são tanto mais eficazes para fomentar hábitos de raciocínio dos alunos quanto mais favorecem o envolvimento dos alunos em processos de descoberta.
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Ainda que o principal foco das tarefas da unidade de ensino seja a resolução de problemas e a realização de tarefas de exploração, para uma abordagem completa dos tópicos selecionados, são também propostos exercícios destinados à consolidação de procedimentos rotineiros, não menosprezando a sua importância na aprendizagem.
Deste modo, a unidade de ensino é composta por uma sequência de tarefas que pretende levar os alunos a raciocinar matematicamente, ao mesmo tempo que promove uma aprendizagem significativa dos tópicos Números reais e Inequações. Neste sentido, são propostas aos alunos experiências informais antes da manipulação algébrica formal respeitante a estes tópicos, de acordo com o proposto no programa de Matemática do ensino básico (ME, 2007), tendo em vista a compreensão de conceitos e procedimentos e não apenas a memorização de manipulações algébricas eficazes.