Otimização Estrutural

Maxwell, em 1872, foi um dos pioneiros a resolver problemas de otimização estrutural, quando decidiu otimizar uma ponte onde fosse possível utilizar a menor quantidade de material e ao mesmo tempo, fosse funcional. O conceito usado, por Maxwell, consistia essencialmente em determinar as direções das tensões principais, através da teoria da elasticidade, para um dado domínio numa estrutura sujeita a uma carga e a restrições de deslocamento em outros pontos. Obtidas as direções principais, Maxwell propôs para esse domínio uma estrutura formada por elementos de barras (treliça), onde cada barra (elemento de treliça) estivesse orientada segundo as direções principais de tensão calculadas no domínio. Ou seja, a estrutura ótima, onde o material fosse melhor aproveitado, seria aquela em que os elementos estariam sujeitos apenas a tração e compressão, e não a momentos fletores. [18]

Em 1904, esta ideia foi retomada por Michell, onde decidiu estudar a otimização estrutural para vários projetos. Na figura 3.32, é apresentado um exemplo de um caso de estudo estrutural de treliças obtidas por Michell.

Contudo, após os resultados de Michell em 1904, não houve praticamente evolução na otimização estrutural até à década de 60, embora, com a introdução e aparecimento dos computadores e posteriormente o método de elementos finitos, surgiram outras novas técnicas de otimização que passaram a ser incluídas em programas comerciais, tal como no programa ANSYS. A otimização encontra-se hoje em dia, em vários campos de engenharia, como por exemplo, estrutural, mecânica, fluídos, etc.

Para determinar uma solução de otimização estrutural são necessários alguns conceitos básicos de otimização, sendo que um problema é definido da seguinte forma: [19,20]

 Função objetivo (Objective function): está relacionada com a grandeza de maximizar ou minimizar um parâmetro. Este pode ser, por exemplo, a rigidez de uma estrutura, o volume da peça, a frequência de uma estrutura, os custos, a massa, entre outros;

 Variáveis de projeto (Design variables): são parâmetros que podem ser alterados durante o processo de otimização. Estes podem ser atribuídos, como por exemplo, às dimensões de uma peça ou às propriedades dos materiais. O projetista tem de identificar as variáveis de acordo com o objetivo em causa;

 Variáveis de estado (State variables): são limites à solução. Através destas variáveis, é possível garantir a admissibilidade e fiabilidade da solução. Podem ser os valores mínimos e máximos para deslocamentos, tensões, deformações, força num dado ponto da peça, entre outros.

De uma forma geral, um problema de otimização estrutural, comum, adquire a seguinte forma [19]: 𝑂𝑡𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎çã𝑜 𝐸𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 { 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 { 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑦 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑥 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜

Pretende-se, então, minimizar uma função objetivo, onde as variáveis de função sejam as de projeto (𝑥) e de estado (𝑦) que ficam sujeitas a determinadas restrições. Estas permitem assim definir o domínio das variáveis em causa.

3.15.1. Tipos de Otimização Estrutural

Existem três tipos de otimização, onde é possível determinar uma solução ótima, para resolver um dado problema, sendo [18]:

 Otimização paramétrica (Sizing Optimization): Neste tipo de otimização, e de uma forma geral, a estrutura não é modificada, apenas no projeto são alteradas as variáveis escolhidas que caraterizam a geometria da estrutura, como por exemplo, a espessura, altura ou comprimento, sendo o objetivo principal encontrar a secção ótima para cada elemento de uma barra (treliça). O intuito é determinar os valores ótimos das secções de cada elemento da barra (treliça). Esta otimização apenas altera as secções dos elementos mantendo a forma da estrutura, pelo que, as variáveis do problema são definidas logo no início do processo. Um exemplo deste tipo de otimização é ilustrado na figura 3.33 (a);

 Otimização de forma (Shape Optimization): O objetivo neste tipo de otimização, é determinar os parâmetros ótimos das curvas que definem os contornos da estrutura. Os contornos externos, neste tipo de otimização, são parametrizados por curvas splines e as variáveis de projeto, são os parâmetros que definem estas curvas. Logo, uma estrutura ótima é aquela, que minimiza a flexibilidade para a restrição do material considerado. Na figura 3.33 (b), é possível observar que os contornos da estrutura são alterados.

 Otimização de topologia (Topology Optimization): A otimização por topologia, é considerado para estruturas discretas e contínuas. No caso das estruturas discretas como treliças, procura-se obter a ordem espacial dos elementos. No caso das estruturas contínuas, o objetivo principal é determinar a melhor localização e geometria das cavidades do seu domínio. O processo de otimização procura encontrar a topologia da estrutura, determinando a melhor distribuição das tensões ao longo da estrutura, determinando em cada ponto do seu domínio se deve ou não haver material, que é corrente ser representado por elementos sólidos e elementos vazios. Este aspeto permite que a estrutura mantenha o mesmo valor de tensões igual, levando ao aumento da resistência e diminuição da massa. Este processo de otimização, comparativamente aos anteriores, é o que resulta na maior remoção de material na estrutura, como ilustrado na Figura 3.33 (c).

Figura 3.33 - Três tipos de otimização estrutural: a) otimização paramétrica de uma treliça, b) otimização de forma, c) otimização topológica. [18]

3.15.2. Processo de Evolução na Otimização

Neste capítulo, é apresentado um resumo da evolução de um processo de otimização. Através de uma análise numérica, recorrendo-se ao método dos elementos finitos, é possível determinar-se o nível de tensões existentes numa estrutura. Um indicador do uso ineficiente de um material é quando este possui valores baixos de tensões ou extensões em algumas zonas da estrutura. Desta forma, torna-se possível obter um critério de rejeição baseado nos níveis de tensões locais. Assim, quando existem elementos com tensões baixas, assume-se que estes estão a ser subutilizados, deste modo, os elementos acabam por ser removidos da malha dos elementos finitos [21]. Para isso, recorre-se frequentemente ao critério de von Mises (𝜎_𝑒𝑞), no caso de estado plano, para determinar se cada elemento analisado deve ou não ser removido.

𝜎_𝑒𝑞= √𝜎𝑥2+ 𝜎𝑦2− 𝜎𝑥𝜎𝑦+ 3𝜏𝑥𝑦2

Sendo, 𝜎_𝑥 e 𝜎_𝑦 as tensões normais segundo a direção 𝑥 e 𝑦 e 𝜏_𝑥𝑦 correspondente à tensão de corte. De modo a ser possível identificar qual ou quais os elementos que têm de ser removidos, estes são determinados através da comparação das tensões de Von Mises do elemento 𝜎_𝑒𝑒𝑞 com a máxima tensão de Von Mises instalada em toda a estrutura 𝜎_𝑚á𝑥𝑒𝑞 . No fim de cada análise numérica, são removidos todos os elementos que satisfaçam a seguinte condição da equação 31.

𝜎_𝑒𝑒𝑞

Onde, 𝑅𝑅𝑖 (Rejetion Ratio) representa o critério de rejeição associado à iteração 𝑖, que por sua vez, também está associado ao número da evolução. Após cada rotina (ciclo) de análises, a malha é atualizada devido à remoção de elementos, voltando-se a correr de novo uma nova análise. Este processo é repetido até que o valor de 𝑅𝑅_𝑖 convergir para um estado de equilíbrio, ou seja, chegar a uma solução final quando já não existir mais elementos que devam ser eliminados para o valor 𝑅𝑅𝑖 adotado para cada iteração 𝑖. Assim, o processo de evolução da estrutura em estudo evolui até atingir uma solução ótima. O processo de evolução pode-se resumir da seguinte forma [21]:

1- Discretizar a estrutura através de uma boa malha de elementos finitos; 2- Realizar uma análise elástica de elementos finitos;

3- Remover os elementos que satisfaçam a equação 2 (equação do < Rri) ;

4- Aumentar o 𝑅𝑅𝑖 caso seja atingido um estado de equilíbrio, de forma a refinar a otimização;

5- Repetir os passos 2 a 4 até se chegar a uma solução ou objetivo ótimo.

Para uma melhor compreensão destes conceitos de otimização, apresenta-se, na figura 3.29, um diagrama ilustrando o processo de otimização realizado pelo ANSYS. O programa considera valores pré-definidos para executar este processo. Assim para o presente trabalho, recorre-se à análise de otimização por meio do processo de forma (Shape Optimization), de modo a diminuir a massa através da otimização dos cutelos superiores da estrutura da máquina- ferramenta.